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Déversement d’un Profilé IPE non Maintenu

Déversement d’un Profilé IPE non Maintenu

Déversement d’un Profilé IPE non Maintenu

Contexte : La stabilité des poutres.

Au-delà de la simple résistance à la flexion, un des défis majeurs dans la conception des structures métalliques est d'assurer la stabilité des éléments élancés. Une poutre fléchie, si elle n'est pas correctement maintenue latéralement, peut brutalement "déraper" sur le côté et se tordre. Ce phénomène, appelé déversementPhénomène d'instabilité qui affecte les poutres fléchies. La semelle comprimée de la poutre se comporte comme une colonne et flambe latéralement, entraînant une torsion de l'ensemble de la section., est une forme de flambement qui peut entraîner la ruine de la structure bien avant que l'acier n'atteigne sa limite d'élasticité. Cet exercice vous plonge au cœur de la vérification au déversement selon l'Eurocode 3.

Remarque Pédagogique : Nous allons analyser une poutre de plancher qui n'est maintenue latéralement qu'à ses extrémités. Nous calculerons sa résistance à la flexion simple, puis nous déterminerons sa résistance réelle en tenant compte du risque de déversement. Vous découvrirez comment la géométrie de la poutre et sa longueur non maintenue réduisent sa capacité portante.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le moment fléchissant de calcul (\(M_{\text{Ed}}\)) à l'ELU.
  • Déterminer le moment critique de déversementLe moment fléchissant théorique qui provoquerait l'instabilité par déversement d'une poutre parfaite. Il dépend des propriétés géométriques et des conditions d'appui. élastique (\(M_{\text{cr}}\)).
  • Calculer l'élancement réduit de déversement (\(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\)).
  • Déterminer le facteur de réduction pour le déversement (\(\chi_{\text{LT}}\)).
  • Effectuer la vérification finale de la résistance de la poutre au déversement.

Données de l'étude

On étudie une poutre principale (IPE) en acier S235, simplement appuyée à ses deux extrémités sur une portée de 8 mètres. Elle supporte des solives de plancher qui lui transmettent une charge uniformément répartie. La semelle supérieure de la poutre est considérée comme bloquée latéralement par le plancher, mais sa semelle inférieure est libre sur toute la portée. La charge est appliquée sur la semelle supérieure.

Schéma de la poutre et du phénomène de déversement
Position initiale Déformation par déversement Déplacement latéral Section IPE Flexion + Torsion Longueur de déversement, L = 8 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la poutre \(L\) 8.0 \(\text{m}\)
Charges permanentes (hors poids propre) \(G_{\text{k}}\) 5.0 \(\text{kN/m}\)
Charges d'exploitation (plancher) \(Q_{\text{k}}\) 6.0 \(\text{kN/m}\)
Nuance de l'acier - S235 -
Profilé à vérifier - IPE 300 -

Questions à traiter

  1. Calculer le moment fléchissant de calcul à l'ELU, \(M_{\text{Ed}}\).
  2. Calculer le moment critique de déversement élastique, \(M_{\text{cr}}\).
  3. Déterminer l'élancement réduit \(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\) et le facteur de réduction \(\chi_{\text{LT}}\).
  4. Vérifier la résistance au déversement de la poutre.

Les bases du déversement

Le déversement est un phénomène d'instabilité complexe. Voici les concepts clés.

1. Le Moment Critique (\(M_{\text{cr}}\)) :
C'est la charge de flexion théorique qui fait déverser une poutre parfaite. Il dépend de la rigidité de la poutre en torsion et en flexion "faible" (hors de son plan principal). Sa formule générale est complexe, mais pour une poutre sur deux appuis avec charge uniforme sur la semelle supérieure, on utilise : \[ M_{\text{cr}} = C_1 \frac{\pi^2 E I_{\text{z}}}{L^2} \left[ \sqrt{\frac{I_{\text{w}}}{I_{\text{z}}} + \frac{L^2 G I_{\text{t}}}{\pi^2 E I_{\text{z}}} + (C_2 z_{\text{g}})^2} - C_2 z_{\text{g}} \right] \] Où \(C_1\) et \(C_2\) sont des facteurs dépendant du chargement, \(z_{\text{g}}\) la position de la charge, et \(I_{\text{z}}, I_{\text{w}}, I_{\text{t}}\) les inerties de la section.

2. L'Élancement Réduit (\(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\)) :
C'est un nombre sans dimension qui compare la résistance plastique de la section à sa tendance à l'instabilité (via \(M_{\text{cr}}\)). Il nous dit si la poutre est "courte" (peu sensible au déversement) ou "élancée" (très sensible). \[ \bar{\lambda}_{\text{LT}} = \sqrt{\frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_{\text{y}}}{M_{\text{cr}}}} \] Note : On utilise \(W_{\text{pl,y}}\) pour les sections de Classe 1 ou 2.

3. Le Facteur de Réduction (\(\chi_{\text{LT}}\)) :
C'est le cœur de la vérification. Ce facteur (\(\le 1.0\)) réduit la résistance en flexion plastique de la poutre pour tenir compte de l'effet du déversement. Il est calculé à partir de l'élancement \(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\) et d'une "courbe de déversement" qui dépend de la forme du profilé. \[ \chi_{\text{LT}} = \frac{1}{\Phi_{\text{LT}} + \sqrt{\Phi_{\text{LT}}^2 - \beta \bar{\lambda}_{\text{LT}}^2}} \le 1.0 \] Où \(\Phi_{\text{LT}}\) est un paramètre intermédiaire qui inclut un facteur d'imperfection \(\alpha_{\text{LT}}\).

Correction : Déversement d’un Profilé IPE non Maintenu

Question 1 : Calculer le moment fléchissant de calcul (\(M_{\text{Ed}}\))

Principe (le concept physique)

Cette première étape est identique à un calcul de flexion classique. Nous devons déterminer la charge totale pondérée à l'ELU, en incluant le poids propre de la poutre, puis calculer le moment maximal que cette charge génère dans la poutre simplement appuyée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'État Limite Ultime (ELU) assure la sécurité de la structure contre la ruine. La combinaison d'actions \(1.35G + 1.5Q\) est une méthode semi-probabiliste qui garantit que la probabilité de défaillance est très faible, en majorant les charges permanentes (G, mieux connues) et les charges variables (Q, plus incertaines) par des coefficients de sécurité.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

N'oubliez jamais le poids propre ! C'est une erreur fréquente chez les débutants. Bien que souvent faible par rapport aux autres charges, il est toujours présent et doit être inclus dans les charges permanentes G. Pour un premier calcul, on peut l'estimer, puis l'ajuster une fois le profilé final choisi.

Normes (la référence réglementaire)

La combinaison d'actions est définie dans l'Eurocode 0 (NF EN 1990). Les formules de calcul du moment pour une poutre isostatique relèvent des principes fondamentaux de la Résistance des Matériaux (RdM), qui sont la base de tous les Eurocodes structurels.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ p_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot (G_{\text{k}} + G_{\text{pp}}) + 1.5 \cdot Q_{\text{k}} \]
\[ M_{\text{Ed}} = \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L^2}{8} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est parfaitement isostatique (appuis simples parfaits) et que les charges sont uniformément réparties sur toute la longueur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Profilé : IPE 300. D'après catalogue, son poids est de 42.2 kg/m.
  • Poids propre, \(G_{\text{pp}} = 42.2 \, \text{kg/m} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \approx 0.414 \, \text{kN/m}\)
  • Charges permanentes (hors pp), \(G_{\text{k}} = 5.0 \, \text{kN/m}\)
  • Charges d'exploitation, \(Q_{\text{k}} = 6.0 \, \text{kN/m}\)
  • Portée, \(L = 8.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour calculer le poids propre en kN/m à partir de la masse linéique en kg/m, multipliez simplement par 9.81 (ou 10 pour une approximation rapide) et divisez par 1000. C'est une conversion que vous ferez constamment.

Schéma (Avant les calculs)
Composition des charges sur la poutre
G_k=5.0Q_k=6.0G_pp=0.414++M_Ed?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la charge de calcul ELU :

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= 1.35 \cdot (5.0 + 0.414) + 1.5 \cdot 6.0 \\ &= 1.35 \cdot 5.414 + 1.5 \cdot 6.0 \\ &= 7.31 + 9.0 \\ &= 16.31 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Calcul du moment fléchissant maximal :

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= \frac{16.31 \, \text{kN/m} \cdot (8.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= 16.31 \cdot 8.0 \\ &= 130.48 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (ELU)
M_Ed,max = 130.48 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ce moment de 130.48 kN·m représente la "demande" ou la "sollicitation" que la structure impose à la poutre. C'est la valeur que nous devrons comparer à la "capacité" ou "résistance" de la poutre au déversement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus courante est d'oublier de mettre la portée L au carré dans la formule du moment. Une simple vérification dimensionnelle peut éviter cette erreur : \((\text{kN/m}) \times \text{m}^2 = \text{kN} \cdot \text{m}\), ce qui est bien l'unité d'un moment.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Toujours inclure le poids propre dans les charges permanentes.
  • Appliquer les coefficients de sécurité ELU : 1.35 pour G et 1.5 pour Q.
  • La formule du moment maximal pour une charge répartie est \(pL^2/8\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les dalles en béton portant sur des poutres, une partie du poids du béton peut être considérée comme une charge d'exploitation (charge de chantier) pendant la construction, avant de devenir une charge permanente une fois le béton durci. La gestion des phases de construction est un aspect important du calcul de structure.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le poids propre est-il une charge permanente ?

Par définition, une charge permanente est une charge qui s'applique de manière continue et avec peu de variation durant toute la vie de l'ouvrage. Le poids des éléments de structure en est l'exemple parfait.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment fléchissant de calcul est \(M_{\text{Ed}} = 130.48 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge d'exploitation \(Q_{\text{k}}\) était de 8.0 kN/m, quel serait le nouveau moment \(M_{\text{Ed}}\) en kN·m ?

Question 2 : Calculer le moment critique de déversement (\(M_{\text{cr}}\))

Principe (le concept physique)

Le \(M_{\text{cr}}\) est une valeur théorique qui représente la capacité d'une poutre "parfaite" à résister au déversement. Plus ce moment est élevé, plus la poutre est stable. Il dépend crucialement de la longueur non maintenue et des rigidités de la section en flexion latérale (\(I_{\text{z}}\)) et en torsion (\(I_{\text{t}}, I_{\text{w}}\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule du \(M_{\text{cr}}\) combine plusieurs types de rigidité. \(E I_{\text{z}}\) est la rigidité de flexion latérale (comme si la poutre était couchée). \(G I_{\text{t}}\) est la rigidité de torsion pure (torsion de Saint-Venant). \(E I_{\text{w}}\) est la rigidité de gauchissement, qui représente la capacité des semelles à résister à la torsion en fléchissant. Pour les profilés I, cette dernière est très importante.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Considérez le \(M_{\text{cr}}\) comme un score de stabilité. Ce n'est pas une contrainte ou une résistance réelle, mais un indicateur de la tendance de la poutre à devenir instable. Nous comparerons ensuite la "résistance plastique" de la poutre à ce "score de stabilité" pour évaluer sa performance réelle.

Normes (la référence réglementaire)

Les formules pour le calcul du \(M_{\text{cr}}\) sont données dans les annexes de l'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-1). Les facteurs \(C_1\) et \(C_2\) dépendent de la forme du diagramme de moment et du point d'application de la charge. Pour une charge répartie sur la semelle supérieure, on prend généralement \(C_1 = 1.127\) et \(C_2 = 0.454\).

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ M_{\text{cr}} = C_1 \frac{\pi^2 E I_{\text{z}}}{L^2} \left[ \sqrt{\frac{I_{\text{w}}}{I_{\text{z}}} + \frac{L^2 G I_{\text{t}}}{\pi^2 E I_{\text{z}}} + (C_2 z_{\text{g}})^2} - C_2 z_{\text{g}} \right] \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère des appuis "fourche" aux extrémités, ce qui signifie que la rotation selon l'axe de la poutre est bloquée, mais que les semelles sont libres de se "gauchir". C'est l'hypothèse standard pour une poutre simplement appuyée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pour un IPE 300 :

  • Module de Young, \(E = 210000 \, \text{MPa}\)
  • Module de Coulomb, \(G = \frac{E}{2(1+\nu)} \approx 80770 \, \text{MPa}\)
  • Inertie faible, \(I_{\text{z}} = 604 \, \text{cm}^4\)
  • Constante de torsion, \(I_{\text{t}} = 20.1 \, \text{cm}^4\)
  • Constante de gauchissement, \(I_{\text{w}} = 125900 \, \text{cm}^6\)
  • Hauteur, \(h = 300 \, \text{mm}\)
  • Position de la charge (semelle sup.), \(z_{\text{g}} = +h/2 = +150 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La cohérence des unités est critique ici. Le plus simple est de tout convertir en N et mm. Attention, \(L = 8000 \, \text{mm}\), \(I_{\text{z}} = 604 \times 10^4 \, \text{mm}^4\), \(I_{\text{t}} = 20.1 \times 10^4 \, \text{mm}^4\), \(I_{\text{w}} = 125900 \times 10^6 \, \text{mm}^6\). Le résultat sera en N·mm, qu'il faudra reconvertir en kN·m.

Schéma (Avant les calculs)
Rigidités de la section IPE
Torsion (G.It)Flexion latérale (E.Iz)M_cr = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} M_{\text{cr}} &= C_1 \frac{\pi^2 E I_{\text{z}}}{L^2} \left[ \sqrt{\frac{I_{\text{w}}}{I_{\text{z}}} + \frac{L^2 G I_{\text{t}}}{\pi^2 E I_{\text{z}}} + (C_2 z_{\text{g}})^2} - C_2 z_{\text{g}} \right] \\ &= 1.127 \frac{\pi^2 \cdot 210000 \cdot (6.04 \cdot 10^6)}{8000^2} \left[ \sqrt{\frac{1.259 \cdot 10^{11}}{6.04 \cdot 10^6} + \frac{8000^2 \cdot 80770 \cdot (2.01 \cdot 10^5)}{\pi^2 \cdot 210000 \cdot (6.04 \cdot 10^6)} + (0.454 \cdot 150)^2} - (0.454 \cdot 150) \right] \\ &= 2.195 \times 10^5 \left[ \sqrt{20844 + 82824 + 4636} - 68.1 \right] \\ &= 2.195 \times 10^5 \left[ \sqrt{108304} - 68.1 \right] \\ &= 2.195 \times 10^5 \left[ 329.1 - 68.1 \right] \\ &= 2.195 \times 10^5 \cdot (261) \\ &= 5.73 \times 10^7 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 573 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Influence de la longueur sur le Moment Critique
L=8m, M_cr=573 kNmLongueur de déversement L (m)M_cr (kNm)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moment critique (573 kN·m) est bien plus élevé que le moment appliqué (130.48 kN·m). Cela ne signifie pas que la poutre est sûre. Cela indique simplement que la poutre ne déversera pas dans le domaine purement élastique. La vérification doit se poursuivre pour évaluer le déversement dans le domaine "inélastique".

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La formule du \(M_{\text{cr}}\) est très sensible à la valeur de L (au dénominateur au carré). Une petite erreur sur la longueur de déversement peut avoir un impact énorme sur le résultat. Assurez-vous de toujours identifier correctement la distance entre les points de maintien latéral.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • \(M_{\text{cr}}\) est un indicateur de la stabilité élastique de la poutre.
  • Il dépend des rigidités (\(I_{\text{z}}, I_{\text{t}}, I_{\text{w}}\)) et de la longueur de déversement L.
  • L'application de la charge sur la semelle supérieure est défavorable et réduit le \(M_{\text{cr}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Des logiciels d'analyse par éléments finis peuvent calculer le \(M_{\text{cr}}\) pour des géométries et des chargements beaucoup plus complexes, en résolvant un problème de "valeurs propres" qui détermine la charge pour laquelle la structure devient instable.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la formule est-elle si compliquée ?

Elle résulte de la résolution d'une équation différentielle complexe qui décrit l'équilibre d'une poutre en flexion et en torsion simultanément. Chaque terme représente une contribution à la rigidité (flexion latérale, torsion, gauchissement) qui s'oppose à l'instabilité.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment critique de déversement est \(M_{\text{cr}} = 573 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Sans faire le calcul complet, si la portée L était doublée (16 m), par quel facteur le \(M_{\text{cr}}\) serait-il approximativement divisé ?

Question 3 : Déterminer l'élancement \(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\) et le facteur de réduction \(\chi_{\text{LT}}\)

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous avons le moment de sollicitation (\(M_{\text{Ed}}\)) et le moment critique (\(M_{\text{cr}}\)), nous pouvons évaluer à quel point la poutre est "élancée" vis-à-vis du déversement. Cette évaluation passe par le calcul de l'élancement réduit \(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\). À partir de cette valeur, et en utilisant une courbe de flambement standardisée qui modélise les imperfections réelles des poutres, on obtient le facteur \(\chi_{\text{LT}}\) qui va "pénaliser" la résistance de la poutre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les "courbes de déversement" (a, b, c, d) sont issues de nombreux essais en laboratoire et de simulations numériques. Elles tiennent compte des imperfections inévitables dans une vraie poutre : défauts de géométrie, contraintes résiduelles dues au laminage à chaud, etc. Ces imperfections réduisent la capacité réelle de la poutre par rapport à la théorie. Le facteur \(\alpha_{\text{LT}}\) quantifie l'intensité de ces imperfections pour un type de profilé donné.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'élancement réduit \(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\) est le paramètre clé qui relie la résistance de la matière (\(W \cdot f_y\)) à la stabilité de la forme (\(M_{\text{cr}}\)). Si \(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\) est faible (disons < 0.4), la poutre est "trapue" et le déversement n'est pas un problème. Si \(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\) est élevé (disons > 1.2), la poutre est "élancée" et sa résistance sera fortement réduite.

Normes (la référence réglementaire)

Selon l'Eurocode 3, pour un profilé laminé IPE avec \(h/b = 300/150 = 2 > 1.2\), on utilise la courbe de déversement 'b'. Cela nous donne un facteur d'imperfection \(\alpha_{\text{LT}} = 0.34\). Le paramètre \(\beta\) est généralement pris égal à 0.75 dans la formule de \(\chi_{\text{LT}}\).

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \bar{\lambda}_{\text{LT}} = \sqrt{\frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_{\text{y}}}{M_{\text{cr}}}} \]
\[ \Phi_{\text{LT}} = 0.5 \left[ 1 + \alpha_{\text{LT}}(\bar{\lambda}_{\text{LT}} - 0.2) + \bar{\lambda}_{\text{LT}}^2 \right] \]
\[ \chi_{\text{LT}} = \frac{1}{\Phi_{\text{LT}} + \sqrt{\Phi_{\text{LT}}^2 - \beta \bar{\lambda}_{\text{LT}}^2}} \le 1.0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le profilé est de Classe 1, ce qui nous autorise à utiliser son module de section plastique \(W_{\text{pl,y}}\). C'est le cas pour la quasi-totalité des profilés IPE en acier S235.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pour un IPE 300 (Classe 1) :

  • Module de section plastique, \(W_{\text{pl,y}} = 628.4 \, \text{cm}^3 = 628400 \, \text{mm}^3\)
  • Limite d'élasticité, \(f_{\text{y}} = 235 \, \text{MPa}\)
  • Moment critique, \(M_{\text{cr}} = 573 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Facteur d'imperfection, \(\alpha_{\text{LT}} = 0.34\)
  • Paramètre de courbe, \(\beta = 0.75\)
Astuces(Pour aller plus vite)

L'Eurocode 3 fournit des tableaux qui donnent directement la valeur de \(\chi_{\text{LT}}\) en fonction de \(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\) et de la courbe de déversement. Dans la pratique, on utilise rarement la formule manuellement, mais il est essentiel de la comprendre pour savoir ce que fait le logiciel.

Schéma (Avant les calculs)
Positionnement sur les courbes de déversement
Courbe 'b'Courbe 'a'Courbe 'c'λ_LT = 0.507χ_LT = ?Élancement réduit λ_LTFacteur de réduction χ_LT
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'élancement réduit :

\[ \begin{aligned} \bar{\lambda}_{\text{LT}} &= \sqrt{\frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_{\text{y}}}{M_{\text{cr}}}} \\ &= \sqrt{\frac{628400 \cdot 235}{5.73 \times 10^8}} \\ &= \sqrt{0.257} = 0.507 \end{aligned} \]

2. Calcul du paramètre intermédiaire \(\Phi_{\text{LT}}\) :

\[ \begin{aligned} \Phi_{\text{LT}} &= 0.5 \left[ 1 + \alpha_{\text{LT}}(\bar{\lambda}_{\text{LT}} - 0.2) + \bar{\lambda}_{\text{LT}}^2 \right] \\ &= 0.5 \left[ 1 + 0.34(0.507 - 0.2) + 0.507^2 \right] \\ &= 0.5 \left[ 1 + 0.104 + 0.257 \right] \\ &= 0.681 \end{aligned} \]

3. Calcul du facteur de réduction \(\chi_{\text{LT}}\) :

\[ \begin{aligned} \chi_{\text{LT}} &= \frac{1}{\Phi_{\text{LT}} + \sqrt{\Phi_{\text{LT}}^2 - \beta \bar{\lambda}_{\text{LT}}^2}} \\ &= \frac{1}{0.681 + \sqrt{0.681^2 - 0.75 \cdot 0.507^2}} \\ &= \frac{1}{0.681 + \sqrt{0.464 - 0.193}} \\ &= \frac{1}{0.681 + \sqrt{0.271}} \\ &= \frac{1}{0.681 + 0.520} \\ &= 0.832 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Perte de résistance due à l'instabilité
Résistance Plastique Totale83.2%Résistance utile16.8%Perte
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un facteur de réduction de 0.832 signifie que la poutre a perdu environ 17% de sa capacité de charge en flexion à cause du risque de déversement. C'est une réduction non négligeable qui doit absolument être prise en compte.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Choisir la mauvaise courbe de déversement (et donc le mauvais \(\alpha_{\text{LT}}\)) est une erreur critique. Vérifiez toujours le ratio h/b et le type de profilé (laminé ou soudé) pour sélectionner la bonne courbe dans les tableaux de l'Eurocode 3.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'élancement réduit \(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\) compare la résistance à l'instabilité.
  • Le facteur \(\chi_{\text{LT}}\) est déterminé à partir de \(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\) et d'une courbe de déversement.
  • \(\chi_{\text{LT}}\) représente le pourcentage de la résistance plastique que l'on peut réellement utiliser.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les profilés en caisson (tubes rectangulaires), la rigidité en torsion est si élevée que le déversement n'est quasiment jamais un problème. C'est pourquoi ils sont souvent utilisés pour les poutres de grande portée sans maintien latéral, malgré un coût matière plus élevé.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si \(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\) est inférieur à 0.2 ?

Selon l'Eurocode 3, si \(\bar{\lambda}_{\text{LT}} \le 0.2\), la poutre est considérée comme insensible au déversement. On peut alors prendre \(\chi_{\text{LT}} = 1.0\) et aucune réduction de résistance n'est nécessaire.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'élancement réduit est \(\bar{\lambda}_{\text{LT}} = 0.507\) et le facteur de réduction est \(\chi_{\text{LT}} = 0.832\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si une poutre très élancée avait un \(\bar{\lambda}_{\text{LT}} = 1.5\) (avec \(\alpha_{\text{LT}}=0.34, \beta=0.75\)), quel serait son \(\chi_{\text{LT}}\) ?

Question 4 : Vérifier la résistance au déversement

Principe (le concept physique)

C'est la vérification finale. On compare le moment appliqué (\(M_{\text{Ed}}\)) à la résistance ultime de la poutre en tenant compte du déversement (\(M_{\text{b,Rd}}\)). Cette résistance est simplement la résistance plastique en flexion, réduite par le facteur \(\chi_{\text{LT}}\) que nous venons de calculer. La sécurité est assurée si la sollicitation est inférieure à la résistance.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La vérification finale \(M_{\text{Ed}} \le M_{\text{b,Rd}}\) est l'aboutissement de la philosophie des états limites. \(M_{\text{Ed}}\) représente la demande sur la structure, calculée avec des charges majorées pour garantir un faible risque de surcharge. \(M_{\text{b,Rd}}\) représente la capacité de la structure, calculée avec des résistances de matériaux minorées et des facteurs de réduction pour instabilité, garantissant un faible risque de sous-résistance.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Un ratio de 1.06 est un échec clair. Dans un projet réel, un ingénieur ne validerait pas cette poutre. Le dépassement de 6% n'est pas négligeable. La seule solution est de revoir la conception : soit un profilé plus grand, soit un maintien latéral supplémentaire.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification est définie par la clause 6.3.2.1 de l'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-1). Un coefficient partiel de sécurité \(\gamma_{\text{M1}} = 1.0\) est appliqué pour les vérifications d'instabilité comme le déversement. Ce coefficient peut être modifié par les Annexes Nationales de chaque pays.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Calcul du moment résistant au déversement :

\[ M_{\text{b,Rd}} = \chi_{\text{LT}} \frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M1}}} \]

2. Vérification :

\[ \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{\text{b,Rd}}} \le 1.0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous faisons l'hypothèse que les vérifications de résistance de section (flexion simple, cisaillement) et de service (flèche) ont été faites et sont satisfaisantes. La vérification au déversement est souvent la plus pénalisante pour les poutres non maintenues.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de calcul, \(M_{\text{Ed}} = 130.48 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Facteur de réduction, \(\chi_{\text{LT}} = 0.832\)
  • Module plastique, \(W_{\text{pl,y}} = 628.4 \, \text{cm}^3\)
  • Limite d'élasticité, \(f_{\text{y}} = 235 \, \text{MPa}\)
  • Coefficient de sécurité, \(\gamma_{\text{M1}} = 1.0\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut directement calculer la résistance plastique \(M_{\text{pl,Rd}} = W_{\text{pl,y}} f_{\text{y}} / \gamma_{\text{M0}}\) (ici 147.7 kNm) puis la multiplier par \(\chi_{\text{LT}}\). Cela permet de voir clairement la "perte" de résistance due à l'instabilité.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison : Demande vs Capacité
Demande: M_EdCapacité: M_b,Rd≤La condition à vérifier
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la résistance :

\[ \begin{aligned} M_{\text{b,Rd}} &= \chi_{\text{LT}} \frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M1}}} \\ &= 0.832 \cdot \frac{628400 \cdot 235}{1.0} \\ &= 1.228 \times 10^8 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 122.8 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

2. Vérification du ratio de travail :

\[ \begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{\text{b,Rd}}} = \frac{130.48 \, \text{kN} \cdot \text{m}}{122.8 \, \text{kN} \cdot \text{m}} \\ &= 1.06 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification Finale au Déversement
Sollicitation M_Ed = 130.5 kNmRésistance M_b,Rd = 122.8 kNmNON CONFORME ❌
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La poutre ne passe pas la vérification. Le dépassement de 6% est significatif et inacceptable. L'ingénieur doit donc soit choisir un profilé supérieur (un IPE 330), soit trouver un moyen de maintenir latéralement la semelle inférieure à mi-portée, ce qui réduirait la longueur de déversement et augmenterait considérablement la résistance.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais comparer le moment de calcul \(M_{\text{Ed}}\) à la résistance plastique de la section (\(M_{\text{pl,Rd}}\)) sans avoir d'abord vérifié le risque de déversement. Pour une poutre non maintenue, la résistance réelle peut être bien inférieure à la résistance plastique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance au déversement est la résistance plastique réduite par le facteur \(\chi_{\text{LT}}\).
  • La vérification finale est une comparaison simple : \(M_{\text{Ed}} \le M_{\text{b,Rd}}\).
  • Si le ratio est > 1.0, la conception n'est pas sûre et doit être modifiée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les ponts métalliques, on utilise souvent des "bracons" ou des "entretoises" entre les poutres principales. Leur rôle n'est pas seulement de supporter le tablier, mais surtout de fournir le maintien latéral essentiel pour empêcher le déversement des poutres maîtresses sur de très grandes portées.

FAQ (pour lever les doutes)
Quelles sont les solutions si la vérification ne passe pas ?

Les options sont : 1) Augmenter la taille du profilé (ex: IPE 330). 2) Réduire la longueur de déversement en ajoutant un maintien latéral (ex: une entretoise à mi-portée). 3) Utiliser un acier de plus haute nuance (ex: S355). 4) Utiliser un profilé plus stable (ex: HEB ou un caisson).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La poutre IPE 300 n'est pas validée car \(M_{\text{Ed}} = 130.48 \, \text{kNm}\) est supérieur à \(M_{\text{b,Rd}} = 122.8 \, \text{kNm}\) (Ratio = 1.06).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la charge d'exploitation maximale \(Q_{\text{k}}\) (en kN/m) que cette poutre IPE 300 pourrait supporter en respectant juste la limite (\(M_{\text{Ed}} = M_{\text{b,Rd}}\)) ?

Outil Interactif : Stabilité au Déversement

Variez la portée et le profilé pour voir l'impact sur la résistance au déversement.

Paramètres d'Entrée
8.0 m
6.0 kN/m
Résultats Clés
Moment Critique (M_cr) (kNm) -
Facteur Réduction (\(\chi_{LT}\)) -
Ratio Déversement (M_Ed/M_b,Rd) -

Le Saviez-Vous ?

Le pont de Québec, au Canada, s'est effondré deux fois durant sa construction au début du 20ème siècle. La première catastrophe en 1907 fut causée par un mauvais calcul du flambement des membrures comprimées de la poutre en porte-à-faux, une erreur conceptuellement proche du déversement. Cet événement a marqué un tournant dans l'ingénierie, soulignant l'importance capitale de la vérification de la stabilité des structures.

Foire Aux Questions (FAQ)

Et si la charge était appliquée sur la semelle inférieure ?

Si la charge est appliquée sur la semelle inférieure (\(z_{\text{g}} = -h/2\)), elle a un effet stabilisateur. Le calcul du \(M_{\text{cr}}\) donnerait une valeur plus élevée, ce qui conduirait à un facteur de réduction \(\chi_{\text{LT}}\) plus favorable (plus proche de 1) et donc à une meilleure résistance au déversement. C'est pourquoi, lorsque c'est possible, on préfère suspendre les charges plutôt que de les poser sur le dessus d'une poutre non maintenue.

Qu'est-ce que la constante de gauchissement (\(I_{\text{w}}\)) ?

C'est une propriété de section qui mesure sa capacité à résister à la déformation par "gauchissement" lors de la torsion. Pour un profilé en I, les semelles s'opposent à la torsion en se fléchissant dans des directions opposées. Cette flexion des semelles est ce que la constante de gauchissement quantifie. Elle est très importante pour les profilés ouverts comme les IPE, mais négligeable pour les profilés fermés (tubes) qui sont très rigides en torsion.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel paramètre a le plus d'influence sur la réduction de la résistance due au déversement ?

2. Pour améliorer la résistance au déversement d'une poutre existante, la solution la plus efficace est de :

Déversement
Phénomène d'instabilité par flambement latéral-torsionnel qui affecte une poutre soumise à la flexion. La semelle comprimée flambe latéralement, entraînant avec elle le reste de la section dans un mouvement de torsion.
Moment Critique de Déversement (\(M_{\text{cr}}\))
Valeur théorique du moment fléchissant qui amorce le déversement dans une poutre élastique parfaite. C'est une mesure de la rigidité intrinsèque de la poutre face à cette instabilité.
Élancement Réduit (\(\bar{\lambda}_{\text{LT}}\))
Paramètre adimensionnel qui quantifie la sensibilité d'une poutre au déversement en comparant sa résistance plastique à son moment critique.
Déversement d’un Profilé IPE non Maintenu

D’autres exercices de Structure Métallique:

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