Calcul de Stabilité d'une Grue de Chantier

Comprendre le Calcul de Stabilité d'une Grue

Une grue à tour est installée sur un chantier pour la construction d'un bâtiment. Il est crucial de vérifier sa stabilité au renversement, notamment sous l'effet du vent et lors du levage de la charge maximale à la portée maximale. La grue repose sur un massif de fondation en béton.

Données

Grue :
- Hauteur sous crochet (\(H\)) : 30 \(\text{m}\)
- Portée maximale de la flèche (\(L_{fleche}\)) : 40 \(\text{m}\)
- Portée de la contre-flèche (\(L_{cf}\)) : 15 \(\text{m}\)
- Poids de la structure de la grue (mât + flèche + contre-flèche) (\(P_{grue}\)) : 250 \(\text{kN}\) (appliqué au centre du mât)
- Poids du contrepoids (\(P_{cw}\)) : 80 \(\text{kN}\) (appliqué à l'extrémité de la contre-flèche)
- Charge maximale levée à portée maximale (\(P_{charge}\)) : 15 \(\text{kN}\)
- Surface du mât exposée au vent (par face) : 1.2 \(\text{m}^2/\text{m}\) de hauteur
Fondation :
- Massif en béton carré : 5 \(\text{m}\) x 5 \(\text{m}\)
- Épaisseur du massif : 1.5 \(\text{m}\)
- Poids volumique du béton : \(\gamma_{béton} = 25 \, \text{kN/m}^3\)
Conditions de Vent (simplifié) :
- Pression dynamique du vent (\(q_{vent}\)) : 0.7 \(\text{kPa}\)
- Coefficient de forme (\(C_f\)) pour le mât : 1.8
Sol :
- Capacité portante admissible (\(q_{sol,adm}\)) : 200 \(\text{kPa}\)
Facteur de Sécurité Requis :
- Contre le renversement : \(FS_{renv} = 1.5\)
- Pour la pression au sol : \(FS_{sol} = 1.0\) (car on compare à \(q_{sol,adm}\))

Schéma Simplifié de la Grue

Questions

Calculer le poids total de la fondation en béton.
Calculer la force résultante due au vent sur le mât de la grue.
Calculer le moment de renversement (\(M_{renv}\)) maximal (dû à la charge levée et au vent) par rapport au coin de la fondation.
Calculer le moment stabilisant (\(M_{stab}\)) (dû au poids propre de la grue, du contrepoids et de la fondation) par rapport au même coin.
Vérifier la stabilité au renversement (\(FS_{renv}\)).
Calculer la contrainte maximale exercée par la fondation sur le sol et vérifier la stabilité vis-à-vis de la capacité portante.

Correction : Calcul de Stabilité d'une Grue de Chantier

Question 1 : Calcul du Poids Total de la Fondation (\(P_{fond}\))

Principe :

Le poids de la fondation est son volume multiplié par le poids volumique du béton.

Données :

Dimensions : 5 m x 5 m
Épaisseur : 1.5 m
\(\gamma_{\text{béton}} = 25 \, \text{kN/m}^3\)

Calcul :

V_{\text{fond}} = 5 \, \text{m} \times 5 \, \text{m} \times 1.5 \, \text{m} \] \[ V_{\text{fond}} = 37.5 \, \text{m}^3

P_{\text{fond}} = V_{\text{fond}} \times \gamma_{\text{béton}} \] \[ P_{\text{fond}} = 37.5 \, \text{m}^3 \times 25 \, \text{kN/m}^3 \] \[ P_{\text{fond}} = 937.5 \, \text{kN}

Résultat Question 1 : Le poids total de la fondation est \(P_{\text{fond}} = 937.5 \, \text{kN}\).

Question 2 : Calcul de la Force Résultante du Vent (\(F_{vent}\))

Principe :

La force du vent sur le mât est la pression dynamique du vent multipliée par la surface exposée et par un coefficient de forme.

Calcul de la Surface Exposée du Mât (\(A_{vent}\)) :

Surface par mètre linéaire : 1.2 \(\text{m}^2/\text{m}\)
Hauteur du mât (approximée à la hauteur sous crochet) : \(H = 30 \, \text{m}\)

A_{\text{vent}} = 1.2 \, \text{m}^2/\text{m} \times 30 \, \text{m} \] \[ A_{\text{vent}} = 36 \, \text{m}^2

Calcul de la Force du Vent :

\(q_{\text{vent}} = 0.7 \, \text{kPa} = 0.7 \, \text{kN/m}^2\)
\(A_{\text{vent}} = 36 \, \text{m}^2\)
\(C_f = 1.8\)

F_{\text{vent}} = q_{\text{vent}} \times A_{\text{vent}} \times C_f \] \[ F_{\text{vent}} = 0.7 \, \text{kN/m}^2 \times 36 \, \text{m}^2 \times 1.8 \] \[ F_{\text{vent}} = 45.36 \, \text{kN}

On suppose que cette force résultante s'applique au milieu de la hauteur du mât, soit à \(H/2 = 15 \, \text{m}\) au-dessus de la fondation.

Résultat Question 2 : La force résultante due au vent sur le mât est \(F_{\text{vent}} \approx 45.4 \, \text{kN}\).

Question 3 : Calcul du Moment de Renversement (\(M_{\text{renv}}\))

Principe :

Le moment de renversement est la somme des moments des forces qui tendent à faire basculer la grue autour du coin de la fondation (point le plus critique). Ces forces sont la charge levée et la force du vent.

Le point de rotation est le coin aval de la fondation (côté flèche). Les distances sont mesurées horizontalement par rapport à ce point.

Bras de Levier :

Charge levée (\(P_{\text{charge}}\)) : Distance = Portée max + Moitié base fondation = \(40 \, \text{m} + 5/2 \, \text{m} = 42.5 \, \text{m}\)
Force du vent (\(F_{\text{vent}}\)) : Hauteur d'application = \(H/2 = 15 \, \text{m}\) (bras de levier vertical)

Calcul du Moment de Renversement :

M_{\text{renv}} = (P_{\text{charge}} \times \text{Bras de levier charge}) + (F_{\text{vent}} \times \text{Bras de levier vent}) \] \[ M_{\text{renv}} = (15 \, \text{kN} \times 42.5 \, \text{m}) + (45.4 \, \text{kN} \times 15 \, \text{m}) \] \[ M_{\text{renv}} = 637.5 + 681 \] \[ M_{\text{renv}} \approx 1318.5 \, \text{kN} \cdot \text{m}

Résultat Question 3 : Le moment de renversement maximal est \(M_{\text{renv}} \approx 1319 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 4 : Calcul du Moment Stabilisant (\(M_{\text{stab}}\))

Principe :

Le moment stabilisant est la somme des moments des forces qui s'opposent au renversement, calculés par rapport au même point (coin aval de la fondation). Ces forces sont les poids propres (grue, contrepoids, fondation).

Bras de Levier :

Poids grue (\(P_{grue}\)) : Appliqué au centre du mât/fondation. Bras de levier = Moitié base fondation = \(5/2 = 2.5 \, \text{m}\)
Contrepoids (\(P_{cw}\)) : Distance = Portée contre-flèche - Moitié base fondation = \(15 \, \text{m} - 5/2 \, \text{m} = 12.5 \, \text{m}\) (agit de l'autre côté du point de rotation)
Poids fondation (\(P_{fond}\)) : Appliqué au centre de la fondation. Bras de levier = Moitié base fondation = \(5/2 = 2.5 \, \text{m}\)

Calcul du Moment Stabilisant :

M_{\text{stab}} = (P_{grue} \times 2.5) + (P_{cw} \times (L_{cf} + 2.5)) + (P_{fond} \times 2.5)

Correction : Le contrepoids et le poids de la grue/fondation agissent de part et d'autre de l'axe de rotation. Le bras de levier du contrepoids est \(L_{cf} - (5/2)\) si le mât est centré, mais ici on prend le moment par rapport au coin aval. Distance du mât au coin aval = 2.5m. Distance du CW au mât = 15m. Distance du CW au coin aval = \(15 + 2.5 = 17.5 \, \text{m}\).

M_{\text{stab}} = (P_{grue} \times 2.5) + (P_{cw} \times (15 + 2.5)) + (P_{fond} \times 2.5) \] \[ M_{\text{stab}} = (250 \times 2.5) + (80 \times 17.5) + (937.5 \times 2.5) \] \[ M_{\text{stab}} = 625 + 1400 + 2343.75 \] \[ M_{\text{stab}} \approx 4368.75 \, \text{kN} \cdot \text{m}

Résultat Question 4 : Le moment stabilisant est \(M_{\text{stab}} \approx 4369 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Question 5 : Vérification de la Stabilité au Renversement (\(FS_{renv}\))

Formule :

FS_{renv} = \frac{M_{\text{stab}}}{M_{\text{renv}}}

Calcul :

FS_{renv} = \frac{4369}{1319} \approx 3.31

Vérification :

\(FS_{calculé} \approx 3.31\)
\(FS_{requis} = 1.5\)

FS_{calculé} \approx 3.31 \ge FS_{requis} = 1.5 \quad (\text{OK})

Résultat Question 5 : La grue est stable au renversement (\(FS \approx 3.3\)).

Question 6 : Vérification de la Pression au Sol

Principe :

La fondation transmet au sol une charge verticale (\(P_{total}\)) et un moment résultant (\(M_{res} = M_{renv} - M_{stab}\) ou plutôt le moment net par rapport au centre). La pression sous la fondation n'est pas uniforme. La pression maximale (\(q_{max}\)) se produit au coin le plus chargé et doit être inférieure à la capacité portante admissible (\(q_{sol,adm}\)).

Formule de la contrainte sous fondation excentrée (section rectangulaire BxL) :

q_{max/min} = \frac{P_{total}}{A_{fond}} \pm \frac{M_{net}}{W_{fond}}

Où \(P_{total}\) est la somme des poids verticaux, \(A_{fond}\) l'aire de la fondation, \(M_{net}\) le moment résultant au centre de la fondation, et \(W_{fond}\) le module d'inertie de la fondation (\(B L^2 / 6\) ou \(L B^2 / 6\) selon l'axe de rotation).

Calculs Préliminaires :

P_{total} = P_{grue} + P_{cw} + P_{fond} + P_{charge} \] \[ P_{total} = 250 + 80 + 937.5 + 15 \] \[ P_{total} = 1282.5 \, \text{kN}

A_{fond} = 5 \, \text{m} \times 5 \, \text{m} \] \[ A_{fond} = 25 \, \text{m}^2

Moment net par rapport au centre de la fondation :

M_{net} = (P_{charge} \times (L_{fleche})) - (P_{cw} \times L_{cf}) + (F_{vent} \times H/2) \] \[ M_{net} = (15 \times 40) - (80 \times 15) + (45.4 \times 15) \] \[ M_{net} = 600 - 1200 + 681 = 81 \, \text{kN} \cdot \text{m}

Module d'inertie (rotation autour de l'axe parallèle au côté de 5m) : \(W = \frac{L \times B^2}{6}\) où B=5m (largeur perpendiculaire à l'axe de rotation) et L=5m.

W_{fond} = \frac{5 \times 5^2}{6} = \frac{125}{6} \approx 20.83 \, \text{m}^3

Calcul de la Contrainte Maximale (\(q_{max}\)) :

q_{max} = \frac{P_{total}}{A_{fond}} + \frac{M_{net}}{W_{fond}} \] \[ q_{max} = \frac{1282.5}{25} + \frac{81}{20.83} \] \[ q_{max} = 51.3 + 3.89 \approx 55.2 \, \text{kPa}

Vérification :

\(q_{max} \approx 55.2 \, \text{kPa}\)
\(q_{sol,adm} = 200 \, \text{kPa}\)

q_{max} \approx 55.2 \, \text{kPa} \le q_{sol,adm} = 200 \, \text{kPa} \quad (\text{OK})

Résultat Question 6 : La contrainte maximale exercée sur le sol (\(q_{max} \approx 55 \, \text{kPa}\)) est inférieure à la capacité portante admissible (\(200 \, \text{kPa}\)). La fondation est stable vis-à-vis du poinçonnement du sol.