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Poutre encastrée et Diagramme des Moments

Poutre encastrée et Diagramme des Moments

Poutre encastrée et Diagramme des Moments

Contexte : Les fondations de la construction.

En génie civil, la poutre est l'un des éléments structurels les plus fondamentaux. La poutre encastrée, ou "poutre en porte-à-faux" (cantilever), est un cas d'étude essentiel car elle modélise de nombreuses situations réelles : balcons, ailes d'avion, potences, etc. Comprendre comment les charges appliquées se traduisent en efforts internes — l'effort tranchantForce interne qui tend à faire cisailler une section de la poutre. Elle correspond à la somme des forces verticales agissant d'un côté de la coupure. et le moment fléchissantMoment interne qui tend à faire fléchir la poutre. Il correspond à la somme des moments des forces agissant d'un côté de la coupure et est maximal là où l'effort tranchant est nul. — est crucial pour dimensionner correctement la structure et garantir sa sécurité.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe des principes de la statique du solide et de la Résistance des Matériaux (RDM). Nous allons isoler une poutre, appliquer les équations d'équilibre pour trouver les réactions inconnues à l'encastrement, puis "couper" la poutre à un endroit arbitraire pour déterminer les lois mathématiques qui régissent les efforts internes.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le Principe Fondamental de la Statique pour calculer les réactions d'un appui encastré.
  • Établir les équations de l'effort tranchant \(V(x)\) et du moment fléchissant \(M(x)\) le long de la poutre.
  • Tracer et interpréter les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant.
  • Identifier les points critiques et déterminer les valeurs maximales des efforts pour le dimensionnement.

Données de l'étude

On étudie une poutre en acier de profilé IPE, encastrée à son extrémité gauche (point A) et libre à son extrémité droite (point B). Elle est soumise à une charge uniformément répartie sur toute sa longueur et à une charge ponctuelle à son extrémité libre.

Schéma de la Poutre Encastrée
A x w P B L
Paramètre Symbole Valeur Unité
Longueur de la poutre \(L\) 4.0 \(\text{m}\)
Charge répartie \(w\) 10 \(\text{kN/m}\)
Charge ponctuelle \(P\) 20 \(\text{kN}\)

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui en A (effort vertical \(V_A\) et moment d'encastrement \(M_A\)).
  2. Déterminer les équations de l'effort tranchant \(V(x)\) et du moment fléchissant \(M(x)\) pour \(x \in [0, L]\).
  3. Tracer le diagramme de l'effort tranchant (DET).
  4. Tracer le diagramme du moment fléchissant (DMF) et déterminer la valeur du moment maximal.

Les bases de la Résistance des Matériaux (RDM)

Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés pour l'étude des poutres.

1. Équilibre Statique :
Pour qu'une structure soit stable, elle doit être en équilibre. Cela signifie que la somme de toutes les forces et de tous les moments qui s'y appliquent doit être nulle. Pour un problème 2D comme celui-ci, cela se traduit par trois équations :

\[ \sum F_x = 0 \]
\[ \sum F_y = 0 \]
\[ \sum M_A = 0 \]

Où \(\sum M_A\) est la somme des moments par rapport à un point A. Ces équations permettent de trouver les forces et moments inconnus exercés par les appuis (les "réactions").

2. Effort Tranchant et Moment Fléchissant :
Ce sont des efforts internes à la poutre. Pour les trouver, on pratique une "coupure" imaginaire à une distance \(x\) de l'origine. L'effort tranchant \(V(x)\) est la somme de toutes les forces verticales à gauche (ou à droite) de la coupure. Le moment fléchissant \(M(x)\) est la somme des moments de toutes les forces à gauche (ou à droite) de la coupure.

3. Relations Différentielles :
L'effort tranchant et le moment fléchissant sont liés par des relations fondamentales. La dérivée du moment fléchissant est égale à l'effort tranchant, et la dérivée de l'effort tranchant est égale à l'opposé de la charge répartie :

\[ \frac{dM(x)}{dx} = V(x) \]
\[ \frac{dV(x)}{dx} = -w(x) \]

Ces relations sont très utiles pour vérifier la cohérence des diagrammes : une pente constante sur le DMF correspond à une valeur constante sur le DET, par exemple.

Correction : Poutre encastrée et Diagramme des Moments

Question 1 : Calculer les réactions d'appui en A

Principe (le concept physique)

L'encastrement est un appui qui bloque complètement la poutre : il l'empêche de se déplacer verticalement et de tourner. Pour ce faire, il doit exercer une force verticale (\(V_A\)) pour supporter toutes les charges, et un moment (\(M_A\)) pour empêcher la rotation. On trouve ces deux inconnues en appliquant les conditions d'équilibre global de la poutre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) postule qu'un corps solide est en équilibre si et seulement si la somme vectorielle des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle, et la somme vectorielle des moments de ces forces par rapport à n'importe quel point est nulle. Pour notre poutre, cela garantit qu'elle ne va ni s'envoler, ni s'enfoncer, ni se mettre à tourner sur elle-même.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez tenir une règle lourde à une seule main, par une extrémité. Votre main doit non seulement pousser vers le haut pour contrer le poids de la règle (c'est la réaction de force \(V_A\)), mais aussi exercer une torsion avec votre poignet pour l'empêcher de basculer vers le bas (c'est la réaction de moment \(M_A\)). L'encastrement fait exactement la même chose.

Normes (la référence réglementaire)

En génie civil, les calculs de RDM sont régis par les Eurocodes, notamment l'Eurocode 3 pour les structures en acier. Ces normes définissent les combinaisons de charges à appliquer (poids propre, charges d'exploitation, neige, vent...) et les vérifications à effectuer. Cet exercice se place dans le cadre d'une combinaison de charges déjà définie à l'État Limite Ultime (ELU).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les équations du PFS appliquées à la poutre :

\[ \sum F_y = 0 \]
\[ \sum M_{/A} = 0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est initialement au repos et en équilibre. On néglige le poids propre de la poutre (ou on considère qu'il est inclus dans la charge répartie \(w\)). On définit un sens positif pour les forces (vers le haut) et les moments (sens anti-horaire).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge répartie, \(w = 10 \, \text{kN/m}\)
  • Charge ponctuelle, \(P = 20 \, \text{kN}\)
  • Longueur, \(L = 4.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les calculs de moment, une charge répartie \(w\) sur une longueur \(L\) peut être remplacée par sa résultante, une force unique \(F = w \times L\), appliquée au centre de gravité de la charge, soit à \(L/2\) pour une charge rectangulaire.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Corps Libre de la Poutre
ABVAMAwP
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Équilibre des forces verticales :

\[ \begin{aligned} \sum F_y = 0 &\implies V_A - (w \times L) - P = 0 \\ &\implies V_A = wL + P \\ &= (10 \, \text{kN/m} \times 4 \, \text{m}) + 20 \, \text{kN} \\ &= 40 \, \text{kN} + 20 \, \text{kN} \\ &= 60 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Équilibre des moments par rapport au point A :

\[ \begin{aligned} \sum M_{/A} = 0 &\implies M_A - (w \times L) \times \frac{L}{2} - P \times L = 0 \\ &\implies M_A = \frac{wL^2}{2} + PL \\ &= \frac{10 \times 4^2}{2} + 20 \times 4 \, \, [\text{kNm}] \\ &= \frac{160}{2} + 80 \, \, [\text{kNm}] \\ &= 80 + 80 \, \, [\text{kNm}] \\ &= 160 \, \text{kNm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Poutre avec Réactions d'Appui Calculées
AB60 kN160 kNmw=10kN/mP=20kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'appui en A doit fournir une force de 60 kN vers le haut pour supporter la totalité des charges descendantes (40 kN de la charge répartie + 20 kN de la charge ponctuelle). Il doit également fournir un moment de 160 kNm pour contrer le "bras de levier" de ces mêmes charges qui tendent à faire basculer la poutre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est le signe des moments. Il est crucial de définir une convention (par exemple, anti-horaire positif) et de s'y tenir. Ici, \(M_A\) est supposé positif (anti-horaire), tandis que les charges \(w\) et \(P\) créent des moments négatifs (horaires) par rapport à A. L'équation d'équilibre est donc \(M_A + M_{\text{charges}} = 0\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Un encastrement génère deux réactions : une force et un moment.
  • La réaction de force équilibre la somme de toutes les charges appliquées.
  • La réaction de moment équilibre la somme de tous les moments créés par les charges par rapport à l'encastrement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans la réalité, un "encastrement parfait" n'existe pas. Il y a toujours une petite rotation à l'appui due à la déformation des matériaux. Les ingénieurs modélisent cela avec des appuis "élastiques" (semi-encastrés), qui sont plus complexes à calculer mais plus proches de la réalité pour des structures très sensibles.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne pas utiliser \(\sum F_x = 0\) ?

Dans ce problème, il n'y a aucune force horizontale appliquée à la poutre. L'équation \(\sum F_x = 0\) nous donnerait simplement que la réaction horizontale à l'appui A est nulle. Elle est donc triviale et n'est pas nécessaire pour résoudre le problème.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les réactions d'appui en A sont \(V_A = 60 \, \text{kN}\) et \(M_A = 160 \, \text{kNm}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge P était nulle, quelles seraient les nouvelles valeurs de \(V_A\) et \(M_A\) ?

Question 2 : Déterminer les équations de V(x) et M(x)

Principe (le concept physique)

Pour connaître les efforts à l'intérieur de la poutre, on réalise une coupure imaginaire à une distance \(x\) de l'origine A. En appliquant les équations d'équilibre sur la section de poutre à gauche de la coupure, on peut exprimer l'effort tranchant \(V(x)\) et le moment fléchissant \(M(x)\) en fonction de \(x\).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les équations \(V(x)\) et \(M(x)\) sont les "lois" qui décrivent la variation des efforts internes tout le long de la poutre. Elles sont fondamentales car elles permettent de trouver les valeurs des efforts en n'importe quel point, et notamment les valeurs maximales qui serviront au dimensionnement de la poutre (vérification de sa résistance).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme si vous vouliez savoir la tension dans un élastique que vous étirez. Vous ne pouvez pas la "voir" de l'extérieur. Vous devez imaginer couper l'élastique et regarder la force de rappel à l'intérieur. C'est ce que nous faisons ici : la coupure en \(x\) révèle les efforts internes \(V(x)\) et \(M(x)\) qui maintiennent la partie gauche de la poutre en équilibre.

Normes (la référence réglementaire)

Les conventions de signe pour \(V(x)\) et \(M(x)\) sont standardisées pour éviter toute confusion. Une convention courante (utilisée ici) est : \(V(x)\) est positif s'il tend à faire tourner la section dans le sens horaire. \(M(x)\) est positif s'il tend à courber la poutre avec une concavité vers le haut (un "sourire").

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équilibre de la section de gauche de longueur \(x\):

\[ \sum F_y = 0 \implies V_A - w \cdot x - V(x) = 0 \]
\[ \sum M_{/x} = 0 \implies M_A - V_A \cdot x + (w \cdot x) \cdot \frac{x}{2} + M(x) = 0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On effectue une coupure à une abscisse \(x\) quelconque entre 0 et L. Les efforts internes \(V(x)\) et \(M(x)\) sont définis avec la convention des signes de la RDM.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Réaction d'appui, \(V_A = 60 \, \text{kN}\)
  • Moment d'encastrement, \(M_A = 160 \, \text{kNm}\)
  • Charge répartie, \(w = 10 \, \text{kN/m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Une fois que vous avez l'équation de \(V(x)\), vous pouvez trouver celle de \(M(x)\) en intégrant : \(M(x) = \int V(x) dx\). N'oubliez pas la constante d'intégration, que vous déterminez grâce aux conditions aux limites (par exemple, vous connaissez la valeur du moment à l'encastrement).

Schéma (Avant les calculs)
Isostatisme de la Section Gauche
AxVAMAwV(x)M(x)
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Équation de l'effort tranchant \(V(x)\) :

\[ \begin{aligned} V_A - w \cdot x - V(x) &= 0 \\ V(x) &= V_A - wx \\ &= 60 - 10x \, \, [\text{kN}] \end{aligned} \]

2. Équation du moment fléchissant \(M(x)\) :

\[ \begin{aligned} M_A - V_A \cdot x + w \cdot x \cdot \frac{x}{2} + M(x) &= 0 \\ M(x) &= -M_A + V_A x - \frac{wx^2}{2} \\ &= -160 + 60x - \frac{10x^2}{2} \\ &= -5x^2 + 60x - 160 \, \, [\text{kNm}] \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Lois de Comportement Interne

V(x) = 60 - 10x

M(x) = -5x² + 60x - 160

Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effort tranchant est une fonction linéaire qui diminue le long de la poutre. Le moment fléchissant est une fonction parabolique. Ces équations nous permettent maintenant de calculer les efforts en n'importe quel point et de tracer leurs diagrammes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus courante est de se tromper dans les signes lors de l'écriture de l'équation de moment. Chaque force crée un moment (force × bras de levier). Il faut bien identifier le bras de levier de chaque force par rapport au point de coupure \(x\) et lui affecter le bon signe selon la convention choisie.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Une charge répartie \(w\) donne un effort tranchant linéaire \(V(x)\) et un moment fléchissant parabolique \(M(x)\).
  • Les équations dépendent des réactions d'appui et des charges appliquées entre l'origine et la coupure \(x\).
  • Vérifiez toujours la relation \(dM/dx = V(x)\). La dérivée de \(-5x^2 + 60x - 160\) est \(-10x + 60\), ce qui correspond bien à \(V(x)\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les logiciels de calcul de structure n'effectuent pas de calculs analytiques comme celui-ci. Ils utilisent la "méthode des éléments finis" : ils découpent la poutre en une multitude de petits segments, résolvent les équations d'équilibre pour chaque segment, puis assemblent les résultats pour obtenir les diagrammes complets.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la charge n'était pas sur toute la poutre ?

Si une charge (ponctuelle ou répartie) apparaît ou disparaît à un certain point, les équations de \(V(x)\) et \(M(x)\) changent. Il faut alors définir plusieurs "tronçons" et établir une paire d'équations \(V(x), M(x)\) valable pour chaque tronçon.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les équations des efforts internes sont : \(V(x) = 60 - 10x\) et \(M(x) = -5x^2 + 60x - 160\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Calculez la valeur de l'effort tranchant et du moment fléchissant au milieu de la poutre (à x=2 m).

Question 3 : Tracer le diagramme de l'effort tranchant (DET)

Principe (le concept physique)

Le Diagramme de l'Effort Tranchant (DET) est une représentation graphique de la fonction \(V(x)\). Il montre comment l'effort de cisaillement interne varie tout le long de la poutre. C'est un outil visuel essentiel pour identifier rapidement les zones les plus sollicitées en cisaillement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise l'équation trouvée précédemment :

\[ V(x) = 60 - 10x \]
Calcul(s) (l'application numérique)

C'est une fonction affine (une droite). Pour la tracer, il suffit de calculer ses valeurs aux deux extrémités :

\[ \begin{aligned} \text{Pour } x=0: \quad V(0) &= 60 - 10(0) \\ &= 60 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Pour } x=4: \quad V(4) &= 60 - 10(4) \\ &= 60 - 40 \\ &= 20 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de l'Effort Tranchant (DET)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le diagramme montre que l'effort tranchant est maximal à l'encastrement (\(60 \, \text{kN}\)) et diminue linéairement jusqu'à l'extrémité libre, où il vaut \(20 \, \text{kN}\), ce qui correspond exactement à la charge ponctuelle P. Le diagramme "se ferme" bien, ce qui est un bon signe de la validité de nos calculs.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le diagramme de l'effort tranchant est une droite décroissante allant de \(V(0) = +60 \, \text{kN}\) à \(V(4) = +20 \, \text{kN}\).

Question 4 : Tracer le diagramme du moment fléchissant (DMF)

Principe (le concept physique)

Le Diagramme du Moment Fléchissant (DMF) est la représentation graphique de la fonction \(M(x)\). Il montre comment le moment de flexion interne varie le long de la poutre. C'est l'outil le plus important pour un ingénieur structure, car la rupture des poutres est le plus souvent due à un moment fléchissant excessif.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On utilise l'équation trouvée précédemment :

\[ M(x) = -5x^2 + 60x - 160 \]
Calcul(s) (l'application numérique)

C'est une fonction du second degré (une parabole). On calcule ses valeurs aux extrémités :

\[ \begin{aligned} \text{Pour } x=0: \quad M(0) &= -5(0)^2 + 60(0) - 160 \\ &= -160 \, \text{kNm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Pour } x=4: \quad M(4) &= -5(4)^2 + 60(4) - 160 \\ &= -5(16) + 240 - 160 \\ &= -80 + 80 \\ &= 0 \, \text{kNm} \end{aligned} \]

Le moment est bien nul à l'extrémité libre B, ce qui est correct. Le moment maximal (en valeur absolue) se situe là où la pente est nulle (\(V(x)=0\)). Or, \(V(x) = 60-10x\) ne s'annule pas sur l'intervalle [0, 4]. Le moment maximal est donc à l'une des extrémités. En valeur absolue, il s'agit du moment à l'encastrement.

Schéma (Après les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (DMF)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le diagramme est une parabole avec une concavité vers le bas. Le moment est négatif sur toute la longueur, ce qui signifie que la poutre est fléchie avec les fibres supérieures en traction et les fibres inférieures en compression. Le moment maximal en valeur absolue est de \(160 \, \text{kNm}\) et se situe à l'encastrement. C'est ce point qui est le plus critique et qui dictera le dimensionnement de la poutre.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le diagramme du moment fléchissant est une parabole allant de \(M(0) = -160 \, \text{kNm}\) à \(M(4) = 0 \, \text{kNm}\). Le moment maximal en valeur absolue est \(|M|_{\text{max}} = 160 \, \text{kNm}\) à l'encastrement.

Outil Interactif : Diagrammes des Efforts

Modifiez les charges et la longueur pour voir leur influence sur les diagrammes et les efforts maximaux.

Paramètres d'Entrée
4.0 m
10 kN/m
20 kN
Résultats Clés
Effort Tranchant Max |V|max -
Moment Fléchissant Max |M|max -

Le Saviez-Vous ?

La célèbre maison "Fallingwater" (la maison sur la cascade) de l'architecte Frank Lloyd Wright est un chef-d'œuvre d'ingénierie, célèbre pour ses spectaculaires balcons en porte-à-faux en béton armé qui s'avancent au-dessus de la rivière. Le calcul précis des moments fléchissants dans ces poutres encastrées était la clé de la réussite de ce projet architectural audacieux.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le moment est-il maximal à l'encastrement ?

Pour une poutre encastrée-libre avec des charges descendantes, l'encastrement doit "retenir" toute la poutre. Il subit donc l'effet cumulé de toutes les charges sur toute la longueur. Le bras de levier de ces charges est maximal à l'appui, ce qui y génère le plus grand moment de flexion.

Que se passerait-il si la poutre était sur deux appuis simples ?

Si la poutre reposait sur deux appuis simples, le diagramme des moments serait complètement différent. Le moment serait nul aux deux extrémités et il y aurait un moment positif (concavité vers le haut) quelque part au milieu de la poutre. La valeur maximale du moment serait aussi beaucoup plus faible.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour une poutre encastrée soumise à une unique charge ponctuelle P à son extrémité libre, la forme du diagramme de moment fléchissant est...

2. Si on double la longueur L d'une poutre encastrée soumise à une charge répartie w, le moment maximal à l'encastrement est...

Encastrement
Type d'appui qui empêche toute translation et toute rotation. Il exerce donc deux réactions : une force et un moment.
Effort Tranchant \(V(x)\)
Effort interne à une poutre qui représente la tendance au cisaillement vertical d'une section par rapport à l'autre. Mathématiquement, c'est l'intégrale de la charge répartie.
Moment Fléchissant \(M(x)\)
Effort interne à une poutre qui représente la tendance à la flexion ou à la courbure. Il est responsable des contraintes de traction et de compression dans la section. Mathématiquement, c'est l'intégrale de l'effort tranchant.
Poutre encastrée et Diagramme des Moments

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