Étude de Stabilité d’un Mur de Soutènement

Comprendre l’Étude de Stabilité d’un Mur de Soutènement

Un mur de soutènement doit être conçu pour un nouveau développement commercial en périphérie d’une ville. Le terrain est en pente et nécessite un mur de soutènement pour créer une surface plane pour le parking.

Données:

Hauteur du mur de soutènement : 4 m
Type de sol derrière le mur : Grès
Angle de repos naturel du sol (ϕ) : 30°
Poids volumique du sol (γ) : 20 kN/m³
Surcharge due au parking : 10 kPa
Coefficient de poussée des terres actif (\(K_a\)) : Calculé sur la base de l’angle de frottement

Étude de Stabilité d’un Mur de Soutènement

Questions:

1. Calculer la poussée des terres active sur le mur de soutènement.

2. Déterminer les dimensions et l’armature nécessaires pour le mur pour résister à cette poussée.

3. Évaluer l’impact de la surcharge due au parking sur la stabilité du mur.

Correction : Étude de Stabilité d’un Mur de Soutènement

1. Calcul de la poussée des terres active sur le mur de soutènement

1.1 Calcul de la poussée due au poids du sol

La poussée active exercée par le sol est généralement calculée en considérant une distribution trigonogamétrique (triangulaire) de la pression résultant du poids du sol sur le mur. La force résultante s’exprime par la formule :

\[ P_{sol} = \frac{1}{2}\, \gamma \, H^2 \, K_a \]

Données :

Hauteur du mur \( H = 4 \, \text{m} \).

Poids volumique du sol \( \gamma = 20 \, \text{kN/m}^3 \).

Coefficient de poussée actif \( K_a \) calculé à partir de l’angle de frottement.

Angle de frottement \( \varphi = 30^\circ \).

Calcul de \( K_a \) :
La formule classique pour le coefficient de poussée actif est :
\[ K_a = \tan^2 \Bigl(45^\circ - \frac{\varphi}{2}\Bigr) \]
En substituant les valeurs :
\[ K_a = \tan^2 \Bigl(45^\circ - \frac{30^\circ}{2}\Bigr) \] \[ K_a = \tan^2 (45^\circ - 15^\circ) \] \[ K_a = \tan^2 (30^\circ) \]
Or, \(\tan(30^\circ) \approx 0,5774\), donc :
\[ K_a \approx (0,5774)^2 \approx 0,3333 \]

Calcul de \( P_{sol} \) :
\[ P_{sol} = \frac{1}{2} \times 20 \times (4)^2 \times 0,3333 \]
\[ P_{sol} = 0,5 \times 20 \times 16 \times 0,3333 \] \[ P_{sol} = 10 \times 16 \times 0,3333 \]
\[ P_{sol} \approx 160 \times 0,3333 \] \[ P_{sol} \approx 53,33 \, \text{kN par m de longueur} \]

1.2 Calcul de la poussée due à la surcharge du parking

En présence d’une surcharge uniforme (ici, due au parking), la pression additionnelle s’exprime de façon linéaire sur toute la hauteur du mur. La poussée générée par cette surcharge est obtenue par :

\[ P_{surcharge} = q \, H \, K_a \]

Données :

Surcharge \( q = 10 \, \text{kPa} \) (soit \(10 \, \text{kN/m}^2\)).

Hauteur \( H = 4 \, \text{m} \).

\( K_a \approx 0,3333 \).

Calcul :
\[ P_{surcharge} = 10 \times 4 \times 0,3333 \] \[ P_{surcharge} \approx 13,33 \, \text{kN par m de longueur} \]

1.3 Calcul de la poussée totale des terres

La poussée active totale est la somme de la poussée due au poids du sol et de celle due à la surcharge.

Formule :
\[ P_{total} = P_{sol} + P_{surcharge} \]

Calcul :
\[ P_{total} = 53,33 + 13,33 \] \[ P_{total} \approx 66,67 \, \text{kN/m} \]

Remarque sur la répartition de la force :

La résultante de \( P_{sol} \) est appliquée à \(\frac{H}{3}\) (soit à \(4/3 \approx 1,33 \, \text{m}\) du pied du mur).

La résultante de \( P_{surcharge} \) est appliquée à \(\frac{H}{2} = 2 \, \text{m}\) du pied du mur.

2. Détermination des dimensions et de l’armature nécessaires pour le mur

2.1 Estimation du moment fléchissant maximal

Le moment fléchissant associé à la poussée latérale est calculé en considérant l’effet des forces appliquées à leurs points d’action respectifs.

Calcul des moments :

Moment dû à la poussée du sol :
\[ M_{sol} = P_{sol} \times \frac{H}{3} \] \[ M_{sol} = 53,33 \times \frac{4}{3} \] \[ M_{sol} \approx 71,11 \, \text{kN}\cdot\text{m} \]

Moment dû à la surcharge :
\[ M_{surcharge} = P_{surcharge} \times \frac{H}{2} \] \[ M_{surcharge} = 13,33 \times 2 \] \[ M_{surcharge} = 26,67 \, \text{kN}\cdot\text{m} \]

Moment total :
\[ M_{total} = M_{sol} + M_{surcharge} \] \[ M_{total} \approx 71,11 + 26,67 \] \[ M_{total} \approx 97,78 \, \text{kN}\cdot\text{m} \]

2.2 Dimensionnement de la section du mur

Hypothèses usuelles de dimensionnement :
Choix d’une épaisseur de semelle ou de la pale du mur (pour un mur en béton armé type) en fonction de la hauteur. Par exemple, on peut proposer une épaisseur de la pale de \( e = 0,3 \, \text{m} \) avec une hauteur utile effective (après déduction des couvertures) d’environ \( d = 0,25 \, \text{m} \).

2.3 Calcul de l’armature pour résister au moment

Le dimensionnement de l’armature longitudinale se fait en assurant que la section d’acier proposée offre une résistance à la flexion au moins équivalente au moment fléchissant maximum.
On utilise l’équation simplifiée :

\[ M_{total} = A_s \, f_y \, \frac{d}{2} \]

où :

\( A_s \) est l’aire d’acier nécessaire (en mm² par mètre de largeur du mur).

\( f_y \) est la limite d’élasticité de l’acier (par exemple, \( f_y = 500 \, \text{MPa} \)).

\( d \) est la hauteur utile (en mm).

Conversion et calcul :

\( M_{total} = 97,78 \, \text{kN}\cdot\text{m} = 97\,780 \times 10^3 \, \text{N·mm} \).

\( d = 0,25 \, \text{m} = 250 \, \text{mm} \).

Isolons \( A_s \) :

\[ A_s = \frac{2 \, M_{total}}{f_y \, d} \]

\[ A_s = \frac{2 \times 97\,780\,000}{500 \times 250} \]

\[ A_s = \frac{195\,560\,000}{125\,000} \] \[ A_s \approx 1564,48 \, \text{mm}^2 \text{ par m de mur} \]

Remarque sur le choix de l’armature :

En pratique, on choisira des barres d’acier (par exemple, des barres de 16 mm dont l’aire approximative est \( \sim 200 \, \text{mm}^2 \)) et on disposera ces barres sur la largeur de la section.

Pour atteindre environ \( 1565 \, \text{mm}^2 \), il faudra disposer par exemple 8 barres de 16 mm (8 × 200 = 1600 mm²), réparties de manière homogène sur la section verticale du mur.

2.4 Vérifications complémentaires

En plus du calcul en flexion, il faudra vérifier :

La stabilité globale (contre le renversement et le glissement) en comparant le moment résistant du mur (associé à son propre poids) avec le moment induit par la poussée.

La résistance au cisaillement au niveau de la face d’appui.

Conclusion pour le dimensionnement :
On propose une pale de \( e \approx 0,3 \, \text{m} \) d’épaisseur et une armature d’environ \( 1565 \, \text{mm}^2 \) (arrondie à 1600 mm² par mètre de mur) pour résister au moment fléchissant induit par la poussée totale \( P_{total} \).

3. Évaluation de l’impact de la surcharge due au parking sur la stabilité du mur

3.1 Analyse de l’effet de la surcharge

La surcharge provoquée par le parking (10 kPa) augmente de manière uniforme la pression exercée sur le mur par-dessus celle générée uniquement par le poids du sol.

Sans surcharge, la poussée due uniquement au sol est de \( P_{sol} \approx 53,33 \, \text{kN/m} \) avec un moment de \( 53,33 \times \frac{4}{3} \approx 71,11 \, \text{kN}\cdot\text{m} \).

La surcharge ajoute une force de \( P_{surcharge} \approx 13,33 \, \text{kN/m} \) avec un moment (force × levier) de \( 13,33 \times 2 \approx 26,67 \, \text{kN}\cdot\text{m} \).

Le moment total passe donc de \( 71,11 \, \text{kN}\cdot\text{m} \) à \( 97,78 \, \text{kN}\cdot\text{m} \), ce qui représente une augmentation d’environ 37,5 %.

3.2 Conclusion sur l’impact

Interprétation des résultats :

Renforcement nécessaire : La surcharge augmente sensiblement le moment agissant sur le mur. Le dimensionnement doit donc tenir compte de cette surcharge pour choisir des dimensions et une armature garantissant une sécurité suffisante.

Stabilité globale : Au-delà du simple dimensionnement en flexion, il est primordial de vérifier que la base du mur reste stable (contre le renversement et le glissement) compte tenu de l’augmentation de la force latérale et du moment induit par la surcharge.

Conception de la semelle et du tirant éventuel : En pratique, l’ingénieur pourra être amené à augmenter l’envergure de la semelle ou à recourir à des systèmes de tirants pour compenser l’augmentation du moment.

Conclusion :
La surcharge du parking apporte une contribution non négligeable (environ 13,33 kN/m supplémentaires en force et 26,67 kN·m en moment). Par conséquent, son impact se traduit par :

Une augmentation totale de la poussée active, passant de 53,33 kN/m à 66,67 kN/m.

Une exigence accrue sur l’armature et les dimensions du mur, en particulier dans la vérification de la résistance à la flexion et la stabilité globale du mur.

Étude de Stabilité d’un Mur de Soutènement

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