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Machine Thermique à Cycle de Carnot

Machine Thermique à Cycle de Carnot

Machine Thermique à Cycle de Carnot

Contexte : Le Cycle de CarnotUn cycle thermodynamique théorique, réversible, composé de deux transformations isothermes et deux transformations adiabatiques. Il représente le rendement maximal qu'un moteur thermique peut atteindre..

Cet exercice porte sur l'étude d'un moteur thermique fonctionnant selon le cycle de Carnot. Nous allons analyser un système contenant de l'hélium, considéré comme un gaz parfait, qui subit une série de transformations réversibles entre une source chaude et une source froide. L'objectif est de calculer les grandeurs thermodynamiques clés (travail, chaleur, variation d'énergie interne) pour chaque étape, et de déterminer le rendement thermiqueLe rapport entre le travail net fourni par le moteur et la chaleur absorbée de la source chaude. C'est une mesure de l'efficacité du moteur à convertir la chaleur en travail. global du moteur.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer concrètement les principes de la thermodynamique à un cycle moteur idéal. Comprendre le cycle de Carnot est fondamental pour évaluer et comparer l'efficacité des machines thermiques réelles.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer la loi des gaz parfaits et les lois de Laplace pour les transformations adiabatiques.
  • Calculer le travail et le transfert de chaleur pour des transformations isothermes et adiabatiques.
  • Appliquer le premier principe de la thermodynamique à chaque étape d'un cycle.
  • Déterminer le rendement d'un moteur thermique et le comparer au rendement de Carnot.

Données de l'étude

Un moteur ditherme réversible décrit un cycle de Carnot en utilisant de l'hélium (He) comme fluide de travail. L'hélium est assimilé à un gaz parfait monoatomique. Le cycle se déroule entre une source chaude à \(T_H = 800 \text{ K}\) et une source froide à \(T_C = 300 \text{ K}\).

Fiche Technique du Fluide
Caractéristique Symbole Valeur
Gaz parfait \(\text{Hélium (He)}\) \(\text{Monoatomique}\)
Constante des gaz parfaits \(R\) \(8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Coefficient adiabatique \(\gamma = C_P/C_V\) \(5/3\)
Diagramme P-V du Cycle de Carnot
V P T_H T_C A B C D
Point du Cycle Pression \((\text{Pa})\) Volume \((\text{m}^3)\) Température \((\text{K})\)
A (Début exp. isotherme) \(5 \times 10^5\) \(0.01\) \(800\)
B (Fin exp. isotherme) ? \(0.02\) \(800\)
C (Fin exp. adiabatique) ? ? \(300\)
D (Fin comp. isotherme) ? ? \(300\)

Questions à traiter

  1. Calculer la quantité de matière (nombre de moles \(n\)) d'hélium dans le système.
  2. Déterminer les valeurs de pression et de volume pour les points B, C et D du cycle.
  3. Pour chacune des quatre transformations (A-B, B-C, C-D, D-A), calculer le travail \(W\) échangé et le transfert thermique \(Q\).
  4. Calculer le travail total \(W_{\text{cycle}}\) fourni par le moteur sur un cycle complet.
  5. Calculer le rendement thermique \(\eta\) du moteur et le comparer au rendement théorique de Carnot \(\eta_{\text{th}}\). Conclure.

Les bases sur le Cycle de Carnot

Le cycle de Carnot est un cycle thermodynamique idéal et réversible qui établit la limite supérieure du rendement pour tout moteur thermique. Il se compose de quatre transformations successives.

1. Expansion Isotherme (A \(\rightarrow\) B)
Le gaz est en contact avec la source chaude (\(T_H\)) et se détend lentement. Il absorbe une quantité de chaleur \(Q_H\) et produit du travail. Puisque la température est constante, la variation d'énergie interne \(\Delta U\) est nulle. \[ W_{AB} = -nRT_H \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) \quad \text{et} \quad Q_{AB} = -W_{AB} \]

2. Expansion Adiabatique (B \(\rightarrow\) C)
Le gaz est isolé thermiquement et continue de se détendre. Sa température chute de \(T_H\) à \(T_C\). Il n'y a pas d'échange de chaleur (\(Q_{BC}=0\)). Le travail est fourni par la diminution de l'énergie interne. Les états sont liés par la loi de Laplace : \[ T_H V_B^{\gamma-1} = T_C V_C^{\gamma-1} \quad \text{et} \quad P_B V_B^{\gamma} = P_C V_C^{\gamma} \]

3. Compression Isotherme (C \(\rightarrow\) D)
Le gaz est en contact avec la source froide (\(T_C\)) et est comprimé. Il cède une quantité de chaleur \(Q_C\) et le milieu extérieur fournit du travail. Encore une fois, \(\Delta U = 0\). \[ W_{CD} = -nRT_C \ln\left(\frac{V_D}{V_C}\right) \quad \text{et} \quad Q_{CD} = -W_{CD} \]

4. Compression Adiabatique (D \(\rightarrow\) A)
Le gaz est à nouveau isolé et sa compression se poursuit jusqu'à ce qu'il retrouve son état initial (Pression \(P_A\), Volume \(V_A\), Température \(T_H\)). Il n'y a pas d'échange de chaleur (\(Q_{DA}=0\)). \[ T_C V_D^{\gamma-1} = T_H V_A^{\gamma-1} \]

Correction : Machine Thermique à Cycle de Carnot

Question 1 : Calculer la quantité de matière \(n\) d'hélium.

Principe

Pour déterminer la quantité de gaz dans le cylindre, nous utilisons l'état du gaz en un point connu (le point A) où la pression, le volume et la température sont tous donnés. La loi des gaz parfaits relie ces trois grandeurs à la quantité de matière.

Mini-Cours

La loi des gaz parfaits est une équation d'état qui décrit le comportement des gaz à basse pression. Elle stipule que pour une quantité de gaz donnée, le produit de la pression et du volume est directement proportionnel à la température absolue. C'est une pierre angulaire de la thermodynamique pour l'étude des systèmes gazeux simples.

Remarque Pédagogique

L'astuce ici est de toujours commencer par identifier un point du cycle où vous avez le plus d'informations. Le point A est le seul où P, V et T sont connus, ce qui en fait le point de départ logique pour trouver la constante du système, qui est ici le nombre de moles \(n\).

Normes

En thermodynamique, on ne parle pas de "normes" comme en ingénierie de construction, mais de lois fondamentales de la physique. La loi des gaz parfaits est une de ces lois, issue de l'observation expérimentale et de la théorie cinétique des gaz.

Formule(s)

Loi des gaz parfaits

\[ PV = nRT \]
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeur
Pression au point A\(P_A\)\(5 \times 10^5 \text{ Pa}\)
Volume au point A\(V_A\)\(0.01 \text{ m}^3\)
Température au point A\(T_A = T_H\)\(800 \text{ K}\)
Constante des gaz parfaits\(R\)\(8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Astuces

Pour vérifier l'ordre de grandeur, souvenez-vous qu'une mole de gaz parfait dans les conditions normales (0°C, 1 atm) occupe environ 22.4 litres. Nos conditions sont très différentes, mais cela peut donner une intuition. Ici, on a une haute pression et une haute température, le volume est de 10L, donc on s'attend à avoir un peu moins d'une mole, ce qui est cohérent avec le résultat.

Schéma (Avant les calculs)
Localisation du Point A sur le Cycle
VP Point A
Calcul(s)

Formule pour le nombre de moles n

\[ n = \frac{P_A V_A}{R T_H} \]

Application numérique

\[ \begin{aligned} n &= \frac{(5 \times 10^5 \text{ Pa}) \times (0.01 \text{ m}^3)}{(8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}) \times (800 \text{ K})} \\ &= \frac{5000}{6651.2} \\ &\approx 0.752 \text{ mol} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur calculée de la quantité de matière
Quantité de Gazn ≈ 0.752 mol
Réflexions

Le résultat, \(n \approx 0.752\) mol, représente la quantité de fluide qui circulera dans le moteur à chaque cycle. Cette valeur est une constante pour toute la suite de l'exercice. Elle est plausible pour un système de cette taille.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier d'utiliser des unités du Système International (SI). La pression doit être en Pascals (Pa), le volume en mètres cubes (m³), et la température en Kelvin (K) pour que le calcul soit cohérent avec la constante \(R\) en \(J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}\).

Points à retenir

  • La loi des gaz parfaits (\(PV=nRT\)) est l'équation fondamentale pour déterminer une inconnue lorsque les autres grandeurs d'un état sont connues.
  • La quantité de matière \(n\) est un invariant pour un système fermé comme celui-ci.

Le saviez-vous ?

La constante des gaz parfaits \(R\) est aussi appelée constante de Boltzmann (\(k_B\)) multipliée par le nombre d'Avogadro (\(N_A\)). Elle fait le lien entre l'échelle microscopique (énergie des particules) et l'échelle macroscopique (pression, volume, température).

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Pourquoi l'hélium est-il un bon choix pour être modélisé comme un gaz parfait ?

L'hélium est un gaz noble, dont les atomes sont très petits et interagissent très peu les uns avec les autres. Ce comportement se rapproche beaucoup du modèle théorique du gaz parfait, surtout à haute température et basse pression par rapport à son point de liquéfaction.

Résultat Final
La quantité d'hélium dans le système est d'environ \(0.752 \text{ mol}\).
A vous de jouer

Si le volume initial \(V_A\) était de \(0.015 \text{ m}^3\) avec les mêmes pression et température, combien de moles de gaz y aurait-il ?

Question 2 : Déterminer P, V, T pour les points B, C et D.

Principe

Nous allons déterminer les coordonnées de chaque point en suivant le cycle. Pour passer d'un point à l'autre, nous utiliserons la loi de transformation correspondante : la loi de Mariotte (PV=cst) pour les isothermes et les lois de Laplace (ex: \(TV^{\gamma-1}=\)cst) pour les adiabatiques.

Mini-Cours

Lois de Laplace : Pour une transformation adiabatique et réversible d'un gaz parfait, les variables d'état sont liées. La relation \(T V^{\gamma-1} = \text{constante}\) est particulièrement utile lorsque l'on connaît les températures et qu'on cherche les volumes, ou vice versa. Le coefficient \(\gamma\) (gamma) dépend de la nature du gaz (monoatomique, diatomique, etc.).

Remarque Pédagogique

L'approche est séquentielle. Utilisez les résultats du point précédent pour calculer le suivant. Par exemple, une fois que vous avez toutes les informations pour le point B, vous pouvez les utiliser pour trouver le point C. C'est comme suivre une carte routière, étape par étape.

Normes

Les lois de la thermodynamique (Boyle-Mariotte, Laplace) sont des principes physiques fondamentaux et non des normes industrielles.

Formule(s)

Transformation Isotherme (\(PV = \text{cste}\))

\[ P_1 V_1 = P_2 V_2 \]

Transformation Adiabatique (Lois de Laplace)

\[ T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1} \]

Loi des gaz parfaits

\[ PV = nRT \]
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeur
État A\(P_A, V_A, T_A\)\(5 \cdot 10^5 \text{ Pa}, 0.01 \text{ m}^3, 800 \text{ K}\)
Point B\(V_B, T_B\)\(0.02 \text{ m}^3, 800 \text{ K}\)
Point C\(T_C\)\(300 \text{ K}\)
Point D\(T_D\)\(300 \text{ K}\)
Quantité de matière\(n\)\(0.752 \text{ mol}\)
Coefficient adiabatique\(\gamma\)\(5/3\)
Astuces

Pour les calculs avec exposants comme \((\frac{T_1}{T_2})^{\frac{1}{\gamma-1}}\), utilisez une calculatrice scientifique avec soin. Pour un gaz monoatomique, \(\frac{1}{\gamma-1} = \frac{1}{5/3 - 1} = \frac{1}{2/3} = 1.5\). Mémoriser cette valeur peut accélérer les calculs.

Schéma (Avant les calculs)
Parcours du Cycle pour trouver les points inconnus
VP A B? C? D?IsothermeAdiabatiqueIsotherme
Calcul(s)

Pression au Point B (\(T_B = T_H = 800 \text{ K}\))

\[ \begin{aligned} P_B &= P_A \frac{V_A}{V_B} \\ &= (5 \times 10^5 \text{ Pa}) \times \frac{0.01 \text{ m}^3}{0.02 \text{ m}^3} \\ &= 2.5 \times 10^5 \text{ Pa} \end{aligned} \]

Volume au Point C (\(T_C = 300 \text{ K}\))

\[ \begin{aligned} V_C &= V_B \left(\frac{T_B}{T_C}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}} \\ &= 0.02 \times \left(\frac{800}{300}\right)^{\frac{1}{5/3-1}} \\ &= 0.02 \times (2.667)^{1.5} \\ &\approx 0.087 \text{ m}^3 \end{aligned} \]

Pression au Point C

\[ \begin{aligned} P_C &= \frac{nRT_C}{V_C} \\ &= \frac{0.752 \times 8.314 \times 300}{0.087} \\ &\approx 2.15 \times 10^4 \text{ Pa} \end{aligned} \]

Volume au Point D (\(T_D = T_C = 300 \text{ K}\))

\[ \begin{aligned} V_D &= V_A \left(\frac{T_A}{T_D}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}} \\ &= 0.01 \times \left(\frac{800}{300}\right)^{1.5} \\ &\approx 0.0435 \text{ m}^3 \end{aligned} \]

Pression au Point D

\[ \begin{aligned} P_D &= \frac{nRT_D}{V_D} \\ &= \frac{0.752 \times 8.314 \times 300}{0.0435} \\ &\approx 4.3 \times 10^4 \text{ Pa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Cycle de Carnot avec tous les points définis
VP A B C D
Réflexions

On remarque bien que durant les expansions (A\(\rightarrow\)C), le volume augmente et la pression diminue. Inversement pour les compressions (C\(\rightarrow\)A). Les pressions et volumes calculés sont cohérents avec la forme des courbes sur le diagramme P-V.

Points de vigilance

Attention à ne pas mélanger les formules. N'utilisez les lois de Laplace que pour les transformations adiabatiques, et non pour les isothermes. De plus, assurez-vous d'utiliser les bons points de départ et d'arrivée pour chaque calcul de transformation.

Points à retenir

  • Chaque type de transformation thermodynamique (isotherme, adiabatique, isobare, isochore) a sa propre loi d'évolution.
  • Les lois de Laplace sont essentielles pour relier les états avant et après une transformation adiabatique.

Le saviez-vous ?

Le coefficient \(\gamma\) est aussi appelé indice de Laplace. Il est directement lié aux degrés de liberté des molécules du gaz. Pour un gaz parfait monoatomique (comme l'hélium), il y a 3 degrés de liberté (translation), ce qui mène à \(\gamma=5/3\). Pour un gaz diatomique (comme l'air), il y en a 5 (3 de translation + 2 de rotation), ce qui donne \(\gamma=7/5=1.4\).

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Aurait-on pu calculer Vd à partir de Vc ?

Oui. La transformation C-D est isotherme. On aurait aussi pu utiliser la relation issue des deux adiabatiques : \(\frac{V_B}{V_A} = \frac{V_C}{V_D}\). Cela donne \(V_D = V_C \frac{V_A}{V_B} = 0.087 \times \frac{0.01}{0.02} = 0.0435 \text{ m}^3\), ce qui confirme notre résultat. C'est une bonne manière de vérifier ses calculs.

Résultat Final
Point B\(P_B = 2.5 \times 10^5 \text{ Pa}\), \(V_B = 0.02 \text{ m}^3\), \(T_B = 800 \text{ K}\)
Point C\(P_C \approx 2.15 \times 10^4 \text{ Pa}\), \(V_C \approx 0.087 \text{ m}^3\), \(T_C = 300 \text{ K}\)
Point D\(P_D \approx 4.3 \times 10^4 \text{ Pa}\), \(V_D \approx 0.0435 \text{ m}^3\), \(T_D = 300 \text{ K}\)
A vous de jouer

Si \(V_B\) valait \(0.03 \text{ m}^3\) au lieu de \(0.02\), quelle serait la nouvelle pression \(P_B\) ?

Question 3 : Calculer \(W\) et \(Q\) pour chaque transformation.

Principe

Nous appliquons les formules de travail et de chaleur spécifiques à chaque type de transformation, en utilisant le premier principe de la thermodynamique (\(\Delta U = W+Q\)) comme guide. Pour un gaz parfait, la variation d'énergie interne ne dépend que de la variation de température : \(\Delta U = nC_V\Delta T\).

Mini-Cours

Premier Principe de la Thermodynamique : C'est une loi de conservation de l'énergie. Elle stipule que la variation de l'énergie interne (\(\Delta U\)) d'un système est égale à la somme du travail (\(W\)) et de la chaleur (\(Q\)) échangés avec l'extérieur. Pour une transformation isotherme d'un gaz parfait, \(\Delta T=0\) donc \(\Delta U=0\), ce qui implique \(Q = -W\). Pour une adiabatique, \(Q=0\), donc \(\Delta U = W\).

Remarque Pédagogique

Soyez très attentif aux signes. Par convention : \(W>0\) si le travail est reçu par le système (compression), \(W<0\) s'il est fourni par le système (expansion). \(Q>0\) si la chaleur est reçue par le système, \(Q<0\) si elle est cédée.

Normes

Le Premier Principe de la Thermodynamique est une loi fondamentale de la physique, pas une norme.

Formule(s)

Premier Principe

\[ \Delta U = W + Q \]

Variation d'Énergie Interne (Gaz Parfait)

\[ \Delta U = nC_V \Delta T \quad \text{avec} \quad C_V = \frac{R}{\gamma-1} \]

Travail Isotherme

\[ W = -nRT \ln\left(\frac{V_{\text{final}}}{V_{\text{initial}}}\right) \]
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeur
Tous les états (A,B,C,D)\(P, V, T\)Valeurs calculées en Q2
Quantité de matière\(n\)\(0.752 \text{ mol}\)
Constante des gaz parfaits\(R\)\(8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Coefficient adiabatique\(\gamma\)\(5/3\)
Astuces

Pour les adiabatiques, il est souvent plus simple de calculer \(\Delta U\) d'abord via la variation de température, puis d'en déduire \(W\) (\(W=\Delta U\)), plutôt que de calculer l'intégrale \(\int -P dV\).

Schéma (Avant les calculs)
Échanges d'énergie du système
SYSTEME (GAZ)Q_H > 0W_exp < 0Q_C < 0W_comp > 0
Calcul(s)

A \(\rightarrow\) B (Isotherme)

Variation d'énergie interne

\[ \Delta U_{AB} = 0 \text{ (car } \Delta T = 0) \]

Travail échangé

\[ \begin{aligned} W_{AB} &= -nRT_H \ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right) \\ &= -0.752 \times 8.314 \times 800 \times \ln(2) \\ &\approx -3465 \text{ J} \end{aligned} \]

Chaleur échangée

\[ Q_{AB} = -W_{AB} \approx 3465 \text{ J} \]

B \(\rightarrow\) C (Adiabatique)

Chaleur échangée

\[ Q_{BC} = 0 \]

Variation d'énergie interne

\[ \begin{aligned} \Delta U_{BC} &= nC_V(T_C-T_B) \\ &= n\frac{R}{\gamma-1}(T_C-T_B) \\ &= 0.752 \times \frac{8.314}{2/3}(300-800) \\ &\approx -4689 \text{ J} \end{aligned} \]

Travail échangé

\[ W_{BC} = \Delta U_{BC} \approx -4689 \text{ J} \]

C \(\rightarrow\) D (Isotherme)

Variation d'énergie interne

\[ \Delta U_{CD} = 0 \text{ (car } \Delta T = 0) \]

Travail échangé

\[ \begin{aligned} W_{CD} &= -nRT_C \ln\left(\frac{V_D}{V_C}\right) \\ &= -0.752 \times 8.314 \times 300 \times \ln\left(\frac{0.0435}{0.087}\right) \\ &\approx 1299 \text{ J} \end{aligned} \]

Chaleur échangée

\[ Q_{CD} = -W_{CD} \approx -1299 \text{ J} \]

D \(\rightarrow\) A (Adiabatique)

Chaleur échangée

\[ Q_{DA} = 0 \]

Variation d'énergie interne

\[ \begin{aligned} \Delta U_{DA} &= nC_V(T_A-T_D) \\ &= 0.752 \times \frac{8.314}{2/3}(800-300) \\ &\approx 4689 \text{ J} \end{aligned} \]

Travail échangé

\[ W_{DA} = \Delta U_{DA} \approx 4689 \text{ J} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan Énergétique du Cycle
SYSTEME3465 J-8154 J-1299 J+5988 J
Réflexions

On constate que le travail fourni pendant l'expansion adiabatique (\(W_{BC}\)) est exactement compensé par le travail reçu pendant la compression adiabatique (\(W_{DA}\)), car la variation de température est la même en valeur absolue. C'est une propriété clé des cycles de Carnot.

Points de vigilance

Le logarithme népérien (\(\ln\)) est utilisé. Assurez-vous que le rapport des volumes est correct. \(\ln(x)\) est négatif si \(x < 1\), ce qui inversera le signe du travail. C'est le cas pour les compressions où \(V_{\text{final}} < V_{\text{initial}}\).

Points à retenir

  • \(\Delta U = 0\) pour une transformation isotherme d'un gaz parfait.
  • \(Q = 0\) pour une transformation adiabatique.
  • Le travail des forces de pression est \(W = -\int P dV\).

Le saviez-vous ?

James Prescott Joule a démontré expérimentalement l'équivalence entre travail et chaleur vers 1845, jetant les bases du premier principe de la thermodynamique. L'unité d'énergie, le Joule, lui rend hommage.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Pourquoi \(W_{BC}\) est-il négatif alors que c'est une expansion ?

Le travail \(W_{BC}\) représente le travail reçu par le gaz. Comme le gaz se détend, il pousse sur le piston et fournit du travail à l'extérieur. Le travail reçu est donc négatif. Par contre, le travail utile (fourni) est \(-W_{BC}\), qui est positif.

Résultat Final
TransformationTravail (\(W\))Chaleur (\(Q\))\(\Delta U\)
A-B (Isotherme)\(-3465 \text{ J}\)\(+3465 \text{ J}\) (\(Q_H\))\(0 \text{ J}\)
B-C (Adiabatique)\(-4689 \text{ J}\)\(0 \text{ J}\)\(-4689 \text{ J}\)
C-D (Isotherme)\(+1299 \text{ J}\)\(-1299 \text{ J}\) (\(Q_C\))\(0 \text{ J}\)
D-A (Adiabatique)\(+4689 \text{ J}\)\(0 \text{ J}\)\(+4689 \text{ J}\)
A vous de jouer

Si la transformation A-B était une compression isotherme jusqu'à un volume \(V_B=0.005 \text{ m}^3\), quel serait le travail \(W_{AB}\) reçu par le gaz ?

Question 4 : Calculer le travail total \(W_{\text{cycle}}\) sur un cycle.

Principe

Le travail total (ou travail net) fourni par le moteur sur un cycle est la somme algébrique des travaux de chaque transformation. C'est l'énergie utile que le moteur a produite. Il correspond aussi à l'aire nette enclose par le cycle dans le diagramme P-V.

Mini-Cours

Pour tout cycle thermodynamique, le système revient à son état initial. Par conséquent, son énergie interne, qui est une fonction d'état, doit retrouver sa valeur initiale. La variation d'énergie interne sur un cycle complet est donc toujours nulle : \(\Delta U_{\text{cycle}} = 0\). Le premier principe appliqué au cycle devient alors \(W_{\text{cycle}} + Q_{\text{cycle}} = 0\), où \(Q_{\text{cycle}}\) est la somme de toutes les chaleurs échangées.

Remarque Pédagogique

Pensez au cycle comme à un bilan comptable. Le moteur "encaisse" de l'énergie sous forme de chaleur (\(Q_H\)), en "dépense" une partie sous forme de chaleur perdue (\(Q_C\)) et transforme le reste en "bénéfice" : le travail utile (\(-W_{\text{cycle}}\)).

Normes

Le fait que \(\Delta U_{\text{cycle}} = 0\) est une conséquence directe du fait que l'énergie interne est une fonction d'état, un principe fondamental de la thermodynamique.

Formule(s)

Deux approches sont possibles et doivent donner le même résultat.

Somme des travaux

\[ W_{\text{cycle}} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} \]

Bilan énergétique

\[ W_{\text{cycle}} = - Q_{\text{cycle}} = -(Q_H + Q_C) \]
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeur
Travail A-B\(W_{AB}\)\(-3465 \text{ J}\)
Travail B-C\(W_{BC}\)\(-4689 \text{ J}\)
Travail C-D\(W_{CD}\)\(+1299 \text{ J}\)
Travail D-A\(W_{DA}\)\(+4689 \text{ J}\)
Astuces

Utiliser la relation \(W_{\text{cycle}} = -(Q_H+Q_C)\) est souvent plus rapide car il n'y a que deux termes à additionner. C'est aussi une excellente façon de vérifier le calcul de la somme des quatre travaux.

Schéma (Avant les calculs)
Aire du cycle représentant le travail net
VPAire = |W_cycle|
Calcul(s)

Somme des travaux

\[ \begin{aligned} W_{\text{cycle}} &= W_{AB} + W_{BC} + W_{CD} + W_{DA} \\ &= -3465 - 4689 + 1299 + 4689 \\ &= -2166 \text{ J} \end{aligned} \]

Le signe négatif indique que c'est le système (le moteur) qui a fourni du travail au milieu extérieur, ce qui est attendu pour un moteur.

Schéma (Après les calculs)
Valeur calculée du travail net
Travail Net Fourni par CycleW_cycle = -2166 J
Réflexions

Le moteur produit 2166 Joules de travail utile à chaque cycle. Cette énergie pourrait, par exemple, servir à soulever un poids ou à entraîner une génératrice électrique. C'est la conversion nette de l'énergie thermique (provenant de \(Q_H\)) en énergie mécanique.

Points de vigilance

Veillez à la cohérence des signes. Une erreur de signe sur un seul des travaux ou chaleurs faussera tout le bilan. La somme des \(\Delta U\) sur le cycle doit être nulle (ici \((-4689 \text{ J}) + (4689 \text{ J}) = 0\)), ce qui est une bonne vérification intermédiaire.

Points à retenir

  • Pour un cycle, la variation d'énergie interne est toujours nulle: \(\Delta U_{\text{cycle}} = 0\).
  • Le travail net du cycle est égal à l'opposé de la chaleur totale échangée : \(W_{\text{cycle}} = -Q_{\text{cycle}}\).
  • Un signe négatif pour \(W_{\text{cycle}}\) signifie que le cycle est moteur (il produit du travail).

Le saviez-vous ?

Les moteurs de nos voitures sont basés sur des cycles thermodynamiques (comme le cycle de Beau de Rochas ou Otto), mais ils sont loin d'être réversibles comme le cycle de Carnot. Les frottements, les transferts de chaleur non-isothermes et les combustions rapides créent des irréversibilités qui diminuent fortement leur rendement par rapport au maximum théorique de Carnot.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Si \(W_{\text{cycle}}\) était positif, qu'est-ce que cela signifierait ?

Un travail de cycle positif (\(W_{\text{cycle}} > 0\)) signifie que le système a reçu plus de travail qu'il n'en a fourni. Le cycle serait alors un cycle récepteur, comme celui d'une machine frigorifique ou d'une pompe à chaleur, qui consomme du travail pour transférer de la chaleur d'une source froide vers une source chaude.

Résultat Final
\(W_{\text{cycle}} = -2166 \text{ J}\).
A vous de jouer

Si la chaleur absorbée \(Q_H\) était de 4000 J et la chaleur rejetée \(Q_C\) de -1500 J, quel serait le travail du cycle ?

Question 5 : Calculer le rendement \(\eta\) et le comparer au rendement de Carnot \(\eta_{\text{th}}\).

Principe

Le rendement d'un moteur est le rapport entre ce qu'il fournit (le travail net) et ce qu'il coûte (la chaleur puisée à la source chaude). Le rendement théorique de Carnot ne dépend que des températures des sources et représente le maximum possible.

Mini-Cours

Le théorème de Carnot stipule qu'aucun moteur fonctionnant entre deux sources de chaleur données ne peut avoir un rendement supérieur à celui d'un moteur de Carnot fonctionnant entre les mêmes sources. De plus, tous les moteurs réversibles fonctionnant entre ces deux sources ont le même rendement, celui de Carnot. C'est un résultat majeur du second principe de la thermodynamique.

Remarque Pédagogique

Comparer le rendement réel (ou calculé) d'un cycle à celui de Carnot est une étape essentielle en ingénierie. Cela permet de juger de la "perfection" du cycle. Un rendement proche de celui de Carnot signifie que les irréversibilités (frottements, etc.) ont été minimisées.

Normes

Le rendement de Carnot n'est pas une norme, mais une limite physique théorique imposée par le second principe de la thermodynamique.

Formule(s)

Rendement d'un moteur thermique

\[ \eta = \frac{|W_{\text{cycle}}|}{Q_H} \]

Rendement théorique de Carnot

\[ \eta_{\text{th}} = 1 - \frac{T_C}{T_H} \]
Donnée(s)
ParamètreSymboleValeur
Travail net du cycle (valeur absolue)\(|W_{\text{cycle}}|\)\(2166 \text{ J}\)
Chaleur absorbée\(Q_H\)\(3465 \text{ J}\)
Température source chaude\(T_H\)\(800 \text{ K}\)
Température source froide\(T_C\)\(300 \text{ K}\)
Astuces

Pour un cycle de Carnot, on peut démontrer que \(\frac{Q_C}{Q_H} = -\frac{T_C}{T_H}\). En remplaçant dans la formule du rendement \(\eta = 1 + \frac{Q_C}{Q_H}\), on retrouve directement \(\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}\). C'est la preuve mathématique que les deux calculs doivent coïncider pour un cycle réversible.

Schéma (Avant les calculs)
Flux d'énergie pour le calcul du rendement
MOTEURQ_H|W_cycle||Q_C|
Calcul(s)

Rendement calculé à partir des énergies

\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{|-2166 \text{ J}|}{3465 \text{ J}} \\ &\approx 0.625 \\ &\Rightarrow 62.5\% \end{aligned} \]

Rendement théorique de Carnot à partir des températures

\[ \begin{aligned} \eta_{\text{th}} &= 1 - \frac{T_C}{T_H} \\ &= 1 - \frac{300 \text{ K}}{800 \text{ K}} \\ &= 1 - 0.375 \\ &= 0.625 \\ &\Rightarrow 62.5\% \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison du Rendement
0%100%η = η_th = 62.5%
Réflexions

Le rendement calculé à partir des travaux et chaleurs échangés est identique au rendement théorique de Carnot. Cela est attendu car l'exercice stipule que le cycle est réversible. Cette égalité confirme la validité de nos calculs et illustre que le cycle de Carnot est bien le cycle le plus efficace possible entre deux sources de chaleur données.

Points de vigilance

  • Le rendement est un nombre sans dimension, souvent exprimé en pourcentage. Assurez-vous que les énergies (\(W\) et \(Q_H\)) sont dans la même unité.
  • Les températures dans la formule de Carnot doivent impérativement être en Kelvin.

Points à retenir

  • Le rendement de Carnot, \(\eta_{\text{th}} = 1 - T_C/T_H\), est le rendement maximal théorique pour un moteur fonctionnant entre deux sources de température \(T_C\) et \(T_H\).
  • Pour augmenter le rendement, il faut soit augmenter \(T_H\), soit diminuer \(T_C\).

Le saviez-vous ?

Sadi Carnot a publié son unique ouvrage, "Réflexions sur la puissance motrice du feu", en 1824, avant même que le premier principe de la thermodynamique ne soit formulé ! Ses raisonnements, basés sur une analogie avec une roue à aubes, étaient si brillants qu'ils ont posé les fondations du second principe de la thermodynamique.

FAQ

Questions fréquentes sur ce calcul.

Pourquoi un moteur réel ne peut-il jamais atteindre le rendement de Carnot ?

Un moteur réel subit des pertes dues aux irréversibilités : les frottements mécaniques, les transferts de chaleur à travers les parois (non-adiabaticité), et le fait que les transformations ne sont pas infiniment lentes (non quasi-statiques). Tout cela génère de l'entropie et diminue le rendement par rapport à l'idéal de Carnot.

Résultat Final
Le rendement du moteur est \(\eta = 62.5\%\), ce qui est égal au rendement théorique de Carnot \(\eta_{\text{th}} = 62.5\%\).
A vous de jouer

Quelle serait l'efficacité de ce moteur si la température de la source froide était abaissée à \(200\) K ?

Outil Interactif : Simulateur de Rendement de Carnot

Utilisez les curseurs pour faire varier les températures des sources chaude et froide et observez l'impact direct sur le rendement maximal théorique d'un moteur de Carnot.

Paramètres d'Entrée
800 K
300 K
Résultats Clés
Rendement de Carnot (\(\eta_{\text{th}}\)) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la variation de l'énergie interne d'un gaz parfait au cours d'une transformation isotherme ?

2. Le rendement d'un moteur de Carnot dépend uniquement :

3. Lors d'une expansion adiabatique réversible, la température du gaz :

4. Dans un diagramme (P, V), une transformation adiabatique est représentée par une courbe :

5. Que vaut la somme de la variation d'énergie interne sur un cycle thermodynamique complet ?

Glossaire

Transformation Isotherme
Une transformation qui se déroule à température constante. Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne varie pas.
Transformation Adiabatique
Une transformation qui se déroule sans échange de chaleur avec le milieu extérieur (\(Q=0\)).
Rendement Thermique (\(\eta\))
Rapport de l'énergie utile (travail net produit) sur l'énergie coûteuse (chaleur absorbée de la source chaude). \(\eta = |W_{\text{cycle}}|/Q_H\).
Lois de Laplace
Relations mathématiques (\(PV^\gamma=\text{cste}\), \(TV^{\gamma-1}=\text{cste}\)) qui décrivent l'évolution des grandeurs d'état d'un gaz parfait lors d'une transformation adiabatique réversible.
Machine Thermique à Cycle de Carnot

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