EGC

Tassement selon la Méthode de Terzaghi

Calcul de Tassement par la Méthode de Terzaghi

Tassement selon la Méthode de Terzaghi

Contexte : La Stabilité des Sols, Fondation de tout Ouvrage.

En géotechnique, la prédiction du tassementEnfoncement vertical du sol sous l'effet d'une charge. On distingue le tassement immédiat (élastique), le tassement de consolidation (évacuation de l'eau) et le tassement secondaire (fluage). des fondations est une étape capitale pour garantir la sécurité et la durabilité des structures. Un tassement excessif ou différentiel peut entraîner des fissures, des inclinaisons et, dans les cas extrêmes, la ruine de l'ouvrage. La théorie de la consolidation de Terzaghi, développée en 1923, reste la pierre angulaire pour estimer le tassement dans les sols argileux saturés. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul du tassement final d'une fondation superficielle reposant sur une couche d'argile.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une démarche fondamentale de l'ingénieur géotechnicien. À partir de données de laboratoire sur un échantillon de sol (essai œdométrique) et des caractéristiques d'un projet de construction, nous allons prédire le comportement du sol à grande échelle. C'est un parfait exemple de l'application de la mécanique des sols pour résoudre un problème d'ingénierie concret.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la contrainte effective initiale dans une couche de sol.
  • Estimer l'augmentation de contrainte due à une fondation (méthode de Boussinesq simplifiée).
  • Déterminer si un sol est normalement consolidé ou surconsolidé.
  • Appliquer la formule de Terzaghi pour calculer le tassement de consolidation final.
  • Se familiariser avec les unités et les ordres de grandeur en géotechnique (kPa, m, kN/m³).

Données de l'étude

Une nouvelle construction va être érigée sur le profil de sol ci-dessous. Elle transmettra au sol une contrainte nette uniforme de 120 kPa via une semelle de fondation carrée de 5m x 5m. On souhaite calculer le tassement de consolidation final au centre de la couche d'argile.

Schéma du Profil de Sol et de la Fondation
q = 120 kPa B = 5 m Sable Argile Saturée Bedrock (imperméable) ∇ 4 m 6 m Point A
Paramètre Symbole Valeur Unité
Poids vol. du sable \(\gamma_{\text{sable}}\) 18 \(\text{kN/m³}\)
Poids vol. saturé de l'argile \(\gamma_{\text{sat, argile}}\) 19 \(\text{kN/m³}\)
Indice des vides initial \(e_0\) 0.9 -
Indice de compression \(C_c\) 0.4 -
Contrainte de préconsolidation \(\sigma'_{\text{p}}\) 80 \(\text{kPa}\)
Poids volumique de l'eau \(\gamma_{\text{w}}\) 9.81 \(\text{kN/m³}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte effective verticale initiale (\(\sigma'_{\text{v0}}\)) au milieu de la couche d'argile.
  2. Calculer l'augmentation de contrainte verticale (\(\Delta\sigma'_{\text{v}}\)) au milieu de la couche d'argile due à la fondation.
  3. Déterminer si l'argile est normalement consolidée ou surconsolidée au point d'analyse.
  4. Calculer le tassement de consolidation final (\(S_{\text{c}}\)).

Les bases de la Consolidation

Avant la correction, revoyons les concepts fondamentaux du tassement.

1. La Contrainte Effective (Principe de Terzaghi) :
La contrainte totale (\(\sigma\)) dans un sol saturé se décompose en une contrainte supportée par le squelette solide (la contrainte effectiveC'est la contrainte qui contrôle le comportement mécanique du sol (résistance, déformation). Elle représente les forces transmises de grain à grain. \(\sigma'\)) et une pression supportée par l'eau interstitielle (\(u\)). C'est la contrainte effective qui gouverne le tassement. \[ \sigma' = \sigma - u \]

2. La Consolidation :
Lorsqu'on charge un sol argileux saturé, la charge est d'abord reprise par l'eau (surpression interstitielle). L'eau, peu compressible, s'évacue lentement à travers les pores du sol. Ce drainage progressif transfère la charge au squelette solide, augmentant la contrainte effective et provoquant la compression de la couche d'argile : c'est le tassement de consolidation.

3. Formule du Tassement :
Le tassement dépend de l'état de contrainte initial. Si la contrainte finale (\(\sigma'_{\text{v0}} + \Delta\sigma'_{\text{v}}\)) reste inférieure à la contrainte de préconsolidation \(\sigma'_{\text{p}}\), l'argile est dite surconsolidée. Si elle la dépasse, elle devient normalement consolidée. La formule principale pour une argile normalement consolidée est : \[ S_{\text{c}} = \frac{H_0}{1 + e_0} C_c \log\left(\frac{\sigma'_{\text{v0}} + \Delta\sigma'_{\text{v}}}{\sigma'_{\text{v0}}}\right) \]

Correction : Tassement selon la Méthode de Terzaghi

Question 1 : Calculer la contrainte effective verticale initiale (\(\sigma'_{\text{v0}}\))

Principe (le concept physique)

La contrainte effective initiale en un point est le poids de toutes les couches de sol situées au-dessus de ce point, en tenant compte de la poussée d'Archimède exercée par l'eau. On calcule le poids total des terres, puis on soustrait la pression de l'eau. C'est le "poids effectif" que le squelette du sol ressent avant toute construction.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La contrainte totale \(\sigma_{\text{v0}}\) est la somme des produits de l'épaisseur de chaque couche par son poids volumique total (\(\gamma_{\text{humide}}\) ou \(\gamma_{\text{sat}}\)). La pression interstitielle \(u\) est le produit de la hauteur d'eau au-dessus du point par le poids volumique de l'eau (\(\gamma_{\text{w}}\)). La contrainte effective est \(\sigma'_{\text{v0}} = \sigma_{\text{v0}} - u\). Une méthode plus rapide consiste à utiliser le poids volumique déjaugé \(\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_{\text{w}}\) pour les couches situées sous la nappe phréatique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez-vous au fond d'une piscine : vous ressentez une pression totale due au poids de l'eau. Si vous vous tenez sur un tas de sable au fond, le sable lui-même ressent une pression "effective" plus faible, car l'eau le "soutient". C'est ce que nous calculons ici : le poids que les grains d'argile supportent réellement les uns sur les autres.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des contraintes dans le sol est une étape préliminaire fondamentale décrite dans toutes les normes de calcul géotechnique, comme l'Eurocode 7. La détermination correcte de l'état de contrainte initial est indispensable à toute analyse de stabilité ou de déformation.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Au milieu de la couche d'argile (Point A), à une profondeur de 4 m (sable) + 3 m (argile) = 7 m :

\[ \sigma'_{\text{v0}} = (H_{\text{sable}} \cdot \gamma'_{\text{sable}}) + (H_{\text{argile, A}} \cdot \gamma'_{\text{argile}}) \]

avec \(\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_{\text{w}}\). Ici, le sable est entièrement sous l'eau, donc on utilise son poids déjaugé.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le sol est horizontal, d'extension infinie, et que la nappe phréatique est stable à 2 m de profondeur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Profondeur du point A = 7 m
  • Nappe phréatique à 2 m de profondeur
  • \(\gamma_{\text{sable}} = 18 \, \text{kN/m³}\) (on l'utilisera comme \(\gamma_{\text{sat}}\) par simplification)
  • \(\gamma_{\text{sat, argile}} = 19 \, \text{kN/m³}\)
  • \(\gamma_{\text{w}} = 9.81 \, \text{kN/m³}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Calculez les contraintes (totale, interstitielle, effective) à chaque changement de couche. Cela permet de construire un diagramme de contraintes et de vérifier la cohérence des calculs à chaque étape. Pour le point A, on peut calculer \(\sigma'_{\text{v0}}\) à la base du sable, puis ajouter la contribution de l'argile.

Schéma (Avant les calculs)
Profil de Contraintes Verticales à Calculer
Contrainte (kPa)0m4m7m (A)10mσ'_v0 = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer le poids déjaugé du sable :

\[ \begin{aligned} \gamma'_{\text{sable}} &= \gamma_{\text{sat, sable}} - \gamma_{\text{w}} \\ &= 18 \, \text{kN/m³} - 9.81 \, \text{kN/m³} \\ &= 8.19 \, \text{kN/m³} \end{aligned} \]

2. Calculer le poids déjaugé de l'argile :

\[ \begin{aligned} \gamma'_{\text{argile}} &= \gamma_{\text{sat, argile}} - \gamma_{\text{w}} \\ &= 19 \, \text{kN/m³} - 9.81 \, \text{kN/m³} \\ &= 9.19 \, \text{kN/m³} \end{aligned} \]

3. Calculer la contrainte effective au point A :

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{v0}} &= (H_{\text{sable}} \cdot \gamma'_{\text{sable}}) + (H_{\text{argile, A}} \cdot \gamma'_{\text{argile}}) \\ &= (4 \, \text{m} \cdot 8.19 \, \text{kN/m³}) + (3 \, \text{m} \cdot 9.19 \, \text{kN/m³}) \\ &= 32.76 \, \text{kPa} + 27.57 \, \text{kPa} \\ &= 60.33 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Profil de Contraintes Verticales Effectives
Contrainte (kPa)60.3 kPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Avant la construction, le squelette de l'argile au point A subit une contrainte de 60.3 kPa. C'est notre état de référence. Toute nouvelle charge s'ajoutera à cette valeur pour déterminer le comportement futur du sol.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier la nappe phréatique et d'utiliser les poids volumiques totaux au lieu des poids déjaugés. Cela surestimerait massivement la contrainte effective et conduirait à une sous-estimation du tassement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte effective est la contrainte totale moins la pression de l'eau (\(\sigma' = \sigma - u\)).
  • Sous la nappe, on utilise le poids volumique déjaugé (\(\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_{\text{w}}\)).
  • On calcule la contrainte en additionnant la contribution de chaque couche.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le phénomène de "sables mouvants" se produit lorsque le gradient d'écoulement de l'eau vers le haut est si fort que la contrainte effective devient nulle. Le sol n'a alors plus aucune résistance au cisaillement et se comporte comme un liquide lourd.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la nappe était à la surface ?

Si la nappe était à la surface (0 m), on utiliserait le poids déjaugé pour toutes les couches. La contrainte effective au point A serait alors \((4 \cdot \gamma'_{\text{sable}}) + (3 \cdot \gamma'_{\text{argile}})\), ce qui donnerait une valeur plus faible.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte effective verticale initiale au milieu de la couche d'argile est d'environ 60.3 kPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la contrainte effective \(\sigma'_{\text{v0}}\) (en kPa) à la base de la couche d'argile (profondeur 10m) ?

Question 2 : Calculer l'augmentation de contrainte (\(\Delta\sigma'_{\text{v}}\))

Principe (le concept physique)

La charge de la fondation ne se transmet pas seulement verticalement, elle se diffuse dans le sol en profondeur et latéralement. L'augmentation de contrainte est donc maximale juste sous la fondation et diminue avec la profondeur. Nous devons estimer cette augmentation au point A pour savoir quelle surcharge effective l'argile va subir.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode de Boussinesq (1885), basée sur la théorie de l'élasticité, permet de calculer précisément cette diffusion. Cependant, pour des estimations pratiques, on utilise souvent des méthodes approchées. La méthode de diffusion à 2V:1H (ou 2:1) suppose que la charge se répartit sur une surface qui s'élargit avec la profondeur. À une profondeur z sous une semelle de largeur B et longueur L, la contrainte ajoutée est : \(\Delta\sigma'_{\text{v}} = \frac{q \cdot B \cdot L}{(B+z)(L+z)}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez appuyer avec votre pouce sur une éponge épaisse. La pression est forte juste sous votre pouce, mais plus bas dans l'éponge, la force s'est répartie sur une plus grande surface et la pression locale est plus faible. C'est exactement ce phénomène de diffusion que nous calculons.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 ne prescrit pas une méthode unique pour le calcul de la diffusion des contraintes, laissant à l'ingénieur le choix d'utiliser des méthodes analytiques (Boussinesq, Westergaard) ou des méthodes simplifiées (2:1), à condition que leur domaine de validité soit respecté.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Avec la méthode 2:1 pour une semelle carrée (B=L) à une profondeur z sous la base de la fondation :

\[ \Delta\sigma'_{\text{v}} = q \cdot \left(\frac{B}{B+z}\right)^2 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise la méthode de diffusion simplifiée 2V:1H. On calcule la contrainte sous le centre de la fondation. La profondeur z est mesurée à partir de la base de la fondation (niveau du sol, z=0).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte nette appliquée, \(q = 120 \, \text{kPa}\)
  • Largeur de la fondation, \(B = 5 \, \text{m}\)
  • Profondeur du point A, \(z = 7 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le rapport \(B/(B+z)\) représente le facteur de réduction de la contrainte. Calculez d'abord ce rapport, puis élevez-le au carré et multipliez par q. Cela simplifie le calcul et permet de sentir l'ampleur de la diffusion.

Schéma (Avant les calculs)
Diffusion de la Charge dans le Sol
qΔσ'_v = ?z = 7m
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule 2:1 :

\[ \begin{aligned} \Delta\sigma'_{\text{v}} &= 120 \, \text{kPa} \cdot \left(\frac{5 \, \text{m}}{5 \, \text{m} + 7 \, \text{m}}\right)^2 \\ &= 120 \cdot \left(\frac{5}{12}\right)^2 \\ &= 120 \cdot (0.1736) \\ &\approx 20.83 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bulbe de Contraintes et Valeur au Point A
20.8 kPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

À 7 mètres de profondeur, la contrainte initialement appliquée en surface (120 kPa) a été réduite à environ 21 kPa. C'est cette augmentation de contrainte effective qui va déclencher la consolidation de l'argile.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à bien mesurer la profondeur \(z\) depuis le niveau d'application de la charge (la base de la fondation), et non depuis la surface du sol si la fondation est enterrée. Ici, on a supposé qu'elle était en surface.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La charge d'une fondation se diffuse en profondeur.
  • L'augmentation de contrainte \(\Delta\sigma'_{\text{v}}\) diminue avec la profondeur.
  • La méthode 2:1 est une approximation simple et courante pour ce calcul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La célèbre Tour de Pise s'est inclinée parce qu'elle a été construite sur une couche d'argile molle hétérogène. Le tassement a été beaucoup plus important d'un côté que de l'autre (tassement différentiel), provoquant l'inclinaison. Les travaux de stabilisation modernes ont consisté à extraire du sol du côté le moins tassé pour redresser la tour.

FAQ (pour lever les doutes)
La méthode 2:1 est-elle toujours fiable ?

C'est une bonne approximation pour la contrainte sous le centre d'une fondation flexible. Pour des points situés en dehors de l'axe central ou pour des fondations rigides, des méthodes plus précises comme celle de Boussinesq ou des modèles numériques sont nécessaires.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'augmentation de contrainte effective au milieu de la couche d'argile est d'environ 20.8 kPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait l'augmentation de contrainte \(\Delta\sigma'_{\text{v}}\) (en kPa) si la fondation était deux fois plus large (B=10m) ?

Question 3 : Déterminer l'état de consolidation de l'argile

Principe (le concept physique)

Un sol a une "mémoire" de la charge la plus lourde qu'il a subie dans son histoire géologique (par exemple, le poids d'un ancien glacier). Cette charge maximale passée est la contrainte de préconsolidation \(\sigma'_{\text{p}}\). En comparant la contrainte actuelle \(\sigma'_{\text{v0}}\) à cette mémoire, on peut déterminer si le sol est "normalement consolidé" (il n'a jamais supporté plus) ou "surconsolidé" (il a déjà été plus chargé par le passé).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

On définit le rapport de surconsolidation (OCR) par \(OCR = \sigma'_{\text{p}} / \sigma'_{\text{v0}}\).

  • Si \(OCR = 1\), le sol est normalement consolidé (NC). Il est sur sa courbe de compression vierge.
  • Si \(OCR > 1\), le sol est surconsolidé (OC). Il se recomprimera sur une pente plus faible (indice de recompression Cr) avant de rejoindre la courbe vierge si la charge devient suffisante.
Le calcul du tassement dépendra de cet état.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme écraser une boîte en carton. La première fois, il faut beaucoup de force (courbe vierge). Si vous relâchez et ré-appuyez, la boîte se déforme peu au début (recompression) jusqu'à ce que vous dépassiez la force que vous aviez mise la première fois. \(\sigma'_{\text{p}}\) est cette "force maximale historique" pour le sol.

Normes (la référence réglementaire)

La détermination de la contrainte de préconsolidation \(\sigma'_{\text{p}}\) se fait en laboratoire via un essai œdométrique (ASTM D2435, ISO 17892-5). La méthode graphique de Casagrande est la procédure standard pour interpréter les résultats de l'essai et trouver \(\sigma'_{\text{p}}\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

On compare la contrainte effective finale à la contrainte de préconsolidation :

\[ \sigma'_{\text{vf}} = \sigma'_{\text{v0}} + \Delta\sigma'_{\text{v}} \quad \text{vs} \quad \sigma'_{\text{p}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

La valeur de \(\sigma'_{\text{p}}\) fournie est considérée comme représentative pour le milieu de la couche d'argile.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\sigma'_{\text{v0}} = 60.3 \, \text{kPa}\) (de la Q1)
  • \(\Delta\sigma'_{\text{v}} = 20.8 \, \text{kPa}\) (de la Q2)
  • \(\sigma'_{\text{p}} = 80 \, \text{kPa}\) (donnée)
Astuces(Pour aller plus vite)

Dessinez un simple axe de contraintes. Placez \(\sigma'_{\text{v0}}\) et \(\sigma'_{\text{p}}\). Puis, ajoutez \(\Delta\sigma'_{\text{v}}\) à \(\sigma'_{\text{v0}}\) pour trouver \(\sigma'_{\text{vf}}\). La position de \(\sigma'_{\text{vf}}\) par rapport à \(\sigma'_{\text{p}}\) vous donne immédiatement la réponse.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des Niveaux de Contrainte
0σ'_v0σ'_pσ'_vf = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la contrainte effective finale :

\[ \begin{aligned} \sigma'_{\text{vf}} &= \sigma'_{\text{v0}} + \Delta\sigma'_{\text{v}} \\ &= 60.3 \, \text{kPa} + 20.8 \, \text{kPa} \\ &= 81.1 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

2. Comparer les contraintes :

\[ \sigma'_{\text{v0}} = 60.3 \, \text{kPa} < \sigma'_{\text{p}} = 80 \, \text{kPa} \quad \Rightarrow \text{L'argile est surconsolidée initialement.} \]
\[ \sigma'_{\text{vf}} = 81.1 \, \text{kPa} > \sigma'_{\text{p}} = 80 \, \text{kPa} \quad \Rightarrow \text{La charge nouvelle fait dépasser la préconsolidation.} \]
Schéma (Après les calculs)
Position Finale de la Contrainte
60.380 (σ'_p)81.1 (σ'_vf)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le sol est initialement surconsolidé, ce qui signifie qu'il est relativement rigide. Cependant, la nouvelle charge est juste suffisante pour dépasser sa "mémoire" de préconsolidation. Le tassement se produira donc en deux phases : une petite recompression jusqu'à 80 kPa, suivie d'une compression beaucoup plus grande sur la courbe vierge au-delà de 80 kPa. Pour cet exercice, nous utiliserons une formule qui combine les deux.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas vérifier l'état de consolidation est une erreur majeure. Appliquer la formule pour un sol normalement consolidé à un sol qui reste surconsolidé après chargement surestimerait considérablement le tassement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Comparer \(\sigma'_{\text{v0}}\) à \(\sigma'_{\text{p}}\) pour connaître l'état initial.
  • Comparer \(\sigma'_{\text{vf}}\) à \(\sigma'_{\text{p}}\) pour connaître l'état final et choisir la bonne formule de tassement.
  • \(OCR > 1\) : surconsolidé. \(OCR = 1\) : normalement consolidé.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La ville de Mexico est construite sur d'anciens lits de lacs remplis d'une argile très compressible et normalement consolidée. Le pompage intensif des eaux souterraines a provoqué une augmentation massive des contraintes effectives, entraînant des tassements de plus de 10 mètres dans certains quartiers, causant d'énormes dégâts aux bâtiments.

FAQ (pour lever les doutes)
D'où vient la surconsolidation ?

Elle peut avoir plusieurs origines : le poids de glaciers qui ont depuis fondu, l'érosion de couches de sol qui se trouvaient au-dessus, ou des variations passées du niveau de la nappe phréatique qui ont "séché" et comprimé le sol.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
L'argile est initialement surconsolidée, mais la nouvelle charge la rendra normalement consolidée.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si \(\Delta\sigma'_{\text{v}}\) n'était que de 15 kPa, quel serait l'état final du sol ?

Question 4 : Calculer le tassement de consolidation final (\(S_{\text{c}}\))

Principe (le concept physique)

Le tassement est la conséquence macroscopique de la réduction du volume des vides dans la couche d'argile. En utilisant les paramètres de compressibilité du sol (\(C_c\)) et la variation de contrainte effective, la formule de Terzaghi nous permet de quantifier cette réduction de volume et de la traduire en un déplacement vertical en surface.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Puisque la charge fait passer le sol de l'état surconsolidé à normalement consolidé, nous devons utiliser une formule combinée. Le tassement total est la somme du tassement de recompression jusqu'à \(\sigma'_{\text{p}}\) (gouverné par un indice de recompression \(C_r\)) et du tassement de compression vierge au-delà de \(\sigma'_{\text{p}}\) (gouverné par \(C_c\)). Par simplification, et comme \(C_r\) est souvent bien plus petit que \(C_c\), les exercices de base utilisent souvent la formule pour sol NC comme une approximation conservative, ce que nous ferons ici.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La formule peut sembler intimidante, mais elle est logique. Le terme \(\log(\sigma'_{\text{vf}}/\sigma'_{\text{v0}})\) représente l'ampleur du changement de contrainte sur une échelle logarithmique (car le sol se comprime de moins en moins). Le terme \(C_c\) est la "pente" de cette compression. Le terme \(H_0/(1+e_0)\) convertit la déformation relative (changement d'indice des vides) en un tassement absolu (en mètres).

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 exige que les tassements calculés soient comparés à des limites admissibles, qui dépendent du type de structure. Pour les bâtiments courants, un tassement total de 50 mm et un tassement différentiel de 1/500 sont des limites souvent considérées.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de tassement pour une argile normalement consolidée (utilisée ici comme approximation principale) :

\[ S_{\text{c}} = \frac{H_0}{1 + e_0} C_c \log_{10}\left(\frac{\sigma'_{\text{vf}}}{\sigma'_{\text{v0}}}\right) \]

Où \(H_0\) est l'épaisseur de la couche d'argile compressible.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose un drainage vertical unique (vers le haut, car le bedrock est imperméable). L'épaisseur de la couche d'argile est \(H_0 = 6 \, \text{m}\). On utilise la formule NC pour le calcul complet du tassement après avoir dépassé \(\sigma'_{\text{p}}\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Épaisseur de la couche, \(H_0 = 6 \, \text{m}\)
  • Indice des vides initial, \(e_0 = 0.9\)
  • Indice de compression, \(C_c = 0.4\)
  • \(\sigma'_{\text{v0}} = 60.3 \, \text{kPa}\)
  • \(\sigma'_{\text{vf}} = 81.1 \, \text{kPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Assurez-vous que votre calculatrice est en mode pour le logarithme en base 10 (\(\log_{10}\)), et non le logarithme népérien (\(\ln\)). C'est une source d'erreur fréquente. Le résultat du calcul sera en mètres, il faudra le convertir en centimètres ou millimètres pour mieux se le représenter.

Schéma (Avant les calculs)
Courbe Œdométrique et Tassement
log(σ')eσ'_v0σ'_vfe_0e_fΔe
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule du tassement :

\[ \begin{aligned} S_{\text{c}} &= \frac{H_0}{1 + e_0} C_c \log_{10}\left(\frac{\sigma'_{\text{vf}}}{\sigma'_{\text{v0}}}\right) \\ &= \frac{6 \, \text{m}}{1 + 0.9} \cdot 0.4 \cdot \log_{10}\left(\frac{81.1}{60.3}\right) \\ &= \frac{6}{1.9} \cdot 0.4 \cdot \log_{10}(1.345) \\ &= 3.158 \cdot 0.4 \cdot 0.1287 \\ &= 0.1625 \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en centimètres :

\[ \begin{aligned} S_{\text{c}} &= 0.1625 \, \text{m} \times 100 \\ &= 16.25 \, \text{cm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Illustration du Tassement Final
16.3 cm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le tassement final calculé est de 16.3 cm. C'est une valeur très significative qui dépasserait les limites admissibles pour la plupart des bâtiments. En tant qu'ingénieur, ce résultat imposerait de revoir la conception : soit élargir la fondation pour réduire la contrainte q, soit prévoir une fondation profonde (pieux) pour reporter les charges sur le bedrock, soit mettre en place des techniques d'amélioration des sols.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à utiliser l'épaisseur totale de la couche d'argile qui se consolide (\(H_0\)). Il faut également être rigoureux avec les unités : si les contraintes sont en kPa et les épaisseurs en m, le résultat sera en m. Ne pas mélanger les unités !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le tassement dépend de l'épaisseur de la couche (\(H_0\)), de son indice des vides (\(e_0\)), de sa compressibilité (\(C_c\)) et de la variation de contrainte.
  • La relation est logarithmique : doubler la charge ne double pas le tassement.
  • Le tassement calculé doit toujours être comparé aux seuils admissibles.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La théorie de Terzaghi ne donne que l'amplitude du tassement, pas sa durée. Le calcul de la vitesse de tassement fait appel à un autre paramètre, le coefficient de consolidation (\(C_v\)), et est souvent plus complexe. Pour une couche d'argile de 6m, le tassement peut prendre plusieurs années, voire des décennies, pour se produire à 90%.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette formule est-elle toujours applicable ?

Elle s'applique au tassement de consolidation primaire unidimensionnel dans les argiles saturées. Elle ne prend pas en compte le tassement immédiat (élastique, rapide) ni le tassement secondaire (fluage à long terme). Pour des cas complexes (sols non saturés, chargement 3D), des modèles plus avancés sont nécessaires.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le tassement de consolidation final estimé est de 16.3 cm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'argile était deux fois moins compressible (\(C_c = 0.2\)), quel serait le tassement final en cm ?

Outil Interactif : Paramètres du Tassement

Modifiez les paramètres du projet pour voir leur influence sur le tassement et la sécurité.

Paramètres d'Entrée
120 kPa
5 m
0.40
Résultats Clés
Augmentation Contrainte (\(\Delta\sigma'_{\text{v}}\)) -
Tassement Final (cm) -
État de Consolidation Final -

Le Saviez-Vous ?

Karl von Terzaghi (1883-1963) est universellement reconnu comme le "père de la mécanique des sols". Ingénieur autrichien, il a révolutionné le domaine en publiant son livre "Erdbaumechanik" en 1925, qui posait les bases scientifiques de la discipline. Son principe de la contrainte effective est considéré comme la contribution la plus importante à la géotechnique.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le tassement est-il un problème surtout dans les argiles ?

Les argiles ont une très faible perméabilité. L'eau met donc beaucoup de temps à s'évacuer, ce qui rend le tassement de consolidation très lent (des années) et d'une grande amplitude. Dans les sables, la perméabilité est élevée, l'eau s'évacue quasi-instantanément et le tassement est principalement immédiat et faible.

Le tassement calculé est-il toujours exact ?

Non, c'est une estimation. La principale source d'incertitude vient de l'hétérogénéité naturelle des sols. Les paramètres (\(C_c\), \(e_0\)) mesurés sur un petit échantillon en laboratoire peuvent ne pas être parfaitement représentatifs de toute la couche de sol. C'est pourquoi les ingénieurs appliquent des coefficients de sécurité et surveillent le comportement réel des ouvrages.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la nappe phréatique monte, la contrainte effective dans le sol...

2. Pour une même charge, un sol avec un indice de compression \(C_c\) plus élevé va...

Tassement de Consolidation
Réduction de volume d'un sol fin saturé due à l'expulsion progressive de l'eau interstitielle sous l'effet d'une augmentation de charge.
Contrainte Effective (\(\sigma'\))
Fraction de la contrainte totale supportée par le squelette solide du sol. C'est la contrainte qui régit la résistance et la déformation du sol.
Indice de Compression (\(C_c\))
Paramètre de laboratoire sans dimension qui mesure la compressibilité d'un sol sur sa courbe de compression vierge. Une valeur élevée indique un sol très compressible.
Tassement selon la Méthode de Terzaghi

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