Calcul du Module de Young du Titane

Calcul du Module de Young du Titane

Comprendre le Calcul du Module de Young du Titane

Lors d’expériences de traction en laboratoire, qui permettent de caractériser les propriétés mécaniques des matériaux, des barres en aluminium et en titane sont testées.

Ces essais consistent à appliquer une force axiale sur une éprouvette jusqu’à ce qu’une déformation élastique soit observée.

L’objectif est de comparer la réponse élastique de deux matériaux différents sous une même charge pour en déduire des propriétés mécaniques.

Pour comprendre la Détermination du Module d’Young, cliquez sur le lien.

Données:

  • Essai nº1 : Barre en alliage d’aluminium
    • Module d’Young de l’aluminium (): 70 GPa
    • Longueur de la barre : 324 mm
    • Section carrée : 6 mm de côté
    • Allongement observé sous charge : 1.8 mm
  • Essai nº2 : Barre en titane
    • Longueur de la barre : 308 mm
    • Section rectangulaire : 4 mm × 7 mm
    • Allongement observé sous charge : 1.4 mm

Questions:

  1. Quelle est la déformation subie par la barre en aluminium?
  2. Quelle est la déformation subie par la barre en titane?
  3. Sachant que la même force de traction est appliquée aux deux barres et que le module d’Young de l’aluminium est connu, comment calculer le module d’Young du titane à partir de ces données?

Correction : Calcul du Module de Young du Titane

1. Calcul de la Déformation de la Barre en Aluminium

  • Longueur initiale (\(L_{0_{\text{Al}}}\)): 324 mm
  • Allongement (\(\Delta L_{\text{Al}}\)): 1.8 mm

La déformation (\(\varepsilon_{\text{Al}}\)) est calculée comme suit:

\[ \varepsilon_{\text{Al}} = \frac{\Delta L_{\text{Al}}}{L_{0_{\text{Al}}}} \] \[ \varepsilon_{\text{Al}} = \frac{1.8\, \text{mm}}{324\, \text{mm}} \]

La deformation de la barre en Aluminium est d’environ 0.005556 

2. Calcul de la Déformation de la Barre en Titane

  • Longueur initiale LTi: 308 mm
  • Allongement (\(\Delta L_{\text{Ti}}\)): 1.4 mm

La déformation (\(\varepsilon_{\text{Ti}}\)) est calculée comme suit:

\[ \varepsilon_{\text{Ti}} = \frac{\Delta L_{\text{Ti}}}{L_{0_{\text{Ti}}}} \] \[ \varepsilon_{\text{Ti}} = \frac{1.4\, \text{mm}}{308\, \text{mm}} \]

La deformation de la barre en Titane est d’environ 0.004545

3. Calcul du Module de Young du Titane

Nous avons le module de Young de l’aluminium (\(E_{\text{Al}}\)) et nous supposons que la même force est appliquée aux deux barres, donc la contrainte (\(\sigma\)) est la même pour les deux. D’après la loi de Hooke :

\[\sigma = E \cdot \varepsilon\]

Pour l’aluminium, nous avons :

\[E_{\text{Al}} \cdot \varepsilon_{\text{Al}} = \sigma\]

Pour le titane, avec la même contrainte, nous avons :

\[E_{\text{Ti}} \cdot \varepsilon_{\text{Ti}} = \sigma\]

Comme la contrainte est la même pour les deux matériaux, nous pouvons établir l’équation :

\[E_{\text{Al}} \cdot \varepsilon_{\text{Al}} = E_{\text{Ti}} \cdot \varepsilon_{\text{Ti}}\]

En isolant \(E_{\text{Ti}}\), nous obtenons :

\[E_{\text{Ti}} = \frac{E_{\text{Al}} \cdot \varepsilon_{\text{Al}}}{\varepsilon_{\text{Ti}}}\]

Nous remplaçons par les valeurs numériques et calculons le résultat :

\[E_{\text{Ti}} = \frac{70 \times 10^9 \, \text{Pa} \cdot \frac{1.8}{324}}{\frac{1.4}{308}}\]

Résultats:

En effectuant les calculs, nous trouvons que le module de Young du titane (\(E_{\text{Ti}}\)) est d’environ 85.56 GPa.

Conclusion:

Le module de Young du titane, basé sur les essais de traction menés et la comparaison avec les propriétés connues de l’aluminium, est d’environ 85.56 GPa.

Cela indique la rigidité du titane sous une charge élastique dans les conditions de l’essai.

Calcul du Module de Young du Titane

D’autres exercices de Rdm:

Chers passionnés de génie civil,

Nous nous efforçons constamment d’améliorer la qualité et l’exactitude de nos exercices sur notre site. Si vous remarquez une erreur mathématique, ou si vous avez des retours à partager, n’hésitez pas à nous en informer. Votre aide est précieuse pour perfectionner nos ressources. Merci de contribuer à notre communauté !

Cordialement, EGC – Génie Civil

0 commentaires

Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

Cercle de Mohr : Exercice – Corrigé

Cercle de Mohr : Exercice - Corrigé Contexte de calcul Une poutre est soumise à des contraintes plane. À un certain point de cette poutre, les contraintes normales sur les faces horizontales et verticales sont \( \sigma_x = 8 \text{ MPa} \) et \( \sigma_y = 4 \text{...

Réactions d’Appui et Efforts Internes

Réactions d'Appui et Efforts Internes Comprendre les Réactions d'Appui et Efforts Internes Considérons une poutre encastrée-libre d'une longueur L = 6 m. La poutre est soumise à une charge uniformément répartie q = 2 kN/m sur toute sa longueur, ainsi qu'à une charge...

Calculer la variation de longueur des poutres

Calculer la variation de longueur des poutres Comprendre comment Calculer la variation de longueur des poutres Considérons une passerelle métallique utilisée pour le passage piétonnier au-dessus d'une voie ferrée. La passerelle est soutenue par deux poutres en acier...

Charge Critique de Flambement

Charge Critique de Flambement Comprendre la Charge Critique de Flambement Dans une entreprise de construction, un ingénieur doit concevoir une colonne verticale légère qui supportera une charge axiale. La colonne est en acier avec un module d'élasticité E de 200 GPa....

Torsion dans une Poutre en T

Torsion dans une Poutre en T Comprendre la Torsion dans une Poutre en T Vous êtes un ingénieur en structure chargé de concevoir un élément de support en forme de T pour une installation industrielle. Cette poutre en T sera soumise à un moment de torsion dû aux...

Méthode des Nœuds pour un Treillis

Méthode des Nœuds pour un Treillis Comprendre la Méthode des Nœuds pour un Treillis Considérons un treillis plan en forme de triangle, composé de trois nœuds et trois éléments (barres). Le treillis est fixé au sol à l'un de ses nœuds (nœud A) et est supporté par un...

Calcul de la torsion d’un poteau

Calcul de la torsion d'un poteau Comprendre le Calcul de la torsion d'un poteau Un ingénieur en génie civil doit concevoir un poteau de soutien pour un pont. Ce poteau doit être capable de résister à des moments de torsion générés par les forces du vent et les charges...

Théorie de la plasticité

Théorie de la plasticité Comprendre la Théorie de la plasticité Vous êtes ingénieur en génie civil et vous travaillez sur la conception d'une poutre en acier qui doit supporter une charge répartie. La poutre est en acier structural avec un comportement élastoplastique...

Calcul de l’Énergie de Déformation

Calcul de l'Énergie de Déformation Comprendre le Calcul de l'Énergie de Déformation Un ingénieur est chargé de concevoir un support en acier pour une machine dans une usine. Le support est modélisé comme une poutre encastrée-libre (c'est-à-dire fixée à une extrémité...

Déplacement de l’Extrémité Libre

Déplacement de l'Extrémité Libre Comprendre le déplacement de l'Extrémité Libre Considérons une poutre encastrée-libre, c'est-à-dire une poutre avec une extrémité encastrée et l'autre extrémité libre. Cette poutre est soumise à une charge uniformément répartie et à...