Tracé d’Effort Tranchant et de Moment Fléchissant
Contexte : Visualiser les efforts internes, le quotidien de l'ingénieur structure.
En Résistance des Matériaux (RdM), la capacité à déterminer et à tracer les diagrammes d'Effort Tranchant (T)L'effort tranchant en un point d'une poutre est la somme algébrique des forces verticales agissant à gauche (ou à droite) de ce point. Il représente la tendance de la poutre à cisailler. et de Moment Fléchissant (M)Le moment fléchissant en un point est la somme des moments des forces par rapport à ce point. Il représente la tendance de la poutre à fléchir ou à se courber. est une compétence fondamentale. Ces diagrammes sont une représentation visuelle des efforts internes le long d'une poutre, permettant d'identifier instantanément les zones critiques, notamment où le moment fléchissant est maximal, car c'est souvent là que les contraintes sont les plus élevées. Cet exercice vous guidera dans le calcul des réactions d'appuis et le tracé de ces diagrammes pour une poutre soumise à des charges multiples.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est un pilier de la statique du solide. Il vous apprend à "couper" virtuellement la poutre en n'importe quel point pour analyser les efforts qui s'y appliquent. La maîtrise de cette méthode est indispensable pour le dimensionnement de n'importe quel élément de structure, de la simple étagère à la travée d'un pont.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer le Principe Fondamental de la Statique (PFS) pour calculer les réactions d'appuis.
- Établir les équations de l'effort tranchant T(x) et du moment fléchissant M(x) par sections.
- Tracer qualitativement et quantitativement les diagrammes T(x) et M(x).
- Identifier la position et la valeur du moment fléchissant maximal.
- Comprendre la relation différentielle entre charge, effort tranchant et moment fléchissant.
Données de l'étude
Schéma de la Poutre et des Charges
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Portée totale | \(L\) | 6 | \(\text{m}\) |
| Charge répartie | \(q\) | 5 | \(\text{kN/m}\) |
| Force ponctuelle | \(F\) | 10 | \(\text{kN}\) |
| Position de F depuis A | \(a\) | 2 | \(\text{m}\) |
Questions à traiter
- Calculer les réactions d'appuis verticales \(V_A\) et \(V_B\).
- Établir les équations de l'effort tranchant T(x) pour les sections \(0 \le x \le 2 \, \text{m}\) et \(2 < x \le 6 \, \text{m}\).
- Tracer le diagramme de l'effort tranchant (DET).
- Établir les équations du moment fléchissant M(x) pour les mêmes sections.
- Déterminer la position et la valeur du moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}\).
- Tracer le diagramme du moment fléchissant (DMF).
Les bases du calcul des efforts internes
Avant de commencer, rappelons les relations fondamentales entre les charges et les efforts internes.
1. Principe Fondamental de la Statique (PFS) :
Pour qu'une structure soit à l'équilibre, la somme des forces et la somme des moments qui s'y appliquent doivent être nulles. On utilise ces deux équations pour trouver les réactions d'appuis inconnues :
\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} \quad \text{et} \quad \sum \vec{M}_{/A}(\vec{F}_{\text{ext}}) = \vec{0} \]
2. Relations Différentielles :
Il existe un lien mathématique direct entre la charge \(q(x)\), l'effort tranchant \(T(x)\) et le moment fléchissant \(M(x)\). Ces relations sont cruciales pour tracer et vérifier les diagrammes :
\[ \frac{\text{d}T}{\text{d}x} = -q(x) \quad \text{et} \quad \frac{\text{d}M}{\text{d}x} = T(x) \]
Cela implique que la pente du diagramme de T est l'opposé de la charge, et la pente du diagramme de M est la valeur de T. Le moment est donc maximal lorsque l'effort tranchant T s'annule !
Correction : Tracé d’Effort Tranchant et du Moment Fléchissant
Question 1 : Calculer les réactions d'appuis
Principe (le concept physique)
Les appuis sont les points de contact qui soutiennent la poutre et l'empêchent de se déplacer. Ils exercent des forces (et/ou des moments) de réaction qui s'opposent aux charges appliquées. Pour trouver ces forces inconnues, on applique les lois de l'équilibre : la poutre ne bouge pas, donc la somme de toutes les forces (charges + réactions) est nulle, et la somme de tous les moments (qui la feraient tourner) est également nulle.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) est la pierre angulaire de l'analyse des structures. Pour un problème plan comme celui-ci, il se décompose en trois équations scalaires : \(\sum F_x = 0\), \(\sum F_y = 0\), et \(\sum M_z = 0\). Comme il n'y a pas de forces horizontales, seule la somme des forces verticales et la somme des moments nous sont utiles. La somme des moments peut être calculée par rapport à n'importe quel point, mais choisir un point d'appui est stratégique.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez une balançoire à bascule. Pour qu'elle soit à l'équilibre, non seulement les poids de chaque côté doivent être équilibrés par la force du pivot central (somme des forces nulle), mais aussi les tendances à tourner (les moments) doivent s'annuler. Si une personne plus lourde s'assoit plus près du centre, elle peut équilibrer une personne plus légère assise plus loin. C'est exactement ce que nous faisons en calculant la somme des moments.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul des réactions d'appuis est l'étape initiale de toute méthode de calcul structurel, qu'elle soit manuelle ou informatisée. Les normes de construction, comme les Eurocodes, ne détaillent pas cette étape fondamentale de la statique, mais supposent qu'elle est maîtrisée pour ensuite définir les combinaisons de charges à appliquer.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On utilise les deux équations du PFS (en considérant le sens anti-horaire comme positif pour les moments) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la poutre est un corps rigide indéformable (pour ce calcul de réactions), que les appuis sont parfaits (A est une rotule, B un appui simple, sans frottement) et que les charges sont appliquées exactement comme décrit.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(L = 6 \, \text{m}\)
- \(q = 5 \, \text{kN/m}\)
- \(F = 10 \, \text{kN}\)
- \(a = 2 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour trouver une réaction, faites la somme des moments par rapport à l'autre appui. Cela élimine une inconnue de l'équation (car le bras de levier de la force à ce point est nul) et donne directement la valeur de la réaction cherchée. Ici, en sommant les moments en A, on isole directement \(V_B\).
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Corps Libre de la Poutre
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de \(V_B\) avec la somme des moments en A :
2. Calcul de \(V_A\) avec la somme des forces verticales :
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Corps Libre avec Réactions
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La charge totale sur la poutre est \(F + qL = 10 + 30 = 40 \, \text{kN}\). La somme des réactions \(V_A + V_B = 21.67 + 18.33 = 40 \, \text{kN}\). La somme des forces est bien nulle, ce qui est une première vérification essentielle. Comme les charges sont plus concentrées vers la gauche (la force F est dans la première moitié), il est logique que la réaction en A soit plus grande que celle en B.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est dans le calcul du moment de la charge répartie. Il faut bien prendre sa résultante (\(q \cdot L\)) et l'appliquer au centre de gravité de la charge (ici, à \(L/2\)). Une autre erreur fréquente est une mauvaise gestion des signes dans l'équation des moments.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Toujours commencer par calculer les réactions d'appuis.
- Utiliser \(\sum M = 0\) par rapport à un appui pour trouver l'autre réaction.
- Utiliser \(\sum F_y = 0\) pour trouver la dernière réaction ou pour vérifier le calcul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les structures pour lesquelles on ne peut pas trouver toutes les réactions avec le seul PFS sont dites "hyperstatiques". C'est le cas d'une poutre sur trois appuis, par exemple. Pour les résoudre, il faut des équations supplémentaires basées sur les déformations de la structure, ce qui est une étape plus avancée de la RdM.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la force F était de 20 kN au lieu de 10 kN, quelle serait la nouvelle valeur de \(V_A\) (en kN) ?
Question 2 : Établir les équations de l'effort tranchant T(x)
Principe (le concept physique)
Pour connaître l'effort interne en n'importe quel point de la poutre, on pratique une "coupe" imaginaire à une distance \(x\) de l'origine. L'effort tranchant \(T(x)\) est alors la somme de toutes les forces verticales situées à gauche de cette coupe. Comme les charges changent à \(x=2 \, \text{m}\) (apparition de F), nous devons définir deux équations distinctes : une pour la section avant la force, et une pour la section après.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La méthode des coupures est une application directe du PFS à une portion de la structure. En isolant la partie gauche de la poutre (de 0 à x), les efforts internes (T(x) et M(x)) à la coupure sont les forces et moments nécessaires pour que ce tronçon isolé soit lui-même à l'équilibre sous l'action des charges extérieures et des réactions qui lui sont appliquées.
Formule(s) (l'outil mathématique)
On établit les équations par tronçons, en sommant les forces à gauche de la coupe \(x\):
Pour la zone \(0 \le x \le 2 \, \text{m}\):
Schéma de la coupure
Pour trouver l'effort tranchant T(x), on somme les forces verticales à gauche de la coupe. On a la réaction d'appui \(V_A\) qui monte (positive) et la partie de la charge répartie \(q\) qui s'applique sur la longueur \(x\), dont la résultante est \(q \cdot x\) et qui descend (négative).
Pour la zone \(2 < x \le 6 \, \text{m}\):
Schéma de la coupure
Dans cette zone, la coupe est située après la force ponctuelle F. On somme donc toutes les forces à gauche : la réaction \(V_A\) (positive), la charge répartie sur toute la longueur \(x\) (résultante \(q \cdot x\), négative), et maintenant aussi la force ponctuelle \(F\) qui descend (négative).
Calcul(s) (l'application numérique)
En remplaçant les valeurs connues, on obtient les équations finales :
Pour la zone \(0 \le x \le 2 \, \text{m}\):
Pour la zone \(2 < x \le 6 \, \text{m}\):
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous avons maintenant deux expressions linéaires qui décrivent parfaitement l'effort tranchant sur toute la longueur de la poutre. On remarque que la pente (\(-5\)) est la même pour les deux sections, ce qui est logique car la charge répartie \(q\) est constante. La seule différence est un "décalage" de -10 kN dû à la force ponctuelle F.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Question 3 : Tracer le diagramme de l'effort tranchant (DET)
Principe (le concept physique)
Le diagramme de l'effort tranchant (DET) est la représentation graphique de la fonction \(T(x)\). Il permet de visualiser d'un seul coup d'œil comment l'effort de cisaillement varie le long de la poutre et où il est le plus important. Pour le tracer, on utilise les équations établies précédemment et on calcule les valeurs aux points clés (début, fin, et points de discontinuité).
Calcul(s) (l'application numérique)
On calcule les valeurs aux points de changement :
La dernière valeur, \(-18.33 \, \text{kN}\), correspond bien à l'opposé de la réaction \(V_B\), ce qui valide nos calculs.
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de l'Effort Tranchant (DET)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le diagramme est composé de deux segments de droite de même pente. Le "saut" vertical à \(x=2 \, \text{m}\) est clairement visible et sa hauteur est de \(11.67 - 1.67 = 10 \, \text{kN}\), ce qui correspond exactement à la force F. Le diagramme croise l'axe des abscisses, ce qui nous indique l'emplacement du futur moment fléchissant maximal.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Question 4 : Établir les équations du moment fléchissant M(x)
Principe (le concept physique)
Le moment fléchissant \(M(x)\) en une section est la somme des moments de toutes les forces et réactions à gauche de cette section. Tout comme pour l'effort tranchant, nous devons établir des équations distinctes pour chaque tronçon où le chargement change.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La relation \(dM/dx = T(x)\) implique que \(M(x)\) est l'intégrale de \(T(x)\). Puisque nos équations pour \(T(x)\) sont des fonctions linéaires (de la forme \(ax+b\)), leurs intégrales seront des fonctions paraboliques du second degré (de la forme \(\frac{1}{2}ax^2+bx+C\)). La constante d'intégration \(C\) est déterminée par les conditions aux limites (par exemple, \(M(0)=0\) pour un appui simple).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour la zone \(0 \le x \le 2 \, \text{m}\):
Schéma de la coupure
Pour trouver le moment fléchissant M(x), on somme les moments de toutes les forces à gauche de la coupe, par rapport au point de coupe x. La réaction \(V_A\) crée un moment positif (qui tend à faire "sourire" la poutre) avec un bras de levier de \(x\), soit \(+V_A \cdot x\). La charge répartie a une résultante de \(q \cdot x\) qui s'applique au milieu du tronçon, c'est-à-dire à une distance de \(x/2\) de la coupe. Elle crée un moment négatif, soit \(-(q \cdot x) \cdot (x/2)\).
Pour la zone \(2 < x \le 6 \, \text{m}\):
Schéma de la coupure
On procède de la même manière. Le moment dû à \(V_A\) est toujours \(+V_A \cdot x\). Le moment dû à la charge répartie est toujours \(-(q \cdot x) \cdot (x/2)\). On ajoute maintenant le moment créé par la force ponctuelle F. Son bras de levier par rapport à la coupe est de \((x-a)\). Comme F tend à faire "pleurer" la poutre, son moment est négatif : \(-F \cdot (x-a)\).
Calcul(s) (l'application numérique)
En remplaçant les valeurs connues, on obtient les équations finales :
Pour la zone \(0 \le x \le 2 \, \text{m}\):
Pour la zone \(2 < x \le 6 \, \text{m}\):
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Nous avons maintenant deux expressions paraboliques qui décrivent le moment fléchissant. On peut vérifier la continuité à \(x=2 \, \text{m}\) : la première formule donne \(M(2) = 21.67(2) - 2.5(2^2) = 33.34\). La seconde formule donne \(M(2) = 21.67(2) - 10(2-2) - 2.5(2^2) = 33.34\). Les équations sont cohérentes.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Question 5 : Déterminer la position et la valeur du moment fléchissant maximal
Principe (le concept physique)
Le moment fléchissant atteint sa valeur maximale (ou minimale) lorsque sa dérivée est nulle. Or, nous savons que \(dM/dx = T(x)\). Par conséquent, le moment maximal se produira à l'endroit exact où l'effort tranchant \(T(x)\) s'annule (c'est-à-dire là où le DET croise l'axe des abscisses).
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Trouver la position \(x_0\) où T(x) = 0. D'après le DET, cela se produit dans le second tronçon (\(x>2\)). On résout donc l'équation :
2. Calculer la valeur du moment à cette position en utilisant l'équation de M(x) du second tronçon :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La valeur maximale du moment fléchissant est de \(33.62 \, \text{kN} \cdot \text{m}\). C'est la valeur la plus critique pour le dimensionnement de la poutre. Elle se situe, comme prévu, juste après la force ponctuelle F, dans la zone où l'effort tranchant change de signe.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Question 6 : Tracer le diagramme du moment fléchissant (DMF)
Principe (le concept physique)
Le diagramme du moment fléchissant (DMF) est la représentation graphique de la fonction \(M(x)\). Il est constitué d'arcs de parabole car la charge est uniforme. La pente du diagramme en tout point est donnée par la valeur du DET à ce même point. Il part de zéro, atteint son maximum, puis redescend à zéro.
Calcul(s) (l'application numérique)
Nous avons déjà les valeurs clés nécessaires pour le tracé :
Schéma (Après les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (DMF)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le diagramme montre une courbe lisse (parabolique) avec un sommet (le maximum) bien défini. La pente au départ (\(x=0\)) est forte et positive, correspondant à la grande valeur positive de \(T(0)\). La pente diminue jusqu'à devenir nulle à \(x=2.334 \, \text{m}\), puis devient de plus en plus négative, ce qui correspond parfaitement au comportement du DET.
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Outil Interactif : Influence des Charges
Modifiez la valeur des charges pour voir leur impact sur les diagrammes et le moment maximal.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Le Saviez-Vous ?
La relation "la dérivée du moment est l'effort tranchant" a une analogie graphique puissante : l'aire sous le diagramme de l'effort tranchant entre deux points est égale à la variation du moment fléchissant entre ces deux mêmes points. C'est une méthode graphique rapide, dite "méthode des aires", pour construire le DMF à partir du DET sans passer par les intégrales.
Foire Aux Questions (FAQ)
Que se passe-t-il si la charge répartie n'est pas uniforme (ex: triangulaire) ?
Les relations fondamentales restent valables. Si la charge \(q(x)\) est linéaire (triangulaire), l'effort tranchant \(T(x)\) sera une parabole du second degré (puisque \(T\) est l'intégrale de \(q\)), et le moment fléchissant \(M(x)\) sera une cubique (une parabole du troisième degré). Les diagrammes deviennent courbes mais la logique reste la même.
Pourquoi le moment maximal est-il si important ?
Parce que la contrainte de flexion maximale dans la poutre est directement proportionnelle au moment fléchissant maximal (\(\sigma_{\text{max}} = M_{\text{max}} / W\)). C'est donc la valeur de \(M_{\text{max}}\) qui va dicter le dimensionnement de la poutre, c'est-à-dire le choix de sa section pour qu'elle puisse résister sans se rompre.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Sur une portion de poutre où l'effort tranchant est constant et positif, le diagramme du moment fléchissant est...
2. Un "saut" vertical sur le diagramme de l'effort tranchant correspond à...
- Effort Tranchant (T)
- Effort interne à une poutre qui tend à faire glisser verticalement les sections les unes par rapport aux autres. Unité : Newton (N) ou ses multiples (kN).
- Moment Fléchissant (M)
- Effort interne qui tend à faire tourner les sections les unes par rapport aux autres, provoquant la courbure de la poutre. Unité : Newton-mètre (N·m) ou ses multiples (kN·m).
- Principe Fondamental de la Statique (PFS)
- Ensemble de lois stipulant que pour qu'un corps soit à l'équilibre, la somme vectorielle des forces et la somme vectorielle des moments qui lui sont appliqués doivent être nulles.
D’autres exercices de Rdm:
Vous utilisez quelle règles pour les calculs de charge uniforme reparti
Bonjour,
Si vous avez un poids propre de la poutre (w) exprimé en newtons par mètre (N/m), et une longueur (L) de la poutre, alors la charge totale uniformément répartie (W) due au poids propre de la poutre sur toute sa longueur est calculée en multipliant le poids propre par la longueur de la poutre.
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