Études de cas pratique

EGC

Analyse de la Compression Réversible d’Azote

Analyse de la Compression Réversible d’Azote

Analyse de la Compression Réversible d’Azote

Comprendre la Compression Adiabatique Réversible

Une compression adiabatique est un processus thermodynamique au cours duquel un gaz est comprimé (son volume diminue) sans échange de chaleur avec son environnement (\(Q=0\)). Si cette compression est également réversible (effectuée de manière quasi-statique et sans frottements internes ou externes), elle est dite isentropique, ce qui signifie que l'entropie du système reste constante. Lors d'une compression adiabatique réversible, un travail est fourni au gaz par l'extérieur. Cette énergie se traduit par une augmentation de l'énergie interne du gaz, et donc par une élévation de sa température et de sa pression. Ce type de transformation est important dans l'étude des compresseurs, des moteurs à combustion interne (phase de compression), et d'autres dispositifs thermodynamiques.

Données de l'étude

On considère \(n\) moles d'azote (N\(_2\)), assimilé à un gaz parfait diatomique, subissant une compression adiabatique réversible dans un cylindre isolé muni d'un piston mobile.

Caractéristiques du gaz et de la transformation :

  • Gaz : Azote (N\(_2\)), assimilé à un gaz parfait diatomique.
  • Nombre de moles (\(n\)) : \(0.3 \, \text{mol}\)
  • État initial (1) :
    • Pression (\(P_1\)) : \(1.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\) (soit \(1 \, \text{bar}\))
    • Température (\(T_1\)) : \(298 \, \text{K}\) (soit \(25^\circ\text{C}\))
  • État final (2) :
    • Le volume final (\(V_2\)) est tel que \(V_2 = V_1 / 5\) (le gaz est comprimé à un cinquième de son volume initial).
  • Coefficient adiabatique pour N\(_2\) (\(\gamma = C_P/C_V\)) : \(1.4\)
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Capacité thermique molaire à volume constant pour N\(_2\) (\(C_V\)) : \(\frac{5}{2}R\)
  • Capacité thermique molaire à pression constante pour N\(_2\) (\(C_P\)) : \(\frac{7}{2}R\)
Schéma : Compression Adiabatique dans un Cylindre-Piston
V1, P1, T1 État Initial V2, P2, T2 État Final Compression Adiabatique Réversible Parois Isolées (Q=0)

Illustration d'un gaz comprimé de manière adiabatique dans un cylindre isolé avec piston mobile.

Questions à traiter

  1. Calculer le volume initial (\(V_1\)) du gaz en \(\text{m}^3\).
  2. Calculer le volume final (\(V_2\)) du gaz en \(\text{m}^3\).
  3. Calculer la pression finale (\(P_2\)) du gaz après la compression adiabatique.
  4. Calculer la température finale (\(T_2\)) du gaz après la compression.
  5. Calculer le travail (\(W\)) reçu par le gaz lors de cette compression adiabatique réversible. Est-il moteur ou résistant ?
  6. Calculer la variation d'énergie interne (\(\Delta U\)) du gaz durant cette transformation.
  7. Quelle est la quantité de chaleur (\(Q\)) échangée par le gaz avec l'extérieur ? Justifier.
  8. Calculer la variation d'enthalpie (\(\Delta H\)) du gaz.

Correction : Compression Réversible d’Azote

Question 1 : Volume initial (\(V_1\)) du gaz

Principe :

Utiliser l'équation d'état des gaz parfaits pour l'état initial.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_1 V_1 = n R T_1 \Rightarrow V_1 = \frac{n R T_1}{P_1} \]
Données spécifiques :
  • Nombre de moles (\(n\)) : \(0.3 \, \text{mol}\)
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Température initiale (\(T_1\)) : \(298 \, \text{K}\)
  • Pression initiale (\(P_1\)) : \(1.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_1 &= \frac{0.3 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 298 \, \text{K}}{1.0 \times 10^5 \, \text{Pa}} \\ &= \frac{743.2356 \, \text{J}}{100000 \, \text{Pa}} \\ &\approx 0.007432356 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(V_1 \approx 0.00743 \, \text{m}^3\) ou \(7.43 \, \text{L}\).

Résultat Question 1 : Le volume initial du gaz est \(V_1 \approx 0.00743 \, \text{m}^3\).

Question 2 : Volume final (\(V_2\)) du gaz

Principe :

Le volume final est donné comme étant un cinquième du volume initial.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ V_2 = \frac{V_1}{5} \]
Données spécifiques :
  • \(V_1 \approx 0.007432356 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_2 &\approx \frac{0.007432356 \, \text{m}^3}{5} \\ &\approx 0.0014864712 \, \text{m}^3 \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(V_2 \approx 0.001486 \, \text{m}^3\) ou \(1.486 \, \text{L}\).

Résultat Question 2 : Le volume final du gaz est \(V_2 \approx 0.001486 \, \text{m}^3\).

Question 3 : Pression finale (\(P_2\)) du gaz

Principe :

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, la loi de Laplace (ou loi de Poisson) reliant la pression et le volume est \(P V^\gamma = \text{constante}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma \Rightarrow P_2 = P_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma \]
Données spécifiques :
  • \(P_1 = 1.0 \times 10^5 \, \text{Pa}\)
  • \(V_1/V_2 = 5\) (puisque \(V_2 = V_1/5\))
  • Coefficient adiabatique (\(\gamma\)) : \(1.4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_2 &= (1.0 \times 10^5 \, \text{Pa}) \times (5)^{1.4} \\ &\approx (1.0 \times 10^5) \times 9.51828 \\ &\approx 951828 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Soit environ \(9.52 \, \text{bar}\).

Résultat Question 3 : La pression finale du gaz est \(P_2 \approx 9.518 \times 10^5 \, \text{Pa}\).

Question 4 : Température finale (\(T_2\)) du gaz

Principe :

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, on peut utiliser la loi de Laplace reliant température et volume : \(T V^{\gamma-1} = \text{constante}\), ou l'équation d'état des gaz parfaits avec \(P_2\) et \(V_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1} \Rightarrow T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} \] \[ \text{Ou } P_2 V_2 = n R T_2 \Rightarrow T_2 = \frac{P_2 V_2}{n R} \]
Données spécifiques :
  • \(T_1 = 298 \, \text{K}\)
  • \(V_1/V_2 = 5\)
  • \(\gamma = 1.4 \Rightarrow \gamma-1 = 0.4\)
  • (Alternativement : \(P_2 \approx 951828 \, \text{Pa}\), \(V_2 \approx 0.0014864712 \, \text{m}^3\), \(n = 0.3 \, \text{mol}\), \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\))
Calcul (Méthode 1 - Loi de Laplace T-V) :
\[ \begin{aligned} T_2 &= 298 \, \text{K} \times (5)^{0.4} \\ &\approx 298 \times 1.90365 \\ &\approx 567.288 \, \text{K} \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2 - Équation d'état) :
\[ \begin{aligned} T_2 &\approx \frac{951828 \, \text{Pa} \times 0.0014864712 \, \text{m}^3}{0.3 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}} \\ &= \frac{1414.6711 \, \text{J}}{2.4942 \, \text{J/K}} \\ &\approx 567.17 \, \text{K} \end{aligned} \]

Les légères différences sont dues aux arrondis. On prendra \(T_2 \approx 567.2 \, \text{K}\).

Résultat Question 4 : La température finale du gaz est \(T_2 \approx 567.2 \, \text{K}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Lors d'une compression adiabatique réversible d'un gaz parfait, sa température :

Question 5 : Travail (\(W\)) reçu par le gaz

Principe :

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, le travail \(W\) (reçu par le gaz) est égal à la variation d'énergie interne \(\Delta U\), ou peut être calculé par \(W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma}\) (travail fourni par le gaz) ou \(W = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{\gamma-1}\) (travail reçu par le gaz).

Formule(s) utilisée(s) (travail reçu par le gaz) :
\[ W = n C_V (T_2 - T_1) \quad \text{ou} \quad W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma-1} \]
Données spécifiques :
  • \(n = 0.3 \, \text{mol}\)
  • \(C_V = \frac{5}{2}R = \frac{5}{2} \times 8.314 \approx 20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 = 298 \, \text{K}\), \(T_2 \approx 567.17 \, \text{K}\)
  • \(P_1V_1 = 0.3 \times 8.314 \times 298 \approx 743.2356 \, \text{J}\)
  • \(P_2V_2 \approx 951828 \times 0.0014864712 \approx 1414.6711 \, \text{J}\)
  • \(\gamma - 1 = 0.4\)
Calcul (avec T et \(C_V\)) :
\[ \begin{aligned} W &\approx 0.3 \, \text{mol} \times 20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times (567.17 \, \text{K} - 298 \, \text{K}) \\ &\approx 0.3 \times 20.785 \times 269.17 \\ &\approx 1679.9 \, \text{J} \end{aligned} \]
Calcul (avec P et V) :
\[ \begin{aligned} W &\approx \frac{743.2356 \, \text{J} - 1414.6711 \, \text{J}}{1.4-1} \\ &= \frac{-671.4355}{0.4} \\ &\approx -1678.59 \, \text{J} \end{aligned} \]

Le travail reçu par le gaz est \(W = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma}\). \(W \approx \frac{1414.6711 - 743.2356}{1-1.4} = \frac{671.4355}{-0.4} \approx -1678.59 \, \text{J}\). Ceci est le travail fourni par le gaz. Donc, le travail reçu par le gaz est \(+1678.59 \, \text{J}\). Utilisons \(W = nC_V(T_2-T_1)\) qui est plus direct pour le travail reçu. \(W \approx 0.3 \times (5/2 \times 8.314) \times (567.17 - 298) \approx 0.3 \times 20.785 \times 269.17 \approx 1679.9 \, \text{J}\). Puisque \(W > 0\), le travail est reçu par le gaz, il est donc résistant.

Résultat Question 5 : Le travail reçu par le gaz est \(W \approx 1680 \, \text{J}\). C'est un travail résistant.

Question 6 : Variation d'énergie interne (\(\Delta U\))

Principe :

Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la variation de température.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta U = n C_V (T_2 - T_1) \]
Données spécifiques :
  • \(n = 0.3 \, \text{mol}\)
  • \(C_V \approx 20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 = 298 \, \text{K}\), \(T_2 \approx 567.17 \, \text{K}\)
  • \(\Delta T \approx 269.17 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U &\approx 0.3 \, \text{mol} \times 20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 269.17 \, \text{K} \\ &\approx 1679.9 \, \text{J} \end{aligned} \]

On peut arrondir à \(\Delta U \approx 1680 \, \text{J}\).

Résultat Question 6 : La variation d'énergie interne du gaz est \(\Delta U \approx 1680 \, \text{J}\).

Question 7 : Quantité de chaleur (\(Q\)) échangée

Principe :

Une transformation adiabatique est définie comme une transformation sans échange de chaleur avec l'extérieur.

Justification :

Par définition d'un processus adiabatique, la quantité de chaleur échangée \(Q\) est nulle.

\[ Q = 0 \, \text{J} \]
Résultat Question 7 : La quantité de chaleur échangée est \(Q = 0 \, \text{J}\), car la transformation est adiabatique.

Question 8 : Variation d'enthalpie (\(\Delta H\))

Principe :

Pour un gaz parfait, la variation d'enthalpie est \(\Delta H = n C_P (T_2 - T_1)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta H = n C_P (T_2 - T_1) \]
Données spécifiques :
  • \(n = 0.3 \, \text{mol}\)
  • \(C_P = \frac{7}{2}R = \frac{7}{2} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} = 29.099 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(\Delta T \approx 269.17 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta H &\approx 0.3 \, \text{mol} \times 29.099 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 269.17 \, \text{K} \\ &\approx 0.3 \times 7831.72 \\ &\approx 2349.5 \, \text{J} \end{aligned} \]

Alternativement, \(\Delta H = \gamma \Delta U / (\gamma-1) \times (\gamma-1)/\gamma = \gamma W\) si on utilise \(W = \Delta U\). Ou plus simplement \(\Delta H = \gamma \Delta U\) n'est pas correct. On sait que \(\Delta H = \Delta U + \Delta(PV)\). \(\Delta(PV) = P_2V_2 - P_1V_1 \approx 1414.67 \, \text{J} - 743.24 \, \text{J} \approx 671.43 \, \text{J}\). \(\Delta H \approx 1679.9 \, \text{J} + 671.43 \, \text{J} \approx 2351.33 \, \text{J}\). La petite différence vient des arrondis. Le calcul avec \(C_P\) est plus direct.

Résultat Question 8 : La variation d'enthalpie du gaz est \(\Delta H \approx 2349.5 \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le coefficient adiabatique \(\gamma\) pour un gaz parfait diatomique est typiquement :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans une transformation adiabatique, quelle quantité est nulle par définition ?

2. Pour une compression adiabatique réversible d'un gaz parfait :

3. Le travail reçu par un gaz lors d'une compression adiabatique réversible est :

Glossaire

Transformation Adiabatique
Processus thermodynamique au cours duquel il n'y a aucun échange de chaleur (\(Q=0\)) entre le système et son environnement.
Transformation Réversible
Processus idéal qui peut être inversé à tout moment, ramenant le système et l'environnement à leurs états initiaux sans laisser de trace. Le système est en équilibre à chaque instant.
Transformation Isentropique
Processus thermodynamique réversible et adiabatique, au cours duquel l'entropie du système reste constante.
Gaz Parfait
Modèle de gaz idéal obéissant à l'équation d'état \(PV = nRT\), dont l'énergie interne et l'enthalpie ne dépendent que de la température.
Coefficient Adiabatique (\(\gamma\))
Rapport des capacités thermiques molaires à pression constante (\(C_P\)) et à volume constant (\(C_V\)), soit \(\gamma = C_P/C_V\).
Lois de Laplace (ou de Poisson)
Relations entre pression, volume et température pour les transformations adiabatiques réversibles d'un gaz parfait (ex: \(P V^\gamma = \text{cste}\), \(T V^{\gamma-1} = \text{cste}\), \(T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{cste}\)).
Travail Thermodynamique (\(W\))
Énergie transférée lorsqu'une force déplace son point d'application. Par convention, \(W > 0\) si reçu par le système.
Énergie Interne (\(U\))
Somme des énergies microscopiques d'un système. Pour un gaz parfait, \(\Delta U = nC_V\Delta T\).
Enthalpie (\(H\))
Fonction d'état thermodynamique définie par \(H = U + PV\). Pour un gaz parfait, \(\Delta H = nC_P\Delta T\).
Premier Principe de la Thermodynamique
Exprime la conservation de l'énergie : \(\Delta U = Q + W\).
Détente adiabatique d’un gaz dans un piston - Exercice d'Application

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