EGC

Capacité Portante d’une Fondation

Capacité Portante d’une Fondation en Géotechnique

Capacité Portante d’une Fondation Superficielle

Contexte : L'assise de toute structure, un enjeu géotechnique majeur.

En géotechnique, la capacité portanteLa contrainte (pression) maximale que le sol peut supporter avant de céder par rupture de cisaillement. C'est la résistance ultime du sol sous une fondation. d'une fondation est la pression maximale que le sol peut supporter sans risque de rupture. C'est un paramètre fondamental du génie civil qui garantit la stabilité de n'importe quel ouvrage, du simple pavillon au gratte-ciel. Un calcul erroné peut entraîner des tassements excessifs, voire l'effondrement de la structure. Cet exercice vous guidera à travers la méthode de Terzaghi, l'une des approches fondamentales pour évaluer la capacité portante d'une fondation superficielle.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la démarche de l'ingénieur géotechnicien. À partir de caractéristiques du sol obtenues via des essais en laboratoire ou in-situ (cohésion, angle de frottement), nous allons appliquer une formule théorique pour prédire le comportement du sol sous une charge structurelle. La notion de coefficient de sécurité sera ensuite introduite pour passer d'une charge de rupture "ultime" à une charge de service "admissible".

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et calculer la contrainte effective dans un sol.
  • Déterminer les facteurs de portance de Terzaghi en fonction de l'angle de frottement.
  • Appliquer la formule de Terzaghi pour calculer la capacité portante ultime.
  • Calculer la capacité portante admissible en utilisant un coefficient de sécurité.
  • Vérifier la stabilité d'une fondation sous une charge donnée.

Données de l'étude

On souhaite dimensionner une semelle de fondation carrée, isolée, sous un poteau. La semelle est encastrée dans une couche de sable argileux homogène. La nappe phréatique est supposée très profonde et n'influence pas le calcul. Les données du projet sont les suivantes :

Schéma de la Fondation Superficielle
Sable argileux γ, c', φ' Q B = L = 1.5 m Df Niveau du sol
Paramètre Symbole Valeur Unité
Largeur de la fondation \(B\) 1.5 \(\text{m}\)
Profondeur d'ancrage \(D_{\text{f}}\) 1.0 \(\text{m}\)
Poids volumique du sol \(\gamma\) 18 \(\text{kN/m}^3\)
Angle de frottement interne \(\phi'\) 25 \(\text{degrés}\)
Cohésion effective \(c'\) 10 \(\text{kPa}\)
Charge verticale centrée (ELS) \(Q_{\text{ser}}\) 350 \(\text{kN}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte verticale effective \(\sigma'_{\text{v0}}\) à la base de la fondation.
  2. Déterminer les facteurs de portance \(N_c, N_q, N_{\gamma}\) pour \(\phi' = 25^\circ\).
  3. Calculer la capacité portante ultime \(q_{\text{ult}}\) selon la formule de Terzaghi.
  4. Calculer la capacité portante admissible \(q_{\text{adm}}\) avec un coefficient de sécurité de 3.
  5. Vérifier si la fondation est correctement dimensionnée pour la charge de service appliquée.

Les bases de la Géotechnique

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés de la mécanique des sols.

1. La Contrainte Effective :
Introduit par Terzaghi, c'est le concept le plus important en mécanique des sols. La contrainte totale (\(\sigma\)) en un point se décompose en une pression interstitielle (\(u\), la pression de l'eau) et une contrainte effective (\(\sigma'\)) qui est transmise par le squelette solide du sol. C'est cette contrainte effective qui gouverne la résistance et la déformation du sol. La formule est : \(\sigma' = \sigma - u\). En l'absence d'eau, \(\sigma' = \sigma\).

2. La Résistance au Cisaillement (Critère de Mohr-Coulomb) :
Un sol se rompt par cisaillement. Sa résistance (\(\tau\)) dépend de la contrainte normale effective (\(\sigma'_{\text{n}}\)) sur le plan de rupture, de sa cohésion (\(c'\)) et de son angle de frottement interne (\(\phi'\)). La formule est : \[ \tau = c' + \sigma'_{\text{n}} \tan(\phi') \] La cohésion représente "l'effet de colle" entre les grains, tandis que l'angle de frottement représente la friction entre eux.

3. La Théorie de la Capacité Portante de Terzaghi :
Terzaghi a modélisé la rupture du sol sous une fondation comme un mécanisme de poinçonnement. Il a développé une formule qui somme trois contributions à la résistance du sol : \[ q_{\text{ult}} = c'N_c + qN_q + 0.5 \gamma B N_{\gamma} \] Où \(q_{\text{ult}}\) est la contrainte de rupture, \(q\) est la surcharge au niveau de la base de la fondation, et \(N_c, N_q, N_{\gamma}\) sont des facteurs de portance qui dépendent uniquement de \(\phi'\).

Correction : Capacité Portante d’une Fondation Superficielle

Question 1 : Calculer la contrainte effective à la base de la fondation

Principe (le concept physique)

Avant même de poser la fondation, le sol à une profondeur \(D_{\text{f}}\) est déjà soumis à une contrainte due au poids des terres situées au-dessus. Cette contrainte, appelée contrainte de surcharge, confine le sol et contribue à sa résistance. Comme la nappe phréatique est profonde, la pression de l'eau est nulle et la contrainte effective est simplement égale au poids des terres.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le concept de contrainte effective est central : \(\sigma' = \sigma - u\). La contrainte totale \(\sigma\) est le poids total de la colonne de sol au-dessus du point considéré. La pression interstitielle \(u\) est la pression de l'eau dans les pores du sol. C'est \(\sigma'\) qui contrôle la résistance au cisaillement du sol. Dans notre cas, comme le sol est sec jusqu'à la base de la fondation, \(u=0\) et donc \(\sigma' = \sigma\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez une éponge remplie d'eau. Si vous la pressez, une partie de la force est reprise par l'eau (pression interstitielle) et une partie par la structure de l'éponge elle-même (contrainte effective). Seule la force passant par la structure de l'éponge contribue à sa résistance. C'est la même chose pour le sol.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des contraintes dans le sol est une étape fondamentale prescrite par l'Eurocode 7 (NF EN 1997-1), la norme européenne pour le calcul géotechnique. Elle définit précisément comment prendre en compte les poids volumiques et la position de la nappe phréatique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La contrainte verticale totale \(\sigma_{\text{v0}}\) à une profondeur \(z\) est le produit du poids volumique \(\gamma\) par la profondeur \(z\). Ici, on la nomme \(q\) pour la formule de Terzaghi.

\[ q = \sigma'_{\text{v0}} = \gamma \cdot D_{\text{f}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le sol est homogène sur la hauteur \(D_{\text{f}}\), que la surface du terrain est horizontale, et que la nappe phréatique est suffisamment profonde pour que son influence soit nulle (\(u=0\)).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Poids volumique du sol, \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\)
  • Profondeur d'ancrage, \(D_{\text{f}} = 1.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une estimation rapide sur le terrain, retenez qu'un mètre de sol "standard" exerce une contrainte d'environ 18 à 20 kPa. C'est un ordre de grandeur utile pour vérifier rapidement un calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Contrainte de Surcharge
Niveau du solq = ?Df = 1m
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule en utilisant des unités cohérentes (kN et m). Le résultat sera en kN/m², c'est-à-dire en kPa.

\[ \begin{aligned} q &= 18 \, \text{kN/m}^3 \cdot 1.0 \, \text{m} \\ &= 18 \, \text{kN/m}^2 \\ &= 18 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contrainte de Surcharge Calculée
Niveau du solq = 18 kPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de 18 kPa représente l'état de contrainte initial du sol à la base de la fondation avant la construction. C'est cette pression de confinement qui aide le sol à résister à la charge supplémentaire qui sera apportée par le bâtiment. C'est un paramètre fondamental pour la suite des calculs.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier l'effet de la nappe phréatique. Si la nappe était à la surface, il faudrait utiliser le poids volumique déjaugé (\(\gamma'\)), ce qui réduirait considérablement cette contrainte et donc la capacité portante. Ici, l'énoncé simplifie le problème.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte effective gouverne le comportement du sol.
  • Dans un sol sec, la contrainte effective est égale à la contrainte totale.
  • Elle est calculée simplement par \(\sigma'_{\text{v0}} = \gamma \cdot D_{\text{f}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le phénomène de liquéfaction des sables lors d'un séisme est une illustration dramatique du concept de contrainte effective. Les secousses augmentent brutalement la pression de l'eau (\(u\)), ce qui peut annuler la contrainte effective (\(\sigma' \to 0\)). Le sol perd alors toute sa résistance et se comporte comme un liquide.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si le sol n'est pas homogène ?

Si plusieurs couches de sol aux poids volumiques différents se superposent, il faut sommer les contributions de chaque couche pour calculer la contrainte à une profondeur donnée : \(q = \sum (\gamma_i \cdot h_i)\), où \(h_i\) est l'épaisseur de la couche \(i\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte effective de surcharge à la base de la fondation est q = 18 kPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la profondeur d'ancrage était de 2.5 m, quelle serait la nouvelle contrainte effective en kPa ?

Question 2 : Déterminer les facteurs de portance

Principe (le concept physique)

Les facteurs de portance \(N_c, N_q, N_{\gamma}\) sont des coefficients sans dimension qui traduisent l'influence de l'angle de frottement \(\phi'\) sur chacun des trois termes de la formule de Terzaghi (cohésion, surcharge, poids du sol). Ils décrivent la géométrie du mécanisme de rupture dans le sol. Plus \(\phi'\) est grand, plus le sol est résistant, et plus ces facteurs augmentent de manière exponentielle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ces facteurs sont issus de solutions mathématiques de la théorie de la plasticité. Ils représentent l'intégrale des résistances le long de la surface de rupture en forme de spirale logarithmique qui se développe sous la fondation lors du poinçonnement. Par exemple, \(N_q\) et \(N_c\) peuvent être exprimés analytiquement : \(N_q = e^{\pi \tan\phi'} \tan^2(45 + \phi'/2)\) et \(N_c = (N_q - 1) \cot\phi'\). La formule pour \(N_\gamma\) est plus complexe et souvent approchée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Il n'est pas nécessaire de mémoriser les formules complexes de ces facteurs. En pratique, les ingénieurs utilisent des tableaux ou des abaques normalisés pour les déterminer. Pour un même angle \(\phi'\), différents auteurs (Meyerhof, Hansen, Vesic) ont proposé des valeurs légèrement différentes. Nous utilisons ici les valeurs classiques de Terzaghi.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 (NF EN 1997-1) fournit ses propres formules pour le calcul des facteurs de portance, qui sont aujourd'hui la référence dans la pratique européenne. Les valeurs peuvent légèrement différer de celles de Terzaghi, qui représentent l'approche historique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Il n'y a pas de formule simple à appliquer, il s'agit d'une lecture dans un tableau de valeurs standards.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le mécanisme de rupture correspond à une "rupture généralisée", ce qui est typique pour les sables denses ou les argiles raides. Pour des sols plus meubles, on devrait utiliser des facteurs de portance réduits correspondant à une "rupture locale".

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Angle de frottement interne, \(\phi' = 25 \, \text{degrés}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Gardez en tête que les facteurs de portance augmentent très vite avec \(\phi'\). Une petite incertitude sur la valeur de \(\phi'\) (par exemple, 25° vs 27°) peut avoir un impact très important sur la capacité portante finale. C'est pourquoi la détermination précise de \(\phi'\) est un enjeu majeur des études de sol.

Schéma (Avant les calculs)
Abaque des Facteurs de Portance (Exemple)
φ'NNγNqNc25°
Calcul(s) (l'application numérique)

À partir des tables standards de Terzaghi pour \(\phi' = 25 \, \text{degrés}\), on lit :

\[ N_c = 25.1 \]
\[ N_q = 12.7 \]
\[ N_{\gamma} = 9.7 \]
Schéma (Après les calculs)
Valeurs des Facteurs de Portance
Pour φ' = 25°Nc = 25.1Nq = 12.7Nγ = 9.7
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces trois nombres sont des multiplicateurs adimensionnels qui vont amplifier les contributions de la cohésion, de la surcharge et du poids du sol. Ils sont le cœur du calcul de portance. Le fait que \(N_c\) soit le plus grand indique que, pour cet angle de frottement, la cohésion est un paramètre très influent.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser le bon tableau ou abaque. Les facteurs de portance de Terzaghi sont différents de ceux de Meyerhof, Hansen ou Vesic. Le mélange de valeurs provenant de différentes théories est une erreur à ne pas commettre.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les facteurs de portance \(N_c, N_q, N_{\gamma}\) dépendent uniquement de l'angle de frottement \(\phi'\).
  • Ils augmentent de manière exponentielle avec \(\phi'\).
  • Ils sont lus dans des tableaux ou calculés via des formules complexes.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La dérivation mathématique de ces facteurs a été un problème complexe qui a occupé les chercheurs pendant des décennies. Si les solutions pour \(N_c\) et \(N_q\) sont exactes, il n'existe toujours pas de solution analytique universellement acceptée pour \(N_{\gamma}\), qui est encore aujourd'hui déterminé par des formules approchées.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi y a-t-il trois facteurs de portance ?

Chaque facteur est associé à une composante de la résistance du sol. \(N_c\) est lié à la cohésion (\(c'\)), \(N_q\) est lié à la contrainte de surcharge (\(q\)), et \(N_{\gamma}\) est lié au poids du sol (\(\gamma\)) mobilisé dans le mécanisme de rupture sous la fondation.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les facteurs de portance pour \(\phi' = 25 \, \text{degrés}\) sont : \(N_c = 25.1\), \(N_q = 12.7\), et \(N_{\gamma} = 9.7\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En utilisant la table de valeurs, quels seraient les facteurs de portance pour \(\phi' = 30 \, \text{degrés}\) ?

Question 3 : Calculer la capacité portante ultime

Principe (le concept physique)

La capacité portante ultime (\(q_{\text{ult}}\)) est la contrainte maximale théorique que le sol peut supporter. Elle est la somme de trois termes : la résistance due à la cohésion (terme en \(c'\)), la résistance due à la surcharge de terres (terme en \(q\)), et la résistance due au poids du sol dans le mécanisme de rupture sous la fondation (terme en \(\gamma\)). Pour une fondation carrée, la formule de Terzaghi est légèrement modifiée par des facteurs de forme.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de Terzaghi est une superposition de trois solutions. La première (\(c'N_c\)) est la portance d'un sol purement cohérent sans poids. La deuxième (\(qN_q\)) est la portance d'un sol pulvérulent sans poids soumis à une surcharge. La troisième (\(0.5\gamma B N_\gamma\)) est la portance d'un sol pulvérulent avec poids mais sans surcharge. Terzaghi a supposé que l'on pouvait additionner ces trois cas pour obtenir la solution générale, une simplification qui s'est avérée remarquablement efficace.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à la rupture du sol comme à une bataille. La fondation essaie de poinçonner le sol. Le sol se défend avec trois types de forces : sa "colle" interne (cohésion), la "pression de confinement" due au poids des terres à côté (surcharge), et le "poids mort" du sol qu'il faut soulever pour créer la rupture. La formule de Terzaghi additionne ces trois contributions à la défense.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 propose une formule de capacité portante plus générale, qui inclut non seulement des facteurs de forme, mais aussi des facteurs de profondeur et des facteurs d'inclinaison de la charge et du terrain. La formule de Terzaghi est une version simplifiée mais constitue la base historique de ces approches modernes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une fondation carrée (B=L), la formule de Terzaghi devient :

\[ q_{\text{ult}} = 1.3 c' N_c + q N_q + 0.4 \gamma B N_{\gamma} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge est appliquée de manière verticale et centrée. La base de la fondation est supposée horizontale et le terrain en surface également. Le sol sous la fondation est considéré comme homogène sur une profondeur significative.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Cohésion, \(c' = 10 \, \text{kPa}\)
  • Surcharge, \(q = 18 \, \text{kPa}\) (de Q1)
  • Poids volumique, \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\)
  • Largeur, \(B = 1.5 \, \text{m}\)
  • Facteurs de portance, \(N_c=25.1, N_q=12.7, N_{\gamma}=9.7\) (de Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)

Décomposez toujours le calcul en ses trois termes. Cela permet de voir rapidement quelle composante de la résistance du sol est prédominante. Ici, on verra que les termes de cohésion et de surcharge sont les plus importants, ce qui est typique pour les fondations peu larges dans des sols cohérents.

Schéma (Avant les calculs)
Contributions à la Capacité Portante
q_ult = ?Terme c'Terme qTerme γ
Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule chaque terme séparément :

\[ \begin{aligned} \text{Terme de cohésion} &= 1.3 \cdot c' \cdot N_c \\ &= 1.3 \cdot 10 \cdot 25.1 \\ &= 326.3 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Terme de surcharge} &= q \cdot N_q \\ &= 18 \cdot 12.7 \\ &= 228.6 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Terme de poids} &= 0.4 \cdot \gamma \cdot B \cdot N_{\gamma} \\ &= 0.4 \cdot 18 \cdot 1.5 \cdot 9.7 \\ &= 104.8 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

On somme les trois termes :

\[ \begin{aligned} q_{\text{ult}} &= 326.3 + 228.6 + 104.8 \\ &= 659.7 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Répartition de la Capacité Portante
q_ult = 659.7 kPaCohésion (326.3)Surcharge (228.6)Poids (104.8)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de 659.7 kPa est la pression théorique qui causerait la rupture du sol. On observe que la cohésion et la surcharge sont les deux contributeurs principaux à la résistance, représentant près de 85% du total. Cela indique que pour cette fondation, la largeur B a une influence relativement modérée sur la portance ultime.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas oublier les facteurs de forme (1.3 et 0.4) pour une fondation carrée. Utiliser la formule pour une semelle filante (facteurs de 1.0 et 0.5) sous-estimerait légèrement la capacité portante dans ce cas. La cohérence des unités est également cruciale : si c' et q sont en kPa, et γ en kN/m³, le résultat est bien en kPa.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La portance ultime \(q_{\text{ult}}\) est la somme de trois termes : cohésion, surcharge, et poids du sol.
  • Des facteurs de forme doivent être appliqués pour les fondations qui ne sont pas filantes (ex: carrées, circulaires).
  • C'est une contrainte de RUPTURE, à ne jamais utiliser directement pour le dimensionnement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La Tour de Pise est l'exemple le plus célèbre d'un problème de capacité portante. Le sol sous le côté sud de la tour, une couche d'argile meuble, avait une capacité portante bien plus faible que ce que les constructeurs de l'époque pouvaient anticiper, menant à un tassement différentiel qui a causé l'inclinaison de la tour dès sa construction.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette formule prend-elle en compte le tassement ?

Non. Cette formule calcule la charge de rupture (État Limite Ultime - ELU). Elle ne donne aucune information sur le tassement que subira la fondation sous la charge de service. Le calcul des tassements est une vérification distincte (État Limite de Service - ELS), particulièrement importante pour les sols argileux.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La capacité portante ultime du sol sous la fondation est d'environ 660 kPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la fondation était filante (facteurs de forme de 1.0 et 0.5), quelle serait la nouvelle \(q_{\text{ult}}\) en kPa ?

Question 4 : Calculer la capacité portante admissible

Principe (le concept physique)

La capacité portante ultime est une valeur de rupture théorique. En ingénierie, on ne travaille jamais à la limite de la rupture. On applique un coefficient de sécurité (généralement entre 2.5 et 3.5 en géotechnique) pour obtenir la capacité portante admissible (\(q_{\text{adm}}\)). Ce coefficient couvre les incertitudes sur les propriétés du sol, les imperfections du modèle de calcul et les variations de charges.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le concept de Facteur de Sécurité (FS) global est une approche de dimensionnement traditionnelle. Les approches modernes, comme celles de l'Eurocode 7, utilisent des "facteurs de sécurité partiels" appliqués séparément aux charges (ex: \(\gamma_G = 1.35\) sur les charges permanentes) et aux résistances du matériau (ex: \(\gamma_{\phi'} = 1.25\) sur \(\tan\phi'\)). L'approche globale reste cependant très utilisée pour sa simplicité et pour les vérifications préliminaires.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le FS est parfois appelé le "facteur d'ignorance". Il quantifie notre manque de certitude. Le sol est un matériau naturel, hétérogène, dont les propriétés peuvent varier d'un point à un autre. Un FS de 3 signifie que l'on s'assure que la charge de service ne représente qu'un tiers de la charge qui causerait théoriquement la rupture. C'est une marge de sécurité indispensable.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de calcul comme l'Eurocode 7 définissent les valeurs des facteurs de sécurité (partiels) à utiliser. L'utilisation d'un facteur de sécurité global de 3 sur la portance ultime est une pratique courante et généralement acceptée en France pour les études préliminaires.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La contrainte admissible est la contrainte ultime divisée par le Facteur de Sécurité (FS).

\[ q_{\text{adm}} = \frac{q_{\text{ult}}}{FS} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose qu'un facteur de sécurité global de 3 est jugé approprié pour ce projet, compte tenu de la qualité des investigations géotechniques et de la nature de l'ouvrage.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Capacité portante ultime, \(q_{\text{ult}} = 659.7 \, \text{kPa}\) (de Q3)
  • Facteur de sécurité, \(FS = 3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour passer de l'ultime à l'admissible, il suffit de diviser par 3. C'est un calcul simple, mais c'est l'une des étapes les plus importantes du point de vue de la sécurité de l'ouvrage.

Schéma (Avant les calculs)
Application du Facteur de Sécurité
q_ult = 660÷ FS=3q_adm = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} q_{\text{adm}} &= \frac{659.7 \, \text{kPa}}{3} \\ &\approx 219.9 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contrainte Admissible
q_ult = 660q_adm = 220
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte admissible de 219.9 kPa est la pression maximale que l'on s'autorise à appliquer sur le sol en conditions de service. Cette valeur garantit une marge de sécurité confortable contre une rupture par poinçonnement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais confondre la capacité portante ultime (\(q_{\text{ult}}\)) et la capacité portante admissible (\(q_{\text{adm}}\)). Toutes les vérifications de dimensionnement à l'état limite de service doivent être effectuées en comparant la charge appliquée à la valeur admissible.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte admissible est la contrainte de travail sécuritaire du sol : \(q_{\text{adm}} = q_{\text{ult}} / FS\).
  • Le facteur de sécurité (FS) couvre les incertitudes.
  • Un FS typique pour les fondations est de 3.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les structures temporaires, comme les fondations d'une grue de chantier, les ingénieurs peuvent utiliser un facteur de sécurité plus faible (par exemple, 2.0 ou 2.5), car les charges sont généralement mieux connues et la durée de vie de l'ouvrage est limitée.

FAQ (pour lever les doutes)
Le facteur de sécurité est-il toujours de 3 ?

Non. Sa valeur dépend du code de calcul utilisé, de la qualité et de la quantité des reconnaissances de sol effectuées, de la variabilité du terrain et des conséquences d'une éventuelle rupture. Il peut varier de 2.5 à 4, voire plus dans des contextes critiques.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La capacité portante admissible du sol est d'environ 220 kPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si les normes exigeaient un FS plus strict de 3.5, quelle serait la nouvelle \(q_{\text{adm}}\) en kPa ?

Question 5 : Vérifier le dimensionnement de la fondation

Principe (le concept physique)

La dernière étape consiste à vérifier que la contrainte réellement appliquée par la structure sur le sol est inférieure à la contrainte que le sol peut supporter de manière admissible. La contrainte appliquée est simplement la charge de service totale divisée par la surface de la fondation.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette vérification est l'essence même du dimensionnement à l'État Limite Ultime (ELU) selon l'approche en contraintes admissibles. On s'assure que la sollicitation (\(\sigma_{\text{ser}}\)) reste inférieure ou égale à la résistance admissible (\(q_{\text{adm}}\)). \(\sigma_{\text{ser}} \le q_{\text{adm}}\). C'est une condition de non-rupture.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le moment de vérité. Tous les calculs précédents convergent vers cette simple comparaison. C'est comme vérifier que le poids que vous mettez sur une étagère est inférieur au poids maximal que le fabricant autorise. Si la condition est respectée, le design est validé (du point de vue de la rupture).

Normes (la référence réglementaire)

Cette vérification fondamentale est requise par toutes les normes de conception géotechnique, y compris l'Eurocode 7. Dans l'approche des facteurs partiels de l'Eurocode, la vérification s'écrit \(E_d \le R_d\), où \(E_d\) est la valeur de calcul de l'effet des actions (charges majorées) et \(R_d\) est la valeur de calcul de la résistance (résistance minorée).

Formule(s) (l'outil mathématique)

On compare la contrainte appliquée \(\sigma_{\text{ser}}\) à la contrainte admissible \(q_{\text{adm}}\).

\[ \sigma_{\text{ser}} = \frac{Q_{\text{ser}}}{B^2} \le q_{\text{adm}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge de service \(Q_{\text{ser}}\) est une charge non pondérée (ou "caractéristique"). On néglige le poids propre de la fondation dans ce calcul, car il est implicitement compensé par le poids des terres excavées, qui est pris en compte dans le terme de surcharge \(q\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de service, \(Q_{\text{ser}} = 350 \, \text{kN}\)
  • Largeur de la fondation, \(B = 1.5 \, \text{m}\)
  • Capacité portante admissible, \(q_{\text{adm}} = 219.9 \, \text{kPa}\) (de Q4)
Astuces(Pour aller plus vite)

Un bon moyen d'évaluer la marge de sécurité est de calculer le ratio \(q_{\text{adm}} / \sigma_{\text{ser}}\). Ce ratio doit être supérieur ou égal à 1.0. Ici, il vaut \(219.9 / 155.6 \approx 1.41\). Cela signifie que nous avons une marge supplémentaire de 41% par rapport à la limite admissible.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Contrainte Appliquée vs Admissible
q_adm220 kPaσ_ser? kPa
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la surface de la fondation :

\[ \begin{aligned} A &= B^2 \\ &= (1.5 \, \text{m})^2 \\ &= 2.25 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

2. Calculer la contrainte appliquée :

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{ser}} &= \frac{350 \, \text{kN}}{2.25 \, \text{m}^2} \\ &\approx 155.6 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

3. Comparer à la contrainte admissible :

\[ 155.6 \, \text{kPa} \le 219.9 \, \text{kPa} \quad (\text{VÉRIFIÉ}) \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Stabilité
q_adm220 kPaσ_ser155.6 kPa✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La condition de stabilité est vérifiée. La contrainte appliquée par le bâtiment (155.6 kPa) est bien inférieure à la contrainte maximale autorisée sur le sol (220 kPa). La fondation est donc correctement dimensionnée vis-à-vis du risque de rupture du sol. On pourrait même potentiellement réduire légèrement ses dimensions pour optimiser le projet.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser la bonne charge pour la vérification. La charge de service (\(Q_{\text{ser}}\)) est comparée à la contrainte admissible (\(q_{\text{adm}}\)). Ne comparez pas une charge ultime (majorée) à une contrainte admissible, ou une charge de service à une contrainte ultime.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte appliquée par la structure est calculée par : \(\sigma = \text{Charge} / \text{Surface}\).
  • Le critère de dimensionnement fondamental est : \(\sigma_{\text{ser}} \le q_{\text{adm}}\).
  • Cette vérification ne concerne que la rupture du sol, pas son tassement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le Burj Khalifa à Dubaï, le plus haut bâtiment du monde, repose sur une fondation massive de type "radier sur pieux". Les ingénieurs ont dû analyser des couches de sol complexes et le dimensionnement final a nécessité des modélisations numériques avancées pour garantir la sécurité contre la rupture et, surtout, pour maîtriser les tassements.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la vérification n'est pas satisfaite ?

Si \(\sigma_{\text{ser}} > q_{\text{adm}}\), la fondation n'est pas sûre. L'ingénieur a alors plusieurs options : 1) Augmenter les dimensions de la fondation (B et/ou L) pour réduire \(\sigma_{\text{ser}}\). 2) Augmenter la profondeur d'ancrage \(D_{\text{f}}\) pour augmenter \(q_{\text{adm}}\). 3) Améliorer le sol sous la fondation (compactage, injections...). 4) Utiliser un autre type de fondation (fondations profondes comme des pieux).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte appliquée (155.6 kPa) est inférieure à la contrainte admissible (220 kPa). La fondation est stable.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la charge de service maximale \(Q_{\text{ser,max}}\) (en kN) que cette fondation de 2.25 m² pourrait supporter ?

Outil Interactif : Paramètres de Portance

Modifiez les paramètres du sol et de la fondation pour voir leur influence sur la capacité portante.

Paramètres d'Entrée
25 °
10 kPa
1.5 m
Résultats Clés
Portance Ultime (kPa) -
Portance Admissible (kPa) -
Coefficient de Sécurité Actuel -

Le Saviez-Vous ?

Karl von Terzaghi (1883-1963) est universellement reconnu comme le "père de la mécanique des sols". Ingénieur autrichien puis américain, il a révolutionné l'étude des sols en la transformant d'un art empirique en une véritable science de l'ingénieur. Son livre "Erdbaumechanik" (Mécanique des Sols) publié en 1925 a posé les bases de la discipline telle que nous la connaissons aujourd'hui.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la charge appliquée est supérieure à la capacité portante ?

Si la charge dépasse la capacité portante ultime, une rupture par poinçonnement se produit. Le sol sous la fondation cède brutalement, provoquant un enfoncement important et rapide de la fondation, souvent accompagné d'un soulèvement du sol sur les côtés. C'est une situation de défaillance catastrophique pour la structure.

Pourquoi utilise-t-on des facteurs de forme (1.3 et 0.4) pour une semelle carrée ?

La formule originale de Terzaghi a été développée pour une fondation "filante" (de longueur infinie). Pour des formes finies comme un carré ou un cercle, le mécanisme de rupture du sol est tridimensionnel, ce qui mobilise un volume de sol plus important et augmente la résistance. Les facteurs de forme sont des coefficients empiriques qui corrigent la formule 2D pour tenir compte de cet effet 3D bénéfique.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel paramètre du sol a l'influence la plus significative (non-linéaire) sur la capacité portante ?

2. Si la largeur de la fondation (B) est doublée, le terme de portance lié au poids du sol (0.4 γ B Nγ) est...

Capacité Portante
Contrainte maximale (pression) que le sol peut supporter avant de se rompre par cisaillement sous une fondation.
Angle de Frottement Interne (φ')
Paramètre caractérisant la résistance au cisaillement d'un sol due à la friction entre les grains. Plus il est élevé, plus le sol est résistant.
Cohésion (c')
Paramètre caractérisant la résistance au cisaillement d'un sol due aux forces d'attraction entre les particules (effet "colle"). Elle est importante pour les argiles, et souvent nulle pour les sables propres.
Capacité Portante d’une Fondation en Géotechnique

D’autres exerecices de fondation:

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