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Poutre en Acier Traitée Thermiquement

Calcul d'une Poutre en Acier Traitée Thermiquement

Calcul d'une Poutre en Acier Traitée Thermiquement

Contexte : Optimisation des structures par le matériau.

L'utilisation d'aciers à haute performance, obtenus par des traitements thermiques comme la trempe et le revenu, est une stratégie clé pour optimiser les structures. Ces aciers offrent une limite d'élasticité bien supérieure aux aciers de construction standards (comme le S235), permettant d'utiliser des profilés plus légers pour une même capacité portante. Cet exercice explore le dimensionnement d'une poutre de plancher en acier S460, un acier traité thermiquement, soumise à une forte charge ponctuelle, comme celle d'un équipement lourd ou d'une reprise de charge d'un poteau.

Remarque Pédagogique : Nous allons suivre la même démarche Eurocode 3 que pour un acier standard, mais en portant une attention particulière à l'impact de la haute limite d'élasticité (\(f_y = 460 \, \text{MPa}\)). Nous verrons que si la résistance en flexion est améliorée, d'autres critères comme la résistance au cisaillement ou la déformation (flèche) peuvent devenir prépondérants.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les sollicitations de calcul (ELU) pour une charge ponctuelle et le poids propre.
  • Dimensionner un profilé en acier S460Acier de construction à haute limite d'élasticité (460 MPa), obtenu par traitement thermique. Il est utilisé pour des structures exigeantes où le gain de poids est critique. en flexion.
  • Effectuer la vérification de la résistance à l'effort tranchantEffort interne qui tend à faire glisser les sections transversales d'une poutre les unes par rapport aux autres. Il est maximal aux appuis..
  • Vérifier la condition de flèche à l'État Limite de Service (ELS) pour ce type d'acier.
  • Comprendre le compromis entre haute résistance et rigidité.

Données de l'étude

On étudie une poutre de plancher sur deux appuis simples, destinée à supporter une machine industrielle. La poutre est donc soumise à son poids propre (charge répartie) et à la charge de la machine (charge ponctuelle appliquée à mi-portée).

Schéma de la poutre et de ses chargements
F g (poids propre) Portée, L = 8 m
Schéma 3D interactif de la poutre
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la poutre \(L\) 8 \(\text{m}\)
Charge ponctuelle permanente (machine) \(F_G\) 30 \(\text{kN}\)
Charge ponctuelle d'exploitation \(F_Q\) 50 \(\text{kN}\)
Nuance de l'acier - S460 -
Limite d'élasticité \(f_y\) 460 \(\text{MPa}\)
Limite de flèche admissible \(f_{\text{adm}}\) L / 300 -

Questions à traiter

  1. Déterminer la charge ponctuelle de calcul \(F_{\text{Ed}}\) à l'ELU.
  2. Choisir un profilé HEA, calculer son poids propre de calcul \(g_{\text{Ed}}\), puis déterminer le moment fléchissant total \(M_{\text{Ed}}\).
  3. Vérifier la résistance à la flexion du profilé choisi.
  4. Vérifier la résistance au cisaillement du profilé.
  5. Vérifier la flèche du profilé à l'ELS.

Les bases du calcul de structure métallique

Rappel des formules pour une poutre sur deux appuis simples.

1. Efforts dus à une charge répartie \(g\) :
\[ M_{\text{max}} = \frac{g \cdot L^2}{8} \quad \text{(à mi-portée)} \] \[ V_{\text{max}} = \frac{g \cdot L}{2} \quad \text{(aux appuis)} \]

2. Efforts dus à une charge ponctuelle \(F\) à mi-portée :
\[ M_{\text{max}} = \frac{F \cdot L}{4} \quad \text{(à mi-portée)} \] \[ V_{\text{max}} = \frac{F}{2} \quad \text{(aux appuis)} \]

3. Principe de superposition :
Pour un système linéaire (ce qui est le cas ici), on peut calculer les efforts pour chaque cas de charge séparément et les additionner pour obtenir l'effort total. \[ M_{\text{total}} = M_{\text{charge répartie}} + M_{\text{charge ponctuelle}} \]

Correction : Calcul d'une Poutre en Acier Traitée Thermiquement

Question 1 : Déterminer la charge ponctuelle de calcul FEd

Principe (le concept physique)

Pour garantir la sécurité de la structure (ne pas s'effondrer), on utilise l'État Limite Ultime (ELU). Cela implique de majorer les charges réelles (dites de service) par des coefficients de sécurité pour simuler le scénario le plus défavorable. On distingue les charges permanentes (poids de la machine), qui sont relativement bien connues, des charges d'exploitation (liées à l'usage), qui sont plus variables.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode des coefficients partiels de sécurité est au cœur des Eurocodes. Elle vise à assurer un niveau de fiabilité homogène pour les constructions. Les coefficients \(\gamma_G=1.35\) et \(\gamma_Q=1.5\) sont calibrés statistiquement pour couvrir les incertitudes sur les valeurs des charges, les imprécisions de modélisation et les variations dimensionnelles.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la première étape de tout calcul de résistance. Il est crucial de bien identifier la nature de chaque charge (permanente ou d'exploitation) pour lui appliquer le bon coefficient. Une erreur ici fausse tout le dimensionnement qui suit.

Normes (la référence réglementaire)

La combinaison d'actions est définie dans la norme NF EN 1990 (Eurocode 0). Pour les situations de projet durables et transitoires en bâtiment, la combinaison fondamentale est donnée par l'expression 6.10, qui se simplifie dans notre cas à la formule ci-dessous.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Combinaison d'actions fondamentale à l'ELU pour une charge ponctuelle :

\[ F_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot F_G + 1.5 \cdot F_Q \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On se place dans une situation de calcul standard pour un bâtiment, sans considérer de situations accidentelles (incendie, séisme) qui feraient appel à d'autres combinaisons.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge ponctuelle permanente, \(F_G = 30 \, \text{kN}\)
  • Charge ponctuelle d'exploitation, \(F_Q = 50 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour éviter les erreurs, effectuez les deux multiplications séparément avant de les additionner. Cela permet de visualiser la contribution de chaque type de charge à l'effort total de calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Combinaison des charges ponctuelles
F_G = 30F_Q = 50+=F_Ed = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule de combinaison :

\[ \begin{aligned} F_{\text{Ed}} &= 1.35 \cdot (30 \, \text{kN}) + 1.5 \cdot (50 \, \text{kN}) \\ &= 40.5 \, \text{kN} + 75.0 \, \text{kN} \\ &= 115.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charge de calcul ELU résultante
F_Ed = 115.5 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge de calcul \(F_{\text{Ed}}\) (115.5 kN) est 44% plus élevée que la charge de service totale \(F_G + F_Q\) (80 kN). Cette marge de sécurité est essentielle pour garantir la fiabilité de la structure face aux aléas.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'inverser les coefficients 1.35 et 1.5. Retenez que la charge la plus incertaine (l'exploitation Q) reçoit toujours le coefficient le plus élevé.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La logique de pondération des charges (1.35G + 1.5Q) s'applique à tous les types de charges : réparties, ponctuelles, moments, etc.
  • Cette charge de calcul \(F_{\text{Ed}}\) est celle qui sera utilisée pour les vérifications de résistance (flexion, cisaillement).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les structures comme les réservoirs, où la charge de l'eau est connue avec une grande précision, le coefficient de sécurité \(\gamma_G\) peut être réduit à 1.2, car l'incertitude est beaucoup plus faible que pour le poids propre d'un bâtiment.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi les coefficients sont-ils différents pour G et Q ?

Parce que l'incertitude n'est pas la même. Les charges permanentes (G) sont issues des poids des matériaux, qui sont bien connus. Les charges d'exploitation (Q) dépendent de l'usage futur du bâtiment, qui est beaucoup plus aléatoire. Le coefficient plus élevé pour Q reflète cette plus grande incertitude.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge ponctuelle de calcul à l'ELU est de 115.5 kN.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge d'exploitation \(F_Q\) était de 60 kN au lieu de 50, quelle serait la nouvelle charge \(F_{\text{Ed}}\) en kN ?

Question 2 : Choisir un profilé, calculer gEd et le moment total MEd

Principe (le concept physique)

Le dimensionnement est un processus itératif. On ne connaît pas le poids propre de la poutre avant de l'avoir choisie. On fait donc une première estimation du moment dû à la charge ponctuelle seule, on choisit un profilé, puis on ajoute le moment dû au poids propre de ce profilé pour affiner le calcul du moment total.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce processus est une boucle "supposer -> vérifier -> corriger". En ingénierie, on commence souvent avec une hypothèse éclairée (ici, ignorer le poids propre pour le premier calcul). On effectue le calcul, ce qui nous donne un premier résultat (un profilé). On utilise ce résultat pour affiner notre hypothèse (en incluant le poids propre du profilé choisi) et on revérifie. Si le résultat change significativement, on peut refaire une boucle.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour ce pré-dimensionnement, on peut majorer le moment dû aux charges externes de 5 à 10% pour estimer l'effet du poids propre. Ici, nous allons faire le calcul complet pour être précis. C'est une bonne pratique pour comprendre l'influence de chaque paramètre.

Normes (la référence réglementaire)

Les caractéristiques des profilés (poids, module de section, etc.) sont données dans des normes produits, comme la norme NF EN 10365 pour les profilés I et H. Les catalogues des fabricants d'acier compilent ces données de manière pratique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les formules utilisées sont :

\[ M_{\text{Ed,F}} = \frac{F_{\text{Ed}} \cdot L}{4} \quad ; \quad W_{\text{pl,y,req}} \ge \frac{M_{\text{Ed,F}}}{f_y} \]
\[ g_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot (Poids_{\text{kg/m}} \cdot 9.81 / 1000) \]
\[ M_{\text{Ed,total}} = M_{\text{Ed,F}} + \frac{g_{\text{Ed}} L^2}{8} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les données du catalogue de profilés sont exactes et que le poids propre est la seule autre charge permanente à considérer en plus de la machine.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Force de calcul, \(F_{\text{Ed}} = 115.5 \, \text{kN}\)
  • Portée, \(L = 8 \, \text{m}\)
  • Limite d'élasticité, \(f_y = 460 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le poids propre est souvent donné en kg/m. N'oubliez pas de le multiplier par \(g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2\) pour le convertir en N/m, puis de diviser par 1000 pour l'avoir en kN/m, l'unité cohérente avec le reste du calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Superposition des moments
Moment dû à F_Ed+Moment dû à g_Ed
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Pré-dimensionnement : Moment dû à \(F_{\text{Ed}}\) seul.

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed,F}} &= \frac{115.5 \, \text{kN} \cdot 8 \, \text{m}}{4} \\ &= 231 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

2. Module de section requis (avec acier S460).

\[ \begin{aligned} W_{\text{pl,y,req}} &\ge \frac{M_{\text{Ed,F}}}{f_y} \\ &= \frac{231 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{460 \, \text{N/mm}^2} \\ &\approx 502 \times 10^3 \, \text{mm}^3 \\ &= 502 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]

3. Choix du profilé dans un catalogue HEA (plus robustes que les IPE).

Profilé\(W_{\text{pl,y}}\) (cm³)Poids (kg/m)Choix
HEA 220481.550.5❌
HEA 240609.760.3✔️

On choisit un HEA 240. Son poids est de 60.3 kg/m.

4. Calcul du poids propre de calcul \(g_{\text{Ed}}\).

\[ \begin{aligned} g_k &= 60.3 \, \text{kg/m} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \\ &\approx 591.5 \, \text{N/m} \\ &= 0.592 \, \text{kN/m} \\ g_{\text{Ed}} &= 1.35 \cdot g_k \\ &= 1.35 \cdot 0.592 \, \text{kN/m} \\ &\approx 0.799 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

5. Calcul du moment total \(M_{\text{Ed}}\).

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed}} &= M_{\text{Ed,F}} + M_{\text{Ed,g}} \\ &= \frac{F_{\text{Ed}} L}{4} + \frac{g_{\text{Ed}} L^2}{8} \\ &= 231 \, \text{kN} \cdot \text{m} + \frac{0.799 \cdot 8^2}{8} \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 231 + 6.39 \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 237.39 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Moment total de calcul
M_Ed = 237.39 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le poids propre ajoute un moment de 6.39 kN·m, soit environ 2.8% du moment de la charge ponctuelle. Cette contribution est faible, ce qui valide notre approche de pré-dimensionnement. Pour des poutres de très grande portée, l'influence du poids propre deviendrait beaucoup plus significative.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier d'appliquer le coefficient de sécurité 1.35 au poids propre. C'est une charge permanente, elle doit donc être majorée dans le calcul à l'ELU. Une autre erreur serait de l'oublier complètement, ce qui sous-estimerait le moment total.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le dimensionnement est un processus itératif : estimer, choisir, vérifier.
  • Le poids propre, bien que souvent faible, doit être inclus dans le calcul final du moment.
  • Le principe de superposition permet d'additionner les moments des différentes charges.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les logiciels de calcul de structure modernes automatisent ce processus itératif. L'ingénieur entre les charges externes, et le logiciel peut proposer une liste de profilés optimisés en calculant et incluant automatiquement leur poids propre dans chaque itération.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si le poids propre rend le profilé insuffisant ?

Si, après ajout du moment dû au poids propre, le profilé initial ne passe plus la vérification, il faut simplement passer au profilé supérieur dans le catalogue (par exemple, un HEA 260 au lieu d'un HEA 240) et refaire la vérification. Généralement, une seule itération suffit.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le profilé pré-sélectionné est un HEA 240, et le moment de calcul total est \(M_{\text{Ed}} = 237.39 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En utilisant un HEA 260 (poids 71.3 kg/m), quel serait le moment total de calcul \(M_{\text{Ed}}\) en kN·m ?

Question 3 : Vérifier la résistance à la flexion

Principe (le concept physique)

On vérifie maintenant que la capacité de résistance interne de la poutre choisie (son "moment résistant", \(M_{c,Rd}\)) est bien supérieure à la sollicitation externe que nous venons de calculer (le "moment agissant", \(M_{Ed}\)). C'est la vérification de sécurité fondamentale pour la flexion, qui garantit que la poutre ne cédera pas sous la charge de calcul.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance en flexion d'un profilé dépend de deux choses : sa géométrie (quantifiée par le module de section plastique \(W_{pl,y}\)) et la résistance du matériau (sa limite d'élasticité \(f_y\)). Le module plastique représente la capacité maximale de la section à résister à un moment avant de se plastifier complètement. Pour les profilés de classe 1 ou 2 comme les HEA, on peut utiliser ce module plastique, qui est plus favorable que le module élastique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette étape se résume à une simple comparaison : "Ce que la poutre peut supporter" \(\ge\) "Ce qu'on lui demande de supporter". Le "ratio de travail" (\(M_{Ed} / M_{c,Rd}\)) est un indicateur clé pour l'ingénieur : un ratio proche de 1.0 indique une conception optimisée, tandis qu'un ratio faible indique un surdimensionnement.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification de la résistance en flexion des sections de classe 1 ou 2 est détaillée dans la norme NF EN 1993-1-1, section 6.2.5. La formule utilisée est la formule (6.13) de cette norme.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{c,\text{Rd}}} \le 1.0 \quad \text{avec} \quad M_{c,\text{Rd}} = \frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_y}{\gamma_{\text{M0}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le plancher ou les éléments secondaires connectés à la poutre empêchent le phénomène de déversement (flambement latéral de la semelle supérieure comprimée). Si ce n'était pas le cas, la résistance en flexion \(M_{c,Rd}\) devrait être réduite.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Profilé : HEA 240, avec \(W_{\text{pl,y}} = 609.7 \, \text{cm}^3\)
  • Limite d'élasticité, \(f_y = 460 \, \text{MPa}\)
  • Moment de calcul, \(M_{\text{Ed}} = 237.39 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La gestion des unités est la principale source d'erreur. Le plus sûr est de tout convertir en Newtons (N) et millimètres (mm). Rappelez-vous : \(1 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\) et \(1 \, \text{cm}^3 = 1000 \, \text{mm}^3\).

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Sollicitation vs Résistance
M_Ed = 237.4M_Rd = ?≤
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du moment résistant \(M_{c,\text{Rd}}\).

\[ \begin{aligned} M_{c,\text{Rd}} &= \frac{(609.7 \times 10^3 \, \text{mm}^3) \cdot (460 \, \text{N/mm}^2)}{1.0} \\ &= 280.46 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 280.46 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

2. Vérification du ratio.

\[ \begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{c,\text{Rd}}} \\ &= \frac{237.39 \, \text{kN} \cdot \text{m}}{280.46 \, \text{kN} \cdot \text{m}} \\ &= 0.846 \le 1.0 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance en Flexion
Sollicitation M_Ed=237.4Résistance M_Rd (HEA 240)=280.5OK ✔️ (Ratio = 85%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le ratio de 84.6% est inférieur à 100%, la poutre est donc suffisamment résistante en flexion. L'utilisation de l'acier S460 a permis d'utiliser un profilé relativement compact (HEA 240) pour une charge très importante. Avec un acier S235, il aurait fallu un profilé beaucoup plus grand.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas confondre le module plastique \(W_{pl,y}\) avec le module élastique \(W_{el,y}\) dans les catalogues, ce qui mènerait à une sous-estimation de la résistance. Assurez-vous également d'utiliser la limite d'élasticité \(f_y\) correcte pour la nuance d'acier et l'épaisseur du profilé.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance en flexion est le produit de la géométrie (\(W_{pl,y}\)) et du matériau (\(f_y\)).
  • L'objectif de la vérification est de s'assurer que le ratio de travail \(M_{Ed} / M_{c,Rd}\) est inférieur ou égal à 1.0.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le phénomène de déversement (ou flambement latéral-torsionnel) est un risque majeur pour les poutres élancées non maintenues latéralement. La semelle comprimée se comporte comme un poteau et cherche à flamber hors de son plan, entraînant une torsion de toute la section et une perte de résistance brutale.

FAQ (pour lever les doutes)
Que signifie un ratio de 0.846 en pratique ?

Cela signifie que la poutre utilise 84.6% de sa capacité de résistance en flexion sous les charges de calcul les plus défavorables. C'est une bonne marge de sécurité (environ 15%) tout en étant une conception économiquement efficace, sans gaspillage excessif de matière.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le profilé HEA 240 est validé vis-à-vis de la résistance en flexion.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le ratio de travail en flexion si on avait utilisé un HEA 220 (\(W_{\text{pl,y}} = 481.5 \, \text{cm}^3\)) ?

Question 4 : Vérifier la résistance au cisaillement

Principe (le concept physique)

Le cisaillement est l'effort qui tend à "couper" la poutre verticalement. Il est maximal aux appuis. Pour les profilés en I ou H, c'est principalement l'âme (la partie verticale) qui reprend cet effort. On doit vérifier que l'effort tranchant de calcul (\(V_{\text{Ed}}\)) est inférieur à la résistance au cisaillement plastique du profilé (\(V_{\text{pl,Rd}}\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance au cisaillement dépend de l'aire de cisaillement (\(A_v\)) et de la limite élastique en cisaillement. Selon le critère de von Mises, la plastification en cisaillement pur se produit à une contrainte de \(f_y / \sqrt{3}\). La résistance plastique est donc cette contrainte multipliée par l'aire de l'âme qui travaille.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour la plupart des poutres de bâtiment laminées à chaud, cette vérification est une formalité car elles sont surabondantes en cisaillement. Cependant, elle devient critique pour des poutres très courtes et très chargées, ou pour des profilés à âme mince (comme les profilés reconstitués soudés).

Normes (la référence réglementaire)

La vérification de la résistance au cisaillement est traitée dans la norme NF EN 1993-1-1, section 6.2.6. La formule (6.18) y définit la résistance plastique au cisaillement.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ V_{\text{Ed}} = \frac{F_{\text{Ed}}}{2} + \frac{g_{\text{Ed}} L}{2} \]
\[ \frac{V_{\text{Ed}}}{V_{\text{pl,Rd}}} \le 1.0 \quad \text{avec} \quad V_{\text{pl,Rd}} = \frac{A_v \cdot f_y}{\sqrt{3} \cdot \gamma_{\text{M0}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'âme du profilé est suffisamment trapue pour ne pas voiler par cisaillement avant d'atteindre sa résistance plastique. Pour les profilés HEA standards, cette condition est toujours respectée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Profilé : HEA 240, avec \(A_v = 30.06 \, \text{cm}^2\)
  • \(F_{\text{Ed}} = 115.5 \, \text{kN}\)
  • \(g_{\text{Ed}} = 0.799 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 8 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

L'effort tranchant aux appuis est simplement la réaction d'appui. Pour une charge symétrique, c'est la moitié de la charge totale appliquée sur la poutre. N'oubliez pas d'inclure la contribution du poids propre.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de l'Effort Tranchant
V_Ed = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'effort tranchant de calcul \(V_{\text{Ed}}\).

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed}} &= \frac{115.5}{2} + \frac{0.799 \cdot 8}{2} \\ &= 57.75 + 3.20 \\ &= 60.95 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Calcul de la résistance au cisaillement \(V_{\text{pl,Rd}}\).

\[ \begin{aligned} V_{\text{pl,Rd}} &= \frac{(30.06 \times 10^2 \, \text{mm}^2) \cdot (460 \, \text{N/mm}^2)}{\sqrt{3} \cdot 1.0} \\ &= 797345 \, \text{N} \\ &\approx 797.3 \, \text{kN} \end{aligned} \]

3. Vérification du ratio.

\[ \begin{aligned} \text{Ratio} &= \frac{V_{\text{Ed}}}{V_{\text{pl,Rd}}} \\ &= \frac{60.95 \, \text{kN}}{797.3 \, \text{kN}} \\ &= 0.076 \le 1.0 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Résistance au Cisaillement
V_Ed=61Résistance V_Rd=797OK ✔️ (Ratio = 8%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La poutre travaille à seulement 7.6% de sa capacité en cisaillement. C'est typique pour les poutres laminées : la flexion est presque toujours le critère de résistance dimensionnant, mais la vérification du cisaillement reste une étape obligatoire et importante, surtout pour les poutres courtes avec de fortes charges.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur principale serait d'oublier le facteur \(1/\sqrt{3}\) dans la formule de résistance, ce qui surestimerait la capacité de la poutre. Il faut aussi s'assurer d'utiliser l'aire de cisaillement \(A_v\) du catalogue, et non l'aire totale de la section.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le cisaillement est principalement repris par l'âme du profilé.
  • L'effort tranchant de calcul \(V_{Ed}\) doit être inférieur à la résistance plastique au cisaillement \(V_{pl,Rd}\).
  • Pour les poutres standards, cette vérification est rarement dimensionnante.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les zones de fortes charges ponctuelles ou de réactions d'appui, il peut y avoir une interaction entre la flexion et le cisaillement. Si l'effort tranchant \(V_{Ed}\) dépasse 50% de la résistance \(V_{pl,Rd}\), l'Eurocode 3 impose de réduire le moment résistant pour tenir compte de cette interaction.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la résistance au cisaillement est-elle si élevée par rapport à la sollicitation ?

C'est dû à la forme des profilés en H. Ils sont optimisés pour la flexion, avec beaucoup de matière dans les semelles (parties horizontales) éloignées du centre. L'âme, bien que moins épaisse, offre une surface verticale (\(A_v\)) très importante, ce qui lui confère une très grande capacité de cisaillement, souvent bien au-delà des besoins courants.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le profilé HEA 240 est validé vis-à-vis de la résistance au cisaillement.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée L était réduite à 4 m (poutre courte), quel serait le nouvel effort tranchant \(V_{Ed}\) en kN ?

Question 5 : Vérifier la flèche à l'ELS

Principe (le concept physique)

Dernière étape cruciale : s'assurer que la poutre ne se déforme pas excessivement sous les charges de service (non pondérées). L'État Limite de Service (ELS) garantit le confort des utilisateurs et le bon fonctionnement des équipements. Un acier plus résistant n'est pas plus rigide (le module de Young E est le même). Il est donc possible qu'une poutre optimisée pour la résistance soit trop souple en service.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La flèche d'une poutre est inversement proportionnelle à sa rigidité en flexion, qui est le produit \(E \cdot I_y\). \(E\) est le module de Young du matériau (constant pour tous les aciers, environ 210 000 MPa) et \(I_y\) est le moment quadratique (ou moment d'inertie) de la section. \(I_y\) dépend uniquement de la géométrie de la section. Pour limiter la flèche, il faut donc choisir un profilé avec un grand moment d'inertie.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le paradoxe des aciers à haute résistance : ils permettent de faire des poutres plus fines et légères pour la même résistance, mais ces poutres plus fines sont aussi plus souples. La vérification de la flèche devient donc souvent le critère qui impose la taille finale du profilé, et non plus la résistance.

Normes (la référence réglementaire)

Les limites de flèche recommandées sont données dans l'Annexe Nationale de la norme NF EN 1993-1-1. Pour un plancher, une limite de L/300 est courante pour éviter les sensations de vibration et protéger les éléments non structuraux (cloisons, revêtements de sol).

Formule(s) (l'outil mathématique)

On superpose les flèches dues à la charge ponctuelle et au poids propre, en utilisant les charges de service.

\[ f_{\text{max}} = \frac{F_{\text{ser}} L^3}{48 E I_y} + \frac{5 g_{\text{ser}} L^4}{384 E I_y} \le f_{\text{adm}} = \frac{L}{300} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise les charges de service (caractéristiques), c'est-à-dire sans les coefficients de sécurité 1.35 et 1.5. On considère que le moment d'inertie \(I_y\) donné par le catalogue est exact.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Profilé : HEA 240, avec \(I_y = 7763 \, \text{cm}^4\)
  • \(F_{\text{ser}} = F_G + F_Q = 30 + 50 = 80 \, \text{kN}\)
  • \(g_{\text{ser}} = g_k = 0.592 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 8 \, \text{m}\) ; \(E = 210000 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La cohérence des unités est ici absolument critique à cause des puissances 3 et 4 sur la longueur. Le plus simple est de tout convertir en Newtons (N) et millimètres (mm) avant de commencer le calcul. Le résultat sera directement en mm.

Schéma (Avant les calculs)
Déformation de la Poutre (Flèche)
f_max = ?Limite adm. = L/300
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion en unités cohérentes (N, mm).

\[ \begin{aligned} L &= 8000 \, \text{mm} \\ F_{\text{ser}} &= 80000 \, \text{N} \\ g_{\text{ser}} &= 0.592 \, \text{N/mm} \\ I_y &= 7763 \times 10^4 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

2. Calcul de la flèche maximale.

\[ \begin{aligned} f_{\text{max}} &= \frac{80000 \cdot 8000^3}{48 \cdot 210000 \cdot (7.763 \times 10^7)} + \frac{5 \cdot 0.592 \cdot 8000^4}{384 \cdot 210000 \cdot (7.763 \times 10^7)} \\ &= 16.4 \, \text{mm} + 1.9 \, \text{mm} \\ &= 18.3 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Calcul de la flèche admissible et vérification.

\[ f_{\text{adm}} = \frac{L}{300} = \frac{8000 \, \text{mm}}{300} \approx 26.7 \, \text{mm} \]
\[ 18.3 \, \text{mm} \le 26.7 \, \text{mm} \quad (\text{Ratio} = 18.3/26.7 \approx 0.69 \le 1.0) \Rightarrow \text{CONFORME} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Flèche Calculée vs Admissible
Flèche calculée f_max=18.3 mmFlèche adm. f_adm=26.7 mmOK ✔️ (Ratio = 69%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vérification de la flèche est satisfaite. Le profilé HEA 240, étant plus trapu qu'un IPE de même hauteur, offre une bonne rigidité. La limite de flèche L/300, plus stricte que L/250, est souvent utilisée pour les planchers afin d'éviter les vibrations et garantir le confort des utilisateurs.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La plus grande erreur est d'utiliser les charges de calcul ELU (\(F_{Ed}\), \(g_{Ed}\)) pour le calcul de la flèche. Il faut impérativement utiliser les charges de service ELS (\(F_{ser}\), \(g_{ser}\)), car la flèche est une vérification de confort en conditions d'utilisation normales, et non une vérification de sécurité en conditions extrêmes.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de la flèche se fait à l'ELS, avec les charges non pondérées.
  • La rigidité (\(E \cdot I_y\)) est la clé, pas la résistance (\(f_y\)).
  • On superpose les flèches de chaque cas de charge pour obtenir la flèche totale.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les planchers, en plus de la flèche statique, les ingénieurs doivent souvent vérifier le comportement dynamique (vibrations). Un plancher peut respecter la limite de flèche mais être inconfortable s'il entre en résonance avec la fréquence des pas des usagers, typiquement entre 1.5 et 2.5 Hz.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la flèche était légèrement supérieure à la limite ?

Si la flèche calculée est de, par exemple, 27 mm au lieu de 26.7 mm, l'ingénieur doit prendre une décision. Il peut soit passer au profilé supérieur (plus coûteux), soit argumenter que ce léger dépassement est acceptable si les éléments supportés ne sont pas fragiles. C'est là que le jugement de l'ingénieur intervient.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche de la poutre HEA 240 (18.3 mm) est inférieure à la flèche admissible (26.7 mm). Le profilé est donc entièrement validé.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la flèche maximale \(f_{\text{max}}\) en mm si on utilisait un HEA 220 (\(I_y = 5700 \, \text{cm}^4\)) ?

Outil Interactif : Paramètres de la Poutre

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur les ratios de résistance et de flèche.

Paramètres d'Entrée
8 m
50 kN
Résultats Clés
Moment ELU (M_Ed) (kN·m) -
Ratio Résistance Flexion -
Ratio Flèche ELS -

Le Saviez-Vous ?

Le traitement thermique de "trempe et revenu" consiste à chauffer l'acier à haute température, le refroidir brutalement (trempe) pour durcir sa structure interne (formation de martensite), puis le réchauffer à une température plus modérée (revenu) pour lui redonner de la ductilité et de la ténacité, tout en conservant une haute résistance.

Foire Aux Questions (FAQ)

L'acier S460 est-il plus difficile à souder ?

Oui, les aciers à haute résistance nécessitent des procédures de soudage plus contrôlées (préchauffage, contrôle de l'énergie de soudage) pour éviter la fragilisation dans la Zone Affectée Thermiquement (ZAT). C'est un facteur important à prendre en compte dans la conception et la fabrication.

Quand est-il économiquement pertinent d'utiliser un acier S460 ?

Principalement dans les structures où le poids est un facteur critique : ponts de grande portée, grues, immeubles de très grande hauteur, ou lorsque la réduction de la taille des éléments porteurs permet de gagner de l'espace utile. Le surcoût du matériau et de sa mise en œuvre doit être compensé par des gains sur le poids total, les fondations, et le transport.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on remplace un acier S235 par un S460, pour une même poutre, sa rigidité (résistance à la flèche)...

2. Pour une poutre sur deux appuis, où l'effort tranchant est-il nul ?

Acier S460
Acier de construction structurel à haute limite d'élasticité minimale garantie de 460 MPa. Il est souvent obtenu par un processus de laminage thermomécanique ou de trempe et revenu.
Profilé HEA
Poutrelle en H à larges ailes, série légère européenne. Par rapport aux IPE, les HEA sont plus larges et moins hauts, ce qui leur confère une bonne rigidité dans les deux directions.
Effort Tranchant
Sollicitation tendant à cisailler la poutre. Dans un profilé en H, il est principalement repris par l'âme (la partie centrale verticale).
Calcul d'une Poutre en Acier Traité Thermiquement

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