Études de cas pratique

EGC

Effort Tranchant et du Moment Fléchissant

Calcul de l'Effort Tranchant et du Moment Fléchissant

Comprendre l'Effort Tranchant et le Moment Fléchissant

L'effort tranchant (\(V\)) et le moment fléchissant (\(M\)) sont des sollicitations internes cruciales dans le dimensionnement des poutres. L'effort tranchant représente la tendance des forces à cisailler la poutre transversalement, tandis que le moment fléchissant représente la tendance des forces à la faire fléchir ou courber. La détermination de leurs valeurs maximales et de leur distribution le long de la poutre est fondamentale pour vérifier la résistance et la stabilité de la structure.

Données de l'étude

On étudie une poutre simplement appuyée de longueur \(L = 8 \, \text{m}\). Elle est soumise à une charge uniformément répartie \(q = 10 \, \text{kN/m}\) sur les premiers \(4 \, \text{m}\) (de \(x=0\) à \(x=4 \, \text{m}\)) et à une charge ponctuelle \(P = 20 \, \text{kN}\) appliquée à \(x=6 \, \text{m}\).

L'appui A est à \(x=0\) et l'appui B est à \(x=8 \, \text{m}\).

Schéma : Poutre Simplement Appuyée avec Charges Mixtes
A B
\(q = 10 \, \text{kN/m}\)
4 m
\(P\)
20 kN 6 m
\(L=8 \, \text{m}\)
Poutre avec Charges Mixtes

Poutre simplement appuyée avec charge répartie partielle et charge ponctuelle.

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions aux appuis \(R_A\) et \(R_B\).
  2. Établir les équations de l'effort tranchant \(V(x)\) sur les différentes sections de la poutre.
  3. Tracer le diagramme de l'effort tranchant (DET). Indiquer les valeurs aux points clés.
  4. Établir les équations du moment fléchissant \(M(x)\) sur les différentes sections de la poutre.
  5. Tracer le diagramme du moment fléchissant (DMF). Indiquer les valeurs aux points clés, y compris le moment maximal \(M_{max}\) et sa position.
  6. Vérifier si le point où l'effort tranchant est nul (\(V(x)=0\)) correspond à un extremum du moment fléchissant.

Correction : Calcul de l'Effort Tranchant et du Moment Fléchissant

Question 1 : Calcul des Réactions aux Appuis \(R_A\) et \(R_B\)

Principe :

On utilise les équations d'équilibre statique : \(\sum F_y = 0\) et \(\sum M_A = 0\) (somme des moments par rapport à l'appui A).

Calcul :

Charge répartie équivalente : \(Q = q \times 4 \, \text{m} = 10 \, \text{kN/m} \times 4 \, \text{m} = 40 \, \text{kN}\), appliquée au centre de la charge répartie, soit à \(x = 2 \, \text{m}\) de A.

Somme des moments par rapport à A (\(\sum M_A = 0\), sens horaire positif) :

\[ \begin{aligned} (Q \cdot 2 \, \text{m}) + (P \cdot 6 \, \text{m}) - (R_B \cdot 8 \, \text{m}) &= 0 \\ (40 \, \text{kN} \cdot 2 \, \text{m}) + (20 \, \text{kN} \cdot 6 \, \text{m}) - (R_B \cdot 8 \, \text{m}) &= 0 \\ 80 \, \text{kN} \cdot \text{m} + 120 \, \text{kN} \cdot \text{m} &= R_B \cdot 8 \, \text{m} \\ 200 \, \text{kN} \cdot \text{m} &= R_B \cdot 8 \, \text{m} \\ R_B &= \frac{200}{8} \, \text{kN} \\ &= 25 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Somme des forces verticales (\(\sum F_y = 0\), vers le haut positif) :

\[ \begin{aligned} R_A + R_B - Q - P &= 0 \\ R_A + 25 \, \text{kN} - 40 \, \text{kN} - 20 \, \text{kN} &= 0 \\ R_A - 35 \, \text{kN} &= 0 \\ R_A &= 35 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les réactions aux appuis sont \(R_A = 35 \, \text{kN}\) et \(R_B = 25 \, \text{kN}\).

Question 2 : Équations de l'Effort Tranchant \(V(x)\)

Principe :

On définit des sections (coupures) et on écrit l'équilibre des forces verticales à gauche (ou à droite) de la coupure. Convention : effort tranchant positif si les forces à gauche tendent à faire monter la section de droite.

  • Section 1 : \(0 \leq x < 4 \, \text{m}\)
  • Section 2 : \(4 \, \text{m} \leq x < 6 \, \text{m}\)
  • Section 3 : \(6 \, \text{m} < x \leq 8 \, \text{m}\)
Calcul :

Section 1 (\(0 \leq x < 4 \, \text{m}\)) :

\[ \begin{aligned} V(x) &= R_A - qx \\ &= 35 - 10x \quad (\text{kN}) \end{aligned} \]

Section 2 (\(4 \, \text{m} \leq x < 6 \, \text{m}\)) :

\[ \begin{aligned} V(x) &= R_A - Q \\ &= 35 - 40 \\ &= -5 \quad (\text{kN}) \end{aligned} \]

Section 3 (\(6 \, \text{m} < x \leq 8 \, \text{m}\)) :

\[ \begin{aligned} V(x) &= R_A - Q - P \\ &= 35 - 40 - 20 \\ &= -25 \quad (\text{kN}) \end{aligned} \]

Alternativement pour la section 3, en partant de la droite (effort tranchant positif si les forces à droite tendent à faire descendre la section de gauche) : \(V(x) = -R_B = -25 \, \text{kN}\) pour \(6 < x \leq 8\).

Résultat Question 2 :
  • Pour \(0 \leq x < 4 \, \text{m}\) : \(V(x) = 35 - 10x \, \text{kN}\)
  • Pour \(4 \, \text{m} \leq x < 6 \, \text{m}\) : \(V(x) = -5 \, \text{kN}\)
  • Pour \(6 \, \text{m} < x \leq 8 \, \text{m}\) : \(V(x) = -25 \, \text{kN}\)

Question 3 : Diagramme de l'Effort Tranchant (DET)

Principe :

On trace les équations de \(V(x)\) pour chaque section. Les discontinuités apparaissent aux charges ponctuelles et aux changements de charge répartie.

Valeurs aux points clés :
  • À \(x=0^+\) : \(V(0) = 35 \, \text{kN}\)
  • À \(x=4^-\) : \(V(4) = 35 - 10(4) = -5 \, \text{kN}\)
  • À \(x=4^+\) : \(V(4) = -5 \, \text{kN}\) (pas de charge ponctuelle à x=4)
  • À \(x=6^-\) : \(V(6) = -5 \, \text{kN}\)
  • À \(x=6^+\) : \(V(6) = -5 - P = -5 - 20 = -25 \, \text{kN}\)
  • À \(x=8^-\) : \(V(8) = -25 \, \text{kN}\) (vérifie avec \(-R_B\))

\(V_{max,abs} = 35 \, \text{kN}\) à \(x=0\).

Diagramme de l'Effort Tranchant (DET)
x (m) V (kN) 0 4 6 8 35 0 -5 -25
Résultat Question 3 : Le DET est tracé ci-dessus. \(V_{max} = 35 \, \text{kN}\) (à \(x=0\)).

Question 4 : Équations du Moment Fléchissant \(M(x)\)

Principe :

On intègre \(V(x)\) ou on fait une coupure et on écrit l'équilibre des moments. \(M(x) = \int V(x) dx\). Convention : moment positif si la poutre est "souriante" (fibres inférieures tendues).

Calcul :

Section 1 (\(0 \leq x < 4 \, \text{m}\)) :

\[ \begin{aligned} M(x) &= \int (35 - 10x) dx \\ &= 35x - 5x^2 + C_1 \end{aligned} \] \[M(0) = 0 \Rightarrow C_1 = 0 \Rightarrow M(x) = 35x - 5x^2 \quad (\text{kN} \cdot \text{m})\]

Section 2 (\(4 \, \text{m} \leq x < 6 \, \text{m}\)) :

\[ \begin{aligned} M(x) &= \int (-5) dx \\ &= -5x + C_2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} M(4) &= 35(4) - 5(4)^2 \\ &= 140 - 80 \\ &= 60 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \] \[-5(4) + C_2 = 60 \Rightarrow -20 + C_2 = 60 \Rightarrow C_2 = 80\] \[M(x) = -5x + 80 \quad (\text{kN} \cdot \text{m})\]

Section 3 (\(6 \, \text{m} < x \leq 8 \, \text{m}\)) :

\[ \begin{aligned} M(x) &= \int (-25) dx \\ &= -25x + C_3 \end{aligned} \]

Ou en partant de la droite (moment positif si fibres inférieures tendues) : \(M(x) = R_B (8-x)\) pour \(6 < x \leq 8\).

\[M(8) = 0 \Rightarrow -25(8) + C_3 = 0 \Rightarrow -200 + C_3 = 0 \Rightarrow C_3 = 200\] \[M(x) = -25x + 200 \quad (\text{kN} \cdot \text{m})\]
Résultat Question 4 :
  • Pour \(0 \leq x < 4 \, \text{m}\) : \(M(x) = 35x - 5x^2 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Pour \(4 \, \text{m} \leq x < 6 \, \text{m}\) : \(M(x) = -5x + 80 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Pour \(6 \, \text{m} < x \leq 8 \, \text{m}\) : \(M(x) = -25x + 200 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)

Question 5 : Diagramme du Moment Fléchissant (DMF)

Principe :

On trace les équations de \(M(x)\). Le moment est nul aux appuis simples. Le maximum se produit où \(V(x)=0\) (si la fonction est continue et dérivable).

Valeurs aux points clés :
  • \(M(0) = 0\)
  • \(M(4) = 35(4) - 5(4)^2 = 140 - 80 = 60 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • \(M(6) = -5(6) + 80 = -30 + 80 = 50 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) (valeur juste avant la charge P)
  • Vérification pour \(x=6\) avec l'autre équation : \(M(6) = -25(6) + 200 = -150 + 200 = 50 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) (continuité)
  • \(M(8) = -25(8) + 200 = -200 + 200 = 0\)

Point où \(V(x)=0\) : Dans la section 1, \(35 - 10x = 0 \Rightarrow 10x = 35 \Rightarrow x = 3.5 \, \text{m}\).

Moment à \(x=3.5 \, \text{m}\) :

\[ \begin{aligned} M(3.5) &= 35(3.5) - 5(3.5)^2 \\ &= 122.5 - 5(12.25) \\ &= 122.5 - 61.25 \\ &= 61.25 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

Donc, \(M_{max} = 61.25 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) à \(x=3.5 \, \text{m}\).

Diagramme du Moment Fléchissant (DMF)
x (m) M (kNm) 0 3.5 4 6 8 0 60 50 61.25
Résultat Question 5 : Le DMF est tracé ci-dessus. \(M_{max} = 61.25 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) à \(x=3.5 \, \text{m}\).

Question 6 : Vérification de la Relation \(V(x) = dM(x)/dx\)

Principe :

La dérivée du moment fléchissant par rapport à x doit être égale à l'effort tranchant.

Calcul :

Section 1 (\(0 \leq x < 4 \, \text{m}\)) :

\[ M(x) = 35x - 5x^2 \Rightarrow \begin{aligned}[t] \frac{dM}{dx} &= 35 - 10x \\ &= V(x) \quad (\text{OK}) \end{aligned} \]

Section 2 (\(4 \, \text{m} \leq x < 6 \, \text{m}\)) :

\[ M(x) = -5x + 80 \Rightarrow \begin{aligned}[t] \frac{dM}{dx} &= -5 \\ &= V(x) \quad (\text{OK}) \end{aligned} \]

Section 3 (\(6 \, \text{m} < x \leq 8 \, \text{m}\)) :

\[ M(x) = -25x + 200 \Rightarrow \begin{aligned}[t] \frac{dM}{dx} &= -25 \\ &= V(x) \quad (\text{OK}) \end{aligned} \]

Le point où \(V(x)=0\) (à \(x=3.5 \, \text{m}\)) correspond bien à un extremum (maximum dans ce cas) du moment fléchissant, car la dérivée de \(M(x)\) s'annule en ce point.

Résultat Question 6 : La relation \(V(x) = dM(x)/dx\) est vérifiée pour toutes les sections. Le point où \(V(x)=0\) correspond bien à \(M_{max}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le diagramme de l'effort tranchant \(V(x)\) est constant sur une section, le diagramme du moment fléchissant \(M(x)\) sur cette même section sera :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

7. Un moment fléchissant positif indique généralement que :

8. Une charge ponctuelle appliquée sur une poutre provoque :

9. Si \(M(x) = -Ax^2 + Bx + C\), alors \(V(x)\) est :

Glossaire

Effort Tranchant (\(V\))
Sollicitation interne résultant des forces transversales agissant sur une section d'une poutre, tendant à faire glisser une partie de la section par rapport à l'autre.
Moment Fléchissant (\(M\))
Sollicitation interne résultant des forces externes qui tendent à courber ou fléchir une poutre.
Diagramme de l'Effort Tranchant (DET ou SFD)
Représentation graphique de la variation de l'effort tranchant le long de la poutre.
Diagramme du Moment Fléchissant (DMF ou BMD)
Représentation graphique de la variation du moment fléchissant le long de la poutre.
Réactions d'Appui
Forces (et/ou moments) exercées par les appuis sur la structure pour la maintenir en équilibre sous l'effet des charges appliquées.
Poutre Simplement Appuyée
Poutre reposant sur deux appuis simples (un articulé, un à rouleau) qui permettent la rotation mais pas (ou peu) de déplacement vertical.
Charge Uniformément Répartie (q)
Charge d'intensité constante agissant sur une longueur donnée de la poutre (exprimée en force par unité de longueur, comme kN/m).
Charge Ponctuelle (P)
Charge concentrée agissant en un point spécifique de la poutre.
Calcul de l'Effort Tranchant et du Moment Fléchissant - Exercice d'Application

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