Écoulement Irrotationnel Autour d’un Cylindre

1. Calcul de la fonction de courant Ψ et du potentiel de vitesse Φ

Pour un écoulement irrotationnel, bidimensionnel et incompressible autour d’un cylindre de rayon R, les expressions usuelles en coordonnées polaires (r, θ) sont :
- Le potentiel de vitesse
\[ \Phi(r,\theta) = U\left(r+\frac{R^2}{r}\right)\cos\theta \]
- La fonction de courant
\[ \Psi(r,\theta) = U\left(r-\frac{R^2}{r}\right)\sin\theta \]
Ces deux fonctions vérifient les conditions d’irrotationnalité et d’incompressibilité.

Formule et données

- Vitesse à l’infini : U = 10 m/s
- Rayon du cylindre : R = 0.5 m

Calcul de cet exercice

On laisse la dépendance en r et θ pour la généralité, ce qui donne :
- Potentiel de vitesse
\[ \Phi(r,\theta) = 10\left(r+\frac{(0.5)^2}{r}\right)\cos\theta \] \[ \Phi(r,\theta) = 10\left(r+\frac{0.25}{r}\right)\cos\theta \]
- Fonction de courant
\[ \Psi(r,\theta) = 10\left(r-\frac{(0.5)^2}{r}\right)\sin\theta \] \[ \Psi(r,\theta) = 10\left(r-\frac{0.25}{r}\right)\sin\theta \]

2. Détermination de la distribution de vitesse autour du cylindre

Pour trouver la distribution de la vitesse sur le cylindre, on calcule les composantes des vitesses V_r (radiale) et V_θ (tangentielle) à partir du potentiel.
Les relations usuelles sont :
\[ V_r = \frac{\partial \Phi}{\partial r} \quad \text{et} \quad V_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial \Phi}{\partial \theta} \]

Formule et données

À partir du potentiel :
\[ \Phi(r,\theta) = U \left(r+\frac{R^2}{r}\right)\cos\theta \]
nous avons :
- Composante radiale
\[ V_r = \frac{\partial \Phi}{\partial r} = U\left(1-\frac{R^2}{r^2}\right)\cos\theta \]
- Composante tangentielle
\[ V_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial \Phi}{\partial \theta} = -U\left(1+\frac{R^2}{r^2}\right)\sin\theta \]

Calcul

Sur la surface du cylindre, r = R :
\[ V_r\big|_{r=R} = U\left(1-\frac{R^2}{R^2}\right)\cos\theta \] \[ V_r\big|_{r=R} = U(1-1)\cos\theta \] \[ V_r\big|_{r=R} = 0 \]
La vitesse tangentielle devient :
\[ V_\theta\big|_{r=R} = -U\left(1+\frac{R^2}{R^2}\right)\sin\theta \] \[ V_\theta\big|_{r=R} = -U(1+1)\sin\theta \] \[ V_\theta\big|_{r=R} = -2U\sin\theta \]
En substituant U = 10 m/s :
\[ V_\theta\big|_{r=R} = -2 \times 10\,\sin\theta \] \[ V_\theta\big|_{r=R} = -20\,\sin\theta \quad (\text{en m/s}) \]
*(L’orientation négative indique la direction opposée à l’angle θ, mais c’est la valeur absolue qui compte pour la pression.)*

3. Calcul de la distribution de pression autour du cylindre

Nous utilisons l’équation de Bernoulli pour un écoulement stationnaire, incompressible et sans frottement pour relier la vitesse et la pression. L’équation de Bernoulli le long d’une ligne de courant est :
\[ P + \frac{1}{2}\rho V^2 = P_\infty + \frac{1}{2}\rho U^2 \]
où P_∞ et U sont la pression et la vitesse à l’infini, respectivement.

Formule et données

- Densité de l’eau : ρ = 1000 kg/m³
- Pression atmosphérique à l’infini : P_∞ = P_atm = 101325 Pa
- Vitesse de l’écoulement à l’infini : U = 10 m/s
- Sur la surface du cylindre, la vitesse V correspond à la vitesse tangentielle car V_r = 0
\[ V\big|_{r=R} = |V_\theta| = 2U|\sin\theta| \]

Calcul

1. Calcul de la vitesse au carré sur le cylindre :
\[ V^2\big|_{r=R} = (2U\sin\theta)^2 \] \[ V^2\big|_{r=R} = 4U^2\sin^2\theta \]
2. En appliquant Bernoulli sur la surface (r = R) :
\[ P(\theta) = P_\infty + \frac{1}{2}\rho\left(U^2 - V^2\right) \]
En remplaçant V² :
\[ P(\theta) = P_\infty + \frac{1}{2}\rho\left(U^2 - 4U^2\sin^2\theta\right) \]
\[ P(\theta) = P_\infty + \frac{1}{2}\rho U^2\left(1-4\sin^2\theta\right) \]

3. Substitution des valeurs numériques :
\[ \frac{1}{2}\rho U^2 = \frac{1}{2}\times 1000\, \text{kg/m}^3 \times (10\, \text{m/s})^2 \] \[ = \frac{1}{2}\times 1000 \times 100 \] \[ = 50000 \, \text{Pa} \]
Ainsi :
\[ P(\theta) = 101325 \, \text{Pa} + 50000\,(1-4\sin^2\theta) \]
\[ P(\theta) = (101325 + 50000) - 200000\sin^2\theta \] \[ P(\theta) = 151325 - 200000\sin^2\theta \, \text{Pa} \]

4. Calcul de la force de traînée D exercée par l’écoulement sur le cylindre

La force de traînée est obtenue en intégrant la composante horizontale de la pression sur la surface du cylindre. On calcule la force élémentaire à partir de la pression P(θ) appliquée sur un élément de surface dS = R dθ agissant selon la normale (dont la composante horizontale est P(θ)cosθ).
L’expression de la force de traînée est donc :
\[ D = \int_0^{2\pi} P(\theta)\cos\theta \, R\, d\theta \]

Formule et hypothèses

En substituant la distribution trouvée :
\[ P(\theta) = 151325 - 200000\sin^2\theta \]
on a :
\[ D = R \int_0^{2\pi} \left(151325 - 200000\sin^2\theta \right)\cos\theta\, d\theta \]
avec R = 0.5 m.

Calcul

Il faut décomposer l’intégrale en deux termes :
1. \(\displaystyle I_1 = 151325 \int_0^{2\pi} \cos\theta\, d\theta\)
2. \(\displaystyle I_2 = -200000 \int_0^{2\pi} \sin^2\theta\,\cos\theta\, d\theta\)

Calcul de I₁
\[ \int_0^{2\pi} \cos\theta\, d\theta = [\sin\theta]_0^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(0)= 0 - 0 = 0 \]

Calcul de I₂
Pour intégrer \(\int_0^{2\pi} \sin^2\theta\,\cos\theta\, d\theta\), on utilise le changement de variable :
Soit \( u = \sin\theta \) donc \( du = \cos\theta \, d\theta \).
Lorsque \(\theta=0\), \( u=0 \); lorsque \(\theta=2\pi\), \( u = \sin(2\pi)= 0 \).
L’intégrale devient :
\[ \int_{0}^{0} u^2\, du = 0 \]
(même si l’intégrale, en apparence, semble nulle à cause des bornes identiques, cela confirme que la contribution sur une période complète s’annule.)
Ainsi :
\[ I_2 = -200000 \times 0 = 0 \]

Conclusion pour la force de traînée
La force totale de traînée :
\[ D = R (I_1+I_2) \] \[ D = 0.5 \times (0+0)\] \[ D = 0 \, \text{N} \]
Remarque importante : Ce résultat, \( D=0 \), est en accord avec le paradoxe de d’Alembert qui stipule que pour un écoulement irrotationnel et sans viscosité (écoulement potentiellement réversible) autour d’un corps, la force de traînée nette s’annule.

Conclusion

1. Fonction de courant et potentiel de vitesse :
\[ \Phi(r,\theta) = 10\left(r+\frac{0.25}{r}\right)\cos\theta \]
\[ \Psi(r,\theta) = 10\left(r-\frac{0.25}{r}\right)\sin\theta \]

2. Distribution de la vitesse :
\[ V_r(r,\theta) = 10\left(1-\frac{0.25}{r^2}\right)\cos\theta \]
À la surface du cylindre (\( r=0.5 \)): \( V_r = 0 \) et \( V_\theta = -20\,\sin\theta \)

3. Distribution de la pression :
\[ P(\theta) = 151325 - 200000\sin^2\theta \, \text{Pa} \]

4. Force de traînée :
\[ D = 0 \, \text{N} \]

Ce résultat met en évidence le paradoxe de d’Alembert, propre aux écoulements potentiels sans viscosité.