Études de cas pratique

EGC

L’Entropie dans un Cycle de Carnot

L’Entropie dans un Cycle de Carnot

L’Entropie dans un Cycle de Carnot

Comprendre l'Entropie et le Cycle de Carnot

L'entropie (\(S\)) est une fonction d'état thermodynamique qui mesure le degré de désordre ou d'incertitude d'un système. Le deuxième principe de la thermodynamique stipule que l'entropie de l'univers (système + environnement) ne peut qu'augmenter ou rester constante pour un processus réversible. Le cycle de Carnot est un cycle thermodynamique théorique réversible, composé de deux transformations isothermes et de deux transformations adiabatiques. Il représente le cycle le plus efficace possible fonctionnant entre deux sources de chaleur à températures données. L'analyse des variations d'entropie au cours d'un cycle de Carnot est fondamentale pour comprendre les limites de la conversion de la chaleur en travail.

Données de l'étude

Un moteur thermique fonctionne selon un cycle de Carnot réversible entre une source chaude et une source froide.

Caractéristiques du cycle :

Paramètre Valeur Symbole
Température de la source chaude 600 °C \(T_C\)
Température de la source froide 30 °C \(T_F\)
Chaleur absorbée de la source chaude par cycle 2500 \(\text{J}\) \(Q_C\)

Hypothèses : Le cycle est réversible. Les températures des sources restent constantes.

Schéma : Cycle de Carnot moteur
Source Chaude (T_C) Moteur Carnot Source Froide (T_F) Q_C W_net Q_F

Schéma illustrant les transferts d'énergie dans un moteur de Carnot.

Questions à traiter

  1. Convertir les températures des sources chaude (\(T_C\)) et froide (\(T_F\)) en Kelvin (K).
  2. Calculer la quantité de chaleur (\(Q_F\)) rejetée à la source froide par cycle.
  3. Calculer la variation d'entropie du fluide de travail (\(\Delta S_{\text{fluide, C}}\)) lors de l'absorption de chaleur de la source chaude.
  4. Calculer la variation d'entropie du fluide de travail (\(\Delta S_{\text{fluide, F}}\)) lors du rejet de chaleur à la source froide.
  5. Quelle est la variation d'entropie du fluide de travail lors des deux transformations adiabatiques réversibles du cycle ?
  6. Calculer la variation d'entropie nette du fluide de travail sur un cycle complet (\(\Delta S_{\text{fluide, cycle}}\)).
  7. Calculer la variation d'entropie de la source chaude (\(\Delta S_{\text{source C}}\)) par cycle.
  8. Calculer la variation d'entropie de la source froide (\(\Delta S_{\text{source F}}\)) par cycle.
  9. Calculer la variation d'entropie totale de l'univers (\(\Delta S_{\text{univers}}\)) pour un cycle complet. Commenter le résultat.

Correction : L’Entropie dans un Cycle de Carnot

Question 1 : Conversion des températures en Kelvin

Principe :

Pour convertir une température de degrés Celsius (°C) en Kelvin (K), on ajoute 273.15.

Formule(s) utilisée(s) :
\[T(\text{K}) = T(°\text{C}) + 273.15\]
Données spécifiques :
  • Température source chaude (\(T_C\)) : \(600 \, °\text{C}\)
  • Température source froide (\(T_F\)) : \(30 \, °\text{C}\)
Calculs :

Température de la source chaude en Kelvin :

\[ \begin{aligned} T_C (\text{K}) &= 600 + 273.15 \\ &= 873.15 \, \text{K} \end{aligned} \]

Température de la source froide en Kelvin :

\[ \begin{aligned} T_F (\text{K}) &= 30 + 273.15 \\ &= 303.15 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : \(T_C = 873.15 \, \text{K}\) et \(T_F = 303.15 \, \text{K}\).

Question 2 : Chaleur (\(Q_F\)) rejetée à la source froide

Principe :

Pour un cycle de Carnot réversible, le rapport des chaleurs échangées avec les sources est égal au rapport des températures absolues des sources : \(Q_C/T_C = Q_F/T_F\). (En considérant les valeurs absolues des chaleurs pour cette relation, ou en respectant les signes : \(Q_C/T_C + Q_F/T_F = 0\) où \(Q_F\) est négatif car rejeté par le système).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{|Q_C|}{T_C} = \frac{|Q_F|}{T_F} \Rightarrow |Q_F| = |Q_C| \frac{T_F}{T_C}\]

Puisque \(Q_F\) est une chaleur rejetée par le système, elle sera négative. \(Q_F = -|Q_F|\).

Données spécifiques :
  • Chaleur absorbée de la source chaude (\(Q_C\)) : \(2500 \, \text{J}\)
  • \(T_C = 873.15 \, \text{K}\)
  • \(T_F = 303.15 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} |Q_F| &= 2500 \, \text{J} \times \frac{303.15 \, \text{K}}{873.15 \, \text{K}} \\ &\approx 2500 \, \text{J} \times 0.34718 \\ &\approx 867.95 \, \text{J} \end{aligned} \]

Donc, \(Q_F = -867.95 \, \text{J}\) (chaleur rejetée).

Résultat Question 2 : La quantité de chaleur rejetée à la source froide est \(Q_F \approx -868 \, \text{J}\).

Question 3 : Variation d'entropie du fluide (\(\Delta S_{\text{fluide, C}}\)) lors de l'absorption de chaleur

Principe :

Pour une transformation isotherme réversible, la variation d'entropie du système est \(\Delta S = Q/T\), où \(Q\) est la chaleur échangée et \(T\) la température constante (absolue) à laquelle l'échange a lieu.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta S_{\text{fluide, C}} = \frac{Q_C}{T_C}\]
Données spécifiques :
  • Chaleur absorbée (\(Q_C\)) : \(2500 \, \text{J}\)
  • Température de la source chaude (\(T_C\)) : \(873.15 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta S_{\text{fluide, C}} &= \frac{2500 \, \text{J}}{873.15 \, \text{K}} \\ &\approx 2.86319 \, \text{J/K} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : \(\Delta S_{\text{fluide, C}} \approx 2.863 \, \text{J/K}\).

Question 4 : Variation d'entropie du fluide (\(\Delta S_{\text{fluide, F}}\)) lors du rejet de chaleur

Principe :

Similaire à la question 3, pour la transformation isotherme réversible à la source froide.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta S_{\text{fluide, F}} = \frac{Q_F}{T_F}\]
Données spécifiques :
  • Chaleur rejetée (\(Q_F\)) : \(\approx -867.95 \, \text{J}\)
  • Température de la source froide (\(T_F\)) : \(303.15 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta S_{\text{fluide, F}} &= \frac{-867.95 \, \text{J}}{303.15 \, \text{K}} \\ &\approx -2.86289 \, \text{J/K} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : \(\Delta S_{\text{fluide, F}} \approx -2.863 \, \text{J/K}\).

Question 5 : Variation d'entropie du fluide lors des transformations adiabatiques

Principe :

Les deux autres transformations du cycle de Carnot (expansion et compression) sont adiabatiques et réversibles. Par définition, un processus adiabatique réversible est isentropique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta S_{\text{adiabatique réversible}} = 0\]
Calcul :
\[ \Delta S_{\text{exp adiab}} = 0 \, \text{J/K} \]
\[ \Delta S_{\text{comp adiab}} = 0 \, \text{J/K} \]
Résultat Question 5 : La variation d'entropie du fluide de travail est nulle pour chacune des deux transformations adiabatiques réversibles.

Question 6 : Variation d'entropie nette du fluide sur un cycle (\(\Delta S_{\text{fluide, cycle}}\))

Principe :

L'entropie est une fonction d'état. Pour un cycle complet, le système revient à son état initial, donc la variation nette d'entropie du fluide de travail est nulle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta S_{\text{fluide, cycle}} = \Delta S_{\text{fluide, C}} + \Delta S_{\text{exp adiab}} + \Delta S_{\text{fluide, F}} + \Delta S_{\text{comp adiab}}\]
Données spécifiques :
  • \(\Delta S_{\text{fluide, C}} \approx 2.86319 \, \text{J/K}\)
  • \(\Delta S_{\text{exp adiab}} = 0 \, \text{J/K}\)
  • \(\Delta S_{\text{fluide, F}} \approx -2.86289 \, \text{J/K}\)
  • \(\Delta S_{\text{comp adiab}} = 0 \, \text{J/K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta S_{\text{fluide, cycle}} &\approx 2.86319 + 0 - 2.86289 + 0 \\ &\approx 0.0003 \, \text{J/K} \end{aligned} \]

Théoriquement, pour un cycle réversible, ce résultat devrait être exactement zéro. La petite valeur non nulle est due aux arrondis dans les calculs précédents de \(Q_F\).

Résultat Question 6 : La variation d'entropie nette du fluide de travail sur un cycle complet est \(\Delta S_{\text{fluide, cycle}} \approx 0 \, \text{J/K}\).

Question 7 : Variation d'entropie de la source chaude (\(\Delta S_{\text{source C}}\))

Principe :

La source chaude cède la quantité de chaleur \(Q_C\) au fluide de travail. Sa variation d'entropie est donc \(-Q_C/T_C\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta S_{\text{source C}} = \frac{-Q_C}{T_C}\]
Données spécifiques :
  • Chaleur cédée par la source chaude (\(Q_C\)) : \(2500 \, \text{J}\)
  • Température de la source chaude (\(T_C\)) : \(873.15 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta S_{\text{source C}} &= \frac{-2500 \, \text{J}}{873.15 \, \text{K}} \\ &\approx -2.86319 \, \text{J/K} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : \(\Delta S_{\text{source C}} \approx -2.863 \, \text{J/K}\).

Question 8 : Variation d'entropie de la source froide (\(\Delta S_{\text{source F}}\))

Principe :

La source froide reçoit la quantité de chaleur \(|Q_F|\) (ou \( -Q_F \) puisque \(Q_F\) est négatif pour le système) du fluide de travail. Sa variation d'entropie est donc \(|Q_F|/T_F\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta S_{\text{source F}} = \frac{|Q_F|}{T_F} = \frac{-Q_F}{T_F}\]
Données spécifiques :
  • Chaleur reçue par la source froide (\(|Q_F|\)) : \(\approx 867.95 \, \text{J}\) (donc \(Q_F \approx -867.95 \, \text{J}\))
  • Température de la source froide (\(T_F\)) : \(303.15 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta S_{\text{source F}} &= \frac{867.95 \, \text{J}}{303.15 \, \text{K}} \\ &\approx 2.86289 \, \text{J/K} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : \(\Delta S_{\text{source F}} \approx 2.863 \, \text{J/K}\).

Question 9 : Variation d'entropie totale de l'univers (\(\Delta S_{\text{univers}}\))

Principe :

La variation d'entropie de l'univers est la somme des variations d'entropie du système (fluide de travail) et de son environnement (les sources de chaleur).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta S_{\text{univers}} = \Delta S_{\text{fluide, cycle}} + \Delta S_{\text{source C}} + \Delta S_{\text{source F}}\]
Données spécifiques :
  • \(\Delta S_{\text{fluide, cycle}} \approx 0.0003 \, \text{J/K}\) (théoriquement 0)
  • \(\Delta S_{\text{source C}} \approx -2.86319 \, \text{J/K}\)
  • \(\Delta S_{\text{source F}} \approx 2.86289 \, \text{J/K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta S_{\text{univers}} &\approx 0.0003 + (-2.86319) + 2.86289 \\ &\approx 0.0003 - 0.0003 \\ &\approx 0 \, \text{J/K} \end{aligned} \]

Commentaire : Pour un cycle de Carnot réversible, la variation d'entropie de l'univers est nulle. Le résultat obtenu, très proche de zéro, confirme la nature réversible du cycle (les écarts sont dus aux arrondis).

Résultat Question 9 : La variation d'entropie totale de l'univers est \(\Delta S_{\text{univers}} \approx 0 \, \text{J/K}\). Cela est conforme au fait que le cycle de Carnot est un processus réversible.

Quiz Intermédiaire 1 : Pour un processus irréversible, la variation d'entropie de l'univers :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'entropie est une mesure :

2. Dans un cycle de Carnot moteur réversible, la variation d'entropie du fluide de travail sur un cycle complet est :

3. Le deuxième principe de la thermodynamique stipule que pour tout processus réel (irréversible) :

Glossaire

Entropie (\(S\))
Fonction d'état thermodynamique extensive qui est une mesure du désordre d'un système ou de la quantité d'énergie non disponible pour effectuer un travail. Unité SI : Joule par Kelvin (J/K).
Cycle de Carnot
Cycle thermodynamique théorique réversible, composé de deux transformations isothermes et de deux transformations adiabatiques (isentropiques). C'est le cycle le plus efficace possible entre deux températures de source données.
Processus Réversible
Transformation thermodynamique idéale qui peut être inversée en ramenant le système et l'environnement à leurs états initiaux sans laisser de changement net. Pour un tel processus, la variation d'entropie de l'univers est nulle.
Processus Isotherme
Transformation thermodynamique qui se produit à température constante.
Processus Adiabatique
Transformation thermodynamique au cours de laquelle il n'y a aucun échange de chaleur (\(Q=0\)) entre le système et son environnement. Si le processus est aussi réversible, il est isentropique (\(\Delta S = 0\)).
Source de Chaleur (Réservoir Thermique)
Système de grande capacité thermique capable d'échanger une quantité de chaleur sans que sa température ne varie de manière significative.
Deuxième Principe de la Thermodynamique
Principe fondamental stipulant que l'entropie totale d'un système isolé (ou de l'univers) ne peut qu'augmenter avec le temps ou rester constante dans les cas idéaux où le système est en équilibre ou subit un processus réversible.
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