Études de cas pratique

EGC

Processus Isotherme et Adiabatique

Processus Isotherme et Adiabatique en Thermodynamique

Processus Isotherme et Adiabatique en Thermodynamique

Comprendre les Processus Thermodynamiques

La thermodynamique étudie les transformations de l'énergie, notamment la chaleur et le travail. Un processus thermodynamique décrit le passage d'un système d'un état d'équilibre initial à un état d'équilibre final. Parmi les processus importants, on distingue le processus isotherme, qui se déroule à température constante, et le processus adiabatique, qui se déroule sans échange de chaleur avec le milieu extérieur. Le premier principe de la thermodynamique, qui stipule que la variation d'énergie interne d'un système (\(\Delta U\)) est égale à la chaleur échangée (\(Q\)) plus le travail échangé (\(W\)) (\(\Delta U = Q + W\)), est fondamental pour analyser ces transformations.

Données de l'étude

On considère \(n = 2\) moles d'un gaz parfait diatomique. Initialement, le gaz est à une température \(T_1 = 300 \, \text{K}\) et occupe un volume \(V_1 = 0.05 \, \text{m}^3\).

Constantes et caractéristiques du gaz :

  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • Capacité thermique molaire à volume constant pour un gaz diatomique (\(C_{v,m}\)) : \(\frac{5}{2}R\)
  • Indice adiabatique pour un gaz diatomique (\(\gamma\)) : \(C_{p,m}/C_{v,m} = 7/5 = 1.4\)

Le gaz subit deux transformations distinctes à partir de cet état initial (1) :

  • Transformation A (Isotherme) : Le gaz se détend de manière isotherme et réversible jusqu'à un volume final \(V_2 = 0.10 \, \text{m}^3\).
  • Transformation B (Adiabatique) : Le gaz se détend de manière adiabatique et réversible jusqu'à un volume final \(V_3 = 0.10 \, \text{m}^3\).
Schéma : Diagramme P-V des Transformations
V (m³) P (Pa) 1 (P1, V1) 2 (P2, V2) Isotherme (T=cste) 3 (P3, V3) Adiabatique (Q=0) Diagramme Pression-Volume

Diagramme P-V illustrant une détente isotherme et une détente adiabatique à partir d'un même état initial.

Questions à traiter

  1. Calculer la pression initiale \(P_1\) du gaz.
  2. Pour la transformation isotherme A (1 \(\Rightarrow\) 2) :
    1. Calculer la pression finale \(P_2\).
    2. Calculer le travail \(W_{12}\) effectué par le gaz.
    3. Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U_{12}\) du gaz.
    4. Calculer la quantité de chaleur \(Q_{12}\) échangée par le gaz avec le milieu extérieur.
  3. Pour la transformation adiabatique B (1 \(\Rightarrow\) 3) :
    1. Calculer la pression finale \(P_3\).
    2. Calculer la température finale \(T_3\).
    3. Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U_{13}\) du gaz.
    4. Calculer le travail \(W_{13}\) effectué par le gaz. Quelle est la quantité de chaleur \(Q_{13}\) échangée ?
  4. Comparer le travail effectué par le gaz lors de la détente isotherme (\(W_{12}\)) et lors de la détente adiabatique (\(W_{13}\)) pour atteindre le même volume final. Expliquer la différence.

Correction : Processus Isotherme et Adiabatique

Question 1 : Pression Initiale (\(P_1\))

Principe :

On utilise la loi des gaz parfaits : \(P V = n R T\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_1 = \frac{n R T_1}{V_1}\]
Données spécifiques :
  • \(n = 2 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
  • \(V_1 = 0.05 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_1 &= \frac{2 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times 300 \, \text{K}}{0.05 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{4988.4 \, \text{J}}{0.05 \, \text{m}^3} \\ &= 99768 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Soit \(P_1 \approx 99.77 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 1 : La pression initiale du gaz est \(P_1 \approx 99768 \, \text{Pa}\).

Question 2 : Transformation Isotherme A (1 \(\Rightarrow\) 2)

Question 2a : Pression Finale (\(P_2\))
Principe :

Pour une transformation isotherme d'un gaz parfait, \(P_1 V_1 = P_2 V_2\) (Loi de Boyle-Mariotte).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_2 = \frac{P_1 V_1}{V_2}\]
Données spécifiques :
  • \(P_1 \approx 99768 \, \text{Pa}\)
  • \(V_1 = 0.05 \, \text{m}^3\)
  • \(V_2 = 0.10 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_2 &= \frac{99768 \, \text{Pa} \times 0.05 \, \text{m}^3}{0.10 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{4988.4 \, \text{Pa} \cdot \text{m}^3}{0.10 \, \text{m}^3} \\ &= 49884 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Soit \(P_2 \approx 49.88 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 2a : La pression finale après détente isotherme est \(P_2 \approx 49884 \, \text{Pa}\).
Question 2b : Travail Effectué (\(W_{12}\))
Principe :

Pour une transformation isotherme réversible d'un gaz parfait, le travail effectué par le gaz est \(W_{12} = -n R T_1 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\). (Convention : travail reçu par le système est positif).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{12} = -n R T_1 \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\]
Données spécifiques :
  • \(n = 2 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
  • \(V_1 = 0.05 \, \text{m}^3\), \(V_2 = 0.10 \, \text{m}^3\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{12} &= - (2 \, \text{mol}) \times (8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}) \times (300 \, \text{K}) \times \ln\left(\frac{0.10 \, \text{m}^3}{0.05 \, \text{m}^3}\right) \\ &= -4988.4 \, \text{J} \times \ln(2) \\ &\approx -4988.4 \, \text{J} \times 0.6931 \\ &\approx -3457.8 \, \text{J} \end{aligned} \]

Le signe négatif indique que le travail est effectué par le système (détente).

Résultat Question 2b : Le travail effectué par le gaz lors de la détente isotherme est \(W_{12} \approx -3458 \, \text{J}\).
Question 2c : Variation d'Énergie Interne (\(\Delta U_{12}\))
Principe :

Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température (\(U = n C_{v,m} T\)). Dans une transformation isotherme, la température est constante (\(T_1 = T_2\)), donc la variation d'énergie interne est nulle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta U_{12} = n C_{v,m} (T_2 - T_1)\]
Analyse :

Puisque \(T_2 = T_1\), alors \(T_2 - T_1 = 0\).

\[\Delta U_{12} = 0 \, \text{J}\]
Résultat Question 2c : La variation d'énergie interne lors de la transformation isotherme est \(\Delta U_{12} = 0 \, \text{J}\).
Question 2d : Quantité de Chaleur Échangée (\(Q_{12}\))
Principe :

D'après le premier principe de la thermodynamique : \(\Delta U = Q + W\). Donc \(Q = \Delta U - W\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_{12} = \Delta U_{12} - W_{12}\]
Données spécifiques :
  • \(\Delta U_{12} = 0 \, \text{J}\)
  • \(W_{12} \approx -3457.8 \, \text{J}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_{12} &= 0 \, \text{J} - (-3457.8 \, \text{J}) \\ &= 3457.8 \, \text{J} \end{aligned} \]

Le signe positif indique que la chaleur est reçue par le système.

Résultat Question 2d : La quantité de chaleur échangée par le gaz est \(Q_{12} \approx 3458 \, \text{J}\) (chaleur absorbée).

Quiz Intermédiaire 1 : Lors d'une détente isotherme réversible d'un gaz parfait :

Question 3 : Transformation Adiabatique B (1 \(\Rightarrow\) 3)

Question 3a : Pression Finale (\(P_3\))
Principe :

Pour une transformation adiabatique réversible d'un gaz parfait, \(P_1 V_1^\gamma = P_3 V_3^\gamma\) (Loi de Laplace-Poisson).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_3 = P_1 \left(\frac{V_1}{V_3}\right)^\gamma\]
Données spécifiques :
  • \(P_1 \approx 99768 \, \text{Pa}\)
  • \(V_1 = 0.05 \, \text{m}^3\), \(V_3 = 0.10 \, \text{m}^3\)
  • \(\gamma = 1.4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_3 &= 99768 \, \text{Pa} \times \left(\frac{0.05 \, \text{m}^3}{0.10 \, \text{m}^3}\right)^{1.4} \\ &= 99768 \, \text{Pa} \times (0.5)^{1.4} \\ &\approx 99768 \, \text{Pa} \times 0.3789 \\ &\approx 37802 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Soit \(P_3 \approx 37.80 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 3a : La pression finale après détente adiabatique est \(P_3 \approx 37802 \, \text{Pa}\).
Question 3b : Température Finale (\(T_3\))
Principe :

Pour une transformation adiabatique réversible, on peut utiliser \(T_1 V_1^{\gamma-1} = T_3 V_3^{\gamma-1}\) ou \(P_3 V_3 = n R T_3\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T_3 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_3}\right)^{\gamma-1}\]
Données spécifiques :
  • \(T_1 = 300 \, \text{K}\)
  • \(V_1 = 0.05 \, \text{m}^3\), \(V_3 = 0.10 \, \text{m}^3\)
  • \(\gamma - 1 = 1.4 - 1 = 0.4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T_3 &= 300 \, \text{K} \times \left(\frac{0.05 \, \text{m}^3}{0.10 \, \text{m}^3}\right)^{0.4} \\ &= 300 \, \text{K} \times (0.5)^{0.4} \\ &\approx 300 \, \text{K} \times 0.7578 \\ &\approx 227.35 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 3b : La température finale après détente adiabatique est \(T_3 \approx 227.4 \, \text{K}\).
Question 3c : Variation d'Énergie Interne (\(\Delta U_{13}\))
Principe :

\(\Delta U_{13} = n C_{v,m} (T_3 - T_1)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[C_{v,m} = \frac{5}{2}R\] \[\Delta U_{13} = n \left(\frac{5}{2}R\right) (T_3 - T_1)\]
Données spécifiques :
  • \(n = 2 \, \text{mol}\)
  • \(R = 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)}\)
  • \(T_1 = 300 \, \text{K}\), \(T_3 \approx 227.35 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} C_{v,m} &= \frac{5}{2} \times 8.314 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \\ &= 20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \\ \Delta U_{13} &= 2 \, \text{mol} \times 20.785 \, \text{J/(mol} \cdot \text{K)} \times (227.35 \, \text{K} - 300 \, \text{K}) \\ &= 41.57 \, \text{J/K} \times (-72.65 \, \text{K}) \\ &\approx -3019.9 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 3c : La variation d'énergie interne lors de la détente adiabatique est \(\Delta U_{13} \approx -3020 \, \text{J}\).
Question 3d : Travail Effectué (\(W_{13}\)) et Chaleur Échangée (\(Q_{13}\))
Principe :

Pour une transformation adiabatique, par définition, il n'y a pas d'échange de chaleur avec le milieu extérieur, donc \(Q_{13} = 0\). D'après le premier principe, \(\Delta U_{13} = Q_{13} + W_{13}\). Donc \(W_{13} = \Delta U_{13}\).

Calcul :
\[Q_{13} = 0 \, \text{J}\] \[W_{13} = \Delta U_{13} \approx -3019.9 \, \text{J}\]

Le travail est effectué par le système (détente).

Résultat Question 3d : La quantité de chaleur échangée est \(Q_{13} = 0 \, \text{J}\). Le travail effectué par le gaz est \(W_{13} \approx -3020 \, \text{J}\).

Question 4 : Comparaison des Travaux (\(W_{12}\) et \(W_{13}\))

Analyse :
  • Travail isotherme \(W_{12} \approx -3458 \, \text{J}\)
  • Travail adiabatique \(W_{13} \approx -3020 \, \text{J}\)

Le travail effectué par le gaz est plus important (en valeur absolue) lors de la détente isotherme que lors de la détente adiabatique pour atteindre le même volume final (\(V_2 = V_3 = 0.10 \, \text{m}^3\)).

Explication :

  • Détente Isotherme : La température du gaz est maintenue constante grâce à un apport de chaleur du milieu extérieur (\(Q_{12} > 0\)). Cette chaleur compense l'énergie dépensée par le gaz sous forme de travail, permettant de maintenir une pression plus élevée pendant la détente par rapport à une détente adiabatique. L'aire sous la courbe isotherme dans le diagramme P-V (représentant le travail) est plus grande.
  • Détente Adiabatique : Il n'y a aucun échange de chaleur (\(Q_{13} = 0\)). Le travail effectué par le gaz provient entièrement de la diminution de son énergie interne (\(\Delta U_{13} = W_{13}\)). Par conséquent, la température du gaz diminue (\(T_3 < T_1\)), et sa pression chute plus rapidement que lors d'une détente isotherme. L'aire sous la courbe adiabate est plus petite.

Visuellement sur le diagramme P-V, la courbe isotherme est "au-dessus" de la courbe adiabate lors d'une détente, ce qui signifie que pour un même changement de volume, la pression moyenne est plus élevée pour le processus isotherme, résultant en un travail plus important.

Résultat Question 4 : Le travail effectué par le gaz est plus grand lors de la détente isotherme (\(|W_{12}| \approx 3458 \, \text{J}\)) que lors de la détente adiabatique (\(|W_{13}| \approx 3020 \, \text{J}\)) pour la même variation de volume. Cela est dû à l'apport de chaleur dans le cas isotherme qui maintient la température et donc une pression plus élevée pendant la détente.

Quiz Intermédiaire 2 : Lors d'une détente adiabatique réversible d'un gaz parfait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Un processus isotherme se déroule à :

2. Dans un processus adiabatique réversible d'un gaz parfait :

3. Selon le premier principe de la thermodynamique, la variation d'énergie interne \(\Delta U\) est égale à :

Glossaire

Thermodynamique
Branche de la physique qui étudie les transformations de l'énergie et ses relations avec la chaleur, le travail et les propriétés macroscopiques de la matière.
Processus Isotherme
Transformation thermodynamique qui se déroule à température constante (\(\Delta T = 0\)). Pour un gaz parfait, cela implique que l'énergie interne reste constante (\(\Delta U = 0\)).
Processus Adiabatique
Transformation thermodynamique qui se déroule sans échange de chaleur avec le milieu extérieur (\(Q = 0\)).
Gaz Parfait
Modèle théorique d'un gaz dont les molécules n'ont pas de volume propre et n'interagissent pas entre elles, sauf par des collisions élastiques. Il obéit à l'équation d'état \(PV = nRT\).
Énergie Interne (\(U\))
Somme de toutes les énergies cinétiques et potentielles des particules constituant un système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de sa température.
Travail (\(W\))
Transfert d'énergie résultant d'une force agissant sur une distance. En thermodynamique, souvent associé à l'expansion ou la compression d'un gaz. Convention : \(W > 0\) si le travail est reçu par le système, \(W < 0\) si le travail est effectué par le système.
Chaleur (\(Q\))
Transfert d'énergie thermique entre deux systèmes dû à une différence de température. Convention : \(Q > 0\) si la chaleur est reçue par le système, \(Q < 0\) si la chaleur est cédée par le système.
Premier Principe de la Thermodynamique
Principe de conservation de l'énergie appliqué aux systèmes thermodynamiques : \(\Delta U = Q + W\).
Indice Adiabatique (\(\gamma\))
Rapport des capacités thermiques molaires à pression constante (\(C_{p,m}\)) et à volume constant (\(C_{v,m}\)) : \(\gamma = C_{p,m} / C_{v,m}\).
Processus Isotherme et Adiabatique - Exercice d'Application

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