Études de cas pratique

EGC

Écoulement Irrotationnel Autour d’un Cylindre

Écoulement Irrotationnel Autour d’un Cylindre

Écoulement Irrotationnel Autour d’un Cylindre

Comprendre l'Écoulement Irrotationnel Autour d’un Cylindre

L'étude de l'écoulement d'un fluide parfait (non visqueux et incompressible) autour d'un cylindre infini est un cas classique en mécanique des fluides. Cet écoulement est dit irrotationnel si le rotationnel du champ de vitesse est nul. Il peut être décrit à l'aide d'un potentiel des vitesses \(\Phi\) ou d'une fonction de courant \(\Psi\). Cette analyse permet de déterminer la distribution des vitesses et des pressions autour de l'obstacle, bien qu'elle mène au paradoxe de D'Alembert (résistance nulle) en raison de la négligence de la viscosité.

Données de l'étude

On considère un écoulement bidimensionnel, stationnaire, incompressible et irrotationnel d'un fluide parfait autour d'un cylindre de rayon \(R\). L'écoulement non perturbé loin en amont a une vitesse uniforme \(U_\infty\) parallèle à l'axe des \(x\).

Caractéristiques du fluide et de l'écoulement :

  • Vitesse de l'écoulement uniforme en amont : \(U_\infty\)
  • Rayon du cylindre : \(R\)
  • Masse volumique du fluide : \(\rho\)
  • Pression en amont (loin du cylindre) : \(p_\infty\)
  • Coordonnées polaires : \((r, \theta)\), avec \(r\) la distance radiale à l'axe du cylindre et \(\theta\) l'angle par rapport à la direction de \(U_\infty\).
Schéma : Écoulement autour d'un cylindre
U∞ P.A. P.A. Écoulement autour d'un cylindre

Représentation schématique de l'écoulement irrotationnel autour d'un cylindre avec indication de la vitesse amont et des points d'arrêt.

Questions à traiter

  1. Donner l'expression du potentiel des vitesses \(\Phi(r, \theta)\) pour cet écoulement.
  2. En déduire l'expression de la fonction de courant \(\Psi(r, \theta)\).
  3. Calculer les composantes radiale (\(v_r\)) et tangentielle (\(v_\theta\)) de la vitesse du fluide.
  4. Déterminer la vitesse à la surface du cylindre (\(V_s(\theta)\) pour \(r=R\)).
  5. Identifier les positions angulaires (\(\theta\)) des points d'arrêt sur le cylindre.
  6. En utilisant l'équation de Bernoulli, déterminer l'expression du coefficient de pression \(C_p(\theta)\) à la surface du cylindre.
  7. Discuter brièvement du paradoxe de D'Alembert.

Correction : Écoulement Irrotationnel Autour d’un Cylindre

Question 1 : Potentiel des vitesses \(\Phi(r, \theta)\)

Principe :

Pour un écoulement irrotationnel autour d'un cylindre, le potentiel des vitesses \(\Phi\) est la somme du potentiel d'un écoulement uniforme et du potentiel d'un doublet. La condition de non-pénétration à la surface du cylindre (\(v_r = 0\) pour \(r=R\)) permet de déterminer les constantes.

Formule(s) utilisée(s) :

L'expression générale pour l'écoulement d'un fluide parfait autour d'un cylindre est :

\[\Phi(r, \theta) = U_\infty r \cos\theta + \frac{A}{r} \cos\theta \]

La condition \(v_r = \frac{\partial\Phi}{\partial r} = 0\) à \(r=R\) donne \(A = U_\infty R^2\).

Calcul :

En substituant \(A = U_\infty R^2\), on obtient :

\[ \begin{aligned} \Phi(r, \theta) &= U_\infty r \cos\theta + \frac{U_\infty R^2}{r} \cos\theta \\ &= U_\infty \left(r + \frac{R^2}{r}\right) \cos\theta \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le potentiel des vitesses est \(\Phi(r, \theta) = U_\infty \left(r + \frac{R^2}{r}\right) \cos\theta\).

Question 2 : Fonction de courant \(\Psi(r, \theta)\)

Principe :

La fonction de courant \(\Psi\) est reliée au potentiel des vitesses \(\Phi\) par les relations de Cauchy-Riemann en coordonnées polaires. Alternativement, elle peut être construite comme la somme de la fonction de courant d'un écoulement uniforme et de celle d'un doublet.

Relations : \(v_r = \frac{1}{r}\frac{\partial\Psi}{\partial\theta}\) et \(v_\theta = -\frac{\partial\Psi}{\partial r}\). Aussi, \(v_r = \frac{\partial\Phi}{\partial r}\) et \(v_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}\).

Formule(s) utilisée(s) :

L'expression générale pour la fonction de courant est :

\[\Psi(r, \theta) = U_\infty r \sin\theta - \frac{B}{r} \sin\theta \]

La condition que la surface du cylindre (\(r=R\)) soit une ligne de courant (\(\Psi(R, \theta) = \text{constante}\), souvent prise égale à zéro) permet de déterminer \(B = U_\infty R^2\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \Psi(r, \theta) &= U_\infty r \sin\theta - \frac{U_\infty R^2}{r} \sin\theta \\ &= U_\infty \left(r - \frac{R^2}{r}\right) \sin\theta \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La fonction de courant est \(\Psi(r, \theta) = U_\infty \left(r - \frac{R^2}{r}\right) \sin\theta\).

Question 3 : Composantes de la vitesse (\(v_r, v_\theta\))

Principe :

Les composantes de la vitesse sont obtenues en dérivant le potentiel des vitesses \(\Phi\) par rapport aux coordonnées polaires \(r\) et \(\theta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_r = \frac{\partial\Phi}{\partial r} \quad , \quad v_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}\]
Calcul :

Composante radiale \(v_r\):

\[ \begin{aligned} v_r &= \frac{\partial}{\partial r} \left[ U_\infty \left(r + \frac{R^2}{r}\right) \cos\theta \right] \\ &= U_\infty \left(1 - \frac{R^2}{r^2}\right) \cos\theta \end{aligned} \]

Composante tangentielle \(v_\theta\):

\[ \begin{aligned} v_\theta &= \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial\theta} \left[ U_\infty \left(r + \frac{R^2}{r}\right) \cos\theta \right] \\ &= \frac{1}{r} U_\infty \left(r + \frac{R^2}{r}\right) (-\sin\theta) \\ &= -U_\infty \left(1 + \frac{R^2}{r^2}\right) \sin\theta \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Les composantes de la vitesse sont :
  • \(v_r(r, \theta) = U_\infty \left(1 - \frac{R^2}{r^2}\right) \cos\theta\)
  • \(v_\theta(r, \theta) = -U_\infty \left(1 + \frac{R^2}{r^2}\right) \sin\theta\)

Question 4 : Vitesse à la surface du cylindre (\(V_s(\theta)\))

Principe :

On évalue les composantes de la vitesse pour \(r=R\). La vitesse radiale doit être nulle à la surface (condition de non-pénétration).

Calcul :

Pour \(r=R\):

\[ v_r(R, \theta) = U_\infty \left(1 - \frac{R^2}{R^2}\right) \cos\theta = U_\infty (1-1)\cos\theta = 0 \]
\[ v_\theta(R, \theta) = -U_\infty \left(1 + \frac{R^2}{R^2}\right) \sin\theta = -U_\infty (1+1)\sin\theta = -2 U_\infty \sin\theta \]

La magnitude de la vitesse à la surface est \(V_s(\theta) = \sqrt{v_r^2 + v_\theta^2} = |v_\theta(R, \theta)|\). Par convention, on note souvent \(V_s(\theta) = v_\theta(R, \theta)\) en gardant le signe pour indiquer la direction.

\[ V_s(\theta) = -2 U_\infty \sin\theta \]
Résultat Question 4 : La vitesse à la surface du cylindre est \(V_s(\theta) = -2 U_\infty \sin\theta\). (La composante radiale est nulle).

Quiz Intermédiaire 1 : Où la vitesse tangentielle à la surface du cylindre est-elle maximale en magnitude ?

Question 5 : Points d'arrêt

Principe :

Les points d'arrêt sont les points où la vitesse du fluide est nulle. Sur la surface du cylindre, cela signifie \(V_s(\theta) = 0\).

Calcul :
\[ V_s(\theta) = -2 U_\infty \sin\theta = 0 \]

Puisque \(U_\infty \neq 0\), cela implique \(\sin\theta = 0\).

\[ \sin\theta = 0 \Rightarrow \theta = 0 \text{ et } \theta = \pi \]

Ces points correspondent à l'avant (\(\theta = \pi\), face à l'écoulement) et à l'arrière (\(\theta = 0\), dans le sillage théorique) du cylindre.

Résultat Question 5 : Les points d'arrêt sur le cylindre sont situés à \(\theta = 0\) et \(\theta = \pi\).

Question 6 : Coefficient de pression \(C_p(\theta)\)

Principe :

L'équation de Bernoulli relie la pression, la vitesse et l'altitude le long d'une ligne de courant pour un fluide parfait. On l'applique entre un point loin en amont (pression \(p_\infty\), vitesse \(U_\infty\)) et un point à la surface du cylindre (pression \(p_s(\theta)\), vitesse \(V_s(\theta)\)). On suppose que l'écoulement est horizontal ou que les effets de la gravité sont négligeables.

Formule(s) utilisée(s) :

Équation de Bernoulli :

\[ p_\infty + \frac{1}{2}\rho U_\infty^2 = p_s(\theta) + \frac{1}{2}\rho V_s(\theta)^2 \]

Coefficient de pression :

\[ C_p(\theta) = \frac{p_s(\theta) - p_\infty}{\frac{1}{2}\rho U_\infty^2} \]
Calcul :

D'après Bernoulli, et en substituant \(V_s(\theta) = -2 U_\infty \sin\theta\):

\[ \begin{aligned} p_s(\theta) &= p_\infty + \frac{1}{2}\rho U_\infty^2 - \frac{1}{2}\rho V_s(\theta)^2 \\ &= p_\infty + \frac{1}{2}\rho U_\infty^2 - \frac{1}{2}\rho (-2 U_\infty \sin\theta)^2 \\ &= p_\infty + \frac{1}{2}\rho U_\infty^2 - \frac{1}{2}\rho (4 U_\infty^2 \sin^2\theta) \\ &= p_\infty + \frac{1}{2}\rho U_\infty^2 (1 - 4\sin^2\theta) \end{aligned} \]

Calcul du coefficient de pression :

\[ \begin{aligned} C_p(\theta) &= \frac{p_s(\theta) - p_\infty}{\frac{1}{2}\rho U_\infty^2} \\ &= \frac{[p_\infty + \frac{1}{2}\rho U_\infty^2 (1 - 4\sin^2\theta)] - p_\infty}{\frac{1}{2}\rho U_\infty^2} \\ &= \frac{\frac{1}{2}\rho U_\infty^2 (1 - 4\sin^2\theta)}{\frac{1}{2}\rho U_\infty^2} \\ &= 1 - 4\sin^2\theta \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le coefficient de pression à la surface du cylindre est \(C_p(\theta) = 1 - 4\sin^2\theta\).

Question 7 : Paradoxe de D'Alembert

Principe :

Le paradoxe de D'Alembert stipule que pour un écoulement irrotationnel et non visqueux (fluide parfait) autour d'un corps de forme quelconque (comme un cylindre), la force de traînée résultante exercée par le fluide sur le corps est nulle. Ceci est en contradiction avec l'observation expérimentale où une traînée est toujours présente.

Discussion :

La distribution de pression \(p_s(\theta)\) que nous avons calculée est symétrique par rapport à l'axe vertical (\(\theta = \pi/2\)). En intégrant la composante horizontale de la force de pression \(-p_s(\theta)\cos\theta\) sur toute la surface du cylindre, on trouve une force de traînée nulle :

\[ F_x = -\int_0^{2\pi} p_s(\theta) \cos\theta \, R \, d\theta = 0 \]

De même, la force de portance (composante verticale) est nulle pour un cylindre symétrique sans circulation :

\[ F_y = -\int_0^{2\pi} p_s(\theta) \sin\theta \, R \, d\theta = 0 \]

Ce résultat paradoxal (traînée nulle) provient de l'hypothèse d'un fluide parfait. Dans la réalité, la viscosité du fluide, même faible, entraîne la formation d'une couche limite et d'un sillage turbulent à l'arrière du cylindre, ce qui génère une traînée de pression (ou de forme) et une traînée de frottement.

Résultat Question 7 : Le paradoxe de D'Alembert met en évidence la limitation de la théorie des fluides parfaits, qui prédit une traînée nulle sur un corps immergé dans un écoulement uniforme, contredisant les observations expérimentales. Cela est dû à la négligence des effets de la viscosité.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

8. Qu'est-ce qu'un point d'arrêt dans un écoulement ?

9. Le coefficient de pression \(C_p\) aux points d'arrêt d'un cylindre dans un écoulement irrotationnel est :

10. Le paradoxe de D'Alembert est dû à l'hypothèse :

Glossaire

Potentiel des vitesses (\(\Phi\))
Fonction scalaire dont le gradient donne le vecteur vitesse pour un écoulement irrotationnel (\(\vec{v} = \nabla\Phi\)).
Fonction de courant (\(\Psi\))
Fonction scalaire utilisée pour décrire un écoulement bidimensionnel incompressible. Les lignes où \(\Psi\) est constante sont les lignes de courant. Le débit entre deux lignes de courant est la différence de leurs valeurs de \(\Psi\).
Écoulement irrotationnel
Écoulement où le rotationnel du champ de vitesse est nul (\(\nabla \times \vec{v} = \vec{0}\)). Cela implique que les particules de fluide ne tournent pas sur elles-mêmes.
Ligne de courant
Courbe tangente en tout point au vecteur vitesse local. Dans un écoulement stationnaire, les trajectoires des particules de fluide coïncident avec les lignes de courant.
Point d'arrêt (ou point de stagnation)
Point dans un champ d'écoulement où la vitesse locale du fluide est nulle.
Équation de Bernoulli
Relation qui décrit le comportement d'un fluide parfait en mouvement le long d'une ligne de courant. Elle exprime la conservation de l'énergie mécanique du fluide.
Coefficient de pression (\(C_p\))
Nombre sans dimension qui décrit la pression relative en un point d'un champ d'écoulement. \(C_p = (p - p_\infty) / (0.5 \rho U_\infty^2)\).
Paradoxe de D'Alembert
Contradiction entre la théorie des fluides parfaits (qui prédit une traînée nulle sur un corps) et l'observation expérimentale d'une traînée non nulle. Ce paradoxe est résolu en considérant les effets de la viscosité.
Écoulement Irrotationnel Autour d’un Cylindre - Exercice d'Application

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