EGC

Effort Tranchant et du Moment Fléchissant

Effort Tranchant et Moment Fléchissant en RdM

Effort Tranchant et Moment Fléchissant d'une Poutre

Contexte : Comment une poutre résiste-t-elle aux charges ?

Lorsqu'une poutre est soumise à des charges, des efforts internes se développent en chaque point de sa structure pour maintenir l'équilibre. Ces efforts sont de deux types principaux : l'effort tranchantL'effort tranchant (V) en un point est la somme algébrique de toutes les forces verticales agissant à gauche (ou à droite) de ce point. Il représente la tendance de la poutre à cisailler ou à "glisser" verticalement., qui représente la tendance au cisaillement, et le moment fléchissantLe moment fléchissant (M) en un point est la somme algébrique des moments de toutes les forces agissant à gauche (ou à droite) de ce point. Il représente la tendance de la poutre à fléchir ou à se courber., qui représente la tendance à la flexion. La détermination de ces efforts et le traçage de leurs diagrammes sont des étapes fondamentales pour le dimensionnement et la vérification de la sécurité de n'importe quel élément de structure (poutre, plancher, etc.).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers le calcul complet des efforts internes dans une poutre sur appuis simples, soumise à la fois à une charge uniformément répartie (comme son poids propre ou une charge de neige) et à une charge ponctuelle (comme un poteau reposant sur la poutre). C'est un cas d'étude classique et essentiel en génie civil.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les réactions d'appuis pour une poutre avec charges multiples.
  • Établir les équations de l'effort tranchant \(V(x)\) et du moment fléchissant \(M(x)\) par sections.
  • Tracer et interpréter le Diagramme d'Effort Tranchant (DET).
  • Tracer et interpréter le Diagramme de Moment Fléchissant (DMF).
  • Identifier la position et la valeur du moment fléchissant maximal, un critère clé pour le dimensionnement.

Données de l'étude

On étudie une poutre isostatique de longueur L = 8 m, reposant sur un appui simple en A (x=0) et un appui articulé en B (x=8 m). La poutre est soumise à une charge uniformément répartie \(q = 10 \, \text{kN/m}\) sur toute sa longueur et à une charge ponctuelle \(P = 20 \, \text{kN}\) appliquée à x=2 m.

Schéma de la poutre et de son chargement
A B q = 10 kN/m P = 20 kN 2 m L = 8 m

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appuis en A et B.
  2. Établir les équations de l'effort tranchant V(x) et du moment fléchissant M(x) sur les tronçons [0m ; 2m] et [2m ; 8m].
  3. Tracer le diagramme de l'effort tranchant (DET).
  4. Tracer le diagramme du moment fléchissant (DMF).
  5. Déterminer la valeur et la position du moment fléchissant maximal.

Correction : Effort Tranchant et Moment Fléchissant d'une Poutre

Question 1 : Calculer les réactions d'appuis

Principe (le concept physique)

La poutre est un corps rigide en équilibre. Pour que cet équilibre soit maintenu, la somme de toutes les forces externes (charges appliquées et réactions d'appuis) doit être nulle, et la somme de leurs moments par rapport à n'importe quel point doit également être nulle. C'est l'application du Principe Fondamental de la Statique (PFS).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le PFS nous fournit trois équations pour un problème 2D : \(\sum F_x = 0\), \(\sum F_y = 0\), et \(\sum M_{/P} = 0\). Comme il n'y a pas de forces horizontales appliquées, la réaction \(A_x\) est nulle. Il nous reste deux inconnues (\(A_y, B_y\)) et deux équations utiles (\(\sum F_y = 0, \sum M = 0\)). Le système est donc isostatique et peut être résolu.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Toujours commencer par calculer les réactions d'appuis. C'est le point de départ de toute analyse de poutre. Une erreur à ce stade invalidera tous les calculs suivants.

Astuce (pour aller plus vite)

Astuce : Pour calculer une réaction, faites la somme des moments par rapport à l'autre appui. Pour trouver \(B_y\), calculez les moments en A. Cela élimine l'inconnue \(A_y\) de l'équation. De plus, la charge répartie \(q\) peut être remplacée par une force équivalente \(Q = q \times L\) appliquée au milieu de la longueur sur laquelle elle agit.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des réactions d'appuis est la première étape de toute note de calcul de structure, conformément aux exigences des Eurocodes. Ces réactions sont ensuite utilisées pour dimensionner les fondations et les éléments d'appui.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est parfaitement rigide, que les déformations sont faibles, et que le poids propre de la poutre est inclus dans la charge répartie q.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équilibre des moments par rapport à A :

\[ \sum M_{/A} = 0 \]

Équilibre des forces verticales :

\[ \sum F_y = 0 \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge répartie : \(q = 10 \, \text{kN/m}\)
  • Charge ponctuelle : \(P = 20 \, \text{kN}\) à \(x=2 \, \text{m}\)
  • Longueur de la poutre : \(L = 8 \, \text{m}\)
Schéma avant calcul
Diagramme de Corps Libre (DCL) de la poutre
P = 20 kN q = 10 kN/m A_y ? B_y ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Force équivalente à la charge répartie :

\[ Q = q \times L = 10 \, \text{kN/m} \times 8 \, \text{m} = 80 \, \text{kN} \]

Calcul de la réaction verticale \(B_y\) :

\[ \begin{aligned} \sum M_{/A} = 0 &\Rightarrow (B_y \times 8) - (P \times 2) - (Q \times 4) = 0 \\ 8 B_y &= (20 \times 2) + (80 \times 4) \\ &= 40 + 320 \\ &= 360 \\ \Rightarrow B_y &= \frac{360}{8} = 45 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Calcul de la réaction verticale \(A_y\) :

\[ \begin{aligned} \sum F_y = 0 &\Rightarrow A_y + B_y - P - Q = 0 \\ A_y &= P + Q - B_y \\ &= 20 + 80 - 45 \\ &= 55 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma après calcul
DCL avec réactions calculées
20 kN 10 kN/m A_y = 55 kN B_y = 45 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La réaction en A (55 kN) est plus grande que celle en B (45 kN). C'est logique car la charge ponctuelle P est plus proche de l'appui A, qui doit donc "supporter" une plus grande partie de cette charge en plus de sa part de la charge répartie.

Point à retenir : La somme des réactions d'appuis (\(55+45=100\)) doit toujours être égale à la somme des charges appliquées (\(20+80=100\)). C'est une excellente façon de vérifier rapidement son calcul.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est indispensable car elle transforme un problème avec des appuis (liaisons) en un problème de statique avec uniquement des forces connues. Sans connaître ces réactions, il serait impossible d'étudier l'équilibre des sections internes de la poutre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreurs de signe et de bras de levier : L'erreur la plus commune est de se tromper dans le signe d'un moment (horaire vs anti-horaire) ou d'utiliser un mauvais bras de levier (ex: oublier que la force équivalente Q s'applique au milieu de la poutre).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de remplacer une charge répartie par une force équivalente est une application du calcul du centre de masse (ou centroïde). Pour une charge uniforme, ce centre est simplement au milieu. Pour une charge triangulaire, il serait au tiers de la base.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'appui en A est un appui simple et celui en B un appui articulé ?

Pour qu'une poutre soit stable (isostatique), elle doit être bloquée en translation horizontale et verticale, mais libre de tourner à ses appuis. Un appui articulé (pivot) bloque les deux translations (X et Y). Un appui simple (rouleau) ne bloque que la translation verticale (Y). Cette combinaison (un de chaque) est la plus courante car elle empêche la poutre de bouger tout en lui permettant de se dilater ou de se contracter librement horizontalement avec les changements de température, évitant ainsi la création de contraintes thermiques.

Résultat Final : Les réactions d'appuis sont \(A_y = 55 \, \text{kN}\) et \(B_y = 45 \, \text{kN}\).

À vous de jouer : Quelle serait la valeur de \(A_y\) (en kN) si la charge P était appliquée au milieu de la poutre (x=4m) ?

Question 2 : Équations de V(x) et M(x)

Principe (le concept physique)

On utilise la méthode des coupures. On effectue une coupe imaginaire à une distance \(x\) de l'origine et on écrit l'équilibre de la section de poutre située à gauche de la coupe. L'effort tranchant \(V(x)\) est la somme des forces verticales sur cette section, et le moment fléchissant \(M(x)\) est la somme des moments au point de coupe.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les équations changent à chaque fois qu'une discontinuité de charge apparaît (appui, charge ponctuelle, début/fin de charge répartie). C'est pourquoi nous devons définir deux ensembles d'équations : un pour le tronçon avant la charge P, et un autre pour le tronçon après.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Soyez très méthodique. Pour chaque tronçon, dessinez le diagramme de corps libre de la partie gauche, incluez toutes les forces (réactions, charges) et les efforts internes V et M à la coupure. Appliquez ensuite rigoureusement les équations d'équilibre.

Astuce (pour aller plus vite)

Astuce : Pour vérifier vos équations, calculez les valeurs aux points de jonction. Par exemple, M(x) à x=2m doit donner le même résultat avec l'équation du tronçon 1 et celle du tronçon 2. V(x) à x=2m doit présenter un "saut" égal à la charge P (V juste avant - V juste après = P).

Normes (la référence réglementaire)

Les conventions de signe pour V et M sont cruciales. Les Eurocodes définissent généralement un effort tranchant positif s'il tend à faire tourner la section dans le sens horaire, et un moment positif s'il tend à courber la poutre avec la concavité vers le haut (créant de la traction dans la fibre inférieure).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise la convention de signe où V est positif vers le bas et M est positif dans le sens anti-horaire sur la face droite de la coupure.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Effort tranchant à gauche de la coupure :

\[ V(x) = \sum F_{y, \text{gauche}} \]

Moment fléchissant à gauche de la coupure :

\[ M(x) = \sum M_{/x, \text{gauche}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Réaction d'appui : \(A_y = 55 \, \text{kN}\)
  • Charge répartie : \(q = 10 \, \text{kN/m}\)
  • Charge ponctuelle : \(P = 20 \, \text{kN}\) à \(x=2 \, \text{m}\)
Schéma avant calcul
Schéma de la coupure pour les deux tronçons
Tronçon 1 (0 < x < 2) x x A_y V(x) M(x) Tronçon 2 (2 < x < 8) x x A_y P V(x) M(x)
Calcul(s) (l'application numérique)

Tronçon 1 : \(0 \le x \le 2 \, \text{m}\)

Équation de l'effort tranchant V(x) :

\[ V(x) = A_y - qx = 55 - 10x \]

Équation du moment fléchissant M(x) :

\[ M(x) = A_y x - q \frac{x^2}{2} = 55x - 5x^2 \]

Tronçon 2 : \(2 \le x \le 8 \, \text{m}\)

Équation de l'effort tranchant V(x) :

\[ V(x) = A_y - P - qx = 55 - 20 - 10x = 35 - 10x \]

Équation du moment fléchissant M(x) :

\[ \begin{aligned} M(x) &= A_y x - P(x-2) - q \frac{x^2}{2} \\ &= 55x - 20(x-2) - 5x^2 \\ &= 55x - 20x + 40 - 5x^2 \\ &= -5x^2 + 35x + 40 \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

On obtient des équations différentes pour chaque tronçon. L'équation de V(x) est linéaire (degré 1) car la charge est constante (degré 0). L'équation de M(x) est parabolique (degré 2) car V(x) est linéaire. C'est une vérification importante de la cohérence des résultats.

Point à retenir : Une nouvelle équation est nécessaire à chaque fois qu'une discontinuité de charge est rencontrée le long de la poutre.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

L'établissement de ces équations est le cœur de l'analyse. Elles décrivent mathématiquement l'état des efforts internes en tout point de la poutre, ce qui permet ensuite de tracer les diagrammes et de trouver les valeurs maximales pour le dimensionnement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Bras de levier pour M(x) : Une erreur fréquente est le calcul du bras de levier. Le moment de la réaction \(A_y\) est \(A_y \cdot x\). Le moment de la charge ponctuelle P est \(P \cdot (x-2)\) (elle n'agit que si x > 2). Le moment de la charge répartie sur une longueur x est \((qx) \cdot (x/2) = qx^2/2\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les relations \(V = dM/dx\) et \(q = -dV/dx\) sont fondamentales et ont été établies par l'ingénieur et physicien français Adhémar Jean-Claude Barré de Saint-Venant au 19ème siècle. Elles forment la base de la théorie des poutres.

FAQ (pour lever les doutes)
Dois-je toujours faire la coupure depuis la gauche ?

Non, vous pouvez faire la coupure et isoler la partie droite. Les résultats seront identiques. C'est parfois plus simple si la partie droite a moins de charges. Cependant, il faut être très rigoureux avec les conventions de signe, qui sont inversées pour la partie droite.

Résultat Final : Les équations des efforts internes ont été établies pour chaque tronçon de la poutre.

Question 3 : Tracer le diagramme de l'effort tranchant (DET)

Principe (le concept physique)

Le Diagramme d'Effort Tranchant (DET) est la représentation graphique de la fonction V(x). Il permet de visualiser instantanément comment l'effort de cisaillement varie le long de la poutre et d'identifier les zones où il est le plus critique.

Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule les valeurs de V(x) aux points clés pour pouvoir tracer le diagramme :

À x = 0 m (début de la poutre) :

\[ V(0) = 55 - 10(0) = 55 \, \text{kN} \]

Juste avant la charge P (à x = 2⁻ m) :

\[ V(2^-) = 55 - 10(2) = 35 \, \text{kN} \]

Juste après la charge P (à x = 2⁺ m), on utilise l'équation du 2ème tronçon :

\[ V(2^+) = 35 - 10(2) = 15 \, \text{kN} \]

À x = 8 m (fin de la poutre) :

\[ V(8) = 35 - 10(8) = -45 \, \text{kN} \]
Schéma après calcul
Diagramme d'Effort Tranchant (DET)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le diagramme est une ligne droite décroissante sur chaque tronçon. On observe un "saut" de \(35 - 15 = 20 \, \text{kN}\) à x=2m, ce qui correspond exactement à la charge ponctuelle P. Le diagramme commence à \(V(0)=A_y=55 \, \text{kN}\) et se termine à \(V(8)=-B_y=-45 \, \text{kN}\), ce qui confirme nos calculs.

Question 4 : Tracer le diagramme du moment fléchissant (DMF)

Principe (le concept physique)

Le Diagramme de Moment Fléchissant (DMF) est la représentation graphique de la fonction M(x). C'est l'outil le plus important pour le dimensionnement en flexion, car il montre directement où la poutre se courbe le plus et où les contraintes de traction et de compression seront maximales.

Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule les valeurs de M(x) aux points clés pour pouvoir tracer le diagramme :

À x = 0 m (appui simple, moment nul) :

\[ M(0) = 55(0) - 5(0)^2 = 0 \, \text{kN.m} \]

À x = 2 m (sous la charge P) :

\[ \begin{aligned} M(2) &= 55(2) - 5(2)^2 \\ &= 110 - 20 \\ &= 90 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]

À x = 8 m (appui simple, moment nul) :

\[ \begin{aligned} M(8) &= -5(8)^2 + 35(8) + 40 \\ &= -320 + 280 + 40 \\ &= 0 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
Schéma après calcul
Diagramme de Moment Fléchissant (DMF)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le diagramme est une courbe parabolique qui commence et se termine à zéro, ce qui est attendu pour une poutre sur appuis simples. La pente de la courbe change à x=2m, ce qui correspond au changement de pente dans le DET. Le moment est toujours positif, indiquant que la poutre fléchit vers le bas et que la fibre inférieure est en traction sur toute la longueur.

Question 5 : Moment Fléchissant Maximal

Principe (le concept physique)

Le moment fléchissant est maximal lorsque sa dérivée est nulle. Or, nous savons que \( \frac{dM}{dx} = V(x) \). Le moment maximal se situe donc à l'endroit où l'effort tranchant \(V(x)\) s'annule (passe par zéro).

Astuce (pour aller plus vite)

Astuce : Une fois le DET tracé, il suffit de repérer visuellement où la courbe coupe l'axe des abscisses (où V=0). C'est à cette position x que se trouvera le moment maximal. Cela évite de devoir dériver l'équation du moment ; on résout simplement V(x)=0.

Calcul(s) (l'application numérique)

Recherche de la position x où V(x) = 0 :

\[ V(x) = 35 - 10x = 0 \Rightarrow x = \frac{35}{10} = 3.5 \, \text{m} \]

Calcul de la valeur du moment maximal M_max :

\[ \begin{aligned} M_{\text{max}} = M(3.5) &= -5(3.5)^2 + 35(3.5) + 40 \\ &= -5(12.25) + 122.5 + 40 \\ &= -61.25 + 122.5 + 40 \\ &= 101.25 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
Résultat Final : Le moment fléchissant maximal est \(M_{\text{max}} = 101.25 \, \text{kN.m}\) et il est situé à \(x = 3.5 \, \text{m}\) de l'appui A.

Outil Interactif : Simulateur de Poutre

Modifiez les charges pour voir leur influence sur les diagrammes et le moment maximal.

Paramètres d'Entrée
10 kN/m
20 kN
Résultats Clés
Réaction \(A_y\) (kN) -
Réaction \(B_y\) (kN) -
Moment Max (\(M_{\text{max}}\)) (kN.m) -
Position de \(M_{\text{max}}\) (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'effort tranchant est constant et non nul sur un tronçon de poutre, le moment fléchissant est :

2. Le moment fléchissant maximal dans une poutre sur appuis simples se trouve toujours :

Effort Tranchant (V)
Effort interne qui tend à faire glisser verticalement les sections d'une poutre les unes par rapport aux autres. Il est la résultante des forces verticales.
Moment Fléchissant (M)
Effort interne qui tend à courber la poutre. Il est la résultante des moments des forces et est maximal là où les contraintes de traction/compression sont les plus fortes.
Charge Répartie (q)
Une charge qui s'exerce sur une longueur de la poutre, mesurée en force par unité de longueur (ex: kN/m).
Fondamentaux du Génie Civil : Flexion des Poutres

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