EGC

Analyse de la capacité portante d’un pilier

Analyse de la Capacité Portante d'un Pilier en Béton Armé

Analyse de la Capacité Portante d'un Pilier en Béton Armé

Contexte : Quel est le rôle d'un pilier ?

Un pilier, ou poteau, est un élément structurel vertical dont le rôle principal est de supporter les charges de compression qui lui sont transmises par les poutres, les planchers ou la charpente, et de les acheminer jusqu'aux fondations. La résistance d'un pilier dépend de sa section, de la qualité de ses matériaux (béton et acier), mais aussi de sa hauteur. Un pilier élancé peut céder non pas par écrasement, mais par un phénomène d'instabilité appelé flambementPhénomène d'instabilité d'un élément élancé soumis à une compression axiale, qui se traduit par une flexion latérale brusque et importante pouvant mener à la ruine., similaire à une règle que l'on presse par ses deux bouts.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera dans la vérification de la capacité portante d'un pilier carré en béton armé. Nous calculerons d'abord sa résistance à la compression simple, puis nous prendrons en compte les effets du second ordre (flambement) en calculant son élancement pour déterminer sa résistance ultime réelle.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les résistances de calcul des matériaux (\(f_{cd}\) et \(f_{yd}\)).
  • Calculer la résistance de la section en compression simple (\(N_{Rd}\)).
  • Déterminer la longueur de flambement (\(l_0\)) et l'élancement (\(\lambda\)) du pilier.
  • Calculer le coefficient de réduction pour le flambement.
  • Déterminer la charge ultime que le pilier peut réellement supporter (\(N_{b,Rd}\)).

Données de l'étude

On étudie un pilier carré en béton armé, articulé à ses deux extrémités (tête et pied). Il fait partie d'une structure contreventée.

Schéma du pilier et de sa section
N_Ed L = 5.0 m Section A-A 4 HA 20

Caractéristiques du pilier et des matériaux :

  • Section du pilier : carrée, \(b = h = 35 \, \text{cm}\)
  • Hauteur libre : \(L = 5.0 \, \text{m}\)
  • Béton : Classe C30/37 (\(f_{\text{ck}} = 30 \, \text{MPa}\))
  • Acier : nuance S500 B (\(f_{\text{yk}} = 500 \, \text{MPa}\))
  • Armatures longitudinales : 4 HA 20
  • Coefficient de fluage : \(\phi_{ef} = 2.0\)
  • Coefficients de sécurité : \(\gamma_c=1.5\), \(\gamma_s=1.15\).

Questions à traiter

  1. Calculer les résistances de calcul des matériaux, \(f_{cd}\) et \(f_{yd}\).
  2. Déterminer les aires des sections de béton (\(A_c\)) et d'acier (\(A_s\)).
  3. Calculer la résistance à la compression simple de la section, \(N_{Rd}\).
  4. Calculer l'élancement \(\lambda\) du pilier.
  5. En déduire la résistance ultime au flambement, \(N_{b,Rd}\).

Correction : Analyse de la Capacité Portante d'un Pilier

Question 1 : Calculer les résistances de calcul des matériaux (\(f_{cd}\) et \(f_{yd}\))

Principe avec image animée (le concept physique)
f_ck (caract.) f_cd (calcul) ÷ γ_c

Les résistances des matériaux données (par exemple, \(f_{ck}\) pour le béton) sont des valeurs "caractéristiques", qui ont une probabilité de 95% d'être atteintes on site. Pour les calculs de sécurité à l'État Limite Ultime (ELU), on utilise des résistances de "calcul" (\(f_{cd}\), \(f_{yd}\)), qui sont les résistances caractéristiques divisées par un coefficient de sécurité partiel (\(\gamma_c\) pour le béton, \(\gamma_s\) pour l'acier). Cela prend en compte les incertitudes sur la qualité réelle des matériaux.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le coefficient de sécurité sur le béton (\(\gamma_c = 1.5\)) est plus élevé que celui sur l'acier (\(\gamma_s = 1.15\)) car la mise en œuvre du béton sur chantier est sujette à plus d'aléas (dosage, vibration, cure...) que la fabrication de l'acier en usine, qui est un processus très contrôlé. On est donc plus prudent avec la résistance du béton.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Tous les calculs de résistance à l'ELU doivent impérativement être menés avec les résistances de calcul (\(f_{cd}\), \(f_{yd}\)), jamais avec les résistances caractéristiques.

Normes (la référence réglementaire)

Les valeurs des coefficients partiels \(\gamma_c\) et \(\gamma_s\) sont données dans l'Eurocode 2 (EN 1992-1-1), section 2.4.2.4.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère des conditions d'exécution normales. Le coefficient \(\alpha_{cc}\) pour la prise en compte des effets à long terme sur la résistance du béton est pris égal à 1.0 (valeur recommandée pour la France).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance de calcul du béton en compression

\[ f_{cd} = \alpha_{cc} \frac{f_{ck}}{\gamma_c} \]

Résistance de calcul de l'acier

\[ f_{yd} = \frac{f_{yk}}{\gamma_s} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(f_{ck} = 30 \, \text{MPa}\)
  • \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(\gamma_c = 1.5\), \(\gamma_s = 1.15\), \(\alpha_{cc} = 1.0\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de \(f_{cd}\)

\[ \begin{aligned} f_{cd} &= 1.0 \times \frac{30 \, \text{MPa}}{1.5} \\ &= 20 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Calcul de \(f_{yd}\)

\[ \begin{aligned} f_{yd} &= \frac{500 \, \text{MPa}}{1.15} \\ &= 434.78 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces deux valeurs, 20 MPa pour le béton et 434.78 MPa pour l'acier, sont les contraintes maximales que nous autoriserons dans nos matériaux pour les calculs de résistance ultime. Elles constituent la base de toutes les vérifications qui vont suivre.

Point à retenir : La résistance de calcul d'un matériau est sa résistance caractéristique divisée par un coefficient de sécurité.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette première étape est un prérequis indispensable. Il est impossible de commencer un calcul de dimensionnement ou de vérification sans avoir au préalable défini les résistances de calcul des matériaux constitutifs de l'élément.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Utiliser \(f_{ck}\) ou \(f_{yk}\) dans les formules de résistance à l'ELU est une erreur grave qui conduit à surestimer la capacité de la structure et peut la rendre dangereuse.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La valeur de \(\alpha_{cc}\) peut être réduite à 0.85 dans certains pays ou pour certains types de charges, ce qui rend le calcul encore plus sécuritaire en diminuant la résistance de calcul du béton.

FAQ (pour lever les doutes)
Que signifie "C30/37" ?

C'est la classe de résistance du béton. Le premier nombre (30 MPa) est la résistance caractéristique à la compression mesurée sur un cylindre, et le second (37 MPa) est celle mesurée sur un cube. En Europe, les calculs se basent sur la résistance cylindrique (\(f_{ck}\)).

Résultat Final : Les résistances de calcul sont \(f_{cd} = 20 \, \text{MPa}\) et \(f_{yd} = 434.78 \, \text{MPa}\).

À vous de jouer : Quelle serait la valeur de \(f_{cd}\) (en MPa) pour un béton C25/30 ?

Question 2 : Déterminer les aires des sections de béton (\(A_c\)) et d'acier (\(A_s\))

Principe avec image animée (le concept physique)
A_c A_s

La résistance d'un pilier dépend de la contribution de ses deux matériaux : le béton et l'acier. Pour quantifier cette contribution, il est essentiel de connaître l'aire de la section transversale de chaque matériau. L'aire totale de la section (\(A_{tot}\)) se répartit entre l'aire du béton (\(A_c\)) et l'aire des armatures en acier (\(A_s\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En théorie, l'aire du béton \(A_c\) est l'aire totale moins l'aire des aciers. Cependant, pour les calculs de compression simple, l'Eurocode 2 permet une simplification : on considère l'aire totale du béton (\(A_{tot}\)) et on soustrait sa contribution à la résistance pour ajouter celle de l'acier. Cela revient à considérer que l'acier travaille à une contrainte de \(f_{yd} - f_{cd}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le calcul de l'aire d'une barre d'acier (\(\pi \cdot D^2 / 4\)) est une opération de base. Il est utile de connaître par cœur l'aire des diamètres les plus courants (HA 8, 10, 12, 16, 20, 25) pour gagner du temps.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 2, section 9.5.2, spécifie les pourcentages d'armatures minimales et maximales pour les poteaux. L'aire d'acier \(A_s\) doit être comprise entre \(0.10 \cdot N_{Ed} / f_{yd}\) et \(0.04 \cdot A_c\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère l'aire brute de la section de béton pour le calcul de \(A_c\), comme le permettent les formules simplifiées de l'Eurocode.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Aire de la section de béton

\[ A_c = b \times h \]

Aire d'une barre d'acier

\[ A_{\text{barre}} = \frac{\pi \cdot D^2}{4} \]

Aire totale d'acier

\[ A_s = \text{nombre de barres} \times A_{\text{barre}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(b = h = 35 \, \text{cm}\)
  • Armatures : 4 HA 20 (\(D=20 \, \text{mm}\))
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de l'aire de béton \(A_c\)

\[ \begin{aligned} A_c &= 35 \, \text{cm} \times 35 \, \text{cm} \\ &= 1225 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]

Calcul de l'aire d'acier \(A_s\)

\[ \begin{aligned} A_s &= 4 \times \frac{\pi \times (2.0 \, \text{cm})^2}{4} \\ &= 4 \times 3.1416 \, \text{cm}^2 \\ &= 12.57 \, \text{cm}^2 \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons maintenant quantifié la matière qui travaille dans notre section : 1225 cm² de béton et 12.57 cm² d'acier. Le pourcentage d'acier est \(\rho = A_s / A_c \approx 1.03\%\), ce qui est une valeur très courante pour un poteau.

Point à retenir : La résistance d'un poteau est la somme des contributions de l'aire de béton et de l'aire d'acier.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est nécessaire pour pouvoir appliquer les formules de résistance, qui sont basées sur les aires des matériaux et leurs résistances de calcul respectives.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Attention aux unités. Il est plus simple de tout convertir en une unité cohérente (cm et cm², ou m et m²) dès le début pour éviter les erreurs de conversion dans les formules finales.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les poteaux circulaires, le calcul de l'aire est le même, mais la disposition des aciers et le calcul du moment d'inertie (important pour le flambement) sont différents. Les poteaux circulaires sont souvent utilisés pour des raisons esthétiques ou dans les piles de ponts.

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on vraiment soustraire l'aire de l'acier de celle du béton ?

Pour un calcul rigoureux, oui. Cependant, le pourcentage d'acier est souvent faible (1-2%), donc l'erreur commise en utilisant l'aire brute du béton est négligeable et va dans le sens de la sécurité pour la formule simplifiée de l'Eurocode.

Résultat Final : Les aires à considérer sont \(A_c = 1225 \, \text{cm}^2\) et \(A_s = 12.57 \, \text{cm}^2\).

À vous de jouer : Quelle serait l'aire d'acier \(A_s\) (en cm²) pour un poteau avec 8 barres HA 16 (\(D=16mm\)) ?

Question 3 : Calculer la résistance à la compression simple de la section, \(N_{Rd}\)

Principe avec image animée (le concept physique)
F_c F_s N_Rd

La résistance d'un pilier court (non élancé) à un effort de compression pur est simplement la somme de la résistance du béton et de la résistance de l'acier. On multiplie l'aire de chaque matériau par sa contrainte maximale de calcul (\(f_{cd}\) ou \(f_{yd}\)) pour obtenir la force que chaque composant peut reprendre. L'addition des deux donne la résistance totale de la section.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette formule ne s'applique qu'à un poteau parfaitement centré et suffisamment trapu pour que le risque de flambement soit nul. C'est une résistance "théorique" de la section, qui sera ensuite réduite pour tenir compte des imperfections et de l'élancement dans les questions suivantes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La formule de l'Eurocode est très intuitive : \(N_{Rd} = \text{Force du béton} + \text{Force de l'acier}\). C'est la base de la compréhension du fonctionnement d'un poteau en béton armé.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de la résistance à la compression centrée est donnée dans l'Eurocode 2 (EN 1992-1-1), section 6.1, formule (6.10).

Hypothèses (le cadre du calcul)

À ce stade, on ignore tous les effets du second ordre, notamment le flambement. On considère que le poteau est parfaitement droit et la charge parfaitement centrée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance de la section en compression

\[ N_{Rd} = A_c \cdot f_{cd} + A_s \cdot f_{yd} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(A_c = 1225 \, \text{cm}^2\)
  • \(A_s = 12.57 \, \text{cm}^2\)
  • \(f_{cd} = 20 \, \text{MPa} = 2.0 \, \text{kN/cm}^2\)
  • \(f_{yd} = 434.78 \, \text{MPa} = 43.48 \, \text{kN/cm}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la résistance ultime de la section

\[ \begin{aligned} N_{Rd} &= (1225 \, \text{cm}^2 \times 2.0 \, \text{kN/cm}^2) + (12.57 \, \text{cm}^2 \times 43.48 \, \text{kN/cm}^2) \\ &= 2450 \, \text{kN} + 546.5 \, \text{kN} \\ &= 2996.5 \, \text{kN} \\ &\approx 2.997 \, \text{MN} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Théoriquement, la section peut résister à près de 3000 kN (environ 300 tonnes). On remarque que le béton reprend la majorité de l'effort (environ 82%), ce qui est son rôle principal en compression. Cette valeur est un maximum théorique qui sera réduit par le risque de flambement.

Point à retenir : La résistance d'une section de poteau à la compression simple est la somme des résistances de ses composants, l'acier et le béton.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape permet de déterminer la capacité portante maximale de la section elle-même. C'est une valeur de référence indispensable avant de considérer les effets de l'élancement du poteau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Oublier de convertir les unités. Les résistances sont en MPa (ou MN/m²) et les aires en cm². Il est crucial de travailler avec des unités cohérentes (par exemple, tout en kN et cm) pour éviter des erreurs d'un facteur 10, 100 ou 1000.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poteaux de grande hauteur ou les gratte-ciels, on utilise parfois des poteaux mixtes acier-béton. Un profilé métallique est enrobé de béton, ce qui permet d'atteindre des résistances très élevées pour une section réduite, tout en offrant une excellente protection au feu pour l'acier.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette formule est-elle valable si le poteau est aussi fléchi ?

Non. Si le poteau est soumis à la fois à une compression et à un moment de flexion (flexion composée), le calcul est beaucoup plus complexe. Il faut utiliser des diagrammes d'interaction qui montrent la relation entre l'effort normal résistant et le moment résistant.

Résultat Final : La résistance de la section en compression simple est \(N_{Rd} = 2996.5 \, \text{kN}\).

À vous de jouer : Quelle serait la résistance \(N_{Rd}\) (en kN) d'un poteau de 40x40 cm avec 8 HA 20 et les mêmes matériaux ?

Question 4 : Calculer l'élancement \(\lambda\) du pilier

Principe avec image animée (le concept physique)
Flambement

L'élancement est un nombre sans dimension qui mesure la "minceur" d'un pilier. Il compare sa longueur effective (sa longueur de flambement, \(l_0\)) à sa raideur transversale (représentée par son rayon de giration, \(i\)). Un pilier avec un grand élancement est considéré comme "élancé" et est sensible au flambement. Un pilier avec un faible élancement est "trapu" et se rompra par écrasement avant de flamber.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La longueur de flambement \(l_0\) n'est pas toujours égale à la hauteur réelle du poteau. Elle dépend de la façon dont ses extrémités sont connectées au reste de la structure. Un poteau articulé aux deux bouts (le cas le plus simple) a une longueur de flambement égale à sa hauteur réelle (\(l_0 = L\)). S'il était encastré, sa longueur de flambement serait réduite (\(l_0 = 0.5 L\)), le rendant beaucoup plus stable.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le calcul de l'élancement est l'étape qui fait le lien entre la résistance de la section (Question 3) et la résistance de l'élément structurel dans son ensemble. C'est ici que la géométrie globale du poteau entre en jeu.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de l'élancement et de la longueur de flambement est détaillé dans la section 5.8.3 de l'Eurocode 2.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le poteau est articulé en tête et en pied, donc sa longueur de flambement est égale à sa hauteur libre (\(l_0 = L\)). La structure est contreventée, ce qui signifie qu'elle ne peut pas se déplacer latéralement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Longueur de flambement

\[ l_0 = \beta \cdot L \]

Rayon de giration (section rectangulaire)

\[ i = \sqrt{\frac{I}{A}} = \frac{h}{\sqrt{12}} \]

Élancement

\[ \lambda = \frac{l_0}{i} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(L = 5.0 \, \text{m} = 500 \, \text{cm}\)
  • Poteau articulé-articulé : \(\beta = 1.0\)
  • \(h = 35 \, \text{cm}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la longueur de flambement \(l_0\)

\[ \begin{aligned} l_0 &= 1.0 \times 500 \, \text{cm} \\ &= 500 \, \text{cm} \end{aligned} \]

Calcul du rayon de giration \(i\)

\[ \begin{aligned} i &= \frac{35 \, \text{cm}}{\sqrt{12}} \\ &= \frac{35}{3.464} \\ &= 10.10 \, \text{cm} \end{aligned} \]

Calcul de l'élancement \(\lambda\)

\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{500 \, \text{cm}}{10.10 \, \text{cm}} \\ &= 49.5 \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'élancement de 49.5 est une valeur modérée. L'Eurocode 2 donne une limite \(\lambda_{lim}\) au-delà de laquelle les effets du flambement doivent être pris en compte. Pour un poteau comme celui-ci, cette limite est d'environ 25-30. Comme \(\lambda > \lambda_{lim}\), on doit considérer que le poteau est élancé et que sa résistance sera réduite par le flambement.

Point à retenir : L'élancement compare la longueur de flambement d'un poteau à sa largeur. S'il est élevé, le risque de flambement doit être pris en compte.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul de l'élancement est une étape de diagnostic. Il nous dit si nous pouvons nous contenter de la résistance de la section calculée précédemment, ou si nous devons appliquer une réduction pour tenir compte de l'instabilité géométrique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Le choix du coefficient \(\beta\) pour la longueur de flambement est critique. Une mauvaise estimation des conditions d'appui (par exemple, considérer un poteau comme encastré alors qu'il est articulé) peut conduire à une sous-estimation dangereuse de l'élancement.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La théorie du flambement a été initialement développée par le mathématicien Leonhard Euler au 18ème siècle. Sa formule, bien que basée sur un matériau élastique parfait, reste le fondement théorique des méthodes de calcul modernes pour les structures en acier et en béton.

FAQ (pour lever les doutes)
Qu'est-ce qu'un rayon de giration ?

C'est une propriété géométrique d'une section qui représente la distance à laquelle toute l'aire de la section devrait être concentrée pour obtenir le même moment d'inertie. C'est en quelque sorte une mesure de l'efficacité de la forme de la section à résister à la flexion (et donc au flambement).

Résultat Final : L'élancement du pilier est \(\lambda = 49.5\).

À vous de jouer : Quel serait l'élancement \(\lambda\) si le poteau mesurait 4m de haut ?

Question 5 : En déduire la résistance ultime au flambement, \(N_{b,Rd}\)

Principe avec image animée (le concept physique)
N_Rd N_b,Rd × ϕ (réduction)

Puisque le poteau est élancé, sa résistance réelle est inférieure à la résistance de sa section. On calcule un coefficient de réduction \(\phi\) (ou \(\chi\) dans d'autres notations) qui dépend de l'élancement et des propriétés du béton (notamment le fluage). Ce coefficient, toujours inférieur à 1, est ensuite multiplié par la résistance de la section \(N_{Rd}\) pour obtenir la résistance ultime au flambement \(N_{b,Rd}\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'Eurocode 2 propose plusieurs méthodes pour calculer les effets du second ordre. La "méthode de la courbure nominale" est l'une d'elles. Elle consiste à majorer le moment du premier ordre par un coefficient qui dépend de l'élancement. Une autre approche, la "méthode de la rigidité nominale" que nous utilisons ici de façon simplifiée, consiste à calculer un coefficient de réduction de la résistance axiale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La résistance finale au flambement est le produit de la résistance de la section par un coefficient réducteur. C'est la valeur que l'on doit comparer à l'effort normal ultime \(N_{Ed}\) appliqué au poteau pour vérifier sa sécurité.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul du coefficient de réduction est une simplification de la méthode de la rigidité nominale décrite à la section 5.8.7 de l'Eurocode 2. Les formules exactes sont plus complexes et font intervenir le fluage du béton.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise une formule simplifiée pour le coefficient de réduction, qui est une bonne approximation pour les poteaux courants en bâtiment.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Coefficient de réduction (formule simplifiée)

\[ \phi = \frac{1}{(1 + 0.2 \cdot (\frac{\lambda}{100})^2)} \]

Résistance au flambement

\[ N_{b,Rd} = \phi \cdot N_{Rd} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\lambda = 49.5\)
  • \(N_{Rd} = 2996.5 \, \text{kN}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du coefficient de réduction \(\phi\)

\[ \begin{aligned} \phi &= \frac{1}{(1 + 0.2 \times (\frac{49.5}{100})^2)} \\ &= \frac{1}{(1 + 0.2 \times 0.245)} \\ &= \frac{1}{1.049} \\ &= 0.953 \end{aligned} \]

Calcul de la résistance au flambement \(N_{b,Rd}\)

\[ \begin{aligned} N_{b,Rd} &= 0.953 \times 2996.5 \, \text{kN} \\ &= 2855.7 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effet du flambement réduit la capacité portante du poteau d'environ 5%, passant de 2997 kN à 2856 kN. Cela signifie que si l'effort appliqué \(N_{Ed}\) est supérieur à 2856 kN, le poteau n'est pas sécuritaire et il faudrait soit augmenter sa section, soit utiliser un béton de plus haute résistance.

Point à retenir : La résistance finale d'un poteau élancé est la résistance de sa section, affectée d'un coefficient réducteur dû au flambement.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

C'est l'étape conclusive de la vérification. Elle donne la charge maximale que le poteau peut supporter en conditions réelles, en tenant compte de tous les phénomènes pertinents.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreur à éviter : Oublier de prendre en compte le flambement pour un poteau élancé. Se contenter de la résistance de la section \(N_{Rd}\) est une erreur non sécuritaire.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le fluage du béton (sa déformation différée sous charge constante) a un effet important sur le flambement. Il réduit la rigidité effective du poteau sur le long terme, ce qui augmente les déformations et diminue la charge critique de flambement. C'est pourquoi le coefficient \(\phi_{ef}\) intervient dans les formules plus détaillées de l'Eurocode.

FAQ (pour lever les doutes)
La réduction de 5% semble faible. Est-ce toujours le cas ?

Non. Pour un élancement de 49.5, la réduction est modérée. Mais pour un poteau très élancé (par exemple \(\lambda = 100\)), le coefficient \(\phi\) serait d'environ 0.83, soit une perte de résistance de 17%. Pour des poteaux encore plus élancés, la perte peut être très significative.

Résultat Final : La résistance ultime au flambement du pilier est \(N_{b,Rd} = 2855.7 \, \text{kN}\).

À vous de jouer : Quelle serait la résistance \(N_{b,Rd}\) (en kN) si l'élancement était de 80 ?

Mini Fiche Mémo : Capacité d'un Pilier

Étape Formule Clé & Objectif
1. Résistances Matériaux \( f_{cd} = f_{ck} / \gamma_c \) & \( f_{yd} = f_{yk} / \gamma_s \)
Déterminer les résistances de calcul pour l'ELU.
2. Résistance de Section \( N_{Rd} = A_c f_{cd} + A_s f_{yd} \)
Calculer la portance théorique de la section en compression pure.
3. Élancement \( \lambda = l_0 / i \)
Évaluer la sensibilité du pilier au flambement.
4. Résistance au Flambement \( N_{b,Rd} = \phi \cdot N_{Rd} \)
Calculer la portance réelle du pilier en tenant compte de son élancement.

Outil Interactif : Calculateur de Pilier

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur la capacité portante.

Paramètres
5.0 m
35 cm
Résultats
Élancement \(\lambda\) -
Résistance au flambement \(N_{b,Rd}\) -

Le Saviez-Vous ?

Pour les très grandes portées, comme dans les ponts, on utilise du "béton précontraint". Avant de mettre la poutre en service, on tend des câbles d'acier à l'intérieur, ce qui la comprime. Cette compression initiale compense la traction qui apparaîtra sous l'effet des charges, permettant de franchir des distances beaucoup plus grandes avec moins de matière.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi calcule-t-on la poutre à l'ELU et pas à l'ELS ?

On calcule principalement les armatures à l'ELU pour garantir que la poutre ne se rompra pas sous des charges extrêmes (sécurité des personnes). On effectue ensuite des vérifications à l'ELS (fissuration, déformation) pour s'assurer que la poutre reste en bon état et confortable en conditions d'utilisation normales (confort des usagers).

Que se passe-t-il si on ne met pas assez d'étriers ?

Un manque d'étriers peut conduire à une rupture fragile et soudaine par effort tranchant. Des fissures inclinées apparaissent près des appuis et se propagent rapidement, menant à l'effondrement de la poutre sans signes avant-coureurs. C'est l'un des modes de rupture les plus dangereux en béton armé.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on augmente la hauteur d'un pilier (L) sans changer sa section, son élancement va :

2. Le phénomène de flambement réduit principalement la résistance d'un pilier à :

Flambement
Phénomène d'instabilité d'un élément élancé soumis à une compression axiale, qui se traduit par une flexion latérale brusque et importante pouvant mener à la ruine.
Élancement
Rapport sans dimension entre la longueur de flambement d'un poteau et son rayon de giration. Il caractérise sa sensibilité au flambement.
Rayon de Giration
Propriété géométrique d'une section qui mesure son efficacité à résister au flambement. Pour une section rectangulaire, il est proportionnel à sa hauteur.
Longueur de Flambement
Longueur d'un poteau "équivalent" articulé aux deux bouts qui aurait la même charge critique de flambement. Elle dépend des conditions de liaison aux extrémités.
Fondamentaux du Génie Civil : Capacité Portante d'un Pilier en Béton Armé

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