EGC

Analyse d’une Pompe à Chaleur

Exercice : Analyse d’une Pompe à Chaleur

Analyse d’une Pompe à Chaleur

Contexte : La Pompe à ChaleurSystème thermodynamique qui transfère de la chaleur d'une source froide (l'extérieur) vers une source chaude (l'intérieur d'un bâtiment) en consommant du travail. (PAC).

Les pompes à chaleur sont des systèmes essentiels pour le chauffage éco-énergétique. Elles fonctionnent sur un cycle thermodynamique pour "pomper" la chaleur d'un environnement froid vers un environnement plus chaud. Cet exercice se concentre sur l'analyse d'un cycle de réfrigération à compression de vapeur idéal utilisé par une pompe à chaleur résidentielle pour chauffer une maison. Nous étudierons ses performances en calculant son Coefficient de Performance (COP)Rapport entre la chaleur utile fournie et le travail consommé. Un COP plus élevé indique une meilleure efficacité..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer les principes fondamentaux de la thermodynamique (premier et deuxième principes) à un système d'ingénierie concret et d'utiliser des tables de propriétés thermodynamiques pour analyser un cycle énergétique.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier les différents états d'un fluide frigorigène dans un cycle de pompe à chaleur.
  • Utiliser les tables thermodynamiques pour déterminer les propriétés (enthalpie, entropie).
  • Calculer les transferts de chaleur et le travail du compresseur.
  • Évaluer l'efficacité du système en calculant son Coefficient de Performance (COP).
  • Comprendre le principe d'une compression isentropique.

Données de l'étude

On étudie une pompe à chaleur idéale fonctionnant avec du réfrigérant R-134a. Le cycle est un cycle de réfrigération à compression de vapeur standard.

Schéma de principe d'une Pompe à Chaleur
Condenseur Évaporateur Compresseur Détendeur 1 2 3 4 🔥 Chaleur vers l'intérieur (Qc) ❄️ Chaleur de l'extérieur (Qf) ⚡ Travail (W)
Paramètre Description Valeur Unité
Fluide Fluide frigorigène utilisé R-134a -
\(P_{\text{basse}}\) Pression dans l'évaporateur 200 kPa
\(P_{\text{haute}}\) Pression dans le condenseur 800 kPa
État 1 État du fluide à l'entrée du compresseur Vapeur saturée
État 3 État du fluide à la sortie du condenseur Liquide saturé
\(\dot{m}\) Débit massique du réfrigérant 0.05 kg/s

Questions à traiter

  1. Déterminer l'enthalpie (\(h_1\)) et l'entropie (\(s_1\)) à l'entrée du compresseur (État 1).
  2. En supposant une compression isentropique (adiabatique réversible), déterminer l'enthalpie à la sortie du compresseur (\(h_2\)) (État 2).
  3. Déterminer l'enthalpie à la sortie du condenseur (\(h_3\)) (État 3) et à l'entrée de l'évaporateur (\(h_4\)) (État 4).
  4. Calculer la puissance thermique fournie au local chauffé (\(\dot{Q}_{\text{chaud}}\)).
  5. Calculer la puissance consommée par le compresseur (\(\dot{W}_{\text{comp}}\)) et en déduire le Coefficient de Performance (COP) de la pompe à chaleur.

Les bases de la Thermodynamique

Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur le cycle de réfrigération à compression de vapeur et la définition du Coefficient de Performance.

1. Le Cycle à Compression de Vapeur
C'est le cycle le plus utilisé pour la réfrigération et les pompes à chaleur. Il se compose de quatre processus :

  • 1-2 : Compression isentropique dans un compresseur.
  • 2-3 : Rejet de chaleur à pression constante dans un condenseur.
  • 3-4 : Détente isenthalpique dans un détendeur (vanne ou tube capillaire).
  • 4-1 : Absorption de chaleur à pression constante dans un évaporateur.

2. Coefficient de Performance (COP)
Le COP mesure l'efficacité d'une pompe à chaleur. C'est le rapport entre ce que l'on veut obtenir (la chaleur fournie) et ce que l'on doit dépenser (le travail du compresseur). \[ COP_{\text{PAC}} = \frac{\text{Effet utile}}{\text{Travail fourni}} = \frac{\text{Chaleur rejetée à la source chaude}}{\text{Travail du compresseur}} = \frac{\dot{Q}_{\text{chaud}}}{\dot{W}_{\text{comp}}} \] Une valeur de COP supérieure à 1 est toujours attendue.

Correction : Analyse d’une Pompe à Chaleur

Question 1 : Propriétés à l'entrée du compresseur (État 1)

Principe

L'état 1 est le point de départ de notre cycle. L'énoncé nous dit qu'à ce point, le réfrigérant R-134a est sous forme de vapeur saturée à une pression de 200 kPa. Le concept physique clé ici est que pour une substance pure, l'état est entièrement défini par deux propriétés indépendantes. Ici, nous avons la pression et la qualité (vapeur saturée, donc x=1).

Mini-Cours

Les tables thermodynamiques listent les propriétés des substances (comme l'enthalpie, l'entropie, le volume massique) à différents états. Pour un état de saturation (mélange liquide-vapeur), il existe une relation directe entre la pression et la température. Les tables de saturation listent les propriétés du liquide saturé (indice 'f') et de la vapeur saturée (indice 'g').

Remarque Pédagogique

Pour analyser un cycle thermodynamique, il est crucial de toujours commencer par un état où l'on connaît au moins deux propriétés. L'état 1 (vapeur saturée à P connue) et l'état 3 (liquide saturé à P connue) sont les points de départ les plus fiables de ce cycle.

Normes

Il n'y a pas de norme réglementaire pour ce calcul, mais la référence standard pour les propriétés des fluides sont les tables publiées par des organismes comme l'ASHRAE (American Society of Heating, Refrigerating and Air-Conditioning Engineers) ou le NIST (National Institute of Standards and Technology).

Formule(s)

Il n'y a pas de formule à proprement parler, il s'agit d'une lecture directe dans les tables thermodynamiques. On cherche :

Enthalpie à l'état 1

\[ h_1 = h_g \text{ à } P_1 = 200 \text{ kPa} \]

Entropie à l'état 1

\[ s_1 = s_g \text{ à } P_1 = 200 \text{ kPa} \]
Hypothèses

On suppose que le fluide à l'entrée du compresseur est exactement à l'état de vapeur saturée (qualité x=1), sans aucune surchauffe, ce qui est une condition idéale.

Donnée(s)

Nous extrayons les informations pertinentes de l'énoncé pour cet état.

ParamètreValeurUnité
FluideR-134a-
Pression (\(P_1\))200kPa
Titre de vapeur (\(x_1\))1(vapeur saturée)
Astuces

Assurez-vous d'utiliser la table "Pression" et non la table "Température" si la pression est la donnée d'entrée. Cela évite de devoir interpoler inutilement la pression.

Schéma (Avant les calculs)

Sur un diagramme Pression-Enthalpie (P-h), l'état 1 se trouve sur la courbe de vapeur saturée, à l'intersection avec l'isobare 200 kPa.

Diagramme P-h : Localisation de l'État 1
Courbe de saturation200 kPaÉtat 1h₁P₁Vapeur SurchaufféeMélange L+V
Calcul(s)

On utilise un extrait de la table des propriétés du R-134a saturé. On cherche la ligne correspondant à notre pression d'entrée de 200 kPa. Comme l'état est "vapeur saturée", on lit les valeurs dans les colonnes suffixées par "g" (pour gaz).

Extrait de la Table du R-134a Saturé (par Pression)
P (kPa)T (°C)h_f (kJ/kg)h_g (kJ/kg)s_f (kJ/kg·K)s_g (kJ/kg·K)
180-12.7334.92242.870.14210.9400
200-10.0938.43244.460.15460.9377
240-5.3843.70247.290.17430.9340

La ligne surlignée nous donne directement les valeurs pour l'état 1.

Lecture des tables

\[ h_1 = 244,46 \text{ kJ/kg} \]
\[ s_1 = 0,9377 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma reste identique à celui d'avant le calcul, mais il confirme la position du point 1 sur le diagramme thermodynamique.

Point 1 sur le diagramme P-h
Courbe de saturation200 kPaÉtat 1h₁=244.46P₁=200
Réflexions

L'enthalpie \(h_1\) représente l'énergie contenue dans 1 kg de réfrigérant à cet état. L'entropie \(s_1\) est une mesure de son "désordre" moléculaire et servira de référence pour la compression idéale.

Points de vigilance

Faites très attention à bien lire les valeurs dans la colonne 'vapeur saturée' (\(h_g\), \(s_g\)) et non 'liquide saturé' (\(h_f\), \(s_f\)). Vérifiez toujours les unités de la table (kJ/kg, kPa, etc.).

Points à retenir

Un état de vapeur saturée à une pression donnée a des propriétés fixes et uniques. C'est un point d'ancrage fondamental dans l'analyse de cycles.

Le saviez-vous ?

Le R-134a a été largement utilisé pour remplacer les CFC (chlorofluorocarbures) comme le R-12, car il n'endommage pas la couche d'ozone. Cependant, il a un potentiel de réchauffement global élevé et est lui-même progressivement remplacé par des fluides plus respectueux de l'environnement comme le R-1234yf.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions. Voici une liste des interrogations les plus fréquentes.

Où puis-je trouver ces tables thermodynamiques ?

Elles sont disponibles dans la plupart des manuels de thermodynamique, ainsi qu'en ligne sur les sites d'organismes comme le NIST.

Que signifie "vapeur saturée" ?

C'est l'état où le fluide est entièrement sous forme de gaz, mais à la température la plus basse possible pour cette pression. Si on le refroidissait, même très légèrement, il commencerait à se condenser en liquide.

Résultat Final
L'enthalpie à l'entrée du compresseur est \(h_1 = 244,46 \text{ kJ/kg}\) et l'entropie est \(s_1 = 0,9377 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K}\).
A vous de jouer

Si la pression dans l'évaporateur était de 140 kPa, quelle serait la valeur de l'enthalpie \(h_1\) (vapeur saturée) ? (Utilisez une table de R-134a, la réponse est ~239,16 kJ/kg)

Question 2 : Enthalpie à la sortie du compresseur (État 2)

Principe

Le processus de compression est supposé idéal, c'est-à-dire isentropique. Le concept physique est que le compresseur augmente la pression du gaz sans échange de chaleur avec l'extérieur et sans générer d'irréversibilités internes. Cela se traduit par une entropie constante : \(s_2 = s_1\).

Mini-Cours

Une compression isentropique est un processus qui est à la fois adiabatique (pas de transfert de chaleur) et réversible (pas de frottements ou autres pertes). C'est un modèle idéal qui sert de référence pour évaluer les compresseurs réels. L'état 2 est alors défini par deux propriétés : la pression de sortie \(P_2\) et l'entropie \(s_2 = s_1\). Si, à cette pression \(P_2\), l'entropie \(s_2\) est supérieure à l'entropie de la vapeur saturée (\(s_g\)), le fluide est en état de vapeur surchauffée.

Remarque Pédagogique

L'hypothèse isentropique nous donne le travail minimum requis pour la compression. Dans la réalité, un compresseur aura une efficacité isentropique (typiquement 70-90%), ce qui signifie que le travail réel sera plus élevé et l'entropie à la sortie sera supérieure à \(s_1\).

Normes

L'efficacité isentropique (\(\eta_s\)) est la norme utilisée pour quantifier la performance d'un compresseur réel par rapport au cas idéal : \(\eta_s = (h_{2s} - h_1) / (h_{2a} - h_1)\), où \(h_{2s}\) est l'enthalpie de sortie isentropique (calculée ici) et \(h_{2a}\) est l'enthalpie de sortie réelle ("actual").

Formule(s)

Conservation de l'entropie

\[ s_2 = s_1 \]

Formule d'interpolation linéaire

\[ y = y_1 + (y_2 - y_1) \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \]
Hypothèses

On suppose que le processus de compression est adiabatique (parfaitement isolé) et réversible (sans frottements), ce qui constitue l'hypothèse isentropique.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats de la question 1 et les données de l'énoncé.

ParamètreValeurUnité
Pression (\(P_2\))800kPa
Entropie (\(s_2 = s_1\))0,9377kJ/kg·K
Astuces

Pour savoir si vous devez utiliser la table de saturation ou de surchauffe à l'état 2, comparez votre entropie \(s_2\) à l'entropie de la vapeur saturée (\(s_g\)) à la pression \(P_2\). Si \(s_2 > s_g\), c'est de la vapeur surchauffée. C'est presque toujours le cas après une compression.

Schéma (Avant les calculs)

Sur le diagramme P-h, le processus 1-2 est une ligne à entropie constante (isentrope), qui monte en pression et en enthalpie.

Diagramme P-h : Processus 1-2
Saturation200 kPa800 kPa12s = cste
Calcul(s)

À la pression \(P_2 = 800 \text{ kPa}\), nous regardons l'entropie de la vapeur saturée (\(s_g\)) dans la table. On trouve \(s_g @ 800 \text{ kPa} = 0,9183 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K}\). Comme \(s_2 (0,9377) > s_g (0,9183)\), le réfrigérant est à l'état de vapeur surchauffée. Nous devons donc utiliser la table de vapeur surchauffée pour le R-134a à 800 kPa et interpoler.

Table de vapeur surchauffée à P=800 kPa

\[ \begin{array}{c|c|c} T (\text{°C}) & h \text{ (kJ/kg)} & s \text{ (kJ/kg K)} \\ \hline 31,31 \text{ (sat.)} & 267,29 & 0,9183 \\ 40 & 276,46 & 0,9481 \\ \end{array} \]

Interpolation pour trouver h₂

\[ \begin{aligned} h_2 &= h_{bas} + (h_{haut} - h_{bas}) \times \frac{s_2 - s_{bas}}{s_{haut} - s_{bas}} \\ &= 267,29 + (276,46 - 267,29) \times \frac{0,9377 - 0,9183}{0,9481 - 0,9183} \\ &= 267,29 + (9,17) \times \frac{0,0194}{0,0298} \\ &\Rightarrow h_2 \approx 273,26 \text{ kJ/kg} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma confirme la position du point 2 dans la zone de vapeur surchauffée, à l'intersection de l'isobare 800 kPa et de l'isentrope \(s = 0,9377\).

Compression Isentropique 1-2
Saturation200 kPa800 kPa12h₂=273.26
Réflexions

L'enthalpie a augmenté de 244,46 à 273,26 kJ/kg. Cette augmentation d'énergie (28,8 kJ/kg) a été fournie au fluide sous forme de travail par le compresseur. C'est l'énergie que nous payons via notre facture d'électricité.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est une mauvaise interpolation. Prenez votre temps, écrivez clairement les valeurs et vérifiez que votre résultat se situe bien entre les deux valeurs de la table.

Points à retenir

La compression idéale dans un cycle de pompe à chaleur est un processus isentropique (\(s_2 = s_1\)). Cela permet de fixer l'état de sortie avec la pression de sortie.

Le saviez-vous ?

Le concept d'entropie a été introduit par Rudolf Clausius en 1865. Il a formulé le deuxième principe de la thermodynamique en déclarant que l'entropie de l'univers tend vers un maximum, une idée profonde avec des implications en physique, chimie et même en philosophie.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Pourquoi l'interpolation est-elle nécessaire ?

Les tables thermodynamiques ne peuvent pas lister toutes les valeurs possibles. L'interpolation est une méthode mathématique pour estimer une valeur qui se trouve entre deux points de données connus, en supposant une variation linéaire entre ces deux points.

Un compresseur réel est-il vraiment isentropique ?

Non, jamais. Les frottements internes du fluide et les transferts de chaleur avec l'environnement font que l'entropie augmente toujours dans un processus réel. Le cas isentropique est une référence idéale pour la comparaison.

Résultat Final
L'enthalpie à la sortie du compresseur est \(h_2 \approx 273,26 \text{ kJ/kg}\).
A vous de jouer

Si le compresseur n'était pas idéal et avait une sortie à 45°C et 800 kPa, quelle serait la nouvelle enthalpie \(h_2\) ? (Utilisez une table de surchauffe, la réponse est ~281,8 kJ/kg)

Question 3 : Enthalpies aux états 3 et 4

Principe

À l'état 3, le réfrigérant sort du condenseur en tant que liquide saturé à la haute pression (\(P_3 = 800 \text{ kPa}\)). Le processus dans le détendeur (entre 3 et 4) est une détente isenthalpique (throttling), ce qui signifie que l'enthalpie reste constante : \(h_4 = h_3\).

Mini-Cours

Un liquide saturé (qualité x=0) est un liquide qui est sur le point de commencer à s'évaporer. La détente isenthalpique est un processus hautement irréversible où un fluide passe à travers une restriction (une vanne). La pression chute brutalement, mais le processus est si rapide et confiné qu'il n'y a ni travail effectué ni chaleur échangée. Le premier principe de la thermodynamique pour un système ouvert en régime permanent se simplifie alors en \(h_{\text{entrée}} = h_{\text{sortie}}\).

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas la détente dans un détendeur avec une détente dans une turbine. Une turbine est conçue pour produire du travail (processus quasi-isentropique), alors qu'un détendeur est conçu pour simplement réduire la pression (processus isenthalpique).

Normes

Il n'y a pas de norme de performance pour un détendeur idéal, car il est par nature un composant "passif" et irréversible. Sa conception est standardisée pour assurer la chute de pression désirée pour un débit donné.

Formule(s)

Enthalpie à l'état 3

\[ h_3 = h_f \text{ à } P_3 = 800 \text{ kPa} \]

Enthalpie à l'état 4

\[ h_4 = h_3 \]
Hypothèses

On suppose que le fluide sort du condenseur exactement à l'état de liquide saturé (pas de sous-refroidissement) et que le détendeur est parfaitement adiabatique (pas d'échange de chaleur avec l'extérieur).

Donnée(s)

Les données pertinentes sont la pression et l'état du fluide à la sortie du condenseur.

ParamètreValeurUnité
Pression (\(P_3\))800kPa
Titre de vapeur (\(x_3\))0(liquide saturé)
Astuces

Le processus de détente 3-4 est très simple : une fois que vous avez \(h_3\), vous avez automatiquement \(h_4\). C'est l'un des points les plus faciles à calculer dans un cycle idéal.

Schéma (Avant les calculs)

Sur le diagramme P-h, le point 3 est sur la courbe de liquide saturé à 800 kPa. Le processus 3-4 est une ligne verticale vers le bas jusqu'à la pression de 200 kPa.

Diagramme P-h : Processus 3-4
Saturation200 kPa800 kPa34h = cste
Calcul(s)

On utilise à nouveau l'extrait de la table des propriétés du R-134a saturé. On cherche la ligne correspondant à notre pression de sortie de 800 kPa. Comme l'état est "liquide saturé", on lit la valeur dans la colonne suffixée par "f" (pour fluide).

Extrait de la Table du R-134a Saturé (par Pression)
P (kPa)T (°C)h_f (kJ/kg)h_g (kJ/kg)s_f (kJ/kg·K)s_g (kJ/kg·K)
70026.6988.82264.950.33230.9206
80031.3195.48267.290.35400.9183
90035.51101.62269.460.37420.9164

Lecture de l'enthalpie h₃

\[ h_3 = h_f = 95,48 \text{ kJ/kg} \]

Calcul de l'enthalpie h₄

\[ h_4 = h_3 = 95,48 \text{ kJ/kg} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma confirme la position des points 3 et 4, montrant la chute de pression à enthalpie constante.

Détente Isenthalpique 3-4
Saturation200 kPa800 kPa34h₃=h₄=95.48
Réflexions

L'enthalpie ne change pas, mais la pression chute drastiquement. Cette chute de pression provoque une "vaporisation flash" : une partie du liquide se vaporise instantanément, ce qui refroidit le mélange. L'état 4 est donc un mélange liquide-vapeur froid à basse pression, prêt à absorber la chaleur dans l'évaporateur.

Points de vigilance

Ne supposez jamais que la température reste constante pendant la détente. La température chute de manière significative (de 31,31°C à -10,09°C dans ce cas), même si l'enthalpie reste la même.

Points à retenir

La sortie du condenseur dans un cycle idéal est un état de liquide saturé (\(h_3 = h_f\)). Le passage dans le détendeur est un processus isenthalpique (\(h_4 = h_3\)).

Le saviez-vous ?

Ce principe de refroidissement par détente rapide est connu sous le nom d'effet Joule-Thomson. Il est fondamental non seulement pour la réfrigération, mais aussi pour la liquéfaction des gaz comme l'azote ou l'hélium, qui nécessite des températures extrêmement basses.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Pourquoi utilise-t-on une vanne simple et pas une turbine ?

Pour les petites installations comme une PAC résidentielle, la quantité d'énergie (travail) que l'on pourrait récupérer avec une turbine est très faible. La complexité et le coût d'une mini-turbine seraient bien supérieurs au gain énergétique. Une vanne est simple, bon marché et fiable.

Résultat Final
L'enthalpie à la sortie du condenseur est \(h_3 = 95,48 \text{ kJ/kg}\). L'enthalpie à l'entrée de l'évaporateur est \(h_4 = 95,48 \text{ kJ/kg}\).
A vous de jouer

Si le réfrigérant à la sortie du condenseur était sous-refroidi à une température de 30°C (à 800 kPa), quelle serait la nouvelle enthalpie \(h_3\) ? (Utilisez la table du liquide comprimé ou approximer avec \(h_f\) à 30°C, la réponse est ~93,58 kJ/kg)

Question 4 : Puissance thermique fournie (\(\dot{Q}_{\text{chaud}}\))

Principe

La chaleur fournie au local chauffé est l'énergie thermique que le réfrigérant libère lorsqu'il passe de l'état de vapeur surchauffée (état 2) à l'état de liquide saturé (état 3) dans le condenseur. Le principe physique est la conservation de l'énergie (Premier principe de la thermodynamique) pour un système ouvert en régime permanent.

Mini-Cours

Pour un échangeur de chaleur comme le condenseur, le bilan énergétique s'écrit : \(\dot{Q} = \dot{m} \times (h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}})\). Pour le réfrigérant, la chaleur est rejetée, donc elle est négative du point de vue du fluide (\(\dot{Q}_{\text{rejetée}} = \dot{m}(h_3-h_2)\)). La chaleur reçue par la maison est l'opposé, une valeur positive : \(\dot{Q}_{\text{chaud}} = -\dot{Q}_{\text{rejetée}} = \dot{m}(h_2 - h_3)\).

Remarque Pédagogique

Visualisez l'enthalpie comme "l'énergie transportée" par chaque kg de fluide. Dans le condenseur, chaque kg de réfrigérant entre avec une haute énergie (\(h_2\)) et sort avec une basse énergie (\(h_3\)). La différence est la quantité d'énergie cédée sous forme de chaleur.

Normes

La puissance de chauffage d'une PAC est une caractéristique clé définie par les normes des fabricants (par ex. EN 14511 en Europe), mesurée dans des conditions de température standardisées pour permettre la comparaison entre les modèles.

Formule(s)

Formule de la puissance thermique

\[ \dot{Q}_{\text{chaud}} = \dot{m} \times (h_2 - h_3) \]
Hypothèses

On suppose que le condenseur est parfaitement efficace pour transférer la chaleur et que le processus se fait à pression constante. On néglige toute perte de chaleur vers l'extérieur de l'appareil (autre que vers l'air de la maison).

Donnée(s)

On utilise les valeurs d'enthalpie calculées précédemment et le débit massique donné.

ParamètreValeurUnité
Débit massique (\(\dot{m}\))0,05kg/s
Enthalpie (\(h_2\))273,26kJ/kg
Enthalpie (\(h_3\))95,48kJ/kg
Astuces

Pour vérifier votre calcul, \(\dot{Q}_{\text{chaud}}\) doit toujours être une valeur positive. Si vous obtenez un résultat négatif, vous avez probablement inversé \(h_2\) et \(h_3\) dans la soustraction.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma représente le bilan énergétique du condenseur : l'énergie entrante (fluide chaud) est égale aux énergies sortantes (fluide refroidi + chaleur cédée).

Bilan énergétique du Condenseur
CondenseurÉtat 2 (chaud)ṁh₂État 3 (froid)ṁh₃Q̇chaud
Calcul(s)

Calcul de la puissance thermique

\[ \begin{aligned} \dot{Q}_{\text{chaud}} &= \dot{m} \times (h_2 - h_3) \\ &= 0,05 \text{ kg/s} \times (273,26 - 95,48) \text{ kJ/kg} \\ &= 0,05 \text{ kg/s} \times 177,78 \text{ kJ/kg} \\ &= 8,889 \text{ kJ/s} \\ &\Rightarrow \dot{Q}_{\text{chaud}} \approx 8,89 \text{ kW} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le schéma reste identique, illustrant le flux de chaleur sortant du système, qui correspond à la puissance de chauffage calculée.

Flux de Chaleur au Condenseur
CondenseurÉtat 2ṁh₂État 3ṁh₃Q̇chaud = 8.89 kW
Réflexions

La pompe à chaleur fournit près de 9 kW de puissance de chauffage. C'est suffisant pour chauffer une pièce de bonne taille ou une petite maison bien isolée par temps froid. Cette chaleur provient de la condensation du réfrigérant.

Points de vigilance

Attention aux unités ! Le débit massique est en kg/s et l'enthalpie en kJ/kg. Le résultat est donc en kJ/s, ce qui correspond à des kilowatts (kW).

Points à retenir

La chaleur rejetée par le condenseur est la différence d'enthalpie entre l'entrée et la sortie, multipliée par le débit massique. C'est l'effet utile d'une pompe à chaleur.

Le saviez-vous ?

Dans les grandes installations industrielles, la chaleur rejetée par les condenseurs des systèmes de réfrigération, souvent considérée comme un déchet, est de plus en plus récupérée pour chauffer de l'eau ou des locaux. C'est ce qu'on appelle la récupération de chaleur fatale.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Cette chaleur vient-elle de l'électricité consommée ?

En partie seulement. La chaleur totale (\(\dot{Q}_{\text{chaud}}\)) est la somme de la chaleur "pompée" de l'extérieur (\(\dot{Q}_{\text{froid}}\)) et de l'énergie électrique convertie en chaleur dans le compresseur (\(\dot{W}_{\text{comp}}\)). C'est pourquoi le COP est supérieur à 1.

Résultat Final
La puissance thermique fournie au local est \(\dot{Q}_{\text{chaud}} \approx 8,89 \text{ kW}\).
A vous de jouer

Si le débit massique était de 0.07 kg/s, quelle serait la nouvelle puissance de chauffage ?

Question 5 : Puissance du compresseur (\(\dot{W}_{\text{comp}}\)) et COP

Principe

La puissance consommée par le compresseur correspond au travail nécessaire pour faire passer le fluide de l'état 1 à l'état 2. Comme pour le condenseur, on l'obtient par un bilan d'énergie. Le COP est ensuite le rapport entre ce qu'on gagne (la chaleur \(\dot{Q}_{\text{chaud}}\)) et ce qu'on paie (le travail \(\dot{W}_{\text{comp}}\)).

Mini-Cours

Le bilan énergétique pour le compresseur est \(\dot{Q} - \dot{W} = \dot{m}(h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}})\). Pour un compresseur idéal, le processus est adiabatique, donc \(\dot{Q}=0\). Le travail est donc \(\dot{W} = -\dot{m}(h_2 - h_1)\). Comme \(\dot{W}\) est le travail reçu par le fluide, la puissance consommée par le compresseur est \(\dot{W}_{\text{comp}} = - \dot{W} = \dot{m}(h_2-h_1)\). Le COP est la mesure finale de l'efficacité : \(COP = \dot{Q}_{\text{chaud}} / \dot{W}_{\text{comp}}\).

Remarque Pédagogique

Le COP est la figure de mérite la plus importante pour une PAC. Un COP de 6, comme nous allons le trouver, signifie que vous obtenez 6 unités d'énergie de chauffage pour chaque unité d'énergie électrique que vous payez. C'est l'avantage majeur de cette technologie.

Normes

Les fabricants doivent afficher le COP (ou le SCOP, Coefficient de Performance Saisonnier, qui est une moyenne sur une saison de chauffe) de leurs appareils selon des normes précises (ex: EN 14825). Cela permet aux consommateurs de comparer objectivement l'efficacité des différents modèles sur le marché.

Formule(s)

Formule de la puissance du compresseur

\[ \dot{W}_{\text{comp}} = \dot{m} \times (h_2 - h_1) \]

Formule du Coefficient de Performance

\[ COP_{\text{PAC}} = \frac{\dot{Q}_{\text{chaud}}}{\dot{W}_{\text{comp}}} \]
Hypothèses

On utilise l'hypothèse de la compression isentropique pour la valeur de \(h_2\). On suppose également que le moteur électrique du compresseur a une efficacité de 100% (en réalité, il y a des pertes).

Donnée(s)

On rassemble toutes les valeurs calculées précédemment.

ParamètreValeurUnité
Débit massique (\(\dot{m}\))0,05kg/s
Enthalpie (\(h_1\))244,46kJ/kg
Enthalpie (\(h_2\))273,26kJ/kg
Puissance thermique (\(\dot{Q}_{\text{chaud}}\))8,89kW
Astuces

Vous pouvez vérifier la cohérence de vos calculs avec le premier principe appliqué à tout le cycle : \(\dot{Q}_{\text{chaud}} = \dot{Q}_{\text{froid}} + \dot{W}_{\text{comp}}\). Calculez \(\dot{Q}_{\text{froid}} = \dot{m}(h_1-h_4)\) et vérifiez que l'addition est correcte. C'est une excellente façon de détecter une erreur.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre le bilan énergétique du compresseur, où la puissance \(\dot{W}_{\text{comp}}\) est fournie au fluide.

Bilan énergétique du Compresseur
CompresseurÉtat 1 (froid)ṁh₁État 2 (chaud)ṁh₂Ẇcomp
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la puissance du compresseur

\[ \begin{aligned} \dot{W}_{\text{comp}} &= \dot{m} \times (h_2 - h_1) \\ &= 0,05 \text{ kg/s} \times (273,26 - 244,46) \text{ kJ/kg} \\ &= 0,05 \text{ kg/s} \times 28,8 \text{ kJ/kg} \\ &= 1,44 \text{ kW} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul du COP

\[ \begin{aligned} COP_{\text{PAC}} &= \frac{\dot{Q}_{\text{chaud}}}{\dot{W}_{\text{comp}}} \\ &= \frac{8,89 \text{ kW}}{1,44 \text{ kW}} \\ &\approx 6,17 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

Le diagramme P-h complet montre toutes les transformations du cycle. La largeur du cycle sur l'axe des enthalpies représente le travail et la chaleur échangée.

Cycle complet sur Diagramme P-h
1234
Réflexions

Un COP de 6,17 est excellent et montre la grande efficacité de la pompe à chaleur dans ces conditions idéales. Cela signifie que 1,44 kW d'électricité permettent de déplacer 7,45 kW de chaleur de l'extérieur (\( \dot{Q}_{\text{froid}} = \dot{Q}_{\text{chaud}} - \dot{W}_{\text{comp}}\)) et de fournir un total de 8,89 kW de chauffage. L'énergie n'est pas créée, elle est déplacée.

Points de vigilance

Ne jamais confondre le COP d'une pompe à chaleur (\(\dot{Q}_{\text{chaud}} / \dot{W}\)) avec celui d'un réfrigérateur (\(\dot{Q}_{\text{froid}} / \dot{W}\)). Le COP d'une PAC est toujours supérieur de 1 à celui d'un réfrigérateur fonctionnant entre les mêmes sources.

Points à retenir

La puissance du compresseur correspond à l'augmentation d'enthalpie du fluide. Le COP est le rapport entre la chaleur utile et cette puissance. C'est l'indicateur de performance ultime de la PAC.

Le saviez-vous ?

Le concept de pompe à chaleur a été décrit pour la première fois par Sadi Carnot en 1824 dans ses "Réflexions sur la puissance motrice du feu". Il a fallu plus d'un siècle pour que la technologie devienne commercialement viable et largement adoptée.

FAQ

Il est normal d'avoir des questions.

Le COP peut-il être inférieur à 1 ?

Pour une pompe à chaleur, un COP inférieur à 1 n'a aucun sens. Cela signifierait qu'elle produit moins de chaleur que l'énergie électrique qu'elle consomme, ce qui la rendrait moins efficace qu'une simple résistance électrique. Dans la pratique, les PAC ont des COP bien supérieurs à 1.

Résultat Final
La puissance consommée par le compresseur est \(\dot{W}_{\text{comp}} = 1,44 \text{ kW}\). Le Coefficient de Performance de la pompe à chaleur est de 6,17.
A vous de jouer

Si le compresseur était moins efficace, consommant 2 kW pour le même débit, quel serait le nouveau COP de la PAC (en gardant la même puissance de chauffe) ?

Outil Interactif : Simulateur de COP Idéal

Utilisez cet outil pour voir comment les températures des sources froide et chaude influencent le Coefficient de Performance (COP) maximal théorique (cycle de Carnot) d'une pompe à chaleur. Notez que le COP réel est toujours inférieur à ce maximum théorique.

Paramètres d'Entrée
5 °C
35 °C
Résultats Clés
COP Théorique Maximal -
Efficacité relative -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quel est le rôle principal du compresseur dans une pompe à chaleur ?

2. Dans quel composant la chaleur est-elle cédée à l'air intérieur de la maison ?

3. Un COP plus élevé signifie que la pompe à chaleur est...

4. Qu'est-ce qu'un processus isenthalpique, qui a lieu dans le détendeur ?

5. À la sortie du condenseur (État 3), le réfrigérant est idéalement...

Pompe à Chaleur (PAC)
Système thermodynamique qui transfère de l'énergie thermique d'un milieu à basse température (source froide) vers un milieu à haute température (source chaude), en utilisant un travail mécanique.
Enthalpie (h)
Grandeur thermodynamique qui représente l'énergie totale d'un système. Elle inclut l'énergie interne plus le produit de la pression et du volume. Sa variation est égale à la chaleur échangée à pression constante.
Entropie (s)
Grandeur qui mesure le degré de désordre ou d'irréversibilité d'un système. Dans un processus idéal (réversible et adiabatique), l'entropie reste constante.
Coefficient de Performance (COP)
Rapport sans dimension qui mesure l'efficacité d'une pompe à chaleur ou d'un réfrigérateur. Pour une PAC, c'est le rapport de la chaleur fournie sur le travail consommé.
Processus Isentropique
Processus thermodynamique qui est à la fois adiabatique (sans échange de chaleur) et réversible (sans irréversibilités comme les frottements). L'entropie du système reste constante.
Analyse d’une Pompe à Chaleur

D’autres exercices de thermodynamique:

Cycle Brayton Simple
Cycle Brayton Simple

Le Cycle de Brayton Simple Idéal Le Cycle de Brayton Simple Idéal Contexte : Le Cycle de BraytonLe cycle thermodynamique qui modélise le...

Cycle Brayton Simple
Cycle Brayton Simple

Le Cycle de Brayton Simple Idéal Le Cycle de Brayton Simple Idéal Contexte : Le Cycle de BraytonLe cycle thermodynamique qui modélise le...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *