Études de cas pratique

EGC

Flambement d’un Poteau Métallique Bi-articulé

Vérification au Flambement d'un Poteau Métallique Bi-articulé

Vérification au Flambement d'un Poteau Métallique Bi-articulé

Comprendre le Flambement d'un Poteau en Acier

Le flambement, ou flambage, est un phénomène d'instabilité qui affecte les éléments élancés (comme les poteaux) soumis à un effort de compression axial. Au-delà d'une certaine charge critique, l'élément peut brusquement fléchir latéralement et perdre sa capacité portante, même si la contrainte de compression moyenne reste inférieure à la limite d'élasticité de l'acier. La vérification au flambement consiste à s'assurer que l'effort de compression de calcul (\(N_{\text{Ed}}\)) est inférieur à la résistance au flambement de calcul (\(N_{b,Rd}\)) du poteau. Cette résistance dépend des propriétés du matériau, de la géométrie de la section, de la longueur du poteau et de ses conditions d'appui.

Données de l'étude

On souhaite vérifier la résistance au flambement d'un poteau en acier, constitué d'un profilé HEA 200 et articulé à ses deux extrémités.

Caractéristiques géométriques et matériaux :

  • Profilé : HEA 200
  • Nuance d'acier : S275 (\(f_y = 275 \, \text{MPa}\))
  • Hauteur du poteau (longueur réelle \(L\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Conditions d'appui : Bi-articulé (articulé en tête et en pied).
  • Caractéristiques du profilé HEA 200 :
    • Hauteur (\(h\)) : \(190 \, \text{mm}\)
    • Largeur des ailes (\(b_f\)) : \(200 \, \text{mm}\)
    • Épaisseur de l'âme (\(t_w\)) : \(6.5 \, \text{mm}\)
    • Épaisseur des ailes (\(t_f\)) : \(10.0 \, \text{mm}\)
    • Aire de la section (\(A\)) : \(53.8 \, \text{cm}^2 = 5380 \, \text{mm}^2\)
    • Moment d'inertie (axe faible, \(I_z\)) : \(1336 \, \text{cm}^4 = 1.336 \times 10^7 \, \text{mm}^4\)
    • Rayon de giration (axe faible, \(i_z\)) : \(4.98 \, \text{cm} = 49.8 \, \text{mm}\)

Sollicitations (ELU) :

  • Effort normal de compression de calcul (\(N_{\text{Ed}}\)) : \(500 \, \text{kN}\)

Coefficients partiels de sécurité (Eurocode 3) :

  • Pour la résistance des sections (\(\gamma_{M0}\)) : \(1.0\)
  • Pour la résistance à l'instabilité (\(\gamma_{M1}\)) : \(1.0\)
Schéma : Poteau Bi-articulé et Flambement
N_Ed L = 5.0 m Poteau bi-articulé

Questions à traiter

  1. Déterminer la longueur de flambement (\(L_{\text{cr}}\)) du poteau.
  2. Calculer l'élancement (\(\lambda_z\)) du poteau par rapport à son axe faible.
  3. Calculer l'élancement réduit (\(\bar{\lambda}_z\)).
  4. Classifier la section HEA 200 en S275, choisir la courbe de flambement et déterminer le facteur d'imperfection (\(\alpha\)).
  5. Calculer le paramètre \(\Phi\).
  6. Calculer le facteur de réduction pour le flambement (\(\chi_z\)).
  7. Calculer la résistance au flambement de calcul (\(N_{b,Rd}\)).
  8. Vérifier la stabilité du poteau : \(N_{\text{Ed}} \leq N_{b,Rd}\).

Correction : Vérification au Flambement d'un Poteau Métallique

Question 1 : Longueur de Flambement (\(L_{\text{cr}}\))

Principe :

La longueur de flambement (\(L_{\text{cr}}\)) est une longueur "efficace" qui dépend de la longueur réelle (\(L\)) et des conditions d'appui, représentées par le coefficient \(k\). Pour un poteau articulé à ses deux extrémités (cas d'Euler de base), le coefficient \(k\) est égal à 1.0.

Formule(s) utilisée(s) :
\[L_{\text{cr}} = k \cdot L\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} L_{\text{cr}} &= 1.0 \times 5.0 \, \text{m} \\ &= 5.0 \, \text{m} \\ &= 5000 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La longueur de flambement est \(L_{\text{cr}} = 5000 \, \text{mm}\).

Question 2 : Élancement (\(\lambda_z\))

Principe :

L'élancement (\(\lambda\)) est un nombre sans dimension qui mesure à quel point un poteau est "svelte" et donc susceptible de flamber. Il est calculé en divisant la longueur de flambement (\(L_{\text{cr}}\)) par le rayon de giration (\(i\)) de la section. On étudie le flambement autour de l'axe faible (z) car c'est le plus défavorable.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\lambda_z = \frac{L_{\text{cr}}}{i_z}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda_z &= \frac{5000 \, \text{mm}}{49.8 \, \text{mm}} \\ &\approx 100.40 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'élancement du poteau est \(\lambda_z \approx 100.4\).

Question 3 : Élancement Réduit (\(\bar{\lambda}_z\))

Principe :

L'élancement réduit (\(\bar{\lambda}\)) normalise l'élancement géométrique en le comparant aux propriétés du matériau (limite d'élasticité et module de Young). Il permet d'utiliser les courbes de flambement européennes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\bar{\lambda}_z = \frac{\lambda_z}{\lambda_1}\]

avec \(\lambda_1 = \pi \sqrt{\frac{E}{f_y}}\)

Calcul :

Calcul de \(\lambda_1\) pour l'acier S275 :

\[ \begin{aligned} \lambda_1 &= \pi \sqrt{\frac{210000 \, \text{MPa}}{275 \, \text{MPa}}} \\ &\approx \pi \sqrt{763.636} \\ &\approx 86.8 \end{aligned} \]

Calcul de l'élancement réduit :

\[ \begin{aligned} \bar{\lambda}_z &= \frac{100.4}{86.8} \\ &\approx 1.157 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'élancement réduit est \(\bar{\lambda}_z \approx 1.157\).

Question 4 : Classification, Courbe de Flambement et Facteur d'Imperfection (\(\alpha\))

Principe :

On classifie la section pour s'assurer qu'il n'y a pas de voilement local. Ensuite, on choisit une courbe de flambement (a, b, c, ou d) en fonction du type de profilé, de la nuance d'acier, de l'axe de flambement et des dimensions, pour déterminer le facteur d'imperfection \(\alpha\).

Classification (S275, \(t_f = 10.0 \, \text{mm} \leq 40 \, \text{mm}\) \(\Rightarrow\) \(f_y = 275 \, \text{MPa}\)) :

Calcul de \(\epsilon\):

\[ \epsilon = \sqrt{\frac{235}{f_y}} = \sqrt{\frac{235}{275}} \approx 0.924 \]

Ailes :

\[ \begin{aligned} c &= \frac{b_f - t_w - 2r}{2} \\ &= \frac{200 - 6.5 - 2 \cdot 18}{2} \\ &= 78.75 \, \text{mm} \\ \frac{c}{t_f} &= \frac{78.75}{10.0} = 7.875 \end{aligned} \]

Limite Classe 1 : \(9\epsilon = 9 \cdot 0.924 = 8.316\). Comme \(7.875 \leq 8.316\), les ailes sont de Classe 1.

Âme :

\[ \begin{aligned} d &= h - 2t_f - 2r \\ &= 190 - 2 \cdot 10 - 2 \cdot 18 \\ &= 134 \, \text{mm} \\ \frac{d}{t_w} &= \frac{134}{6.5} \approx 20.62 \end{aligned} \]

Limite Classe 1 : \(72\epsilon = 72 \cdot 0.924 = 66.528\). Comme \(20.62 \leq 66.528\), l'âme est de Classe 1.

La section est donc de Classe 1.

Choix de la courbe de flambement (selon EN 1993-1-1, Tableau 6.2) :

Profilé : HEA. Acier S275. Flambement autour de l'axe faible (z-z). \(h/b_f = 190/200 = 0.95 < 1.2\). Épaisseur des ailes \(t_f=10.0 \, \text{mm} \leq 40 \, \text{mm}\). Ces conditions mènent à la courbe de flambement "b".

Pour la courbe "b", le facteur d'imperfection est \(\alpha = 0.34\).

Résultat Question 4 : La section est de Classe 1, la courbe de flambement est la "b", et le facteur d'imperfection est \(\alpha = 0.34\).

Question 5 : Calcul du Paramètre \(\Phi\)

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Phi = 0.5 \left[ 1 + \alpha (\bar{\lambda} - 0.2) + \bar{\lambda}^2 \right]\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Phi &= 0.5 \left[ 1 + 0.34 (1.157 - 0.2) + (1.157)^2 \right] \\ &= 0.5 \left[ 1 + 0.34 (0.957) + 1.3386 \right] \\ &= 0.5 \left[ 1 + 0.3254 + 1.3386 \right] \\ &= 0.5 \left[ 2.664 \right] \\ &\approx 1.332 \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le paramètre \(\Phi \approx 1.332\).

Question 6 : Calcul du Facteur de Réduction (\(\chi_z\))

Formule(s) utilisée(s) :
\[\chi_z = \frac{1}{\Phi + \sqrt{\Phi^2 - \bar{\lambda}_z^2}} \leq 1.0\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \chi_z &= \frac{1}{1.332 + \sqrt{(1.332)^2 - (1.157)^2}} \\ &= \frac{1}{1.332 + \sqrt{1.7742 - 1.3386}} \\ &= \frac{1}{1.332 + \sqrt{0.4356}} \\ &= \frac{1}{1.332 + 0.66} \\ &= \frac{1}{1.992} \\ &\approx 0.502 \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le facteur de réduction est \(\chi_z \approx 0.502\).

Question 7 : Résistance au Flambement de Calcul (\(N_{b,Rd}\))

Principe :

La résistance au flambement est le produit du facteur de réduction, de l'aire de la section et de la limite d'élasticité de l'acier, divisé par le coefficient de sécurité \(\gamma_{M1}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[N_{b,Rd} = \frac{\chi_z \cdot A \cdot f_y}{\gamma_{M1}}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} N_{b,Rd} &= \frac{0.502 \cdot 5380 \, \text{mm}^2 \cdot 275 \, \text{N/mm}^2}{1.0} \\ &= 0.502 \cdot 1479500 \, \text{N} \\ &\approx 742709 \, \text{N} \\ &\approx 742.71 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La résistance au flambement est \(N_{b,Rd} \approx 742.71 \, \text{kN}\).

Question 8 : Vérification de la Stabilité du Poteau

Principe :

On compare l'effort normal de compression de calcul (\(N_{\text{Ed}}\)) à la résistance au flambement de calcul (\(N_{b,Rd}\)).

Condition :
\[N_{\text{Ed}} \leq N_{b,Rd}\]
Vérification :
\[500 \, \text{kN} \leq 742.71 \, \text{kN} \quad (\text{OK})\]

Le taux de travail est \(\frac{500}{742.71} \approx 0.673\) (soit 67.3%).

Résultat Question 8 : Le poteau HEA 200 est stable et résiste à la charge de calcul.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le flambement est un phénomène de :

2. Un élancement élevé (\(\lambda\)) signifie que le poteau est :

3. Le facteur de réduction \(\chi\) est toujours :

Glossaire

Flambement
Phénomène d'instabilité par flexion latérale d'un élément comprimé axialement.
Longueur de flambement (\(L_{\text{cr}}\))
Longueur d'un poteau équivalent bi-articulé qui aurait la même charge critique. Elle dépend de la longueur réelle et des conditions d'appui.
Élancement (\(\lambda\))
Rapport sans dimension entre la longueur de flambement et le rayon de giration, mesurant la "minceur" d'un poteau.
Élancement réduit (\(\bar{\lambda}\))
Élancement normalisé qui prend en compte les propriétés de l'acier (\(f_y, E\)) pour permettre l'utilisation des courbes de flambement européennes.
Courbe de flambement
Courbe (a0, a, b, c, d) qui relie l'élancement réduit au facteur de réduction pour tenir compte des imperfections.
Vérification au Flambement d'un Poteau - Exercice d'Application

D’autres exercices de Structure Métallique:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *