Calcul du Travail lors de l’Expansion Isotherme d’un Gaz Parfait
Contexte : La thermodynamique.
En thermodynamique, le travailÉnergie transférée entre un système et son environnement due à un changement de volume sous l'effet d'une pression. est l'une des deux principales formes d'échange d'énergie entre un système et son environnement, l'autre étant la chaleur. Comprendre comment calculer le travail est fondamental pour analyser le fonctionnement des moteurs, des réfrigérateurs et de nombreux processus naturels et industriels. Cet exercice se concentre sur un cas simple mais essentiel : l'expansion d'un gaz à température constante.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la définition intégrale du travail des forces de pression et à comprendre son lien avec les transformations thermodynamiques simples, en utilisant la loi des gaz parfaits.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la notion de travail thermodynamique et sa convention de signe.
- Savoir appliquer l'équation d'état du gaz parfaitModèle théorique d'un gaz où les particules sont considérées comme des points matériels sans interaction autre que des collisions élastiques..
- Maîtriser le calcul du travail pour une transformation isothermeProcessus thermodynamique qui se déroule à température constante. réversible.
- Interpréter physiquement le résultat d'un calcul de travail.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Système | Cylindre-piston |
| Fluide de travail | Gaz parfait |
| Type de transformation | Isotherme, quasi-statique (réversible) |
Schéma du système Piston-Cylindre
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre de moles | \(n\) | 2 | mol |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) | 8.314 | J·mol⁻¹·K⁻¹ |
| Température du thermostat | \(T\) | 300 | K |
| Volume initial | \(V_1\) | 0.05 | m³ |
| Volume final | \(V_2\) | 0.10 | m³ |
Questions à traiter
- Calculer la pression initiale \(P_1\) du gaz en Pascals (Pa).
- Calculer la pression finale \(P_2\) du gaz en Pascals (Pa).
- Établir l'expression littérale du travail \(W\) échangé par le gaz avec le milieu extérieur au cours de cette transformation en fonction de \(n\), \(R\), \(T\), \(V_1\) et \(V_2\).
- Calculer la valeur numérique de ce travail \(W\) en Joules (J).
- Interpréter le signe du travail calculé. Le système a-t-il fourni ou reçu de l'énergie par travail ?
Les bases sur la Thermodynamique
Pour résoudre cet exercice, deux concepts clés sont nécessaires : la loi des gaz parfaits et la définition du travail thermodynamique.
1. La loi des Gaz Parfaits
Elle décrit la relation entre la pression (\(P\)), le volume (\(V\)), la quantité de matière (\(n\)) et la température absolue (\(T\)) d'un gaz. Pour un gaz parfait, cette relation est donnée par l'équation d'état :
Où \(R\) est la constante des gaz parfaits.
2. Le Travail des Forces de Pression
Le travail \(W\) reçu par un système thermodynamique lors d'une transformation quasi-statique (réversible) qui l'amène d'un volume \(V_1\) à un volume \(V_2\) est défini par l'intégrale :
Pour une transformation réversible, la pression extérieure \(P_{\text{ext}}\) est à chaque instant égale à la pression du gaz \(P\). Le signe 'moins' est une convention : si le système fournit du travail (expansion), \(W < 0\). S'il en reçoit (compression), \(W > 0\).
Correction : Calcul du Travail lors de l’Expansion Isotherme d’un Gaz Parfait
Question 1 : Calculer la pression initiale \(P_1\) du gaz
Principe (le concept physique)
Pour déterminer l'état d'un gaz, on utilise une équation qui relie ses propriétés macroscopiques (pression, volume, température). Pour un gaz parfait, cette relation est simple et directe. Le principe est donc d'appliquer cette "loi des gaz parfaits" à l'état initial du système, pour lequel nous connaissons toutes les grandeurs sauf la pression.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'équation d'état du gaz parfait, \(PV=nRT\), est une pierre angulaire de la thermodynamique. Elle modélise le comportement d'un gaz en supposant que ses molécules ont un volume négligeable et n'interagissent pas entre elles à distance. Bien que ce soit un modèle, il décrit avec une excellente précision le comportement de nombreux gaz (comme l'air, l'azote, l'oxygène) dans des conditions de pression et de température modérées.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Face à une question demandant une grandeur physique (comme P), la première étape est toujours d'identifier la loi ou la formule qui relie cette grandeur aux données connues. Ici, les données (\(n, T, V_1, R\)) crient "Loi des gaz parfaits !". Apprenez à reconnaître ces "indices" dans un énoncé.
Normes (la référence réglementaire)
En physique et en ingénierie, l'utilisation du Système International d'unités (SI) est la norme absolue pour garantir la cohérence des calculs. La pression s'exprime en Pascals (Pa), le volume en mètres cubes (m³), la température en Kelvin (K), et la quantité de matière en moles (mol). L'utilisation de la constante \(R=8.314\) J·mol⁻¹·K⁻¹ impose cette cohérence.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Loi des gaz parfaits appliquée à l'état 1
Hypothèses (le cadre du calcul)
Pour appliquer cette formule, nous nous basons sur les hypothèses suivantes, données dans l'énoncé :
- Le fluide est un gaz parfait.
- Le système est à l'équilibre thermodynamique dans l'état 1, ce qui signifie que sa pression et sa température sont uniformes.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On rassemble les données numériques nécessaires pour le calcul, en vérifiant leur compatibilité avec le Système International.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre de moles | \(n\) | 2 | mol |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) | 8.314 | J·mol⁻¹·K⁻¹ |
| Température | \(T\) | 300 | K |
| Volume initial | \(V_1\) | 0.05 | m³ |
Astuces (Pour aller plus vite)
Avant le calcul, estimez l'ordre de grandeur. \(nRT\) est environ \(2 \times 8 \times 300 = 4800\). Divisé par \(0.05\) (qui est \(1/20\)), cela donne \(4800 \times 20 = 96000\) Pa. Cette estimation rapide permet de vérifier que le résultat final n'est pas aberrant (par exemple, à cause d'une erreur de frappe sur la calculatrice).
Schéma (Avant les calculs)
Visualisons l'état initial sur un diagramme de Clapeyron (Pression en fonction du Volume). Nous cherchons la coordonnée en ordonnée du point initial.
Représentation de l'état initial dans le diagramme (P, V)
Calcul(s) (l'application numérique)
On procède à l'application numérique en enchaînant les étapes de calcul.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma précédent peut maintenant être complété avec la valeur calculée.
Positionnement de l'état initial
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La pression obtenue est d'environ 99.8 kPa (kiloPascals), ce qui est très proche de la pression atmosphérique normale au niveau de la mer (environ 101.3 kPa). C'est un ordre de grandeur tout à fait plausible pour un gaz dans des conditions qui ne sont pas extrêmes.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir la température en Kelvin. La loi des gaz parfaits n'est valable qu'avec des températures absolues. Utiliser des degrés Celsius mènerait à un résultat complètement faux. Heureusement, la donnée était déjà en Kelvin ici.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Pour cette question, retenez la méthode :
1. Identifier la grandeur à calculer (\(P_1\)).
2. Trouver la loi physique qui la relie aux données (\(PV=nRT\)).
3. Isoler la grandeur et faire l'application numérique avec les bonnes unités.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le Pascal (Pa) est une unité de pression très petite. Dans l'industrie, on utilise plus souvent le bar (1 bar = 100 000 Pa) ou le MégaPascal (MPa = 1 000 000 Pa). La pression calculée ici, ~0.99 bar, est donc légèrement inférieure à la pression atmosphérique.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la température avait été de 400 K au lieu de 300 K (avec \(V_1 = 0.05 \text{ m}^3\)), quelle aurait été la pression initiale ?
Question 2 : Calculer la pression finale \(P_2\) du gaz
Principe (le concept physique)
La démarche est identique à la question précédente. Le système a évolué vers un nouvel état d'équilibre (l'état 2), qui est toujours régi par la même loi physique : la loi des gaz parfaits. On l'applique donc avec les nouvelles grandeurs de l'état final.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Une transformation isotherme d'un gaz parfait obéit à la loi de Boyle-Mariotte, qui est un cas particulier de la loi des gaz parfaits. Comme \(n\), \(R\) et \(T\) sont constants, le produit \(PV\) est lui-même constant durant toute la transformation. Ainsi, on a toujours \(P_1V_1 = P_2V_2\). On aurait pu utiliser cette relation pour trouver \(P_2\) directement à partir de \(P_1\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Même si vous connaissez la loi de Boyle-Mariotte, il est souvent plus sûr et tout aussi rapide de repartir de la loi fondamentale des gaz parfaits. Cela évite de se tromper entre les différentes lois spécifiques (isotherme, isobare, isochore...). La loi \(PV=nRT\) est votre couteau suisse !
Normes (la référence réglementaire)
Comme pour la question 1, le respect du Système International d'Unités est primordial pour la cohérence du calcul. Toutes les données doivent être exprimées en unités SI (Pa, m³, K, mol).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Loi des gaz parfaits appliquée à l'état 2
Hypothèses (le cadre du calcul)
Les hypothèses sont les mêmes que pour l'état 1 :
- Le fluide est un gaz parfait.
- Le système est à l'équilibre thermodynamique dans l'état 2.
- La température est restée constante : \(T_2 = T_1 = T = 300 \text{ K}\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On rassemble les données pour ce calcul.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre de moles | \(n\) | 2 | mol |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) | 8.314 | J·mol⁻¹·K⁻¹ |
| Température | \(T\) | 300 | K |
| Volume final | \(V_2\) | 0.10 | m³ |
Astuces (Pour aller plus vite)
Sans calculatrice, on peut utiliser la loi de Boyle-Mariotte : le volume a doublé (de 0.05 à 0.10 m³). Pour une transformation isotherme, si le volume double, la pression doit être divisée par deux. On s'attend donc à trouver une pression finale égale à la moitié de la pression initiale, soit environ \(99768 / 2 = 49884\) Pa.
Schéma (Avant les calculs)
Sur le diagramme de Clapeyron, l'état 2 se trouvera sur la même courbe isotherme que l'état 1, mais à une abscisse (volume) plus grande.
Position de l'état final dans le diagramme (P, V)
Calcul(s) (l'application numérique)
On procède à l'application numérique en enchaînant les étapes de calcul.
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme est complété avec la valeur de \(P_2\).
Positionnement de l'état final
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat confirme l'estimation rapide : la pression a bien été divisée par deux, car le volume a doublé à température constante. Cela montre la cohérence du modèle du gaz parfait pour ce type de transformation.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur principale serait d'utiliser la mauvaise valeur de volume (\(V_1\) au lieu de \(V_2\)). Il est important de bien associer les grandeurs (\(P_2\), \(V_2\)) à l'état correspondant (état 2).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Un état thermodynamique est défini par un ensemble de grandeurs (\(P, V, T, n\)). La loi des gaz parfaits relie ces grandeurs pour n'importe quel état d'équilibre du système.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La loi de Boyle-Mariotte (\(PV=\text{constante}\) à \(T\) constante) a été formulée indépendamment par Robert Boyle en 1662 et Edme Mariotte en 1676. C'est l'une des premières lois quantitatives décrivant le comportement des gaz, bien avant que le concept de "gaz parfait" n'existe.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
En utilisant la loi de Boyle-Mariotte (\(P_1V_1 = P_2V_2\)) et le résultat de la question 1 (\(P_1=99768 \text{ Pa}\)), recalculez \(P_2\).
Question 3 : Établir l'expression littérale du travail \(W\)
Principe (le concept physique)
Le travail des forces de pression est l'énergie échangée due au changement de volume du système. Pour une transformation infinitésimale \(dV\), le travail élémentaire est \(dW = -P dV\). Pour obtenir le travail total sur la transformation, il faut "sommer" tous ces travaux élémentaires, ce qui mathématiquement correspond à une intégrale.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'intégrale \(W = - \int P dV\) représente graphiquement l'aire sous la courbe de la transformation dans un diagramme de Clapeyron (P, V), affectée du signe 'moins'. Comme la pression \(P\) change en permanence pendant l'expansion, on ne peut pas la considérer comme une constante. Il faut utiliser une relation qui lie \(P\) et \(V\) pour pouvoir résoudre l'intégrale. Cette relation est, encore une fois, la loi des gaz parfaits.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Une erreur fréquente est d'écrire \(W = -P(V_2 - V_1)\). Cette formule n'est valable que si la pression \(P\) est constante (transformation isobare). Ce n'est pas le cas ici ! La pression varie, il est donc impératif de passer par le calcul intégral.
Normes (la référence réglementaire)
La convention de signe utilisée ici (\(W<0\) pour un travail fourni par le système) est celle recommandée par l'Union Internationale de Chimie Pure et Appliquée (UICPA) et la plus courante en chimie et en ingénierie. Attention, certains ouvrages de physique plus anciens utilisent la convention inverse.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Définition du travail
Loi des gaz parfaits
Hypothèses (le cadre du calcul)
L'hypothèse cruciale ici est que la transformation est quasi-statique (réversible). C'est ce qui nous permet d'affirmer qu'à chaque instant, la pression extérieure \(P_{\text{ext}}\) qui s'oppose à l'expansion est égale à la pression intérieure du gaz \(P\). Si la transformation était brutale (irréversible), le calcul serait différent et plus complexe.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Pour ce calcul littéral, les données sont les symboles des grandeurs constantes et les bornes d'intégration.
| Paramètre | Symbole |
|---|---|
| Nombre de moles | \(n\) |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) |
| Température | \(T\) |
| Volume initial | \(V_1\) |
| Volume final | \(V_2\) |
Astuces (Pour aller plus vite)
Retenez par cœur le résultat de cette intégrale, car elle est très fréquente : le travail lors d'une transformation isotherme réversible d'un gaz parfait est toujours de la forme \(-nRT \ln(V_f/V_i)\).
Schéma (Avant les calculs)
Le travail que nous cherchons à calculer correspond à l'aire hachurée sous la courbe isotherme entre les volumes \(V_1\) et \(V_2\).
Représentation graphique du travail
Calcul(s) (l'application numérique)
Étape 1 : Substitution de P
Étape 2 : Sortir les constantes de l'intégrale
Étape 3 : Calcul de l'intégrale
En utilisant les propriétés du logarithme (\(\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)\)), on obtient l'expression finale.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma reste le même, car le calcul était littéral. Il confirme que la formule trouvée est bien celle qui permet de calculer l'aire sous la courbe isotherme.
Représentation graphique du travail
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Question 4 : Calculer la valeur numérique de \(W\)
Principe (le concept physique)
Il s'agit d'une application numérique directe de la formule littérale établie à la question précédente. Cette étape concrétise le résultat en lui donnant une valeur physique quantifiable, l'énergie transférée en Joules.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On utilise la formule démontrée précédemment.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On reprend toutes les données numériques de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre de moles | \(n\) | 2 | mol |
| Constante des gaz parfaits | \(R\) | 8.314 | J·mol⁻¹·K⁻¹ |
| Température | \(T\) | 300 | K |
| Volume initial | \(V_1\) | 0.05 | m³ |
| Volume final | \(V_2\) | 0.10 | m³ |
Schéma (Avant les calculs)
Nous allons calculer la valeur de l'aire sous la courbe de la transformation entre les états 1 et 2.
Représentation de la transformation et du travail
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
1. Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode pour le logarithme népérien (ln ou logₑ) et non le logarithme décimal (log ou log₁₀).
2. Vérifiez que le rapport des volumes \(V_2/V_1\) est sans dimension (les unités m³/m³ s'annulent), ce qui est nécessaire pour prendre le logarithme.
Calcul(s) (l'application numérique)
On procède à l'application numérique en enchaînant les étapes de calcul.
Schéma (Après les calculs)
Le diagramme complet de la transformation avec les valeurs numériques.
Diagramme de la transformation et du travail
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le système fournit environ 3458 Joules d'énergie au milieu extérieur. Pour donner un ordre de grandeur, c'est l'énergie nécessaire pour soulever une masse de 345 kg d'un mètre de hauteur sur Terre (\(E_p = mgh\)). C'est donc une quantité d'énergie significative.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le logarithme apparaît très souvent en physique quand on intègre des grandeurs qui varient de manière inversement proportionnelle à une autre variable (comme \(P \propto 1/V\) ici). On le retrouve dans des domaines aussi variés que la décharge d'un condensateur, la désintégration radioactive ou l'acoustique (décibels).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le gaz s'était détendu jusqu'à un volume final \(V_2 = 0.15 \text{ m}^3\), quel aurait été le travail fourni ?
Question 5 : Interpréter le signe du travail
Principe (le concept physique)
Le signe du travail est une convention qui traduit le sens du transfert d'énergie. Une valeur négative ne signifie pas une "énergie négative", mais une perte d'énergie pour le système, cédée à l'extérieur. C'est le bilan énergétique du point de vue du système (ici, le gaz).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Convention de signe pour le travail (point de vue du système) :
- Si \(W > 0\) : Le travail est dit "résistant". Le milieu extérieur fournit du travail au système, qui reçoit de l'énergie. C'est le cas lors d'une compression (\(V_2 < V_1 \Rightarrow \ln(V_2/V_1) < 0\), donc \(W>0\)).
- Si \(W < 0\) : Le travail est dit "moteur". Le système fournit du travail au milieu extérieur, et donc perd de l'énergie. C'est le cas lors d'une expansion (\(V_2 > V_1 \Rightarrow \ln(V_2/V_1) > 0\), donc \(W<0\)).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Une analogie simple : imaginez votre compte en banque. Si vous donnez de l'argent, la transaction est négative pour votre solde. Si vous en recevez, elle est positive. C'est pareil pour le système thermodynamique : il fournit du travail (donne de l'énergie), donc \(W\) est négatif pour lui.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
La donnée de base pour cette question est le résultat du calcul précédent.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Travail calculé | \(W\) | -3458 | J |
Schéma (Avant les calculs)
On visualise la transformation : une expansion, c'est-à-dire une augmentation de volume.
Schéma de la transformation (Expansion)
Schéma (Après les calculs)
Le calcul ayant donné un signe négatif, on peut représenter le transfert d'énergie par une flèche sortant du système.
Bilan énergétique du système
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous avons calculé un travail \(W \approx -3458\) J. Le signe est négatif. Cela signifie que le système a fourni du travail. Physiquement, cela est logique : pour passer d'un volume \(V_1\) à un volume plus grand \(V_2\), le gaz a dû pousser le piston, exerçant une force sur une distance. Cet effort mécanique transmis au milieu extérieur (le piston) est précisément le travail fourni par le gaz.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne confondez pas le travail reçu par le système (\(W\)) avec le travail fourni par le système, qui est \(-W\). Si l'on vous demande "Quel est le travail fourni par le gaz ?", la réponse est \(+3458\) J. Si l'on demande "Quel est le travail échangé par le gaz ?", la réponse est \(-3458\) J. La formulation est subtile mais importante.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
Le signe du travail est directement lié au sens de variation du volume :
- Expansion (\(dV > 0\)) \(\Rightarrow\) Travail fourni par le système \(\Rightarrow\) \(W < 0\).
- Compression (\(dV < 0\)) \(\Rightarrow\) Travail reçu par le système \(\Rightarrow\) \(W > 0\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans un moteur à combustion, c'est justement le travail moteur (\(W<0\)) produit par l'expansion rapide des gaz chauds qui pousse les pistons et met le vilebrequin en rotation, créant ainsi la puissance mécanique du véhicule. La thermodynamique est littéralement le "moteur" de notre civilisation industrielle.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Imaginez maintenant que l'on comprime le gaz de \(V_2=0.10 \text{ m}^3\) à \(V_1=0.05 \text{ m}^3\) à la même température. Quel serait le signe du travail \(W\) ?
Outil Interactif : Simulateur d'Expansion
Utilisez les curseurs pour faire varier la température du gaz ou son volume final et observez en temps réel l'impact sur la pression finale et le travail fourni par le gaz. Les autres paramètres (\(n=2\) mol, \(V_1=0.05\) m³) sont fixes.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est l'unité du travail dans le Système International ?
2. Lors d'une compression isotherme réversible, le travail \(W\) échangé par le système est...
3. Selon la loi de Boyle-Mariotte, si le volume d'un gaz parfait double à température constante, sa pression...
4. Laquelle de ces affirmations est vraie pour une transformation isotherme ?
- Travail thermodynamique (\(W\))
- Forme d'échange d'énergie entre un système et son milieu extérieur, liée au déplacement de la frontière du système sous l'effet d'une force de pression. Il s'exprime en Joules (J).
- Transformation Isotherme
- Un processus ou une transformation qui se déroule à température constante. Pour un gaz parfait, cela implique que le produit \(PV\) est constant.
- Gaz Parfait
- Un modèle théorique d'un gaz dans lequel les particules sont considérées comme ponctuelles et n'interagissant pas entre elles, sauf par des collisions parfaitement élastiques. Il obéit à la loi \(PV=nRT\).
- Système International d'Unités (SI)
- Le système d'unités standard utilisé en science et en ingénierie, basé sur des unités fondamentales comme le mètre (m), le kilogramme (kg), la seconde (s), et le Kelvin (K).
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