Études de cas pratique

EGC

Analyse de la capacité portante d’un pilier

Analyse de la Capacité Portante d’un Pilier en Béton Armé

Comprendre l'Analyse de la Capacité Portante d’un Pilier

L'analyse de la capacité portante d'un pilier (ou poteau) en béton armé est une vérification essentielle pour garantir la sécurité d'une structure. Elle consiste à s'assurer que la résistance du pilier à l'effort axial de compression (\(N_{Rd}\)) est supérieure ou égale à l'effort axial de calcul agissant (\(N_{Ed}\)) à l'État Limite Ultime (ELU). La capacité portante dépend des dimensions de la section, des propriétés des matériaux (béton et acier) et de la quantité d'armatures. Cet exercice se concentre sur un pilier circulaire soumis à une compression centrée.

Données de l'étude

On souhaite vérifier la capacité portante en compression simple d'un pilier circulaire en béton armé.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Diamètre du pilier (\(D\)) : \(400 \, \text{mm}\)
  • Armatures longitudinales : 6 HA 16 (6 barres de 16 mm de diamètre)
  • Béton : C30/37 (\(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\))
  • Acier : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Coefficients partiels de sécurité (ELU) : \(\gamma_c = 1.5\) (béton), \(\gamma_s = 1.15\) (acier)
  • Coefficient \(\alpha_{cc}\) pour charges de longue durée : \(0.85\)

Sollicitations (ELU) :

  • Effort axial de calcul agissant (\(N_{Ed}\)) : \(1500 \, \text{kN}\)

Hypothèse : Le pilier est court et les effets du second ordre (flambement) peuvent être négligés. La charge est appliquée de manière centrée.

Schéma : Section du Pilier Circulaire
D=400mm Section Pilier Circulaire 6 HA 16

Section transversale du pilier circulaire avec les armatures longitudinales.

Questions à traiter

  1. Calculer la section brute de béton (\(A_c\)) et la section totale d'acier longitudinal (\(A_s\)).
  2. Calculer les résistances de calcul des matériaux : \(f_{cd}\) pour le béton et \(f_{yd}\) pour l'acier.
  3. Calculer la résistance axiale de calcul du pilier en compression simple (\(N_{Rd}\)) en utilisant la formule de l'Eurocode 2 : \(N_{Rd} = A_c \cdot f_{cd} + A_s \cdot f_{yd}\). (On considère que \(f_{cd}\) inclut déjà \(\alpha_{cc}\)).
  4. Comparer l'effort axial agissant (\(N_{Ed}\)) à l'effort axial résistant (\(N_{Rd}\)) et conclure sur la capacité portante du pilier.

Correction : Analyse de la Capacité Portante d’un Pilier

Question 1 : Sections de Béton (\(A_c\)) et d'Acier (\(A_s\))

Principe :

La section brute de béton pour un pilier circulaire est l'aire du cercle. La section d'acier est la somme des aires des barres longitudinales.

Formule(s) utilisée(s) :

Section brute de béton (\(A_c\)) pour un pilier circulaire :

\[A_c = \frac{\pi D^2}{4}\]

Section d'une barre HA 16 (\(\phi=16\) mm) :

\[A_{\phi 16} = \frac{\pi \phi^2}{4}\]

Section totale d'acier (\(A_s\)) :

\[A_s = \text{Nombre de barres} \times A_{\phi 16}\]
Données spécifiques :
  • Diamètre du pilier (\(D\)) : \(400 \, \text{mm}\)
  • Armatures : 6 HA 16
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_c &= \frac{\pi \times (400 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \times 160000}{4} \, \text{mm}^2 \\ &= 40000\pi \, \text{mm}^2 \\ &\approx 125663.7 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_{\phi 16} &= \frac{\pi \times (16 \, \text{mm})^2}{4} \\ &\approx 201.06 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_s &= 6 \times 201.06 \, \text{mm}^2 \\ &= 1206.36 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(A_c \approx 125664 \, \text{mm}^2\) et \(A_s \approx 1206.36 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Résistances de Calcul (\(f_{cd}, f_{yd}\))

Principe :

Les résistances de calcul sont obtenues en divisant les résistances caractéristiques par les coefficients partiels de sécurité.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{cd} = \frac{\alpha_{cc} f_{ck}}{\gamma_c}\] \[f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s}\]
Données spécifiques :
  • Béton C30/37 : \(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\)
  • Acier B500B : \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(\alpha_{cc} = 0.85\)
  • \(\gamma_c = 1.5\)
  • \(\gamma_s = 1.15\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{cd} &= \frac{0.85 \times 30 \, \text{MPa}}{1.5} \\ &= \frac{25.5}{1.5} \, \text{MPa} \\ &= 17.0 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{yd} &= \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &\approx 434.78 \, \text{MPa} \, (\text{N/mm}^2) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Les résistances de calcul sont \(f_{cd} = 17.0 \, \text{MPa}\) et \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Résistance Axiale de Calcul (\(N_{Rd}\))

Principe :

La résistance axiale de calcul d'un pilier en compression simple (sans flambement) est la somme des contributions du béton et des armatures longitudinales.

Formule(s) utilisée(s) (Eurocode 2) :
\[N_{Rd} = A_c f_{cd} + A_s f_{yd}\]

On considère que \(f_{cd}\) inclut déjà \(\alpha_{cc}\) comme calculé à la question 2.

Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • \(A_c \approx 125664 \, \text{mm}^2\)
  • \(A_s \approx 1206.36 \, \text{mm}^2\)
  • \(f_{cd} = 17.0 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(f_{yd} \approx 434.78 \, \text{N/mm}^2\)
Calcul :

Contribution du béton :

\[ \begin{aligned} N_{Rd,c} &= A_c f_{cd} \\ &\approx 125664 \, \text{mm}^2 \times 17.0 \, \text{N/mm}^2 \\ &= 2136288 \, \text{N} \end{aligned} \]

Contribution de l'acier :

\[ \begin{aligned} N_{Rd,s} &= A_s f_{yd} \\ &\approx 1206.36 \, \text{mm}^2 \times 434.78 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 524596.5 \, \text{N} \end{aligned} \]

Résistance totale :

\[ \begin{aligned} N_{Rd} &= N_{Rd,c} + N_{Rd,s} \\ &= 2136288 + 524596.5 \, \text{N} \\ &= 2660884.5 \, \text{N} \end{aligned} \]

Conversion en kN :

\[ N_{Rd} \approx 2660.9 \, \text{kN} \]
Résultat Question 3 : La résistance axiale de calcul du pilier est \(N_{Rd} \approx 2660.9 \, \text{kN}\).

Question 4 : Vérification de la Capacité Portante

Principe :

La sécurité du pilier vis-à-vis de la compression axiale est assurée si l'effort axial de calcul agissant (\(N_{Ed}\)) est inférieur ou égal à l'effort axial résistant de calcul (\(N_{Rd}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[N_{Ed} \leq N_{Rd}\]
Données spécifiques :
  • \(N_{Ed} = 1500 \, \text{kN}\)
  • \(N_{Rd} \approx 2660.9 \, \text{kN}\) (calculé)
Comparaison :
\[1500 \, \text{kN} \leq 2660.9 \, \text{kN}\]

La condition est vérifiée.

Résultat Question 4 : Le pilier a une capacité portante suffisante pour reprendre l'effort axial de calcul appliqué (\(N_{Ed} < N_{Rd}\)), en négligeant les effets du second ordre (flambement).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances !

1. Que représente \(N_{Ed}\) dans le calcul des structures ?

2. Comment obtient-on la résistance de calcul du béton \(f_{cd}\) à partir de la résistance caractéristique \(f_{ck}\) ?

3. La capacité portante \(N_{Rd}\) d'un pilier en compression simple dépend principalement de :

Glossaire

Capacité Portante
Charge maximale qu'un élément structural peut supporter avant d'atteindre un état limite (généralement l'ELU).
Pilier (ou Poteau)
Élément structural vertical travaillant principalement en compression, transmettant les charges des niveaux supérieurs aux fondations.
Effort Axial de Calcul (\(N_{Ed}\))
Effort axial agissant sur l'élément, calculé à partir des charges pondérées selon les combinaisons de l'État Limite Ultime (ELU).
Effort Axial Résistant de Calcul (\(N_{Rd}\))
Résistance maximale à l'effort axial que l'élément peut supporter, calculée en utilisant les résistances de calcul des matériaux (\(f_{cd}, f_{yd}\)) et en tenant compte éventuellement des effets du second ordre.
Résistance Caractéristique (\(f_{ck}, f_{yk}\))
Valeur de résistance d'un matériau (béton ou acier) ayant une probabilité prescrite (généralement 5%) de ne pas être atteinte lors d'essais.
Résistance de Calcul (\(f_{cd}, f_{yd}\))
Résistance du matériau utilisée dans les calculs de dimensionnement à l'ELU, obtenue en divisant la résistance caractéristique par un coefficient partiel de sécurité (\(\gamma_c\) ou \(\gamma_s\)).
Coefficient Partiel de Sécurité (\(\gamma_c, \gamma_s\))
Coefficient appliqué aux résistances des matériaux pour tenir compte des incertitudes et assurer un niveau de sécurité adéquat.
Coefficient \(\alpha_{cc}\)
Coefficient (généralement 0.85 ou 1.0 selon les normes nationales) tenant compte des effets défavorables à long terme et de la manière dont la charge est appliquée sur la résistance du béton en compression.
Armatures Longitudinales (\(A_s\))
Barres d'acier principales disposées le long de l'axe du pilier pour reprendre une partie de l'effort de compression et améliorer la ductilité.
Section Brute de Béton (\(A_c\))
Aire totale de la section transversale du pilier.
Flambement (ou Effets du Second Ordre)
Phénomène d'instabilité pouvant survenir dans les éléments élancés soumis à la compression, entraînant des déformations latérales importantes et une réduction de la capacité portante.
État Limite Ultime (ELU)
État limite relatif à la sécurité de la structure (rupture, flambement).
Analyse de la Capacité Portante d’un Pilier - Exercice d'Application

D’autres exercices de béton armé:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *