Calcul de la longueur de flambement effective d'un poteau à plusieurs niveaux
Contexte : Pourquoi la longueur de flambement n'est pas toujours la longueur réelle ?
Un poteau isolé et articulé à ses deux extrémités flambera sur sa longueur totale. Cependant, dans une structure réelle comme un bâtiment, les poteaux sont connectés à des poutres qui restreignent leur capacité à tourner. Cette interaction modifie la manière dont le poteau se déforme. La longueur de flambementLongueur théorique d'un poteau équivalent bi-articulé qui aurait la même charge critique de flambement que le poteau réel avec ses conditions d'appuis., notée \(L_{\text{cr}}\), est une longueur "effective" qui tient compte de cette rigidité des liaisons. Elle peut être plus courte (liaisons rigides) ou plus longue (liaisons souples) que la longueur physique du poteau. La calculer précisément est fondamental pour assurer la stabilité de la structure sans la surdimensionner.
Remarque Pédagogique : Cet exercice se concentre sur une méthode simplifiée issue de l'Eurocode 3 pour les portiques à nœuds déplaçables. Elle permet de quantifier l'interaction entre les poutres et les poteaux pour déterminer la stabilité d'un poteau au sein de l'ensemble de la structure.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre l'influence des conditions de liaison sur le flambement.
- Calculer les rigidités relatives des poutres et poteaux (\(I/L\)).
- Déterminer les coefficients de distribution \(\eta_1\) et \(\eta_2\) aux extrémités d'un poteau.
- Utiliser la formule de l'Eurocode 3 pour calculer le coefficient de longueur de flambement \(k\).
- Calculer la longueur de flambement effective \(L_{\text{cr}}\) et comprendre sa signification.
Données de l'étude
Schéma du Portique Étudié
- Poteau AB (celui étudié) : HEB 200, \(I_{\text{col,AB}} = 3692 \, \text{cm}^4\), Longueur \(L_{\text{AB}} = 4.0 \, \text{m}\).
- Poteau au-dessus de A : HEB 200, \(I_{\text{col,sup}} = 3692 \, \text{cm}^4\), Longueur \(L_{\text{sup}} = 4.0 \, \text{m}\).
- Poutre 1 (gauche de A) : IPE 240, \(I_{\text{poutre},1} = 3892 \, \text{cm}^4\), Portée \(L_{\text{p1}} = 6.0 \, \text{m}\).
- Poutre 2 (droite de A) : IPE 240, \(I_{\text{poutre},2} = 3892 \, \text{cm}^4\), Portée \(L_{\text{p2}} = 6.0 \, \text{m}\).
- Le nœud B est considéré comme une articulation parfaite sur la fondation.
Questions à traiter
- Calculer les rigidités flexionnelles (\(I/L\)) de tous les éléments arrivant aux nœuds A et B.
- Calculer les coefficients de distribution \(\eta_A\) et \(\eta_B\) pour le poteau AB.
- Déterminer le coefficient de longueur de flambement \(k\) pour le poteau AB.
- Calculer la longueur de flambement effective \(L_{\text{cr}}\) du poteau AB.
Correction : Calcul de la longueur de flambement effective d'un poteau à plusieurs niveaux
Question 1 : Calcul des rigidités flexionnelles
Principe :
La capacité d'un élément (poutre ou poteau) à s'opposer à la rotation d'un nœud dépend de sa rigidité en flexion. On la quantifie par le rapport de son inertie \(I\) sur sa longueur \(L\). Plus ce rapport est élevé, plus l'élément est "rigide" et plus il empêche le nœud de tourner.
Mini-Cours : L'Inertie et la Rigidité
L'inertie (I), ou moment quadratique, est une propriété purement géométrique d'une section. Elle décrit comment la matière est répartie par rapport à un axe. Une poutre haute (IPE) a une grande inertie autour de son axe fort car ses semelles sont éloignées de l'axe. La rigidité en flexion (EI) combine cette propriété géométrique avec la propriété du matériau (le module de Young, E). Pour le calcul des longueurs de flambement, comme tous les éléments sont en acier (même E), on peut simplifier en ne comparant que les rapports \(I/L\).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Il est crucial de convertir toutes les longueurs dans la même unité que les inerties (ici, les centimètres) pour que les calculs de rigidité soient cohérents et comparables entre eux.
Normes
Eurocode 3 (EN 1993-1-1), Annexe E : La méthode de calcul des coefficients de distribution \(\eta\) est basée sur le rapport des rigidités \(EI/L\). Comme E est constant pour tous les éléments, le rapport \(I/L\) est utilisé comme mesure directe de la rigidité relative.
Hypothèses
On suppose que tous les éléments ont un comportement élastique linéaire. On néglige l'influence de l'effort normal sur la rigidité en flexion des poutres. Les longueurs sont prises entre axes des nœuds.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Poteau AB : \(I_{\text{col,AB}} = 3692 \, \text{cm}^4\), \(L_{\text{AB}} = 400 \, \text{cm}\)
- Poteau sup. : \(I_{\text{col,sup}} = 3692 \, \text{cm}^4\), \(L_{\text{sup}} = 400 \, \text{cm}\)
- Poutre 1 & 2 : \(I_{\text{poutre}} = 3892 \, \text{cm}^4\), \(L_{\text{poutre}} = 600 \, \text{cm}\)
Calcul(s) :
1. Rigidité des poteaux :
2. Rigidité des poutres :
Réflexions
Comparer les valeurs de \(K\) nous donne une première intuition. Ici, la rigidité des poteaux (\(9.23 \, \text{cm}^3\)) est supérieure à celle des poutres (\(6.49 \, \text{cm}^3\)). On peut s'attendre à ce que les poutres n'offrent qu'un encastrement partiel et modéré au poteau.
Justifications
Le calcul des rigidités \(K = I/L\) est la première étape indispensable pour quantifier la "lutte" d'influence entre les éléments à un nœud, ce qui est l'essence même du calcul des coefficients \(\eta\).
Points de vigilance :
Inertie correcte : Assurez-vous d'utiliser l'inertie correspondant à l'axe de flambement étudié. Pour un portique plan, on étudie généralement le flambement dans le plan du portique, donc on utilise l'inertie par rapport à l'axe faible du poteau (I_y pour un HEB).
Le saviez-vous ?
Question 2 : Calcul des coefficients de distribution \(\eta\)
Principe :
Le coefficient \(\eta\) à une extrémité d'un poteau mesure la rigidité relative des poteaux par rapport à la rigidité totale de tous les éléments connectés à ce nœud. Un \(\eta\) faible (proche de 0) signifie que les poutres sont très rigides et créent un encastrement. Un \(\eta\) élevé (proche de 1) signifie que les poutres sont très souples et que la liaison se rapproche d'une articulation.
Mini-Cours : Le "Tir à la Corde" des Rigidités
Imaginez le nœud A comme un point de "tir à la corde" rotationnel. Les poteaux (au-dessus et en dessous) essaient de faire tourner le nœud, tandis que les poutres (à gauche et à droite) résistent à cette rotation. Le coefficient \(\eta_A\) représente la part de "force" des poteaux dans ce combat. Si les poteaux sont très rigides par rapport aux poutres, \(\eta_A\) sera élevé, et le nœud tournera facilement. Si les poutres sont très rigides par rapport aux poteaux, \(\eta_A\) sera faible, et le nœud sera fermement maintenu, se rapprochant d'un encastrement.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Les valeurs de \(\eta\) sont toujours comprises entre 0 (encastrement parfait, \(\sum K_{poutres} = \infty\)) et 1 (articulation parfaite, \(\sum K_{poutres} = 0\)). C'est un excellent moyen de vérifier la plausibilité de vos résultats.
Normes
Eurocode 3 (EN 1993-1-1), Annexe E : La norme définit \(\eta\) (nommé \(\alpha\) dans certaines versions plus anciennes) comme le ratio de la somme des rigidités des poteaux sur la somme des rigidités de tous les membres connectés au nœud. Pour les appuis, \(\eta = 1.0\) pour une articulation et \(\eta = 0\) pour un encastrement.
Hypothèses
On suppose que les assemblages au nœud A sont rigides et transmettent intégralement les moments. On suppose que le nœud B est une articulation parfaite, sans aucune reprise de moment.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(K_{\text{col,AB}} = 9.23 \, \text{cm}^3\)
- \(K_{\text{col,sup}} = 9.23 \, \text{cm}^3\)
- \(K_{\text{poutre},1} = 6.49 \, \text{cm}^3\)
- \(K_{\text{poutre},2} = 6.49 \, \text{cm}^3\)
- Nœud B : Articulation (\(\eta_B = 1.0\))
Calcul(s) :
1. Calcul pour le Nœud A :
2. Valeur pour le Nœud B :
Réflexions
La valeur de \(\eta_A \approx 0.6\) indique que la rigidité des poteaux représente environ 60% de la rigidité totale du nœud. Cela signifie que le nœud est moyennement retenu en rotation. Il n'est ni proche d'une articulation (\(\eta=1\)), ni d'un encastrement (\(\eta=0\)). La valeur de \(\eta_B=1\) confirme que la base du poteau est totalement libre de tourner.
Justifications
Le calcul de \(\eta_A\) inclut les 4 éléments connectés au nœud A. Pour le nœud B, l'hypothèse d'une articulation parfaite (liaison qui ne reprend aucun moment) se traduit directement par une valeur de \(\eta_B = 1.0\) selon la définition de l'Eurocode, sans qu'un calcul de rigidité soit nécessaire.
Points de vigilance :
Bien sommer tous les éléments : N'oubliez aucun élément connecté au nœud. Au nœud A, il y a bien 4 éléments qui se rejoignent : le poteau étudié, le poteau de l'étage supérieur, et les deux poutres.
Le saviez-vous ?
Visualisation du Résultat
Question 3 : Détermination du coefficient de flambement \(k\)
Principe :
Le coefficient de flambement \(k\) est un facteur qui multiplie la longueur réelle du poteau pour obtenir sa longueur effective de flambement. Il dépend directement des coefficients de distribution \(\eta\) à chaque extrémité. Pour les portiques à nœuds déplaçables (sujets à un déplacement latéral), on utilise des formules ou des abaques spécifiques.
Mini-Cours : Nœuds fixes vs. Nœuds déplaçables
La distinction est fondamentale. Un portique à nœuds fixes est contreventé : un système extérieur (murs en béton, croix de Saint-André) l'empêche de se déplacer latéralement. Les poteaux ne peuvent que se courber entre les étages (\(k \le 1\)). Un portique à nœuds déplaçables doit assurer sa propre stabilité latérale. Il est plus souple. Sous charge, l'ensemble du portique peut se "pencher". Les poteaux se déforment alors en "S" et leur longueur de flambement est beaucoup plus grande (\(k \ge 1\)), ce qui les rend beaucoup plus sensibles au flambement.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La formule utilisée ici n'est valable QUE pour les structures à nœuds déplaçables. Pour les structures contreventées (nœuds fixes), une autre formule, plus simple et donnant des valeurs de k plus faibles, doit être utilisée. L'identification du type de structure est la toute première étape de l'analyse.
Normes
Eurocode 3 (EN 1993-1-1), Annexe E.2 : La formule utilisée est une approximation analytique des abaques pour les portiques à nœuds déplaçables. Elle est reconnue pour sa bonne précision dans les cas courants.
Hypothèses
L'hypothèse principale est que la structure est bien à nœuds déplaçables. On suppose également que tous les poteaux du même étage flamberont simultanément avec la même déformée.
Formule(s) utilisée(s) :
Pour un portique à nœuds déplaçables, la formule de l'Annexe E de l'Eurocode 3 est :
Donnée(s) :
- \(\eta_1 = \eta_A = 0.587\)
- \(\eta_2 = \eta_B = 1.0\)
Calcul(s) :
Réflexions
Un coefficient \(k\) de 2.72 est très élevé. Il indique que le poteau est très peu retenu par son environnement et qu'il est très sensible au flambement. Cela suggère que la rigidité des poutres est relativement faible par rapport à celle des poteaux, et que l'articulation en pied est très pénalisante.
Justifications
Le choix de cette formule (et non celle pour les nœuds fixes) est justifié par l'énoncé qui stipule que le portique est "considéré à nœuds déplaçables". Dans un projet réel, cette hypothèse devrait être vérifiée par un calcul de la rigidité globale du système de contreventement.
Points de vigilance :
Erreurs de calcul : Cette formule est complexe et une petite erreur de signe ou de calcul sur les termes \(\eta_1\eta_2\) peut conduire à un résultat très différent, voire à une racine carrée négative, ce qui est un signe d'erreur.
Le saviez-vous ?
Question 4 : Calcul de la longueur de flambement effective
Principe :
La longueur de flambement effective \(L_{\text{cr}}\) est la longueur qu'aurait un poteau équivalent bi-articulé pour flamber sous la même charge. On l'obtient simplement en multipliant la longueur réelle (ou système) du poteau par le coefficient \(k\) précédemment déterminé.
Mini-Cours : À quoi sert \(L_{\text{cr}}\) ?
La longueur de flambement \(L_{\text{cr}}\) est la valeur clé qui est ensuite utilisée dans toutes les vérifications de stabilité. La formule de la charge critique d'Euler est \(N_{\text{cr}} = \pi^2 EI / L_{\text{cr}}^2\). En calculant \(L_{\text{cr}}\), on ramène un cas complexe (poteau dans un portique) à un cas simple (poteau bi-articulé de longueur \(L_{\text{cr}}\)) pour lequel les formules de résistance au flambement sont bien établies. Une grande longueur de flambement réduit considérablement la résistance du poteau.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Le résultat \(L_{\text{cr}} = 10.88 \, \text{m}\) est frappant. Il signifie que notre poteau de 4 mètres de haut se comporte, du point de vue de la stabilité, comme un poteau isolé de presque 11 mètres de long ! Cela montre à quel point les conditions de liaison et la déplaçabilité des nœuds sont critiques.
Normes
Eurocode 3 (EN 1993-1-1), Clause 5.2.2 : La norme définit la longueur de flambement \(L_{cr}\) comme un paramètre central pour la vérification des éléments comprimés. C'est cette valeur, et non la longueur réelle L, qui doit être utilisée pour calculer l'élancement de l'élément en vue de sa vérification au flambement.
Hypothèses
On suppose que les valeurs de \(k\) et \(L\) ont été déterminées correctement. L'exactitude de \(L_{cr}\) dépend directement de l'exactitude des étapes précédentes.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Coefficient de flambement \(k = 2.72\)
- Longueur réelle du poteau \(L = 4.0 \, \text{m}\)
Calcul(s) :
Réflexions
Un tel allongement de la longueur de flambement (\(10.88 \, \text{m}\) pour un poteau de \(4 \, \text{m}\)) a des conséquences majeures sur le dimensionnement. Le poteau sera beaucoup plus sensible au flambement et nécessitera une section transversale bien plus importante que si le portique avait été contreventé (où \(L_{cr}\) aurait été inférieure à 4 m). Cela illustre le coût structurel de l'absence de contreventement.
Justifications
Le calcul de \(L_{\text{cr}}\) est justifié par la nécessité de transformer un problème de stabilité complexe (poteau dans un cadre) en un problème de référence simple (poteau bi-articulé) pour lequel des courbes de flambement standardisées (courbes de l'Eurocode) peuvent être appliquées.
Points de vigilance :
Utiliser la bonne longueur L : La longueur \(L\) à utiliser est la longueur "système" du poteau, c'est-à-dire la distance entre les axes des nœuds (ici, 4.0 m). Ne pas la confondre avec la hauteur libre sous poutre.
Le saviez-vous ?
Outil Interactif de Calcul de \(\eta\)
Modifiez les rigidités des éléments pour voir leur influence sur les facteurs \(\eta\) et le coefficient de flambement \(k\).
Paramètres du Nœud
Résultats
Pour Aller Plus Loin : Nœuds Rigides vs. Nœuds Déplaçables
Toute la différence est dans le contreventement. Un portique est dit à "nœuds fixes" ou "contreventé" si son déplacement latéral est empêché par un système de contreventement efficace (palées de stabilité, murs de refend en béton, etc.). Dans ce cas, les poteaux flambent par "courbure simple" et leurs longueurs de flambement sont toujours inférieures à leur longueur réelle (\(k \le 1\)). Si le portique est à "nœuds déplaçables", il doit assurer sa propre stabilité latérale. Les poteaux flambent alors par "courbure double" et se déplacent latéralement, ce qui conduit à des longueurs de flambement bien plus grandes (\(k \ge 1\)), comme on l'a vu dans cet exercice. Le choix du système de contreventement est donc une décision de conception fondamentale.
Études de Cas : Applications Réelles
Étude de Cas 1 : Tour de bureaux à La Défense
Dans la conception d'une tour comme la Tour First à La Défense, la stabilité face au vent est cruciale. La structure est composée d'un noyau central en béton armé (qui contient les ascenseurs et escaliers) et d'une ossature périphérique en acier. Ce noyau est extrêmement rigide et agit comme un gigantesque système de contreventement pour tout le bâtiment. Les poteaux métalliques qui s'appuient dessus à chaque étage sont donc considérés comme faisant partie d'un système à "nœuds fixes". Leurs longueurs de flambement sont faibles (\(k < 1\)), ce qui permet d'utiliser des sections de poteaux plus optimisées et de gagner de l'espace et du poids.
Étude de Cas 2 : Hangar portique à Lens-Liévin
Pour un hangar de stockage dans le parc d'activités de Lens-Liévin, la structure est souvent un simple portique en acier sans contreventement intérieur pour maximiser l'espace. La stabilité est assurée uniquement par la rigidité des assemblages poteaux-traverses. Ce portique est un cas typique de structure à "nœuds déplaçables". Les poteaux doivent non seulement supporter les charges verticales mais aussi empêcher le bâtiment de "s'écarter". Leurs longueurs de flambement sont donc bien supérieures à leur hauteur (\(k > 2\)), ce qui impose l'utilisation de profilés beaucoup plus robustes (souvent des HEB de forte section) à la base pour assurer la stabilité de l'ensemble.
Le Saviez-Vous ?
La théorie du flambement a été initiée par le mathématicien Leonhard Euler au 18ème siècle. Il a développé la célèbre formule de la charge critique d'Euler pour un poteau bi-articulé. Les méthodes plus complexes que nous utilisons aujourd'hui, qui tiennent compte des liaisons réelles, sont des raffinements de son travail fondamental.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si le poteau n'est pas de section constante ?
Si un poteau a une inertie variable sur sa hauteur (poteau à section variable), le calcul de la rigidité \(I/L\) devient plus complexe. On ne peut plus utiliser la valeur de l'inertie directement. Il faut alors utiliser des méthodes plus avancées, souvent basées sur des intégrales ou des logiciels de calcul par éléments finis, pour déterminer une rigidité équivalente et en déduire les facteurs \(\eta\).
La formule pour \(k\) est-elle toujours valable ?
Les formules données dans les annexes de l'Eurocode 3 sont des approximations pratiques pour des cas courants. Elles ont des domaines de validité. Pour des géométries très complexes, des liaisons semi-rigides, ou lorsque des effets du second ordre deviennent très importants, les ingénieurs doivent recourir à des analyses informatiques plus poussées (analyse non-linéaire) pour déterminer le comportement au flambement de la structure.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. On remplace les poutres IPE 240 par des IPE 300 (plus rigides) au nœud A. Le coefficient \(k\) du poteau AB va :
2. Si le nœud B était un encastrement parfait au lieu d'une articulation, le coefficient \(\eta_B\) serait :
- Flambement
- Phénomène d'instabilité d'un élément comprimé qui se manifeste par une flexion latérale brutale lorsque la charge de compression atteint une valeur critique.
- Longueur de Flambement (\(L_{\text{cr}}\))
- Longueur théorique d'un poteau équivalent bi-articulé qui aurait la même charge critique de flambement que le poteau réel avec ses conditions d'appuis spécifiques.
- Coefficient de Flambement (\(k\))
- Facteur adimensionnel par lequel on multiplie la longueur réelle d'un poteau pour obtenir sa longueur de flambement. Il dépend des conditions de liaison aux extrémités.
- Coefficient de Distribution (\(\eta\))
- Rapport entre la somme des rigidités des poteaux et la somme des rigidités de tous les éléments (poteaux et poutres) connectés à un même nœud. Il caractérise le degré de rotation de la liaison.
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