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Calcul du Travail lors de l’Expansion d’un Gaz

Calcul du Travail lors de l’Expansion d’un Gaz

Calcul du Travail lors de l’Expansion d’un Gaz

Comprendre le Travail Thermodynamique

En thermodynamique, le travail est une forme de transfert d'énergie entre un système et son environnement, autre que par transfert de chaleur. Lorsqu'un gaz se détend, il exerce une force sur son environnement (par exemple, un piston) et effectue un travail. Inversement, si le gaz est comprimé, un travail est effectué sur le gaz par l'environnement. Le calcul de ce travail est fondamental pour analyser l'efficacité des machines thermiques (moteurs, réfrigérateurs) et comprendre les bilans énergétiques des processus impliquant des gaz. Le travail dépend du type de transformation subie par le gaz (isotherme, isobare, adiabatique, etc.) et de la réversibilité du processus.

Données de l'étude

On considère \(n\) moles d'un gaz parfait subissant une détente isotherme réversible.

Caractéristiques du système et de la transformation :

  • Nombre de moles de gaz parfait (\(n\)) : \(2.0 \, \text{mol}\)
  • Température constante de la détente (\(T\)) : \(300 \, \text{K}\)
  • Pression initiale du gaz (\(P_1\)) : \(5.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\) (soit \(5 \, \text{bar}\))
  • Pression finale du gaz (\(P_2\)) : \(1.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\) (soit \(1 \, \text{bar}\))
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
Schéma : Détente Isotherme d'un Gaz Parfait (Diagramme P-V)
V P 1 (P1, V1) 2 (P2, V2) Détente Isotherme (T=cste) Travail W Détente Isotherme

Diagramme Pression-Volume (P-V) illustrant une détente isotherme réversible.

Questions à traiter

  1. Calculer le volume initial (\(V_1\)) du gaz en \(\text{m}^3\).
  2. Calculer le volume final (\(V_2\)) du gaz en \(\text{m}^3\) après la détente isotherme.
  3. Calculer le travail (\(W\)) effectué par le gaz lors de cette détente isotherme réversible, en Joules (J).
  4. Le travail calculé est-il moteur ou résistant ? Justifier.
  5. Calculer la quantité de chaleur (\(Q\)) échangée par le gaz avec l'extérieur durant cette détente isotherme réversible. Le gaz absorbe-t-il ou cède-t-il de la chaleur ?
  6. Si la détente était réalisée de manière isobare (à pression \(P_1\)) jusqu'au même volume final \(V_2\), le travail fourni serait-il différent ? Si oui, serait-il plus grand ou plus petit que lors de la détente isotherme ? (Réponse qualitative attendue, s'appuyer sur le diagramme P-V).

Correction : Calcul du Travail lors de l’Expansion d’un Gaz

Question 1 : Volume initial (\(V_1\)) du gaz

Principe :

Pour un gaz parfait, l'état initial est décrit par l'équation d'état des gaz parfaits.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_1 V_1 = n R T \] \[\Rightarrow V_1 = \frac{n R T}{P_1} \]
Données spécifiques :
  • Nombre de moles (\(n\)) : \(2.0 \, \text{mol}\)
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Température (\(T\)) : \(300 \, \text{K}\)
  • Pression initiale (\(P_1\)) : \(5.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{2.0 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 300 \, \text{K}}{5.0 \times 10^5 \, \text{Pa}} \\ &= \frac{4988.4 \, \text{J}}{500000 \, \text{Pa}} \\ &\approx 0.0099768 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(V_1 \approx 0.00998 \, \text{m}^3\) ou \(9.98 \, \text{L}\).

Résultat Question 1 : Le volume initial du gaz est \(V_1 \approx 0.00998 \, \text{m}^3\).

Question 2 : Volume final (\(V_2\)) du gaz

Principe :

La détente est isotherme, donc la température reste constante (\(T_1 = T_2 = T\)). On peut utiliser l'équation d'état des gaz parfaits pour l'état final, ou la loi de Boyle-Mariotte (\(P_1 V_1 = P_2 V_2\)) pour une transformation isotherme.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_2 V_2 = n R T \Rightarrow V_2 = \frac{n R T}{P_2} \] \[ \text{ou} \quad V_2 = V_1 \frac{P_1}{P_2} \]
Données spécifiques :
  • \(n = 2.0 \, \text{mol}\), \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\), \(T = 300 \, \text{K}\)
  • Pression finale (\(P_2\)) : \(1.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • (Alternativement : \(V_1 \approx 0.0099768 \, \text{m}^3\), \(P_1 = 5.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\))
Calcul (Méthode 1) :
\[ \begin{aligned} V_2 &= \frac{2.0 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 300 \, \text{K}}{1.0 \times 10^5 \, \text{Pa}} \\ &= \frac{4988.4 \, \text{J}}{100000 \, \text{Pa}} \\ &\approx 0.049884 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2 - vérification) :
\[ \begin{aligned} V_2 &\approx 0.0099768 \, \text{m}^3 \times \frac{5.0 \times 10^5 \, \text{Pa}}{1.0 \times 10^5 \, \text{Pa}} \\ &= 0.0099768 \, \text{m}^3 \times 5 \\ &\approx 0.049884 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(V_2 \approx 0.0499 \, \text{m}^3\) ou \(49.9 \, \text{L}\).

Résultat Question 2 : Le volume final du gaz est \(V_2 \approx 0.0499 \, \text{m}^3\).

Question 3 : Travail (\(W\)) effectué par le gaz

Principe :

Pour une détente isotherme réversible d'un gaz parfait, le travail effectué par le gaz est donné par l'intégrale de \(-P dV\). Comme \(P = nRT/V\), l'intégration donne une formule logarithmique.

Par convention, le travail reçu par le système est positif. Si le gaz se détend, il fournit du travail à l'extérieur, donc le travail \(W\) (reçu par le gaz) sera négatif. Le travail fourni par le gaz, \(W_{\text{par gaz}}\), sera \(-W\).

Formule(s) utilisée(s) (travail reçu par le gaz) :
\[ W = - \int_{V_1}^{V_2} P_{\text{ext}} dV \]

Pour une transformation réversible, \(P_{\text{ext}} = P_{\text{gaz}} = P\).

\[ W = - \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V} dV = -nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = nRT \ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right) \]

On peut aussi utiliser : \(W = nRT \ln\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\) car pour une isotherme \(P_1V_1 = P_2V_2 \Rightarrow \frac{V_2}{V_1} = \frac{P_1}{P_2}\).

Données spécifiques :
  • \(n = 2.0 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T = 300 \, \text{K}\)
  • \(V_1 \approx 0.0099768 \, \text{m}^3\)
  • \(V_2 \approx 0.049884 \, \text{m}^3\)
  • (Ou \(P_1 = 5.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\), \(P_2 = 1.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\))
Calcul (en utilisant les volumes) :
\[ \begin{aligned} W &= -2.0 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 300 \, \text{K} \times \ln\left(\frac{0.049884 \, \text{m}^3}{0.0099768 \, \text{m}^3}\right) \\ &= -4988.4 \times \ln(5) \\ &\approx -4988.4 \times 1.609438 \\ &\approx -8028.16 \, \text{J} \end{aligned} \]
Calcul (en utilisant les pressions) :
\[ \begin{aligned} W &= 2.0 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 300 \, \text{K} \times \ln\left(\frac{1.0 \times 10^5 \, \text{Pa}}{5.0 \times 10^5 \, \text{Pa}}\right) \\ &= 4988.4 \times \ln(0.2) \\ &\approx 4988.4 \times (-1.609438) \\ &\approx -8028.16 \, \text{J} \end{aligned} \]

Le travail effectué par le gaz est \(-W \approx 8028 \, \text{J}\).

Résultat Question 3 : Le travail reçu par le gaz est \(W \approx -8028 \, \text{J}\). Le travail effectué par le gaz est donc d'environ \(+8028 \, \text{J}\).

Question 4 : Nature du travail (moteur ou résistant)

Explication :

Le travail \(W\) calculé est le travail reçu par le système (le gaz). Puisque \(W \approx -8028 \, \text{J}\), ce travail est négatif.

  • Si \(W < 0\), le système fournit du travail à l'extérieur. C'est un travail moteur.
  • Si \(W > 0\), le système reçoit du travail de l'extérieur. C'est un travail résistant.

Dans ce cas, le gaz se détend (\(V_2 > V_1\)), il pousse sur son environnement et effectue donc un travail sur l'extérieur. Le travail fourni par le gaz est \(-W\), qui est positif (\(+8028 \, \text{J}\)).

Résultat Question 4 : Le travail est moteur car le gaz se détend et fournit du travail à l'extérieur (\(W < 0\)).

Question 5 : Quantité de chaleur (\(Q\)) échangée

Principe :

Pour un gaz parfait subissant une transformation isotherme, la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) est nulle, car l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température (\(\Delta U = n C_v \Delta T\), et ici \(\Delta T = 0\)).

Selon le premier principe de la thermodynamique : \(\Delta U = Q + W\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta U = 0 \quad (\text{pour une isotherme d'un gaz parfait}) \] \[ \Delta U = Q + W \Rightarrow Q = -W \]
Données spécifiques :
  • Travail reçu par le gaz (\(W\)) : \(\approx -8028 \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q &= -W \\ &\approx -(-8028 \, \text{J}) \\ &\approx 8028 \, \text{J} \end{aligned} \]

Puisque \(Q > 0\), le gaz absorbe de la chaleur de l'extérieur (de la source chaude) pour maintenir sa température constante pendant la détente et la production de travail.

Résultat Question 5 : La quantité de chaleur échangée est \(Q \approx 8028 \, \text{J}\). Le gaz absorbe cette chaleur.

Quiz Intermédiaire 1 : Lors d'une détente isotherme réversible d'un gaz parfait, l'énergie interne du gaz :

Question 6 : Comparaison avec une détente isobare

Explication qualitative :

Le travail effectué par un gaz lors d'une détente est représenté par l'aire sous la courbe de la transformation dans un diagramme P-V.

  • Détente isotherme réversible (A \(\rightarrow\) B sur un diagramme P-V) : La pression diminue à mesure que le volume augmente (selon \(P = nRT/V\)). Le travail est l'aire sous cette courbe hyperbolique.
  • Détente isobare (A \(\rightarrow\) C sur un diagramme P-V) : Si la détente se faisait à pression constante \(P_1\) jusqu'au même volume final \(V_2\), la transformation serait une ligne horizontale sur le diagramme P-V à la pression \(P_1\). L'aire sous cette ligne horizontale (un rectangle) serait \(P_1(V_2 - V_1)\).

Comme la détente isotherme part de \(P_1\) et que la pression diminue continuellement pour atteindre \(P_2\) (\(< P_1\)) au volume \(V_2\), la courbe isotherme se situe en dessous de la ligne isobare (à \(P_1\)) pour tous les volumes entre \(V_1\) et \(V_2\) (sauf au point de départ). Par conséquent, l'aire sous la courbe isotherme sera plus petite que l'aire sous la courbe isobare (à \(P_1\)) pour une même variation de volume de \(V_1\) à \(V_2\).

Donc, le travail fourni par le gaz lors d'une détente isobare à la pression initiale \(P_1\) jusqu'au volume \(V_2\) serait plus grand que le travail fourni lors de la détente isotherme réversible entre les mêmes volumes initiaux et finaux (si l'isotherme part du même point initial et va au même volume final, sa pression finale sera inférieure à \(P_1\)).

Attention, la question demande une détente isobare à \(P_1\) jusqu'au volume \(V_2\) calculé pour la détente isotherme. Dans ce cas, la pression reste \(P_1\) tout au long de la détente isobare, alors qu'elle diminue lors de la détente isotherme. L'aire sous la courbe isobare \(P_1(V_2-V_1)\) sera donc plus grande que l'aire sous la courbe isotherme \(\int_{V_1}^{V_2} P(V) dV\).

Résultat Question 6 : Le travail fourni par le gaz lors d'une détente isobare à la pression \(P_1\) jusqu'au même volume final \(V_2\) serait plus grand que celui de la détente isotherme réversible, car la pression maintenue constante (\(P_1\)) pendant l'expansion isobare est supérieure à la pression moyenne exercée pendant l'expansion isotherme (où la pression diminue).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Lors d'une détente d'un gaz, le travail effectué par le gaz est :

2. Pour une transformation isotherme réversible d'un gaz parfait, la variation d'énergie interne \(\Delta U\) est :

3. Le travail effectué lors d'une transformation réversible est représenté sur un diagramme P-V par :

Glossaire

Travail Thermodynamique (\(W\))
Forme de transfert d'énergie entre un système et son environnement, résultant d'une force agissant sur une distance. Par convention, \(W > 0\) si le travail est reçu par le système, \(W < 0\) si le travail est fourni par le système.
Gaz Parfait
Modèle théorique d'un gaz dont les molécules n'ont pas de volume propre et n'interagissent pas entre elles, sauf par des collisions élastiques. Il obéit à l'équation d'état \(PV = nRT\).
Transformation Isotherme
Processus thermodynamique au cours duquel la température du système reste constante (\(\Delta T = 0\)).
Transformation Réversible
Processus thermodynamique idéal qui peut être inversé à tout moment en modifiant infinitésimalement les conditions, ramenant le système et l'environnement à leurs états initiaux sans laisser de trace. Le système est en équilibre à chaque instant.
Équation d'État des Gaz Parfaits
\(PV = nRT\), où \(P\) est la pression, \(V\) le volume, \(n\) le nombre de moles, \(R\) la constante des gaz parfaits, et \(T\) la température absolue.
Énergie Interne (\(U\))
Somme de toutes les énergies microscopiques (cinétique et potentielle) des particules constituant un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de la température.
Premier Principe de la Thermodynamique
Principe de conservation de l'énergie, stipulant que la variation d'énergie interne d'un système (\(\Delta U\)) est égale à la somme de la chaleur (\(Q\)) échangée avec l'extérieur et du travail (\(W\)) échangé : \(\Delta U = Q + W\).
Calcul du Travail lors de l’Expansion d’un Gaz - Exercice d'Application

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