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Analyse de la Compression Réversible d’Azote

Exercice : Compression Isentropique de l'Azote

Analyse de la Compression Réversible d’Azote

Contexte : La thermodynamiqueBranche de la physique qui traite des relations entre la chaleur, le travail et d'autres formes d'énergie..

L'étude de la compression des gaz est un pilier de la thermodynamique appliquée, avec des implications directes dans la conception de moteurs, de compresseurs, de turbines et de systèmes de réfrigération. Cet exercice se concentre sur une compression isentropiqueUne transformation thermodynamique qui est à la fois adiabatique (sans échange de chaleur) et réversible (sans création d'entropie). d'azote, modélisé comme un gaz parfaitUn modèle théorique d'un gaz où les particules sont considérées comme ponctuelles et n'interagissent pas entre elles, sauf lors de collisions élastiques.. Nous allons analyser comment la pression, le volume et la température évoluent, et quantifier les échanges d'énergie.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le premier principe de la thermodynamique et les lois des gaz parfaits pour résoudre un problème d'ingénierie concret. La maîtrise de ces concepts est essentielle pour comprendre le fonctionnement des systèmes énergétiques.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer la loi des gaz parfaits pour déterminer un état thermodynamique.
  • Utiliser les lois de Laplace pour une transformation isentropique.
  • Calculer le travail (\(W\)) et le transfert de chaleur (\(Q\)) lors d'une compression.
  • Déterminer les variations d'énergie interne (\(\Delta U\)) et d'enthalpie (\(\Delta H\)).

Données de l'étude

On s'intéresse à un système fermé contenant 2 moles d'azote (\(N_2\)) qui subit une compression réversible et adiabatique (isentropique). L'azote est considéré comme un gaz parfait diatomique.

Conditions Initiales et Finales
Schéma de la Transformation P-V
V (m³) P (Pa) État 1 État 2 V₁ P₁ V₂ P₂
Paramètre Description Valeur Unité
\(n\) Quantité de matière 2 mol
\(P_1\) Pression initiale 1 bar
\(T_1\) Température initiale 300 K
\(P_2\) Pression finale 10 bar
\(\gamma = C_p/C_v\) Coefficient isentropique 1.4 -
\(R\) Constante des gaz parfaits 8.314 J·mol⁻¹·K⁻¹

Questions à traiter

  1. Calculer le volume initial \(V_1\) du gaz en m³.
  2. Déterminer le volume final \(V_2\) et la température finale \(T_2\).
  3. Calculer le travail \(W\) échangé par le gaz avec le milieu extérieur.
  4. Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U\) et la variation d'enthalpie \(\Delta H\).

Les bases sur la Thermodynamique des Gaz Parfaits

Pour résoudre cet exercice, nous aurons besoin de quelques lois et principes fondamentaux de la thermodynamique appliqués aux gaz parfaits.

1. Loi des Gaz Parfaits
Elle relie la pression \(P\), le volume \(V\), la quantité de matière \(n\) et la température absolue \(T\) d'un gaz. La constante \(R\) est la constante universelle des gaz parfaits. \[ PV = nRT \]

2. Premier Principe de la Thermodynamique
Il exprime la conservation de l'énergie pour un système. La variation d'énergie interne \(\Delta U\) est égale à la somme du travail \(W\) et de la chaleur \(Q\) échangés. \[ \Delta U = W + Q \] Pour un gaz parfait, \(\Delta U\) et \(\Delta H\) ne dépendent que de la température : \[ \Delta U = n C_v \Delta T \quad | \quad \Delta H = n C_p \Delta T \]

3. Transformation Isentropique (Adiabatique Réversible)
Cette transformation s'effectue sans échange de chaleur (\(Q=0\)) et de manière réversible. Elle est régie par les lois de Laplace : \[ P V^\gamma = \text{constante} \quad | \quad T V^{\gamma-1} = \text{constante} \quad | \quad T P^{(1-\gamma)/\gamma} = \text{constante} \] Le travail échangé lors d'une telle transformation est donné par : \(W = \Delta U\).

Correction : Analyse de la Compression Réversible d’Azote

Question 1 : Calculer le volume initial \(V_1\) du gaz en \(m^3\).

Principe (le concept physique)

Pour déterminer le volume initial, nous utilisons la relation qui lie les variables d'état (Pression, Volume, Température) du gaz à l'état initial. Comme l'azote est considéré comme un gaz parfait, cette relation est la loi des gaz parfaits.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La loi des gaz parfaits, \(PV=nRT\), est une équation d'état qui décrit le comportement des gaz à basse pression. Elle repose sur l'hypothèse que les molécules de gaz sont des points matériels sans volume propre et qu'il n'y a pas de forces d'interaction entre elles. C'est une excellente approximation pour de nombreux gaz, dont l'azote, dans une large gamme de conditions.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Face à une question demandant de calculer une variable d'état (\(P\), \(V\), \(T\) ou \(n\)), le premier réflexe doit toujours être de vérifier si la loi des gaz parfaits peut être appliquée. C'est le point de départ de la majorité des problèmes de thermodynamique de base.

Normes (la référence réglementaire)

En thermodynamique fondamentale, nous nous basons sur des lois physiques universelles plutôt que sur des normes industrielles. Cependant, dans des applications d'ingénierie (par exemple, le dimensionnement de réservoirs sous pression), des normes comme l'ASME ou la DESP (Directive des Équipements Sous Pression) s'appliqueraient pour des raisons de sécurité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Loi des gaz parfaits

\[ P_1 V_1 = n R T_1 \Rightarrow V_1 = \frac{n R T_1}{P_1} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :

  • L'azote se comporte comme un gaz parfait.
  • Le système est à l'équilibre thermodynamique à l'état 1.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données pertinentes de l'énoncé pour cette question sont :

ParamètreSymboleValeurUnité
Quantité de matière\(n\)2mol
Température initiale\(T_1\)300K
Pression initiale\(P_1\)1bar
Constante des gaz parfaits\(R\)8.314J·mol⁻¹·K⁻¹
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour une vérification rapide de l'ordre de grandeur, souvenez-vous que dans les conditions normales (0°C et 1 bar), une mole de gaz parfait occupe environ 22.4 L. Ici, à 300K (27°C), le volume sera légèrement supérieur. Pour 2 moles, on s'attend donc à un volume d'un peu moins de 50 L, ce qui correspond à environ 0.05 \(m^3\).

Schéma (Avant les calculs)
Représentation de l'état initial
V (m³)P (Pa)État 1V₁ = ?P₁ = 1 bar
Calcul(s) (l'application numérique)

Conversion de la pression en Pascals

\[ P_1 = 1 \; \text{bar} = 1 \times 10^5 \; \text{Pa} \]

Calcul du volume initial

\[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{n R T_1}{P_1} \\ &= \frac{2 \; \text{mol} \times 8.314 \; \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \times 300 \; \text{K}}{1 \times 10^5 \; \text{Pa}} \\ &\approx 0.049884 \; \text{m}^3 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
État initial avec volume calculé
V (m³)P (Pa)État 10.04991 bar
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le volume obtenu, près de 50 litres, est une valeur macroscopique tangible. Il est important de réaliser que ce calcul simple nous permet de lier des propriétés microscopiques (via \(n\) et \(R\)) à des grandeurs mesurables (\(P\), \(T\)) pour prédire une troisième (\(V\)).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente ici est l'incohérence des unités. La pression doit être en Pascals (Pa), et non en bars, pour que le calcul avec la constante \(R\) en J·mol⁻¹·K⁻¹ donne un volume en m³. N'oubliez pas la conversion : \(1 \; \text{bar} = 10^5 \; \text{Pa}\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour maîtriser cette étape, il faut retenir :

  • La formule des gaz parfaits \(PV=nRT\) est la clé pour déterminer un état.
  • La rigueur dans la conversion des unités (Pression en Pa, Volume en m³, Température en K) est non négociable.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La constante \(R\) est dite "universelle" car elle ne dépend pas de la nature du gaz. Elle est le produit de deux autres constantes fondamentales : la constante de Boltzmann (\(k_B\)), qui relie l'énergie à la température au niveau moléculaire, et le nombre d'Avogadro (\(N_A\)). Ainsi, \(R = N_A \times k_B\).

FAQ (pour lever les doutes)

Pourquoi utiliser les Kelvins et non les degrés Celsius ?

L'échelle Kelvin est une échelle de température absolue où 0 K représente le zéro absolu, l'état de plus basse énergie. Les lois des gaz parfaits sont proportionnelles à cette température absolue. Utiliser les degrés Celsius introduirait un décalage (offset) qui rendrait la formule incorrecte.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le volume initial du gaz est \(V_1 \approx 0.0499 \; \text{m}^3\) (soit 49.9 L).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la pression initiale était de 2 bars dans les mêmes conditions de température, quel serait le nouveau volume \(V_1\) en \(m^3\) ?

Question 2 : Déterminer le volume final \(V_2\) et la température finale \(T_2\).

Principe (le concept physique)

La transformation est isentropique (adiabatique et réversible). Les états initial et final sont donc reliés par une relation spécifique, plus forte que la simple loi des gaz parfaits : les lois de Laplace. Nous pouvons utiliser la relation entre pression et volume pour trouver \(V_2\), puis la relation entre pression et température pour trouver \(T_2\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les lois de Laplace décrivent les trajectoires des transformations isentropiques dans les diagrammes d'état. La relation \(PV^\gamma = \text{Cte}\) indique que la courbe est plus "pentue" qu'une isotherme (où \(PV = \text{Cte}\)). Le coefficient \(\gamma = C_p/C_v\) est le rapport des capacités thermiques à pression et volume constants. Il dépend de la nature du gaz (typiquement 1.4 pour un gaz diatomique comme \(N_2\) et 1.67 pour un gaz monoatomique).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Identifiez toujours la nature de la transformation (isotherme, isobare, isochore, adiabatique...). C'est elle qui dicte la bonne formule à utiliser pour relier l'état initial à l'état final. Pour "isentropique", le mot-clé est "Lois de Laplace".

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de norme spécifique pour ce calcul, qui relève des principes de base de la physique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Loi de Laplace (Pression-Volume)

\[ P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma \Rightarrow V_2 = V_1 \left( \frac{P_1}{P_2} \right)^{1/\gamma} \]

Loi de Laplace (Température-Pression)

\[ T_1 P_1^{(1-\gamma)/\gamma} = T_2 P_2^{(1-\gamma)/\gamma} \Rightarrow T_2 = T_1 \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{(\gamma-1)/\gamma} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

En plus des hypothèses de la question 1, nous ajoutons :

  • La transformation est adiabatique (pas d'échange de chaleur : \(Q=0\)).
  • La transformation est réversible (pas de création d'entropie).
  • Le coefficient \(\gamma\) est constant tout au long de la transformation.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pour déterminer l'état final, nous avons besoin des données suivantes :

ParamètreSymboleValeurUnité
Volume initial\(V_1\)0.0499\(m^3\)
Température initiale\(T_1\)300K
Pression initiale\(P_1\)1bar
Pression finale\(P_2\)10bar
Coefficient isentropique\(\gamma\)1.4-
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour les calculs de puissance, utilisez la fonction \(x^y\) de votre calculatrice. Pour les rapports comme \((\gamma-1)/\gamma\), vous pouvez pré-calculer la valeur. Ici \((1.4-1)/1.4 = 0.4/1.4 \approx 0.2857\). Cela évite les erreurs de parenthèses.

Schéma (Avant les calculs)
Schéma de la transformation du gaz
V (m³)P (Pa)État 1État 2V₁P₁V₂=?P₂
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du volume final \(V_2\)

\[ \begin{aligned} V_2 &= V_1 \left( \frac{P_1}{P_2} \right)^{1/\gamma} \\ &= 0.0499 \times \left( \frac{1 \; \text{bar}}{10 \; \text{bar}} \right)^{1/1.4} \\ &= 0.0499 \times (0.1)^{0.7142...} \\ &\approx 0.00963 \; \text{m}^3 \end{aligned} \]

Calcul de la température finale \(T_2\)

\[ \begin{aligned} T_2 &= T_1 \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{(\gamma-1)/\gamma} \\ &= 300 \; \text{K} \times \left( \frac{10 \; \text{bar}}{1 \; \text{bar}} \right)^{(1.4-1)/1.4} \\ &= 300 \times (10)^{0.2857...} \\ &\approx 579.2 \; \text{K} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Position des états 1 et 2
V (m³)P (Pa)120.04991 bar0.0096310 bar
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Comme attendu pour une compression, le volume final est plus petit et la température finale est plus élevée. L'absence d'évacuation de chaleur (\(Q=0\)) fait que l'énergie fournie par le travail de compression se transforme en énergie interne, augmentant la température du gaz. C'est le principe de la pompe à vélo qui chauffe lorsqu'on gonfle un pneu.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas confondre les différentes formes des lois de Laplace. Utilisez celle qui relie les variables connues à la variable inconnue. De plus, ne mélangez pas les indices 1 et 2 ; assurez-vous que les rapports de pression ou de volume sont dans le bon sens.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La clé de cette question est de mémoriser et savoir appliquer les trois formes des lois de Laplace pour les transformations isentropiques. Entraînez-vous à isoler chaque variable (\(T_2, V_2, P_2\)) à partir des autres.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le coefficient \(\gamma\) est directement lié à la vitesse du son dans un gaz. La formule est \(c = \sqrt{\gamma R T / M}\), où M est la masse molaire. C'est pourquoi le son se propage plus vite dans les gaz chauds !

FAQ (pour lever les doutes)

Aurait-on pu calculer \(T_2\) avec la loi des gaz parfaits après avoir trouvé \(V_2\) ?

Oui, absolument. Une fois \(P_2\) et \(V_2\) connus, on peut utiliser \(T_2 = (P_2 V_2) / (n R)\). Le résultat serait le même, ce qui est une bonne façon de vérifier ses calculs. \(T_2 = (10 \times 10^5 \times 0.00963) / (2 \times 8.314) \approx 579.1\) K. La petite différence vient des arrondis.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le volume final est \(V_2 \approx 0.00963 \; \text{m}^3\) (9.63 L) et la température finale est \(T_2 \approx 579.2 \; \text{K}\) (306 °C).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le gaz était un gaz monoatomique (comme l'argon, \(\gamma \approx 1.67\)), quelle serait la température finale \(T_2\) en K pour la même compression ?

Question 3 : Calculer le travail \(W\) échangé par le gaz avec le milieu extérieur.

Principe (le concept physique)

Pour une transformation adiabatique (\(Q=0\)), le premier principe de la thermodynamique (\(\Delta U = W + Q\)) se simplifie en \(\Delta U = W\). Le travail reçu par le gaz est donc égal à sa variation d'énergie interne. On calcule cette dernière car, pour un gaz parfait, elle ne dépend que des températures initiale et finale, que nous connaissons.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le travail des forces de pression pour une transformation réversible est défini par \(W = -\int_{V_1}^{V_2} P dV\). Dans le cas d'une transformation isentropique, l'intégration de cette expression mène à la formule \(W = (P_2V_2 - P_1V_1)/(\gamma-1)\), qui, en utilisant la loi des gaz parfaits, est strictement équivalente à \(W = nC_v(T_2-T_1)\). Utiliser la variation d'énergie interne est souvent plus direct.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour les transformations adiabatiques, ne vous lancez pas dans le calcul de l'intégrale du travail ! C'est long et source d'erreurs. Utilisez toujours le raccourci offert par le premier principe : \(W = \Delta U\). C'est une méthode beaucoup plus rapide et sûre.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul est basé sur le premier principe de la thermodynamique, une loi fondamentale de la physique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Premier Principe (cas adiabatique)

\[ W = \Delta U = n C_v (T_2 - T_1) \]

Relation de Mayer pour les gaz parfaits

\[ C_p - C_v = R \quad \text{et} \quad \gamma = \frac{C_p}{C_v} \Rightarrow C_v = \frac{R}{\gamma - 1} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous nous appuyons sur les hypothèses précédentes, en particulier sur le fait que la capacité thermique \(C_v\) est constante sur l'intervalle de température considéré.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pour calculer le travail, nous utilisons les données suivantes :

ParamètreSymboleValeurUnité
Quantité de matière\(n\)2mol
Température initiale\(T_1\)300K
Température finale\(T_2\)579.2K
Coefficient isentropique\(\gamma\)1.4-
Constante des gaz parfaits\(R\)8.314J·mol⁻¹·K⁻¹
Astuces (Pour aller plus vite)

Le groupe \(R/(\gamma-1)\) pour un gaz parfait diatomique vaut environ \(8.314/0.4 \approx 20.8\). C'est une valeur à connaître pour aller plus vite dans les calculs impliquant l'énergie interne ou le travail isentropique.

Schéma (Avant les calculs)
Visualisation du travail de compression
VP12Aire = - ∫ P dV = W
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la capacité thermique \(C_v\)

\[ \begin{aligned} C_v &= \frac{R}{\gamma - 1} \\ &= \frac{8.314 \; \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}}{1.4 - 1} \\ &= \frac{8.314}{0.4} \\ &\approx 20.785 \; \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]

Calcul du travail \(W\)

\[ \begin{aligned} W &= n C_v (T_2 - T_1) \\ &= 2 \; \text{mol} \times 20.785 \; \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \times (579.2 \; \text{K} - 300 \; \text{K}) \\ &= 2 \times 20.785 \times 279.2 \\ &\approx 11607 \; \text{J} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan énergétique du système
Système (Gaz)ΔU > 0W > 0(Travail reçu)Q = 0(Adiabatique)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le travail est positif (\(W > 0\)), ce qui est cohérent avec la convention thermodynamique indiquant que le système (le gaz) reçoit de l'énergie du milieu extérieur lors d'une compression. Cette énergie de 11.61 kJ est stockée dans le gaz sous forme d'énergie interne, ce qui explique l'augmentation de sa température.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention au signe du travail ! Beaucoup de conventions existent. En physique (convention de l'ingénieur), le travail reçu par le système est compté positivement. Un travail positif signifie que le milieu extérieur a "poussé" sur le système. Vérifiez toujours la cohérence physique : une compression requiert de l'énergie (\(W>0\)), une détente en fournit (\(W<0\)).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le point fondamental à retenir est que pour toute transformation adiabatique d'un système fermé, le travail échangé est exactement égal à la variation de son énergie interne : \(W_{\text{adia}} = \Delta U\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans un moteur diesel, la compression de l'air dans le cylindre est si rapide qu'elle est quasi-adiabatique. L'augmentation de température est telle (plus de 600°C) qu'elle suffit à enflammer le carburant injecté, sans nécessiter de bougie d'allumage !

FAQ (pour lever les doutes)

Pourquoi \(C_v\) et non \(C_p\) ?

L'énergie interne \(U\) est une mesure de l'énergie "désordonnée" du système (agitation thermique). Sa variation est intrinsèquement liée aux changements de température à volume constant, d'où l'utilisation de \(C_v\). Même si le volume change, la formule \(\Delta U = n C_v \Delta T\) reste valide pour un gaz parfait, quelle que soit la transformation.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le travail reçu par le gaz est \(W \approx 11.61 \; \text{kJ}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la température finale n'était que de 500 K, quel aurait été le travail reçu par le gaz en kJ ?

Question 4 : Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U\) et la variation d'enthalpie \(\Delta H\).

Principe (le concept physique)

Comme vu précédemment, pour un processus adiabatique, la variation d'énergie interne est égale au travail échangé. La variation d'enthalpie, \(\Delta H\), est une autre fonction d'état qui est également une fonction de la température pour un gaz parfait. Elle peut être calculée à l'aide de la capacité thermique à pression constante, \(C_p\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'enthalpie \(H = U + PV\) est une grandeur particulièrement utile pour l'étude des systèmes ouverts (en écoulement) et des transformations à pression constante. Pour un gaz parfait, comme \(\Delta U = nC_v\Delta T\) et \(\Delta(PV) = nR\Delta T\), on a \(\Delta H = n(C_v+R)\Delta T = nC_p\Delta T\). Cette relation est valable pour n'importe quelle transformation d'un gaz parfait.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Une fois \(\Delta U\) calculé, il est très simple d'obtenir \(\Delta H\). Ne refaites pas tout le calcul, utilisez la relation simple qui lie les deux grandeurs via le coefficient \(\gamma\): \(\Delta H = \gamma \Delta U\). C'est un gain de temps et une excellente méthode de vérification.

Normes (la référence réglementaire)

Les définitions de l'énergie interne et de l'enthalpie sont des piliers de la thermodynamique internationale, standardisées par l'IUPAC (Union Internationale de Chimie Pure et Appliquée).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Variation d'énergie interne

\[ \Delta U = W \quad (\text{car } Q=0) \]

Variation d'enthalpie

\[ \Delta H = n C_p (T_2 - T_1) \quad \text{avec} \quad C_p = \gamma C_v \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les mêmes hypothèses que précédemment s'appliquent : gaz parfait avec des capacités thermiques constantes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données nécessaires pour cette question sont :

ParamètreSymboleValeurUnité
Travail reçu (égale à \(\Delta U\))\(W\)11607J
Quantité de matière\(n\)2mol
Capacité thermique\(C_v\)20.785J·mol⁻¹·K⁻¹
Température initiale\(T_1\)300K
Température finale\(T_2\)579.2K
Coefficient isentropique\(\gamma\)1.4-
Astuces (Pour aller plus vite)

Une façon rapide de vérifier la cohérence des résultats est d'utiliser le rapport \(\gamma = C_p/C_v\). On doit aussi avoir \(\Delta H / \Delta U = \gamma\). Ici, \(16250 / 11607 \approx 1.4\), ce qui confirme nos calculs.

Schéma (Avant les calculs)
Relation entre Enthalpie et Énergie Interne
Énergie Interne UTravail PV+Enthalpie H
Calcul(s) (l'application numérique)

Variation d'énergie interne \(\Delta U\)

\[ \Delta U = W \approx 11607 \; \text{J} \]

Calcul de la capacité thermique \(C_p\)

\[ \begin{aligned} C_p &= \gamma \times C_v \\ &= 1.4 \times 20.785 \\ &\approx 29.099 \; \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]

Calcul de la variation d'enthalpie \(\Delta H\)

\[ \begin{aligned} \Delta H &= n C_p (T_2 - T_1) \\ &= 2 \; \text{mol} \times 29.099 \; \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \times (579.2 \; \text{K} - 300 \; \text{K}) \\ &= 2 \times 29.099 \times 279.2 \\ &\approx 16250 \; \text{J} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Augmentation des Niveaux d'Énergie
Énergie Interne UU₁U₂ΔU ≈ +11.6 kJEnthalpie HH₁H₂ΔH ≈ +16.2 kJ
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les deux variations sont positives, ce qui est logique puisque la température a augmenté. \(\Delta H\) est supérieur à \(\Delta U\), ce qui est toujours le cas pour un gaz parfait (\(\Delta H = \Delta U + nR\Delta T\)). L'enthalpie inclut l'énergie interne plus le "travail d'écoulement" (\(PV\)), qui augmente également lors de la compression.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre \(\Delta U\) et \(\Delta H\). Bien que liées, elles ne sont pas interchangeables. \(\Delta U\) est lié au travail dans un processus adiabatique, tandis que \(\Delta H\) est lié à la chaleur dans un processus isobare.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour un gaz parfait, retenez ces relations fondamentales valables pour TOUTE transformation :

  • \(\Delta U = n C_v \Delta T\)
  • \(\Delta H = n C_p \Delta T\)
  • \(\Delta H = \Delta U + n R \Delta T\)
  • \(\Delta H = \gamma \Delta U\)
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'enthalpie est la grandeur clé utilisée pour analyser les cycles des turbines à vapeur et des turboréacteurs. Les ingénieurs tracent les transformations sur des diagrammes (Température-Entropie) ou (Enthalpie-Entropie, dit diagramme de Mollier) pour visualiser l'énergie extraite ou fournie à chaque étape.

FAQ (pour lever les doutes)

A quoi sert l'enthalpie concrètement ?

Imaginez un fluide qui s'écoule dans une machine (une turbine par exemple). Pour entrer dans la machine, le fluide doit "pousser" ce qui est déjà dedans, ce qui demande un travail \(P_1V_1\). En sortant, il est "poussé" par ce qui arrive derrière, ce qui fournit un travail \(P_2V_2\). Le travail technique utile que l'on peut extraire de la machine n'est pas seulement lié à la variation d'énergie interne, mais à la variation de \(U+PV\), c'est-à-dire l'enthalpie \(H\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La variation d'énergie interne est \(\Delta U \approx 11.61 \; \text{kJ}\) et la variation d'enthalpie est \(\Delta H \approx 16.25 \; \text{kJ}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour la compression menant à \(T_2 = 500\) K (cf. question précédente, W = 8.31 kJ), quelle serait la variation d'enthalpie \(\Delta H\) en kJ ?

Outil Interactif : Simulateur de Compression

Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier la pression finale et le coefficient isentropique \(\gamma\). Observez en temps réel l'impact sur les variables d'état finales, le travail de compression et la courbe de la transformation dans le diagramme P-V.

Paramètres d'Entrée
10 bar
1.40
Résultats Clés
Température Finale \(T_2\) (K) -
Volume Final \(V_2\) (L) -
Travail Reçu \(W\) (kJ) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Lors d'une compression isentropique d'un gaz parfait, que peut-on dire du transfert de chaleur \(Q\) ?

2. Quelle loi fondamentale relie la Pression, le Volume et la Température de l'azote dans cet exercice ?

3. De quelle unique variable la variation d'énergie interne \(\Delta U\) d'un gaz parfait dépend-elle ?

4. Pour une compression, le travail \(W\) calculé est positif. Qu'est-ce que cela signifie ?

5. Comment la température d'un gaz évolue-t-elle lors d'une compression adiabatique réversible ?

Compression Isentropique
Une transformation thermodynamique qui est à la fois adiabatique (sans échange de chaleur avec l'extérieur, Q=0) et réversible (pas de phénomènes dissipatifs comme les frottements). L'entropie du système reste constante.
Énergie Interne (\(U\))
La somme de toutes les énergies cinétiques et potentielles des particules qui composent un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de sa température.
Enthalpie (\(H\))
Une fonction d'état utile pour étudier les écoulements et les transformations à pression constante. Elle est définie par \(H = U + PV\). Pour un gaz parfait, elle ne dépend aussi que de sa température.
Gaz Parfait
Un modèle théorique d'un gaz où les interactions entre les particules sont négligées et leur volume propre est considéré comme nul. Il suit la loi \(PV = nRT\).
Analyse de la Compression Réversible d’Azote

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