Études de cas pratique

EGC

Analyse de la Stabilité d’un Pylône

Analyse de la Stabilité d’un Pylône en RDM

Analyse de la Stabilité d’un Pylône (Flambement)

Comprendre le Flambement des Pylônes

Le flambement (ou flambage) est un phénomène d'instabilité élastique qui peut survenir dans les éléments élancés soumis à une compression axiale. Lorsqu'une charge de compression atteint une valeur critique, l'élément peut brusquement fléchir latéralement, même si la contrainte de compression moyenne reste inférieure à la limite d'élasticité du matériau. L'analyse du flambement est essentielle pour la conception des pylônes, poteaux, colonnes et autres structures minces.

Cet exercice se concentre sur la détermination de la charge critique de flambement d'Euler pour un pylône de section circulaire avec des conditions d'appui spécifiques.

Données de l'étude

Un pylône vertical en acier, de section circulaire pleine, est encastré à sa base et libre à son sommet. Il est soumis à une charge de compression axiale \(P\) appliquée à son sommet.

Caractéristiques du pylône et du matériau :

  • Hauteur du pylône (\(H\)) : \(12 \, \text{m}\)
  • Diamètre de la section circulaire (\(D\)) : \(200 \, \text{mm}\)
  • Module d'Young de l'acier (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa}\)
  • Conditions d'appui : Encastré à la base (A), Libre au sommet (B) où la charge est appliquée.
Schéma du Pylône et Conditions de Flambement
{/* */} {/* */} A (Encastré) {/* */} B (Libre) {/* */} P {/* */} H = 12 m {/* */} Déformée (Flambement) {/* */} Section D=200mm

Pylône encastré à la base, libre au sommet, soumis à une charge axiale P.

Questions à traiter

  1. Calculer le moment d'inertie minimal (\(I_{min}\)) de la section circulaire du pylône.
  2. Déterminer la longueur de flambement (\(L_k\)) du pylône en fonction de ses conditions d'appui.
  3. Calculer la charge critique de flambement d'Euler (\(P_{cr}\)) pour le pylône.
  4. Calculer la contrainte critique de flambement d'Euler (\(\sigma_{cr}\)).
  5. Si une charge de service \(P_{serv} = 250 \, \text{kN}\) est appliquée au pylône, vérifier sa stabilité au flambement en comparant \(P_{serv}\) à \(P_{cr}\). Quel est le coefficient de sécurité au flambement ?

Correction : Analyse de la Stabilité d’un Pylône

Question 1 : Moment d'inertie minimal (\(I_{min}\))

Principe :

Pour une section circulaire pleine de diamètre \(D\), le moment d'inertie est le même par rapport à n'importe quel axe passant par son centre. C'est donc le moment d'inertie minimal \(I_{min}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ I = \frac{\pi D^4}{64} \]
Données spécifiques et conversions :
  • Diamètre (\(D\)) : \(200 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{min} &= \frac{\pi (200 \, \text{mm})^4}{64} \\ &= \frac{\pi \times 1,600,000,000 \, \text{mm}^4}{64} \\ &= \pi \times 25,000,000 \, \text{mm}^4 \\ &\approx 78,539,816 \, \text{mm}^4 \\ &\approx 7.854 \times 10^7 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le moment d'inertie minimal de la section est \(I_{min} \approx 7.854 \times 10^7 \, \text{mm}^4\).

Question 2 : Longueur de flambement (\(L_k\))

Principe :

La longueur de flambement (\(L_k\)) dépend des conditions d'appui aux extrémités de l'élément. Pour un pylône encastré à une extrémité et libre à l'autre, la longueur de flambement est le double de sa longueur réelle (\(H\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ L_k = K \cdot H \]

Avec \(K=2.0\) pour un appui encastré-libre.

Données spécifiques et conversions :
  • Hauteur du pylône (\(H\)) : \(12 \, \text{m} = 12000 \, \text{mm}\)
  • Coefficient de longueur de flambement (\(K\)) : \(2.0\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L_k &= 2.0 \times 12000 \, \text{mm} \\ &= 24000 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La longueur de flambement du pylône est \(L_k = 24000 \, \text{mm}\) (ou \(24 \, \text{m}\)).

Question 3 : Charge critique de flambement d'Euler (\(P_{cr}\))

Principe :

La charge critique de flambement d'Euler est la charge axiale maximale qu'un élément élancé peut supporter avant de flamber. Elle est donnée par la formule d'Euler.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 E I_{min}}{L_k^2} \]
Données spécifiques et conversions :
  • Module d'Young (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa} = 210 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2\)
  • Moment d'inertie minimal (\(I_{min}\)) : \(7.854 \times 10^7 \, \text{mm}^4\)
  • Longueur de flambement (\(L_k\)) : \(24000 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{cr} &= \frac{\pi^2 \times (210 \times 10^3 \, \text{N/mm}^2) \times (7.854 \times 10^7 \, \text{mm}^4)}{(24000 \, \text{mm})^2} \\ &= \frac{\pi^2 \times 210 \times 10^3 \times 7.854 \times 10^7}{576 \times 10^6} \, \text{N} \\ &\approx \frac{9.8696 \times 210 \times 7.854 \times 10^{10}}{576 \times 10^6} \, \text{N} \\ &\approx \frac{16280.8 \times 10^{10}}{576 \times 10^6} \, \text{N} \\ &\approx \frac{1.62808 \times 10^{14}}{5.76 \times 10^8} \, \text{N} \\ &\approx 282652.7 \, \text{N} \\ &\approx 282.65 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La charge critique de flambement d'Euler est \(P_{cr} \approx 282.65 \, \text{kN}\).

Question 4 : Contrainte critique de flambement (\(\sigma_{cr}\))

Principe :

La contrainte critique de flambement est la contrainte moyenne dans la section lorsque la charge critique est atteinte. Elle est obtenue en divisant la charge critique par l'aire de la section.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma_{cr} = \frac{P_{cr}}{A} \]

où \(A = \frac{\pi D^2}{4}\) est l'aire de la section circulaire.

Données spécifiques et conversions :
  • Charge critique (\(P_{cr}\)) : \(282652.7 \, \text{N}\)
  • Diamètre (\(D\)) : \(200 \, \text{mm}\)
Calcul de l'aire :
\[ \begin{aligned} A &= \frac{\pi (200 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 40000 \, \text{mm}^2}{4} \\ &= 10000 \pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 31415.93 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Calcul de la contrainte critique :
\[ \begin{aligned} \sigma_{cr} &= \frac{282652.7 \, \text{N}}{31415.93 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 8.997 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 9.0 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Il est important de vérifier si cette contrainte est inférieure à la limite d'élasticité de l'acier pour que la formule d'Euler soit valide. Pour un acier de construction courant, la limite d'élasticité est typiquement de \(235 \, \text{MPa}\) ou plus. Ici, \(9.0 \, \text{MPa} \ll 235 \, \text{MPa}\), donc l'utilisation de la formule d'Euler est justifiée.

Résultat Question 4 : La contrainte critique de flambement d'Euler est \(\sigma_{cr} \approx 9.0 \, \text{MPa}\).

Question 5 : Vérification de la stabilité et coefficient de sécurité

Principe :

Pour assurer la stabilité au flambement, la charge de service appliquée (\(P_{serv}\)) doit être inférieure à la charge critique de flambement (\(P_{cr}\)). Le coefficient de sécurité au flambement (\(FS_{flamb}\)) est le rapport de la charge critique à la charge de service.

Critère de vérification et Formule :
\[ P_{serv} < P_{cr} \] \[ FS_{flamb} = \frac{P_{cr}}{P_{serv}} \]
Données spécifiques :
  • Charge de service (\(P_{serv}\)) : \(250 \, \text{kN}\)
  • Charge critique (\(P_{cr}\)) : \(282.65 \, \text{kN}\)
Comparaison et Calcul :
\[ 250 \, \text{kN} < 282.65 \, \text{kN} \]

La charge de service est inférieure à la charge critique, donc le pylône est stable au flambement sous cette charge.

\[ \begin{aligned} FS_{flamb} &= \frac{282.65 \, \text{kN}}{250 \, \text{kN}} \\ &\approx 1.13 \end{aligned} \]

Un coefficient de sécurité de 1.13 est généralement considéré comme faible pour des structures réelles, où des coefficients plus élevés (par exemple, 2 à 3 ou plus, selon les normes et les conséquences d'une défaillance) sont requis.

Résultat Question 5 :
Le pylône est stable au flambement sous la charge de service de \(250 \, \text{kN}\) car \(P_{serv} < P_{cr}\).
Le coefficient de sécurité au flambement est \(FS_{flamb} \approx 1.13\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le flambement est un phénomène qui concerne principalement les éléments :

2. Pour un élément bi-articulé, la longueur de flambement \(L_k\) est :

3. Si le diamètre d'un pylône circulaire est doublé, comment varie sa charge critique de flambement d'Euler (toutes autres choses égales) ?

Glossaire

Flambement (ou Flambage)
Phénomène d'instabilité d'un élément structural élancé soumis à une compression axiale, caractérisé par une déformation latérale soudaine lorsque la charge atteint une valeur critique.
Charge Critique d'Euler (\(P_{cr}\))
Charge axiale théorique maximale qu'une colonne parfaitement rectiligne, homogène, et élastique peut supporter sans flamber. Elle dépend du module d'Young du matériau, du moment d'inertie minimal de la section, et de la longueur de flambement.
Longueur de Flambement (\(L_k\))
Longueur effective d'un élément comprimé, utilisée dans les calculs de flambement. Elle dépend des conditions d'appui aux extrémités de l'élément et est égale à \(K \cdot L\), où \(L\) est la longueur réelle et \(K\) un coefficient dépendant des appuis.
Moment d'Inertie (\(I\))
Propriété géométrique d'une section qui caractérise sa résistance à la flexion ou au flambement. Pour le flambement, on utilise le moment d'inertie minimal (\(I_{min}\)) de la section.
Élancement (\(\lambda\))
Rapport sans dimension caractérisant la "minceur" d'un élément comprimé, souvent défini comme \(\lambda = L_k / i_{min}\), où \(i_{min}\) est le rayon de giration minimal de la section. La formule d'Euler est applicable pour des élancements élevés.
Contrainte Critique de Flambement (\(\sigma_{cr}\))
Contrainte moyenne dans la section (\(P_{cr}/A\)) lorsque la charge critique de flambement est atteinte.
Analyse de la Stabilité d’un Pylône en RDM - Exercice d'Application

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