Calcul de la Contrainte Maximale de Flexion

Comprendre la Contrainte de Flexion

Lorsqu'une poutre est soumise à un moment fléchissant \(M\), des contraintes normales (traction et compression) apparaissent dans sa section droite. Ces contraintes, appelées contraintes de flexion, varient linéairement en fonction de la distance \(y\) à la fibre neutre (l'axe passant par le centre de gravité de la section où la contrainte est nulle) et sont maximales aux fibres les plus éloignées. La formule fondamentale de la flexion est \(\sigma = \frac{M y}{I}\), où \(I\) est le moment quadratique (ou moment d'inertie) de la section par rapport à l'axe de flexion.

Données

Une poutre droite de section rectangulaire est simplement appuyée à ses extrémités A et B. Elle est soumise à une charge ponctuelle \(F\) appliquée en son milieu.

Géométrie et Appuis :
- Longueur de la poutre (distance entre appuis A et B) : \(L = 2 \, \text{m}\)
- Section droite : Rectangulaire, de base \(b = 50 \, \text{mm}\) et de hauteur \(h = 100 \, \text{mm}\)
- Appuis : Appuis simples en A et B (permettent la rotation, bloquent la translation verticale)
Charge Appliquée :
- Charge ponctuelle \(F = 5 \, \text{kN}\) appliquée à \(L/2 = 1 \, \text{m}\) de l'appui A.
Matériau :
- On suppose un matériau homogène et isotrope, avec un comportement élastique linéaire.

Schéma de la Poutre et de sa Section

Questions

Calculer le moment fléchissant maximal (\(M_{\text{max}}\)) dans la poutre. Préciser sa position.
Calculer le moment quadratique (moment d'inertie) \(I_z\) de la section rectangulaire par rapport à l'axe neutre (passant par G).
Calculer la contrainte normale maximale de flexion (\(\sigma_{\text{max}}\)) dans la poutre, en traction et en compression.

Correction : Calcul de la Contrainte Maximale de Flexion

Question 1 : Calcul du Moment Fléchissant Maximal (\(M_{\text{max}}\))

Principe :

Pour une poutre simplement appuyée de longueur \(L\) avec une charge ponctuelle \(F\) appliquée en son milieu, le moment fléchissant est maximal au point d'application de la charge (à \(x = L/2\)).

Les réactions aux appuis A et B sont égales par symétrie : \(R_A = R_B = F/2\).

Le moment fléchissant en un point \(x\) (pour \(0 \le x \le L/2\)) est \(M(x) = R_A \times x\).

Calcul :

Calcul des réactions d'appui :

R_A = R_B = \frac{F}{2} = \frac{5 \, \text{kN}}{2} = 2.5 \, \text{kN}

Le moment maximal se produit à \(x = L/2 = 1 \, \text{m}\) :

M_{\text{max}} = R_A \times \frac{L}{2} = \frac{F}{2} \times \frac{L}{2} = \frac{F L}{4}

Application numérique (attention aux unités, convertissons en N et mm pour la suite) :

F = 5 \, \text{kN} = 5000 \, \text{N}\] \[L = 2 \, \text{m} = 2000 \, \text{mm}\] \[M_{\text{max}} = \frac{5000 \, \text{N} \times 2000 \, \text{mm}}{4} \] \[M_{\text{max}} = 2 \, 500 \, 000 \, \text{N} \cdot \text{mm}

Résultat Question 1 : Le moment fléchissant maximal est \(M_{\text{max}} = 2.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\) (ou \(2.5 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)) et se produit au milieu de la poutre (\(x = 1 \, \text{m}\)).

Question 2 : Calcul du Moment Quadratique (\(I_z\))

Principe :

Le moment quadratique (ou moment d'inertie) d'une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\) par rapport à son axe neutre horizontal (passant par son centre de gravité G) est donné par la formule :

I_z = \frac{b h^3}{12}

Calcul :

Avec \(b = 50 \, \text{mm}\) et \(h = 100 \, \text{mm}\) :

I_z = \frac{50 \, \text{mm} \times (100 \, \text{mm})^3}{12} \] \[I_z = \frac{50 \times 1 \, 000 \, 000}{12} \, \text{mm}^4\] \[I_z = \frac{50 \, 000 \, 000}{12} \, \text{mm}^4 \] \[I_z \approx 4 \, 166 \, 667 \, \text{mm}^4

Résultat Question 2 : Le moment quadratique de la section est \(I_z \approx 4.17 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).

Question 3 : Calcul de la Contrainte Maximale de Flexion (\(\sigma_{\text{max}}\))

Principe :

La contrainte normale de flexion \(\sigma\) en un point situé à une distance \(y\) de la fibre neutre est donnée par :

\sigma = \frac{M y}{I_z}

La contrainte est maximale (en valeur absolue) aux fibres les plus éloignées de l'axe neutre, c'est-à-dire pour \(y = y_{\text{max}}\). Pour une section rectangulaire, \(y_{\text{max}} = h/2\).

Le signe de la contrainte dépend du signe de \(M\) et de \(y\). Conventionnellement :

Moment positif (fibres inférieures tendues) : \(\sigma\) est positive (traction) pour \(y > 0\) (partie inférieure) et négative (compression) pour \(y < 0\) (partie supérieure).
Moment négatif (fibres supérieures tendues) : l'inverse.

Dans notre cas (poutre sur appuis simples, charge vers le bas), le moment \(M_{\text{max}}\) est positif, provoquant une traction en bas et une compression en haut.

\sigma_{\text{max}} = \frac{|M_{\text{max}}| \times y_{\text{max}}}{I_z}

Calcul :

Distance maximale à la fibre neutre :

y_{\text{max}} = \frac{h}{2} = \frac{100 \, \text{mm}}{2} = 50 \, \text{mm}

Calcul de la contrainte maximale (en valeur absolue) :

\sigma_{\text{max}} = \frac{(2.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}) \times (50 \, \text{mm})}{4.166667 \times 10^6 \, \text{mm}^4}\] \[\sigma_{\text{max}} = \frac{125 \times 10^6}{4.166667 \times 10^6} \, \frac{\text{N}}{\text{mm}^2}\] \[\sigma_{\text{max}} = 30 \, \text{N/mm}^2 = 30 \, \text{MPa}

Interprétation :

La contrainte maximale de traction (fibre inférieure, \(y = +h/2\)) est \(\sigma_{\text{traction, max}} = +30 \, \text{MPa}\).
La contrainte maximale de compression (fibre supérieure, \(y = -h/2\)) est \(\sigma_{\text{compression, max}} = -30 \, \text{MPa}\).

Résultat Question 3 : La contrainte normale maximale de flexion dans la poutre est de \(30 \, \text{MPa}\). Elle correspond à une traction de \(+30 \, \text{MPa}\) sur la fibre inférieure et une compression de \(-30 \, \text{MPa}\) sur la fibre supérieure, au niveau de la section médiane où le moment est maximal.