Études de cas pratique

EGC

Analyse d’une Pompe à Chaleur

Analyse d’une Pompe à Chaleur

Analyse d’une Pompe à Chaleur

Comprendre le Fonctionnement et la Performance d'une Pompe à Chaleur

Une pompe à chaleur (PAC) est un système thermodynamique qui transfère de l'énergie thermique d'une source froide (basse température) vers une source chaude (haute température) en consommant du travail mécanique, généralement fourni par un compresseur électrique. Son efficacité est caractérisée par son Coefficient de Performance (COP), qui est le rapport entre la chaleur fournie à la source chaude et le travail consommé. Cet exercice vise à calculer le COP théorique maximal et les grandeurs énergétiques d'une PAC opérant entre deux températures données.

Données de l'étude

On considère une pompe à chaleur fonctionnant de manière réversible (cycle de Carnot inversé) entre une source froide et une source chaude.

Caractéristiques de fonctionnement :

Paramètre Valeur Symbole
Température de la source froide (extérieur) -5 °C \(T_F\)
Température de la source chaude (intérieur) 22 °C \(T_C\)
Chaleur extraite de la source froide par cycle (ou par unité de temps) 3000 \(\text{J}\) (ou 3 kW si par unité de temps) \(Q_F\)

Hypothèses : La pompe à chaleur fonctionne selon un cycle de Carnot inversé. Les températures des sources restent constantes.

Schéma : Principe de fonctionnement d'une pompe à chaleur
Source Froide (T_F) PAC (Compresseur, etc.) Source Chaude (T_C) Q_F W Q_C

Schéma illustrant les transferts d'énergie dans une pompe à chaleur.

Questions à traiter

  1. Convertir les températures des sources froide (\(T_F\)) et chaude (\(T_C\)) en Kelvin (K).
  2. Calculer le Coefficient de Performance maximal théorique (\(\text{COP}_{\text{Carnot}}\)) de cette pompe à chaleur.
  3. Calculer le travail minimal (\(W_{\text{min}}\)) nécessaire pour extraire la quantité de chaleur \(Q_F\) de la source froide.
  4. Calculer la quantité de chaleur (\(Q_C\)) fournie à la source chaude.
  5. Si le \(\text{COP}_{\text{réel}}\) de la pompe à chaleur est de 3.5, quel serait le travail réel (\(W_{\text{réel}}\)) consommé pour fournir la même quantité de chaleur \(Q_C\) calculée précédemment ?

Correction : Analyse d’une Pompe à Chaleur

Question 1 : Conversion des températures en Kelvin

Principe :

Pour convertir une température de degrés Celsius (°C) en Kelvin (K), on ajoute 273.15.

Formule(s) utilisée(s) :
\[T(\text{K}) = T(°\text{C}) + 273.15\]
Données spécifiques :
  • Température source froide (\(T_F\)) : \(-5 \, °\text{C}\)
  • Température source chaude (\(T_C\)) : \(22 \, °\text{C}\)
Calculs :

Température de la source froide en Kelvin :

\[ \begin{aligned} T_F (\text{K}) &= -5 + 273.15 \\ &= 268.15 \, \text{K} \end{aligned} \]

Température de la source chaude en Kelvin :

\[ \begin{aligned} T_C (\text{K}) &= 22 + 273.15 \\ &= 295.15 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(T_F = 268.15 \, \text{K}\) et \(T_C = 295.15 \, \text{K}\).

Question 2 : Coefficient de Performance maximal théorique (\(\text{COP}_{\text{Carnot}}\))

Principe :

Le COP maximal théorique d'une pompe à chaleur fonctionnant entre deux sources de température \(T_F\) (froide) et \(T_C\) (chaude), exprimées en Kelvin, est donné par le COP du cycle de Carnot inversé.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{T_C}{T_C - T_F}\]
Données spécifiques :
  • \(T_F = 268.15 \, \text{K}\)
  • \(T_C = 295.15 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \text{COP}_{\text{Carnot}} &= \frac{295.15 \, \text{K}}{295.15 \, \text{K} - 268.15 \, \text{K}} \\ &= \frac{295.15}{27.00} \\ &\approx 10.931 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le \(\text{COP}_{\text{Carnot}} \approx 10.93\).

Question 3 : Travail minimal (\(W_{\text{min}}\)) nécessaire

Principe :

Le COP d'une pompe à chaleur est défini comme \(\text{COP} = Q_C / W\). Pour une pompe à chaleur réversible, on sait aussi que \(Q_C = Q_F + W\). Donc, \(W = Q_C - Q_F\). Le COP peut aussi s'écrire \(\text{COP} = (Q_F + W) / W = Q_F/W + 1\). Ainsi, \(W = Q_F / (\text{COP} - 1)\). Pour le travail minimal, on utilise le \(\text{COP}_{\text{Carnot}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{\text{min}} = \frac{Q_F}{\text{COP}_{\text{Carnot}} - 1}\]

Alternativement, à partir de \(\text{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{Q_C}{W_{\text{min}}} = \frac{T_C}{T_C - T_F}\) et \(Q_C = Q_F + W_{\text{min}}\), on a \(\frac{Q_F + W_{\text{min}}}{W_{\text{min}}} = \frac{T_C}{T_C - T_F}\). \( \frac{Q_F}{W_{\text{min}}} + 1 = \frac{T_C}{T_C - T_F} \Rightarrow \frac{Q_F}{W_{\text{min}}} = \frac{T_C - (T_C - T_F)}{T_C - T_F} = \frac{T_F}{T_C - T_F} \). Donc :

\[W_{\text{min}} = Q_F \frac{T_C - T_F}{T_F}\]
Données spécifiques :
  • Chaleur extraite de la source froide (\(Q_F\)) : \(3000 \, \text{J}\)
  • \(\text{COP}_{\text{Carnot}} \approx 10.931\)
  • \(T_F = 268.15 \, \text{K}\)
  • \(T_C = 295.15 \, \text{K}\)
Calcul (avec la deuxième formule) :
\[ \begin{aligned} W_{\text{min}} &= 3000 \, \text{J} \times \frac{295.15 \, \text{K} - 268.15 \, \text{K}}{268.15 \, \text{K}} \\ &= 3000 \, \text{J} \times \frac{27.00}{268.15} \\ &\approx 3000 \, \text{J} \times 0.1006899 \\ &\approx 302.07 \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le travail minimal nécessaire est \(W_{\text{min}} \approx 302.07 \, \text{J}\).

Question 4 : Quantité de chaleur (\(Q_C\)) fournie à la source chaude

Principe :

Pour une pompe à chaleur, la chaleur fournie à la source chaude (\(Q_C\)) est la somme de la chaleur extraite de la source froide (\(Q_F\)) et du travail (\(W\)) fourni au système. Pour le cas idéal (réversible), on utilise \(W_{\text{min}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_C = Q_F + W_{\text{min}}\]

Ou, en utilisant le COP : \(\text{COP}_{\text{Carnot}} = Q_C / W_{\text{min}} \Rightarrow Q_C = \text{COP}_{\text{Carnot}} \times W_{\text{min}}\).

Données spécifiques :
  • Chaleur extraite (\(Q_F\)) : \(3000 \, \text{J}\)
  • Travail minimal (\(W_{\text{min}}\)) : \(\approx 302.07 \, \text{J}\)
  • \(\text{COP}_{\text{Carnot}} \approx 10.931\)
Calcul (avec la première formule) :
\[ \begin{aligned} Q_C &= 3000 \, \text{J} + 302.07 \, \text{J} \\ &= 3302.07 \, \text{J} \end{aligned} \]

Vérification avec la deuxième formule :

\[ \begin{aligned} Q_C &= 10.931 \times 302.07 \, \text{J} \\ &\approx 3302.05 \, \text{J} \end{aligned} \]

(La petite différence est due aux arrondis).

Résultat Question 4 : La quantité de chaleur fournie à la source chaude est \(Q_C \approx 3302 \, \text{J}\).

Question 5 : Travail réel (\(W_{\text{réel}}\)) pour un \(\text{COP}_{\text{réel}}\) donné

Principe :

Si le \(\text{COP}_{\text{réel}}\) est connu, et que l'on souhaite fournir la même quantité de chaleur \(Q_C\) à la source chaude, le travail réel consommé est donné par \(W_{\text{réel}} = Q_C / \text{COP}_{\text{réel}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{\text{réel}} = \frac{Q_C}{\text{COP}_{\text{réel}}}\]
Données spécifiques :
  • Chaleur fournie à la source chaude (\(Q_C\)) : \(\approx 3302.07 \, \text{J}\)
  • \(\text{COP}_{\text{réel}}\) : \(3.5\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{\text{réel}} &= \frac{3302.07 \, \text{J}}{3.5} \\ &\approx 943.45 \, \text{J} \end{aligned} \]

On constate que \(W_{\text{réel}} > W_{\text{min}}\), ce qui est attendu car une PAC réelle est moins performante qu'une PAC de Carnot idéale.

Résultat Question 5 : Le travail réel consommé par la pompe à chaleur est \(W_{\text{réel}} \approx 943.45 \, \text{J}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la température de la source froide \(T_F\) diminue (et \(T_C\) reste constante), le \(\text{COP}_{\text{Carnot}}\) d'une pompe à chaleur :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Une pompe à chaleur transfère de la chaleur :

2. Le Coefficient de Performance (COP) d'une pompe à chaleur est défini comme :

3. Pour une pompe à chaleur, la quantité de chaleur fournie à la source chaude (\(Q_C\)) est toujours :

Glossaire

Pompe à Chaleur (PAC)
Dispositif thermodynamique capable de transférer de l'énergie thermique d'un milieu à basse température (source froide) vers un milieu à haute température (source chaude) en utilisant un apport de travail.
Coefficient de Performance (COP)
Rapport entre l'énergie thermique utile fournie par la pompe à chaleur (chaleur à la source chaude, \(Q_C\)) et l'énergie consommée pour son fonctionnement (travail \(W\)). \(\text{COP} = Q_C / W\). Plus le COP est élevé, plus la PAC est efficace.
Source Froide
Milieu à basse température d'où la pompe à chaleur puise de l'énergie thermique (ex: air extérieur, sol, eau souterraine).
Source Chaude
Milieu à haute température vers lequel la pompe à chaleur rejette de l'énergie thermique (ex: l'intérieur d'une habitation à chauffer).
Cycle de Carnot
Cycle thermodynamique théorique réversible composé de deux transformations isothermes et deux transformations adiabatiques. Le cycle de Carnot inversé représente le fonctionnement idéal d'une pompe à chaleur ou d'un réfrigérateur.
Travail (\(W\))
Énergie mécanique ou électrique fournie à la pompe à chaleur, généralement par un compresseur, pour permettre le transfert de chaleur.
Chaleur (\(Q\))
Transfert d'énergie thermique entre deux systèmes dû à une différence de température. \(Q_F\) est la chaleur puisée à la source froide, \(Q_C\) est la chaleur rejetée à la source chaude.
Analyse d’une Pompe à Chaleur - Application

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