EGC

Réactions d’Appui et Efforts Internes

Analyse d'une Poutre sur Appuis Simples en RdM

Réactions d’Appui et Efforts Internes

Contexte : L'épine dorsale des structures.

Après les treillis, les poutres sont les éléments structuraux les plus courants. Elles travaillent principalement en flexion pour supporter des charges et les transférer aux appuis. Comprendre comment les efforts internesForces et moments qui se développent à l'intérieur d'un matériau ou d'une structure en réponse à des charges externes. Pour une poutre, on s'intéresse principalement à l'effort tranchant et au moment fléchissant. (effort tranchant et moment fléchissant) varient le long d'une poutre est essentiel pour son dimensionnement et pour garantir sa sécurité. Cet exercice vous guidera à travers le calcul de ces efforts et le traçage de leurs diagrammes.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe des principes de la statique. Nous allons d'abord assurer l'équilibre global pour trouver les réactions, puis nous "couperons" la poutre virtuellement à différents endroits pour révéler et calculer les efforts internes. La visualisation de ces efforts via des diagrammes est une compétence clé de l'ingénieur.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les réactions d'une poutre isostatique soumise à une charge répartie et une charge ponctuelle.
  • Établir les équations de l'effort tranchant \(V(x)\) et du moment fléchissant \(M(x)\).
  • Tracer et interpréter le Diagramme des Efforts Tranchants (DET).
  • Tracer et interpréter le Diagramme des Moments Fléchissants (DMF).
  • Identifier les valeurs critiques, notamment le moment fléchissant maximal.

Données de l'étude

On étudie la poutre sur appuis simples ci-dessous, de longueur totale L = 8 m. Elle est supportée par une articulation en A (x=0) et un appui simple en B (x=8). La poutre est soumise à une charge uniformément répartie \(q = 5 \, \text{kN/m}\) sur les 4 premiers mètres, et à une charge ponctuelle \(P = 15 \, \text{kN}\) appliquée à x = 6 m.

Schéma de la poutre et des chargements
A B q = 5 kN/m P = 15 kN L = 8 m 4 m 6 m

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appuis en A et B.
  2. Établir les équations de l'effort tranchant \(V(x)\) et du moment fléchissant \(M(x)\) pour chaque tronçon de la poutre.
  3. Tracer les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant.
  4. Déterminer la valeur et la position du moment fléchissant maximal.

Les bases de la Résistance des Matériaux

Avant de plonger dans la correction détaillée, il est essentiel de bien comprendre les concepts fondamentaux qui suivent. Cette section est un rappel des bases nécessaires pour aborder l'exercice avec confiance.

1. Le Principe de l'Équilibre (Statique) :
Imaginez que vous essayez de tenir une barre lourde à bout de bras. Pour qu'elle ne tombe pas, la force que vous exercez vers le haut doit être égale à son poids qui tire vers le bas. C'est le principe de base de la statique ! Pour qu'une structure soit stable, toutes les forces qui s'y appliquent doivent s'annuler. On vérifie trois choses :

  • \(\sum F_x = 0\) : La somme des forces horizontales est nulle (la poutre ne glisse pas à gauche ou à droite).
  • \(\sum F_y = 0\) : La somme des forces verticales est nulle (la poutre ne monte pas et ne descend pas).
  • \(\sum M = 0\) : La somme des moments (forces qui font tourner) est nulle (la poutre ne bascule pas).

2. Les Appuis (ce qui tient la poutre) :
Les appuis sont les liens entre la poutre et le sol. Il en existe plusieurs types :

  • Appui simple (ou à rouleau) : C'est comme poser la poutre sur des roulettes. Il empêche la poutre de descendre, mais la laisse glisser horizontalement et tourner. Il n'exerce qu'une seule force de réaction, verticale. (Appui B dans notre exercice).
  • Articulation (ou rotule) : C'est comme une charnière de porte. Elle empêche la poutre de se déplacer verticalement ET horizontalement, mais la laisse tourner. Elle exerce donc deux forces de réaction (verticale et horizontale). (Appui A dans notre exercice).

3. Les Efforts Internes (ce qui se passe dedans) :
Quand vous pliez une règle, même si elle ne casse pas, vous sentez une résistance à l'intérieur. Ce sont les efforts internes. Pour les calculer, on "coupe" virtuellement la poutre en un point et on regarde les forces nécessaires pour que les deux morceaux restent collés et en équilibre.

  • Effort Tranchant (V) : C'est la tendance des deux parties à glisser l'une contre l'autre, comme une paire de ciseaux. C'est une force verticale.
  • Moment Fléchissant (M) : C'est la tendance de la poutre à se plier ou à se courber à l'endroit de la coupe. C'est un couple (une force de rotation). C'est cet effort qui est responsable de la "flexion" de la poutre.

Correction : Réactions d’Appui et Efforts Internes

Question 1 : Calculer les réactions d'appuis

Principe (le concept physique)

Imaginez une balance : pour qu'elle soit à l'équilibre, il faut que les forces de chaque côté se compensent et qu'elle ne bascule pas. C'est pareil pour une poutre. Pour qu'elle reste immobile sous l'effet des charges, les appuis doivent exercer des forces (les "réactions") qui s'opposent parfaitement aux charges. Le calcul des réactions consiste à trouver la valeur de ces forces pour garantir cet équilibre parfait.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Isostaticité : Une structure est dite "isostatique" quand elle a juste le bon nombre d'appuis pour être stable, ni plus, ni moins. En 2D, on dispose de 3 équations pour vérifier l'équilibre (somme des forces horizontales = 0, somme des forces verticales = 0, somme des moments = 0). Notre poutre a une articulation (qui bloque 2 directions) et un appui simple (qui en bloque 1), soit 3 blocages au total. Puisque 3 inconnues = 3 équations, le problème est isostatique et on peut le résoudre simplement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le choix malin du pivot : Pour calculer les moments (la tendance à tourner), on peut choisir n'importe quel point comme "pivot". L'astuce est de choisir un point où se trouvent des forces inconnues, comme l'appui A. Pourquoi ? Parce que le "bras de levier" de ces forces par rapport à ce point est nul, elles n'apparaissent donc pas dans l'équation. C'est un moyen très efficace de simplifier le calcul pour trouver une autre inconnue (ici, By) d'un seul coup.

Astuces (Pour aller plus vite)

Simplifier la charge répartie : Une charge répartie, c'est comme une multitude de petites forces collées les unes aux autres. Pour le calcul global des réactions, il est beaucoup plus simple de la remplacer par une seule force équivalente, appelée "résultante". Cette force est égale à l'aire de la charge (ici, l'aire du rectangle \(q \times 4\)) et s'applique au centre de cette aire (ici, au milieu des 4 mètres).

Formule(s) (l'outil mathématique)

On applique le Principe Fondamental de la Statique (PFS), qui dit que pour un objet à l'équilibre, la somme des forces et des moments est nulle :

\[ \sum \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{0} \quad \text{(La poutre ne se déplace pas)} \]
\[ \sum M_{/A}(\vec{F}_{\text{ext}}) = 0 \quad \text{(La poutre ne tourne pas autour de A)} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge répartie, \(q = 5 \, \text{kN/m}\) sur une longueur de 4 m
  • Charge ponctuelle, \(P = 15 \, \text{kN}\) à la position \(x=6\) m
  • Portée de la poutre, \(L = 8\) m
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Corps Libre avec inconnues
q = 5 kN/mP = 15 kNA_y?A_x?B_y?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. On calcule la force résultante de la charge répartie : \(F_q = 5 \text{ kN/m} \times 4 \text{ m} = 20 \, \text{kN}\). Elle s'applique au milieu de sa zone, soit à \(x = 4/2 = 2\) m.

2. Somme des forces horizontales : il n'y en a aucune, donc \(A_x = 0\).

3. Somme des moments par rapport à A (les forces qui font tourner dans le sens horaire sont négatives) :

\[ \begin{aligned} \sum M_{/A} = 0 &\Rightarrow (B_y \times 8) - (F_q \times 2) - (P \times 6) = 0 \\ 8 B_y &= (20 \times 2) + (15 \times 6) \\ &= 40 + 90 \\ &= 130 \\ \Rightarrow B_y &= \frac{130}{8} = 16.25 \, \text{kN} \end{aligned} \]

4. Somme des forces verticales (les forces vers le haut sont positives) :

\[ \begin{aligned} \sum F_y = 0 &\Rightarrow A_y + B_y - F_q - P = 0 \\ A_y &= F_q + P - B_y \\ &= 20 + 15 - 16.25 \\ &= 18.75 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Apres les calculs)
Diagramme de Corps Libre avec réactions calculées
q = 5 kN/mP = 15 kNA_y=18.75 kNB_y=16.25 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat nous dit que l'appui A supporte 18.75 kN et l'appui B 16.25 kN. Est-ce que cela a du sens ? Oui, car l'ensemble des charges est globalement plus proche de A que de B. A doit donc "pousser" plus fort pour maintenir l'équilibre. On peut faire une vérification rapide : la somme des charges est \(20 + 15 = 35\) kN. La somme de nos réactions est \(18.75 + 16.25 = 35\) kN. Les forces s'équilibrent, notre calcul est cohérent.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention aux bras de levier ! L'erreur la plus courante est de se tromper dans la distance utilisée pour le calcul du moment. La distance (bras de levier) est toujours la distance perpendiculaire entre la force et le point de pivot. Pour la résultante \(F_q\), son bras de levier par rapport à A est bien de 2 m (le centre de la charge), et non 4 m (la fin de la charge) !

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les réactions d'appuis sont \(A_x = 0 \, \text{kN}\), \(A_y = 18.75 \, \text{kN}\) et \(B_y = 16.25 \, \text{kN}\).
A vous de jouer (pour vérifier la compréhension)

Si la charge ponctuelle P était de 25 kN au lieu de 15 kN, que deviendrait la réaction verticale en B (\(B_y\)) ?

Question 2 : Équations des Efforts Internes V(x) et M(x)

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous connaissons les forces extérieures, nous voulons savoir ce qui se passe *à l'intérieur* de la poutre. Pour cela, on imagine qu'on la coupe avec une scie à une position \(x\). Pour que le morceau de gauche ne tombe pas et ne se mette pas à tourner, la partie droite doit exercer sur la face coupée une force verticale (l'effort tranchant \(V(x)\)) et un "couple" (le moment fléchissant \(M(x)\)). En écrivant l'équilibre de ce morceau, on peut trouver les formules de V et M en fonction de x.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Relations différentielles : Ces relations sont des raccourcis puissants. \(dM/dx = V(x)\) signifie que la valeur de l'effort tranchant en un point vous donne la pente de la courbe du moment à ce même point. Si V est grand et positif, M monte en flèche. Si V est nul, M a une pente nulle (c'est un maximum ou un minimum). De même, \(dV/dx = -q(x)\) signifie que la valeur de la charge répartie vous donne la pente (changée de signe) de la courbe de l'effort tranchant.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On se place dans le cadre de la théorie des poutres, ce qui suppose que la poutre est beaucoup plus longue que haute, qu'elle est faite d'un matériau qui se déforme de manière élastique (il reprend sa forme) et que ses sections transversales, initialement planes, restent planes lorsqu'elle se déforme. Pour nos calculs, cela garantit que nos équations de la statique sont valides.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une coupure à l'abscisse \(x\), en isolant la partie gauche et en appliquant le PFS :

\[ V(x) = \sum (\text{Forces verticales à gauche de la coupe}) \]
\[ M(x) = \sum (\text{Moments des forces à gauche par rapport à la coupe}) \]
Schéma (Avant les calculs)
Concept de la coupure virtuelle
AA_yxV(x)M(x)Coupure
Calcul(s) (l'application numérique)

On doit créer un jeu d'équations pour chaque zone où le chargement est différent.

Tronçon 1 (dans la zone de la charge répartie) : \(0 \le x \le 4\) m
La seule force à gauche est \(A_y\), et une portion de la charge \(q\) sur une longueur \(x\).

\[ V(x) = A_y - q \cdot x = 18.75 - 5x \, [\text{kN}] \]
\[ M(x) = A_y \cdot x - (q \cdot x) \cdot \frac{x}{2} = 18.75x - 2.5x^2 \, [\text{kN.m}] \]

Tronçon 2 (après la charge répartie, avant la charge P) : \(4 \le x \le 6\) m
À gauche, on a \(A_y\) et la totalité de la charge répartie (dont la résultante est \(F_q=20\) kN).

\[ \begin{aligned} V(x) &= A_y - F_q \\ &= 18.75 - 20 \\ &= -1.25 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} M(x) &= A_y \cdot x - F_q \cdot (x-2) \\ &= 18.75x - 20(x-2) \\ &= -1.25x + 40 \, [\text{kN.m}] \end{aligned} \]

Tronçon 3 (après la charge P) : \(6 \le x \le 8\) m
On ajoute la force P à la liste des forces à gauche.

\[ \begin{aligned} V(x) &= A_y - F_q - P \\ &= 18.75 - 20 - 15 \\ &= -16.25 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} M(x) &= A_y \cdot x - F_q \cdot (x-2) - P \cdot (x-6) \\ &= 18.75x - 20(x-2) - 15(x-6) \\ &= -16.25x + 130 \, [\text{kN.m}] \end{aligned} \]
Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Cohérence aux frontières : C'est un excellent moyen de vérifier vos calculs ! Les équations du moment doivent donner le même résultat à la jonction entre deux tronçons. Par exemple, à \(x=4\) m :
Éq. 1 : \(M(4) = 18.75(4) - 2.5(4^2) = 35\).
Éq. 2 : \(M(4) = -1.25(4) + 40 = 35\).
Ça correspond, c'est un bon signe ! Attention, l'effort tranchant n'est pas toujours continu, il peut "sauter" brusquement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les équations qui décrivent les efforts internes le long de la poutre ont été établies pour les trois tronçons.

A vous de jouer (pour vérifier la compréhension)

En utilisant les équations ci-dessus, quel est l'effort tranchant \(V(x)\) juste avant la charge P (à \(x=6^-\) m) ?

Question 3 : Diagrammes des Efforts Internes

Principe (le concept physique)

Un diagramme vaut mille mots (et mille équations !). Les diagrammes du DET et du DMF sont simplement les dessins des courbes des fonctions \(V(x)\) et \(M(x)\). Ils permettent de "voir" la santé de la poutre : où elle risque de cisailler (DET élevé), où elle plie le plus (DMF élevé), et comment les efforts se propagent d'un bout à l'autre.

Astuces (Pour aller plus vite)

Esquisse rapide :
1. DET : Partez de \(x=0\) avec la valeur de \(A_y\). Puis, suivez la charge : sous \(q\), descendez en ligne droite. Quand il n'y a pas de charge, allez tout droit (horizontal). Quand vous croisez une charge ponctuelle vers le bas, descendez d'un coup sec de la valeur de cette charge. Vous devez arriver à la fin avec une valeur égale à \(-B_y\).
2. DMF : Partez de \(M=0\). La pente de votre dessin doit suivre la valeur du DET. Si V est positif, M monte. Si V est négatif, M descend. Si V est une droite, M est une parabole. Si V est constant, M est une droite.

Schéma (Apres les calculs)

En traçant les équations de la question 2, on obtient les diagrammes suivants.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le DET nous montre que le cisaillement est le plus fort au niveau de l'appui A. Il passe de positif à négatif, ce qui signifie que la poutre est "poussée vers le haut" à gauche, puis "poussée vers le bas" à droite. Le DMF, lui, est toujours positif, ce qui signifie que la poutre se déforme comme un "sourire" sur toute sa longueur (les fibres du bas sont étirées, celles du haut sont comprimées). On voit clairement que le sommet de la courbe du moment se trouve là où le tranchant passe par zéro.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Charge répartie constante : donne un DET linéaire (une droite qui penche) et un DMF parabolique (une courbe).
  • Zone sans charge : donne un DET constant (une droite horizontale) et un DMF linéaire (une droite qui penche).
  • Charge ponctuelle : crée un "saut" vertical dans le DET et un "coude" (changement de pente) dans le DMF.

Question 4 : Moment Fléchissant Maximal

Principe (le concept physique)

Imaginez que vous pliez une règle en plastique. Elle cassera à l'endroit où la courbure est la plus forte. Pour une poutre, cet endroit correspond au moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\)). C'est le point le plus critique de la structure vis-à-vis de la flexion. En mathématiques, le maximum d'une courbe est atteint lorsque sa pente est nulle. Or, on sait que la pente du moment est l'effort tranchant (\(dM/dx = V\)). Le moment maximal se trouve donc là où l'effort tranchant est nul.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

C'est l'étape la plus importante pour l'ingénieur. Le but de tous ces calculs est de trouver cette seule valeur : \(M_{\text{max}}\). C'est à partir de cette valeur qu'il va pouvoir dimensionner la poutre, c'est-à-dire choisir un matériau (acier, béton, bois) et une forme de section (carrée, en I, en U) suffisamment résistants pour que la poutre ne casse pas sous l'effet de ce moment maximal, tout en gardant une marge de sécurité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Trouver la position \(x_0\) en résolvant l'équation :

\[ V(x_0) = 0 \]

2. Injecter cette position \(x_0\) dans l'équation du moment correspondante :

\[ M_{\text{max}} = M(x_0) \]
Schéma (Avant les calculs)

Le schéma pertinent est le Diagramme des Efforts Tranchants de la question précédente. Nous cherchons le point où la courbe rouge coupe l'axe horizontal (où V=0).

Calcul(s) (l'application numérique)

En regardant le diagramme du DET, on voit qu'il coupe l'axe des abscisses (où V=0) dans le premier tronçon (entre 0 et 4 m). On utilise donc l'équation de V(x) de ce tronçon :

\[ \begin{aligned} V(x) = 18.75 - 5x &= 0 \\ \Rightarrow 5x &= 18.75 \\ \Rightarrow x &= \frac{18.75}{5} \\ &= 3.75 \, \text{m} \end{aligned} \]

Maintenant qu'on a la position, on la reporte dans l'équation du moment du même tronçon pour trouver la valeur du moment à cet endroit :

\[ \begin{aligned} M(\text{x=3.75}) &= 18.75(3.75) - 2.5(3.75)^2 \\ &= 70.3125 - 35.15625 \\ &= 35.156 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
Schéma (Apres les calculs)
Visualisation du Moment Maximal
M_max = 35.16 kN.mà x = 3.75 mDiagramme Moment Fléchissant
Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier les autres points ! La condition \(V(x)=0\) donne un sommet de la courbe, mais ce n'est pas *toujours* le maximum absolu sur toute la poutre (surtout avec des charges complexes ou des moments appliqués directement). Il faut toujours jeter un œil au diagramme et comparer la valeur trouvée avec les valeurs aux points de discontinuité (ici à x=4m et x=6m) pour être certain d'avoir trouvé le vrai maximum.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment fléchissant maximal est \(M_{\text{max}} = 35.16 \, \text{kN.m}\) et il est situé à \(x = 3.75 \, \text{m}\) de l'appui A.
A vous de jouer (pour vérifier la compréhension)

Si la charge répartie \(q\) était de \(10 \text{ kN/m}\) (en gardant P=15 kN), quelle serait la nouvelle position du moment maximal ?

Outil Interactif : Simulateur de Poutre

Modifiez les charges pour voir leur influence sur les réactions et les efforts internes.

Paramètres d'Entrée
5 kN/m
15 kN
Résultats Clés
Réaction \(A_y\) (kN) -
Réaction \(B_y\) (kN) -
Moment Maximal (kN.m) -
Position de M_max (m) -

Le Saviez-Vous ?

La forme des câbles d'un pont suspendu épouse parfaitement le diagramme du moment fléchissant (inversé) d'une poutre uniformément chargée. C'est un exemple élégant de la façon dont les structures peuvent être optimisées pour travailler en pure traction, le mode de fonctionnement le plus efficace pour un matériau comme l'acier.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le diagramme du moment est-il une parabole sous la charge répartie ?

La relation mathématique entre le moment \(M(x)\) et la charge \(q(x)\) est \(d^2M/dx^2 = -q(x)\). Comme la charge \(q\) est constante (d'ordre 0), l'effort tranchant \(V(x)\) est linéaire (ordre 1) et le moment fléchissant \(M(x)\) est quadratique (ordre 2), ce qui correspond à une parabole.

Quelle est la signification physique de l'effort tranchant ?

L'effort tranchant en une section représente la tendance des deux parties de la poutre à glisser verticalement l'une par rapport à l'autre. C'est une mesure des forces de cisaillement internes à la matière.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. À l'endroit où la charge ponctuelle P est appliquée (x=6m), le diagramme de l'effort tranchant...

2. Si on supprime la charge ponctuelle P (P=0), où se situerait le moment fléchissant maximal ?

Effort Tranchant (V)
Effort interne qui représente la tendance au glissement vertical d'une section de poutre par rapport à une autre. Il est la somme de toutes les forces verticales à gauche (ou à droite) de la coupure.
Moment Fléchissant (M)
Effort interne qui représente la tendance à la rotation (flexion) d'une section de poutre. Il est la somme de tous les moments de forces à gauche (ou à droite) de la coupure.
Charge Répartie (q)
Une charge qui n'est pas appliquée en un seul point, mais étalée sur une certaine longueur de la poutre (ex: poids propre, pression de la neige).
Réactions d’Appui et Efforts Internes

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