Études de cas pratique

EGC

Réactions d’Appui et Efforts Internes

Calcul des Réactions d’Appui et Efforts Internes (RDM)

Comprendre les Réactions d'Appui et les Efforts Internes

En Résistance Des Matériaux (RDM), l'analyse d'une structure commence par la détermination des réactions d'appui. Ce sont les forces (et parfois les moments) que les supports exercent sur la structure pour la maintenir en équilibre sous l'effet des charges appliquées. Une fois ces réactions connues, on peut "couper" virtuellement la structure en différentes sections pour y calculer les efforts internes : l'effort normal (traction ou compression axiale), l'effort tranchant (tendance au cisaillement vertical), et le moment fléchissant (tendance à la courbure). La connaissance de ces efforts internes le long de la structure est cruciale pour vérifier sa résistance et son dimensionnement. On utilise les équations de la statique (\(\sum F_x = 0\), \(\sum F_y = 0\), \(\sum M = 0\)) pour ces calculs.

Données de l'étude

Une poutre simple de longueur \(L = 5 \, \text{m}\) repose sur un appui articulé en A (à \(x=0\)) et un appui à rouleau en B (à \(x=5 \, \text{m}\)). Elle est soumise à une charge ponctuelle \(P = 15 \, \text{kN}\) appliquée à \(a = 2 \, \text{m}\) de A, et à une charge uniformément répartie \(q = 6 \, \text{kN/m}\) sur toute sa longueur.

Objectif :

  • Calculer les réactions d'appui en A (\(V_A\), \(H_A\)) et en B (\(V_B\)).
  • Établir les équations de l'effort tranchant \(V(x)\) et du moment fléchissant \(M(x)\) le long de la poutre.
  • Déterminer la valeur et la position du moment fléchissant maximal.
Schéma de la Poutre et des Charges
Poutre avec Charges Multiples A (x=0) VA HA B (x=5m) VB P=15kN q=6kN/m L = 5.0 m a = 2.0 m Diagrammes V(x) et M(x) ci-dessous (non tracés)

Poutre sur deux appuis avec une charge ponctuelle et une charge répartie.

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appui \(V_A\), \(H_A\) et \(V_B\).
  2. Établir les équations de l'effort tranchant \(V(x)\) pour les différentes sections de la poutre (avant et après la charge ponctuelle P).
  3. Établir les équations du moment fléchissant \(M(x)\) pour ces mêmes sections.
  4. Déterminer la position où l'effort tranchant \(V(x)\) est nul.
  5. Calculer la valeur du moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\)) et sa position.

Correction : Calcul des Réactions d’Appui et Efforts Internes

Question 1 : Calcul des réactions d'appui

Principe :

Pour une structure en équilibre, la somme des forces et des moments est nulle. 1. \(\sum F_x = 0\) : La somme des forces horizontales est nulle. Comme il n'y a pas de charges horizontales appliquées, la réaction horizontale en A (\(H_A\)) sera nulle. 2. \(\sum M_A = 0\) : La somme des moments par rapport à l'appui A est nulle. Cela nous permet de trouver \(V_B\). La charge répartie \(q\) sur une longueur \(L\) peut être remplacée par une force équivalente \(Q = qL\) appliquée au milieu de cette longueur (\(L/2\)). 3. \(\sum F_y = 0\) : La somme des forces verticales est nulle. Cela nous permet de trouver \(V_A\) une fois \(V_B\) connue. Convention : Forces vers le haut positives, forces vers la droite positives, moments anti-horaires positifs.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\sum F_x = 0\]
\[\sum M_A = 0\]
\[\sum F_y = 0\]
Données spécifiques :
  • \(L = 5.0 \, \text{m}\)
  • \(P = 15 \, \text{kN}\)
  • \(a = 2.0 \, \text{m}\)
  • \(q = 6 \, \text{kN/m}\) (sur toute la longueur \(L\))
Calcul :

1. Somme des forces horizontales :

\[H_A = 0 \, \text{kN}\]

2. Somme des moments par rapport à A (sens anti-horaire positif) :
La charge répartie \(q\) sur \(L\) a une résultante \(Q = qL = 6 \, \text{kN/m} \times 5 \, \text{m} = 30 \, \text{kN}\), appliquée à \(L/2 = 2.5 \, \text{m}\) de A.

\[ \begin{aligned} \sum M_A &= (V_B \times L) - (P \times a) - (Q \times \frac{L}{2}) = 0 \\ (V_B \times 5.0) - (15 \times 2.0) - (30 \times 2.5) &= 0 \\ 5V_B - 30 - 75 &= 0 \\ 5V_B - 105 &= 0 \\ 5V_B &= 105 \\ V_B &= \frac{105}{5} = 21 \, \text{kN} \end{aligned} \]

3. Somme des forces verticales :

\[ \begin{aligned} \sum F_y &= V_A + V_B - P - Q = 0 \\ V_A + 21 \, \text{kN} - 15 \, \text{kN} - 30 \, \text{kN} &= 0 \\ V_A + 21 - 45 &= 0 \\ V_A - 24 &= 0 \\ V_A &= 24 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Réactions d'appui : \(H_A = 0 \, \text{kN}\), \(V_A = 24 \, \text{kN}\) (\(\uparrow\)), \(V_B = 21 \, \text{kN}\) (\(\uparrow\)).

Question 2 : Équations de l'effort tranchant \(V(x)\)

Principe :

L'effort tranchant \(V(x)\) en une section \(x\) (mesurée depuis A) est la somme algébrique des forces verticales à gauche de cette section. Convention : Forces vers le haut positives.
Section 1 : \(0 \le x < 2 \, \text{m}\) (avant la charge P)
Forces à gauche : \(V_A\) et la partie de la charge répartie \(q \times x\).
Section 2 : \(2 \, \text{m} < x \le 5 \, \text{m}\) (après la charge P)
Forces à gauche : \(V_A\), la charge P, et la partie de la charge répartie \(q \times x\).

Formule(s) utilisée(s) :

Pour \(0 \le x < 2 \, \text{m}\) :

\[V(x) = V_A - qx\]

Pour \(2 \, \text{m} < x \le 5 \, \text{m}\) :

\[V(x) = V_A - P - qx\]
Calcul :

Pour \(0 \le x < 2 \, \text{m}\) :

\[V(x) = 24 - 6x \, (\text{kN})\]

Pour \(2 \, \text{m} < x \le 5 \, \text{m}\) :

\[V(x) = 24 - 15 - 6x = 9 - 6x \, (\text{kN})\]
Équations de l'effort tranchant :
  • Pour \(0 \le x < 2 \, \text{m}\) : \(V(x) = 24 - 6x \, \text{kN}\)
  • Pour \(2 \, \text{m} < x \le 5 \, \text{m}\) : \(V(x) = 9 - 6x \, \text{kN}\)

Question 3 : Équations du moment fléchissant \(M(x)\)

Principe :

Le moment fléchissant \(M(x)\) en une section \(x\) est la somme algébrique des moments des forces à gauche de cette section par rapport à la section \(x\). Convention : Moment qui tend à courber la poutre avec concavité vers le haut (sourire) est positif.
Section 1 : \(0 \le x < 2 \, \text{m}\)
Moment dû à \(V_A\) (bras de levier \(x\)) et moment dû à la charge répartie sur la longueur \(x\) (résultante \(qx\) appliquée à \(x/2\)).
Section 2 : \(2 \, \text{m} \le x \le 5 \, \text{m}\)
Moment dû à \(V_A\) (bras de levier \(x\)), moment dû à la charge répartie sur la longueur \(x\) (résultante \(qx\) appliquée à \(x/2\)), et moment dû à P (bras de levier \((x - 2)\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Pour \(0 \le x < 2 \, \text{m}\) :

\[M(x) = V_A \times x - qx \times \frac{x}{2}\]

Pour \(2 \, \text{m} \le x \le 5 \, \text{m}\) :

\[M(x) = V_A \times x - P \times (x - 2) - qx \times \frac{x}{2}\]
Calcul :

Pour \(0 \le x < 2 \, \text{m}\) :

\[M(x) = 24x - 6x \times \frac{x}{2} = 24x - 3x^2 \, (\text{kNm})\]

Pour \(2 \, \text{m} \le x \le 5 \, \text{m}\) :

\[ \begin{aligned} M(x) &= 24x - 15(x - 2) - 3x^2 \\ &= 24x - 15x + 30 - 3x^2 \\ &= -3x^2 + 9x + 30 \, (\text{kNm}) \end{aligned} \]
Équations du moment fléchissant :
  • Pour \(0 \le x < 2 \, \text{m}\) : \(M(x) = 24x - 3x^2 \, \text{kNm}\)
  • Pour \(2 \, \text{m} \le x \le 5 \, \text{m}\) : \(M(x) = -3x^2 + 9x + 30 \, \text{kNm}\)

Question 4 : Position où l'effort tranchant \(V(x)\) est nul

Principe :

Le moment fléchissant est maximal (ou minimal localement) lorsque l'effort tranchant est nul (\(V(x) = 0\)). Nous devons résoudre \(V(x)=0\) pour chaque section.

Calcul :

Section 1 (\(0 \le x < 2 \, \text{m}\)) : \(V(x) = 24 - 6x\)

\[ \begin{aligned} 24 - 6x &= 0 \\ 6x &= 24 \\ x &= 4 \, \text{m} \end{aligned} \]

Cette valeur (\(x=4 \, \text{m}\)) est en dehors de l'intervalle \(0 \le x < 2 \, \text{m}\), donc \(V(x)\) ne s'annule pas dans cette section.

Section 2 (\(2 \, \text{m} < x \le 5 \, \text{m}\)) : \(V(x) = 9 - 6x\)

\[ \begin{aligned} 9 - 6x &= 0 \\ 6x &= 9 \\ x &= \frac{9}{6} = 1.5 \, \text{m} \end{aligned} \]

Cette valeur (\(x=1.5 \, \text{m}\)) est en dehors de l'intervalle \(2 \, \text{m} < x \le 5 \, \text{m}\). Cela signifie que l'effort tranchant ne s'annule pas *entre* les points de discontinuité. Le changement de signe se produit au point d'application de la charge P. Vérifions les valeurs de V(x) aux points clés : \(V(0) = 24 - 6(0) = 24 \, \text{kN}\) \(V(1.5^-) = 24 - 6(1.5) = 24 - 9 = 15 \, \text{kN}\) \(V(1.5^+) = 9 - 6(1.5) = 9 - 9 = 0 \, \text{kN}\) \(V(2^-)\) (en utilisant la première équation si P était à 2m) : \(24 - 6(2) = 12 \, \text{kN}\) \(V(2^+)\) (en utilisant la deuxième équation si P était à 2m) : \(9 - 6(2) = 9 - 12 = -3 \, \text{kN}\) Le point où \(V(x)=0\) se trouve bien à \(x=1.5 \, \text{m}\) si on considère la deuxième équation. En fait, \(V(x)\) passe de \(V(1.5^-) = 24 - 6(1.5) = 15 \, \text{kN}\) à \(V(1.5^+) = 15 - 15 = 0 \, \text{kN}\) si on considère la charge P. Reprenons : Pour \(0 \le x < 2 \, \text{m}\): \(V(x) = 24 - 6x\). Si \(V(x)=0\), \(x=4\text{m}\) (hors intervalle). Pour \(2 \, \text{m} < x \le 5 \, \text{m}\): \(V(x) = 9 - 6x\). Si \(V(x)=0\), \(6x=9 \Rightarrow x=1.5\text{m}\) (hors intervalle). L'effort tranchant change de signe au point d'application de la charge P, à \(x=2 \, \text{m}\). \(V(2^-) = 24 - 6(2) = 12 \, \text{kN}\). \(V(2^+) = 9 - 6(2) = -3 \, \text{kN}\). Le point où \(V(x)=0\) n'est pas atteint de manière continue, mais il y a un changement de signe. Le moment max sera sous la charge P.

L'effort tranchant change de signe au point d'application de la charge \(P\) (à \(x=2 \, \text{m}\)). Il ne s'annule pas en continu entre les charges/appuis dans ce cas. Le moment sera maximal sous la charge P.

Question 5 : Valeur du moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\)) et sa position

Principe :

Le moment fléchissant est maximal là où l'effort tranchant \(V(x)\) change de signe (ou est nul). Dans ce cas, c'est au point d'application de la charge \(P\), soit à \(x = a = 2 \, \text{m}\). On utilise l'équation de \(M(x)\) correspondante.

Calcul :

La charge P est à \(x=2 \, \text{m}\). On peut utiliser l'une ou l'autre des équations du moment en \(x=2 \, \text{m}\) car le moment est continu. Utilisons la première équation (valable pour \(0 \le x \le 2 \, \text{m}\), en incluant la limite \(x=2\)) :

\[ \begin{aligned} M(x=2) &= 24x - 3x^2 \\ &= 24(2) - 3(2)^2 \\ &= 48 - 3(4) \\ &= 48 - 12 \\ &= 36 \, \text{kNm} \end{aligned} \]

Vérifions avec la deuxième équation (valable pour \(2 \, \text{m} \le x \le 5 \, \text{m}\)) :

\[ \begin{aligned} M(x=2) &= -3x^2 + 9x + 30 \\ &= -3(2)^2 + 9(2) + 30 \\ &= -3(4) + 18 + 30 \\ &= -12 + 18 + 30 \\ &= 6 + 30 = 36 \, \text{kNm} \end{aligned} \]
Le moment fléchissant maximal est \(M_{\text{max}} = 36 \, \text{kNm}\) et il se produit à \(x = 2 \, \text{m}\) (sous la charge ponctuelle P).

Quiz Intermédiaire (Fin) : Si l'effort tranchant est constant et non nul sur une section de poutre, le moment fléchissant sur cette section est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Pour une poutre isostatique, le nombre d'équations d'équilibre disponibles est :

2. L'effort tranchant est la dérivée (changée de signe selon convention) du moment fléchissant : \(V(x) = -dM(x)/dx\) ou \(V(x) = dM(x)/dx\).

3. Si une poutre est soumise uniquement à une charge répartie constante \(q\), le diagramme d'effort tranchant est :

Glossaire

Réaction d'Appui
Force ou moment exercé par un support sur une structure pour la maintenir en équilibre.
Effort Tranchant (\(V\))
Effort interne résultant des forces transversales tendant à faire glisser une section de la poutre par rapport à une autre.
Moment Fléchissant (\(M\))
Effort interne résultant des forces externes qui tendent à courber la poutre.
Poutre Isostatique
Poutre dont les réactions d'appui et les efforts internes peuvent être déterminés en utilisant uniquement les équations de l'équilibre statique.
Méthode des Sections (ou Coupures)
Technique utilisée pour déterminer les efforts internes en "coupant" virtuellement la poutre à une section donnée et en appliquant les équations d'équilibre à l'une des deux parties isolées.
Diagramme des Efforts Internes
Représentation graphique de la variation de l'effort tranchant et/ou du moment fléchissant le long de l'axe de la poutre.
Réactions d’Appui et Efforts Internes - Exercice d'Application

D’autres exercices de Rdm:

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