Études de cas pratique

EGC

Calcul de l’Espacement des Étriers d’une Poutre

Calcul de l’Espacement des Étriers d’une Poutre

Calcul de l’Espacement des Étriers d’une Poutre

Comprendre le Rôle des Étriers (Armatures Transversales)

Les étriers, également appelés cadres ou armatures transversales, jouent un rôle crucial dans la résistance des poutres en béton armé, particulièrement vis-à-vis de l'effort tranchant. Ils s'opposent à la formation et à l'ouverture des fissures inclinées dues au cisaillement. L'Eurocode 2 définit les méthodes de calcul pour déterminer la quantité et l'espacement de ces armatures afin d'assurer la sécurité de la structure à l'État Limite Ultime (ELU).

Données

On considère une poutre rectangulaire en béton armé, simplement appuyée, soumise à un effort tranchant de calcul \(V_{Ed}\).

Géométrie de la poutre :

  • Largeur de la section : \(b_w = 250 \, \text{mm}\)
  • Hauteur totale de la section : \(h = 500 \, \text{mm}\)
  • Hauteur utile : \(d = 450 \, \text{mm}\) (distance entre la fibre la plus comprimée et le centre de gravité des aciers longitudinaux tendus)
  • Armatures longitudinales tendues : \(A_{sl}\) (leur influence est prise en compte dans \(V_{Rd,c}\))

Sollicitations (ELU) :

  • Effort tranchant de calcul maximal : \(V_{Ed} = 180 \, \text{kN}\)

Matériaux :

  • Béton : Classe C25/30 (\(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\), \(f_{cd} = f_{ck}/\gamma_c = 25/1.5 = 16.67 \, \text{MPa}\))
  • Acier pour étriers (cadres droits, \(\alpha = 90^\circ\)) : B500B (\(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\), \(f_{ywd} = f_{yk}/\gamma_s = 500/1.15 \approx 434.78 \, \text{MPa}\))
  • Coefficients partiels : \(\gamma_c = 1.5\) pour le béton, \(\gamma_s = 1.15\) pour l'acier.

Paramètres de calcul (Eurocode 2) :

  • Angle d'inclinaison des bielles de béton comprimé : \(\theta\). On prendra \(\cot \theta = 2.0\) (valeur courante comprise entre 1 et 2.5).
  • Coefficient \(v_1 = 0.6 \times (1 - f_{ck}/250)\)
  • \(C_{Rd,c} = 0.18 / \gamma_c\)
  • \(k = 1 + \sqrt{200/d} \le 2.0\) (avec \(d\) en mm)
  • \(\rho_l = A_{sl} / (b_w d) \le 0.02\) (pour le calcul de \(V_{Rd,c}\), on supposera \(\rho_l = 0.01\) pour cet exercice si \(A_{sl}\) n'est pas donné explicitement pour \(V_{Rd,c}\))
Schéma : Section de Poutre avec Étriers
b_w = 250 h = 500 A_sl Étrier (A_sw) d = 450

Questions

  1. Calculer la résistance à l'effort tranchant du béton non armé (\(V_{Rd,c}\)). (On prendra \(\rho_l = 0.01\) pour ce calcul).
  2. Comparer \(V_{Ed}\) à \(V_{Rd,c}\). Conclure sur la nécessité des armatures d'effort tranchant.
  3. Calculer la résistance maximale à l'effort tranchant de la section (\(V_{Rd,max}\)) pour vérifier que la section de béton n'est pas écrasée. Comparer à \(V_{Ed}\).
  4. Si des armatures d'effort tranchant sont nécessaires, calculer le ratio \(A_{sw}/s\) requis (section des étriers par unité de longueur).
  5. Déterminer l'espacement longitudinal maximal des étriers (\(s_{l,max}\)).
  6. Déterminer le pourcentage minimal d'armatures transversales (\(\rho_{w,min}\)) et le ratio (\(A_{sw}/s\))_{min} correspondant.
  7. Proposer un choix de ferraillage transversal (diamètre des étriers et espacement) et vérifier qu'il est conforme.

Correction : Calcul de l’Espacement des Étriers d’une Poutre

Question 1 : Calcul de la Résistance à l'Effort Tranchant du Béton (\(V_{Rd,c}\))

Principe (EC2 - 6.2.2) :

La résistance à l'effort tranchant d'un élément sans armature d'effort tranchant est donnée par \(V_{Rd,c}\).

Formule (EC2 - Éq. 6.2.a & 6.2.b) :
\[V_{Rd,c} = [C_{Rd,c} k (100 \rho_l f_{ck})^{1/3}] b_w d \ge [v_{min}] b_w d\]

Où : \(C_{Rd,c} = 0.18 / \gamma_c\), \(k = 1 + \sqrt{200/d} \le 2.0\), \(\rho_l = A_{sl} / (b_w d) \le 0.02\), \(v_{min} = 0.035 k^{3/2} f_{ck}^{1/2}\).

Données :
  • \(b_w = 250 \, \text{mm}\)
  • \(d = 450 \, \text{mm}\)
  • \(\rho_l = 0.01\) (donné pour ce calcul)
  • \(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\)
  • \(\gamma_c = 1.5\)
Calcul :

Coefficients :

\[C_{Rd,c} = 0.18 / 1.5 = 0.12\] \[k = 1 + \sqrt{200/450} \] \[k = 1 + \sqrt{0.444} \] \[k \approx 1 + 0.667 = 1.667 \le 2.0\]

Calcul de \(V_{Rd,c}\) (partie principale de la formule) :

\[V_{Rd,c,formule} = [0.12 \times 1.667 \times (100 \times 0.01 \times 25)^{1/3}] \times 250 \times 450\] \[V_{Rd,c,formule} = [0.12 \times 1.667 \times (25)^{1/3}] \times 112500\] \[V_{Rd,c,formule} = [0.12 \times 1.667 \times 2.924] \times 112500 \] \[V_{Rd,c,formule} \approx 0.585 \times 112500 \] \[V_{Rd,c,formule} \approx 65780 \, \text{N} \approx 65.8 \, \text{kN}\]

Calcul de \(v_{min}\) et \(V_{Rd,c,min}\) :

\[v_{min} = 0.035 \times (1.667)^{3/2} \times (25)^{1/2} \] \[v_{min} = 0.035 \times 2.152 \times 5 \] \[v_{min} \approx 0.377 \, \text{MPa}\] \[V_{Rd,c,min} = 0.377 \times 250 \times 450 \] \[V_{Rd,c,min} \approx 42380 \, \text{N} \approx 42.4 \, \text{kN}\]

\(V_{Rd,c}\) est le maximum des deux :

\[V_{Rd,c} = \max(65.8 \, \text{kN}; 42.4 \, \text{kN}) = 65.8 \, \text{kN}\]
Résultat Question 1 : La résistance à l'effort tranchant du béton non armé est \(V_{Rd,c} \approx 65.8 \, \text{kN}\).

Question 2 : Nécessité d'Armatures d'Effort Tranchant

Comparaison :
\[V_{Ed} = 180 \, \text{kN}\] \[V_{Rd,c} = 65.8 \, \text{kN}\]

Comme \(V_{Ed} = 180 \, \text{kN} > V_{Rd,c} = 65.8 \, \text{kN}\), des armatures d'effort tranchant sont nécessaires.

Résultat Question 2 : Oui, des armatures d'effort tranchant sont nécessaires car \(V_{Ed} > V_{Rd,c}\).

Question 3 : Vérification de la Résistance Maximale (\(V_{Rd,max}\))

Principe (EC2 - 6.2.3 (3)) :

La résistance à l'effort tranchant est limitée par l'écrasement des bielles de béton comprimé.

Formule (EC2 - Éq. 6.9) :
\[V_{Rd,max} = \alpha_{cw} b_w z \nu_1 f_{cd} / (\cot \theta + \tan \theta)\]

Où : \(\alpha_{cw} = 1.0\) (non précontraint), \(z \approx 0.9 d\), \(\nu_1 = 0.6 (1 - f_{ck}/250)\).

Données :
  • \(b_w = 250 \, \text{mm}\)
  • \(d = 450 \, \text{mm}\) \(\Rightarrow\)\( z \approx 0.9 \times 450 = 405 \, \text{mm}\)
  • \(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\) \(\Rightarrow \nu_1 = 0.6 (1 - 25/250) \)\(= 0.6 \times 0.9 = 0.54\)
  • \(f_{cd} = 16.67 \, \text{MPa}\)
  • \(\cot \theta = 2.0 \Rightarrow \tan \theta = 1/2.0 = 0.5\)
Calcul :
\[V_{Rd,max} = \frac{1.0 \times 250 \times 405 \times 0.54 \times 16.67}{2.0 + 0.5}\] \[V_{Rd,max} = \frac{911900}{2.5} \] \[V_{Rd,max} \approx 364760 \, \text{N} \approx 364.8 \, \text{kN}\]

Vérification :

\[V_{Ed} = 180 \, \text{kN} \le V_{Rd,max} = 364.8 \, \text{kN} \quad (\text{OK})\]
Résultat Question 3 : La résistance maximale des bielles (\(V_{Rd,max} \approx 364.8 \, \text{kN}\)) est supérieure à l'effort tranchant appliqué (\(V_{Ed} = 180 \, \text{kN}\)). La section de béton est adéquate.

Question 4 : Calcul du Ratio d'Armatures Transversales (\(A_{sw}/s\)) Requis

Principe (EC2 - 6.2.3 (3)) :

La section d'armatures transversales \(A_{sw}\) (aire des brins coupés) par unité de longueur \(s\) (espacement) est calculée pour reprendre l'effort tranchant.

Formule (EC2 - Éq. 6.8) :
\[\frac{A_{sw}}{s} = \frac{V_{Ed}}{z f_{ywd} \cot \theta}\]
Données :
  • \(V_{Ed} = 180 \, \text{kN} = 180 \, 000 \, \text{N}\)
  • \(z \approx 405 \, \text{mm}\)
  • \(f_{ywd} = 434.78 \, \text{MPa}\)
  • \(\cot \theta = 2.0\)
Calcul :
\[\frac{A_{sw}}{s} = \frac{180 \, 000 \, \text{N}}{405 \, \text{mm} \times 434.78 \, \text{N/mm}^2 \times 2.0} \] \[ \approx \frac{180 \, 000}{352171.8} \approx 0.511 \, \text{mm}^2/\text{mm}\]

Conversion en cm²/m : \(0.511 \, \text{mm}^2/\text{mm} = 5.11 \, \text{cm}^2/\text{m}\).

Résultat Question 4 : Le ratio d'armatures transversales requis est \(A_{sw}/s \approx 0.51 \, \text{mm}^2/\text{mm}\) (soit \(5.1 \, \text{cm}^2/\text{m}\)).

Question 5 : Espacement Longitudinal Maximal des Étriers (\(s_{l,max}\))

Principe (EC2 - 9.2.2 (6)) :

L'espacement longitudinal maximal des cours successifs d'armatures d'effort tranchant est limité.

Formule (EC2 - Éq. 9.5N) :
\[s_{l,max} = 0.75 d\]

Cette valeur peut être réduite dans certains cas (par exemple, si \(V_{Ed} > 0.33 V_{Rd,max}\), alors \(s_{l,max} = 0.6 d \le 300mm\)).

Données :
  • \(d = 450 \, \text{mm}\)
  • \(V_{Ed} = 180 \, \text{kN}\)
  • \(V_{Rd,max} = 364.8 \, \text{kN}\)
Calcul :

Vérification de la condition de réduction :

\[0.33 V_{Rd,max} = 0.33 \times 364.8 \] \[ \approx 120.4 \, \text{kN}\]

Comme \(V_{Ed} = 180 \, \text{kN} > 120.4 \, \text{kN}\), la limite plus stricte s'applique :

\[s_{l,max} = 0.6 d = 0.6 \times 450 \] \[s_{l,max} = 270 \, \text{mm}\]

Et \(s_{l,max} \le 300 \, \text{mm}\) est respecté.

L'Annexe Nationale peut aussi imposer \(s_{l,max} \le \min(0.75d; 400mm)\) ou d'autres limites. On retient ici la valeur calculée selon la condition la plus restrictive de l'EC2.

Résultat Question 5 : L'espacement longitudinal maximal autorisé pour les étriers est \(s_{l,max} = 270 \, \text{mm}\).

Question 6 : Pourcentage Minimal d'Armatures Transversales (\(\rho_{w,min}\))

Principe (EC2 - 9.2.2 (5)) :

Un pourcentage minimal d'armatures transversales est requis, même si le calcul de \(A_{sw}/s\) donne une valeur inférieure.

Formule (EC2 - Éq. 9.4) :
\[\rho_{w,min} = \frac{0.08 \sqrt{f_{ck}}}{f_{yk}}\]

Et le ratio minimal est :

\[\left(\frac{A_{sw}}{s}\right)_{min} = \rho_{w,min} b_w \sin \alpha\]

Pour des cadres droits, \(\sin \alpha = \sin 90^\circ = 1\).

Données :
  • \(f_{ck} = 25 \, \text{MPa}\)
  • \(f_{yk} = 500 \, \text{MPa}\)
  • \(b_w = 250 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[\rho_{w,min} = \frac{0.08 \sqrt{25}}{500} = \frac{0.08 \times 5}{500} \] \[\rho_{w,min} = \frac{0.4}{500} = 0.0008\] \[\left(\frac{A_{sw}}{s}\right)_{min} = 0.0008 \times 250 \times 1 \] \[ = 0.20 \, \text{mm}^2/\text{mm}\]

Conversion en cm²/m : \(0.20 \, \text{mm}^2/\text{mm} = 2.0 \, \text{cm}^2/\text{m}\).

Le ratio calculé à la Q4 (\(0.51 \, mm^2/mm\)) est supérieur au minimum (\(0.20 \, mm^2/mm\)), donc c'est le ratio de la Q4 qui dimensionne.

Résultat Question 6 : Le pourcentage minimal d'armatures transversales est \(\rho_{w,min} = 0.0008\), ce qui correspond à un ratio \((A_{sw}/s)_{min} = 0.20 \, \text{mm}^2/\text{mm}\) (ou \(2.0 \, \text{cm}^2/\text{m}\)).

Question 7 : Proposition de Ferraillage Transversal Pratique

Principe :

On choisit un diamètre d'étrier (\(\phi_w\)) et on calcule l'espacement \(s\) pour satisfaire le ratio \(A_{sw}/s \ge 0.51 \, mm^2/mm\) (de Q4), tout en respectant \(s \le s_{l,max} = 270 \, mm\) (de Q5).

\(A_{sw}\) est l'aire des brins verticaux du cadre (généralement 2 brins pour un cadre simple).

Choix et Calcul :

Essayons des cadres HA 8 (\(\phi_w = 8 \, mm\)) :

\[A_{sw} = 2 \times \pi \frac{(8 \, \text{mm})^2}{4} \] \[A_{sw} = 2 \times 50.27 \] \[A_{sw} = 100.54 \, \text{mm}^2\]

Calcul de l'espacement \(s\) requis :

\[s \le \frac{A_{sw}}{0.51} = \frac{100.54 \, \text{mm}^2}{0.51 \, \text{mm}^2/\text{mm}} \approx 197 \, \text{mm}\]

Vérification par rapport à \(s_{l,max}\) :

\[s_{calculé} \approx 197 \, \text{mm} \le s_{l,max} = 270 \, \text{mm} \quad (\text{OK})\]

Choix pratique : On arrondit à un espacement pratique inférieur, par exemple **e = 15 cm (150 mm)** ou **e = 17.5 cm (175 mm)**.

Vérification avec un espacement de \(s = 175 \, mm\) :

\[\frac{A_{sw}}{s} = \frac{100.54}{175} \approx 0.574 \, \text{mm}^2/\text{mm}\]

\(0.574 \, \text{mm}^2/\text{mm} \ge 0.51 \, \text{mm}^2/\text{mm}\) (requis) et \(0.574 \, \text{mm}^2/\text{mm} \ge 0.20 \, \text{mm}^2/\text{mm}\) (minimum). OK.

L'espacement \(s=175 \, mm\) est inférieur à \(s_{l,max} = 270 \, mm\).

Résultat Question 7 : Un ferraillage transversal pratique consiste à utiliser des **cadres HA 8 (2 brins)** avec un **espacement de 17.5 cm** (\(s = 175 \, \text{mm}\)). Cela donne \(A_{sw}/s \approx 0.57 \, \text{mm}^2/\text{mm}\), ce qui est supérieur au besoin de \(0.51 \, \text{mm}^2/\text{mm}\) et au minimum de \(0.20 \, \text{mm}^2/\text{mm}\), et l'espacement est inférieur à \(s_{l,max} = 270 \, \text{mm}\).
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