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Contraintes dans les Fibres de Bois Lamellé-Collé

Contraintes dans les Fibres de Bois Lamellé-Collé

Contraintes dans les Fibres de Bois Lamellé-Collé

Contexte : Le calcul des contraintes, au cœur du dimensionnement des structures bois.

Le Bois Lamellé-Collé (BLC)Matériau structurel obtenu par collage de plusieurs lamelles de bois. Ce procédé permet de fabriquer des poutres de grandes dimensions et de formes variées, avec des propriétés mécaniques optimisées et contrôlées. est un matériau d'ingénierie essentiel pour les structures modernes et durables. Cet exercice se concentre sur le cœur du métier de l'ingénieur structure bois : le calcul précis des contraintes de flexion et de cisaillement dans les fibres du bois. Nous allons appliquer la méthodologie de l'Eurocode 5Norme européenne (EN 1995) qui définit les règles de conception et de calcul des structures en bois. Elle introduit des notions de sécurité basées sur des coefficients partiels. pour vérifier qu'une poutre en BLC peut supporter les charges prévues en toute sécurité, en s'assurant que les contraintes internes ne dépassent jamais la résistance du matériau.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre le passage de la Résistance des Matériaux (RdM) classique au calcul réglementaire. Nous n'allons pas seulement calculer des contraintes, mais nous allons les comparer à des résistances de calcul, qui tiennent compte de la durée des charges et des facteurs de sécurité. C'est la démarche quotidienne d'un ingénieur en bureau d'études structures.

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer les coefficients de sécurité pour déterminer une charge de calcul (ELU).
  • Calculer les sollicitations maximales (effort tranchant et moment fléchissant) pour une charge répartie.
  • Calculer et vérifier la contrainte de flexion selon l'Eurocode 5.
  • Calculer et vérifier la contrainte de cisaillement pour une section rectangulaire.
  • Comprendre l'influence des coefficients \(k_{\text{mod}}\) et \(\gamma_{\text{M}}\) dans le dimensionnement bois.

Données de l'étude

On étudie une poutre de plancher en bois lamellé-collé de classe de résistance GL24h, simplement appuyée à ses extrémités. Elle est soumise à une charge d'exploitation uniformément répartie. On se place à l'État Limite Ultime (ELU).

Schéma de la poutre et de son chargement
q L = 6.0 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée entre appuis \(L\) 6.0 \(\text{m}\)
Largeur de la section \(b\) 120 \(\text{mm}\)
Hauteur de la section \(h\) 400 \(\text{mm}\)
Charge d'exploitation (caractéristique) \(q_{\text{k}}\) 5.0 \(\text{kN/m}\)
Résistance en flexion (caract.) \(f_{\text{m,k}}\) 24 \(\text{MPa}\)
Résistance en cisaillement (caract.) \(f_{\text{v,k}}\) 2.5 \(\text{MPa}\)
Coefficient de modification \(k_{\text{mod}}\) 0.8 -
Coefficient partiel du matériau \(\gamma_{\text{M}}\) 1.3 -

Questions à traiter

  1. Calculer la charge répartie de calcul à l'ELU, \(q_{\text{d}}\). (On utilisera un coefficient de sécurité \(\gamma_{\text{Q}} = 1.5\) sur les charges d'exploitation).
  2. Déterminer l'effort tranchant maximal de calcul \(V_{\text{d}}\) et le moment fléchissant maximal de calcul \(M_{\text{d}}\).
  3. Calculer la contrainte de flexion maximale (\(\sigma_{\text{m,d}}\)) et vérifier la résistance de la poutre.
  4. Calculer la contrainte de cisaillement maximale (\(\tau_{\text{d}}\)) et vérifier la résistance de la poutre.

Les bases du calcul bois (Eurocode 5)

Avant la correction, revoyons les formules spécifiques au calcul des structures en bois.

1. Résistance de Calcul (\(f_{\text{d}}\)) :
La résistance caractéristique (\(f_{\text{k}}\)), donnée pour une classe de bois (ex: GL24h), est une valeur statistique. Pour le calcul, on la transforme en résistance de calcul (\(f_{\text{d}}\)) en appliquant deux coefficients : \[ f_{\text{d}} = k_{\text{mod}} \frac{f_{\text{k}}}{\gamma_{\text{M}}} \] Où \(k_{\text{mod}}\) tient compte de la durée de la charge et de l'humidité, et \(\gamma_{\text{M}}\) est un coefficient de sécurité sur le matériau.

2. Sollicitations pour une charge répartie :
Pour une poutre simplement appuyée de portée \(L\) avec une charge uniformément répartie \(q\), les sollicitations maximales sont : \[ V_{\text{max}} = \frac{q \cdot L}{2} \quad \text{(aux appuis)} \] \[ M_{\text{max}} = \frac{q \cdot L^2}{8} \quad \text{(à mi-portée)} \]

3. Contrainte de cisaillement (\(\tau\)) :
En flexion, il y a aussi un effort de cisaillement. Pour une section rectangulaire, la contrainte de cisaillement n'est pas uniforme ; elle est nulle en haut et en bas et maximale au centre. La formule simplifiée pour la contrainte maximale est : \[ \tau_{\text{max}} = 1.5 \cdot \frac{V}{A} \] Où A est l'aire de la section (\(b \cdot h\)).

Correction : Contraintes dans les Fibres de Bois Lamellé-Collé

Question 1 : Calculer la charge de calcul \(q_{\text{d}}\)

Principe (le concept physique)

En calcul de structure, on ne travaille pas avec les charges réelles (dites caractéristiques), mais avec des charges majorées pour garantir la sécurité. L'État Limite Ultime (ELU) correspond à la vérification de la résistance de la structure. On applique donc un coefficient de sécurité sur les charges pour obtenir la charge de calcul, qui représente un scénario défavorable.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode des états limites distingue l'ELU (État Limite Ultime, lié à la ruine de la structure) de l'ELS (État Limite de Service, lié au confort et à l'apparence, ex: flèche excessive). Les coefficients de sécurité sont plus élevés à l'ELU car les conséquences d'une défaillance sont plus graves.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous concevez un pont piéton. La charge "caractéristique" est le poids d'un certain nombre de personnes. La charge de "calcul" à l'ELU, c'est comme si vous imaginiez une foule bien plus dense pour être absolument certain que le pont ne s'effondrera jamais.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 0 (EN 1990) définit les combinaisons d'actions. Pour un cas simple avec uniquement des charges d'exploitation \(Q_k\), la combinaison à l'ELU est \(1.5 \cdot Q_k\). Le coefficient 1.5 (\(\gamma_{\text{Q}}\)) couvre les incertitudes sur la valeur réelle des charges.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La charge de calcul est obtenue en multipliant la charge caractéristique par le coefficient de sécurité partiel.

\[ q_{\text{d}} = q_{\text{k}} \cdot \gamma_{\text{Q}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la seule charge variable est la charge d'exploitation. Le poids propre de la poutre est négligé dans cet exercice pour simplifier (en pratique, il faudrait l'ajouter).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge d'exploitation caractéristique, \(q_{\text{k}} = 5.0 \, \text{kN/m}\)
  • Coefficient de sécurité sur les charges, \(\gamma_{\text{Q}} = 1.5\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! Les calculs de RdM sont plus simples avec des unités cohérentes. Convertissons tout de suite la charge en N/mm pour être homogène avec les dimensions (mm) et les contraintes (MPa = N/mm²). \(1 \, \text{kN/m} = 1000 \, \text{N} / 1000 \, \text{mm} = 1 \, \text{N/mm}\). Donc \(5.0 \, \text{kN/m} = 5.0 \, \text{N/mm}\).

Schéma (Avant les calculs)
Majoration de la charge
Charge qkx 1.5Charge qd
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule en utilisant les unités N et mm.

\[ q_{\text{k}} = 5.0 \, \text{kN/m} = 5.0 \, \text{N/mm} \]
\[ \begin{aligned} q_{\text{d}} &= 5.0 \, \text{N/mm} \cdot 1.5 \\ &= 7.5 \, \text{N/mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charge de calcul obtenue
5.0 kN/mx 1.57.5 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La poutre doit être dimensionnée pour résister à une charge de 7.5 N/mm (ou 7.5 kN/m), soit 50% de plus que la charge d'exploitation attendue. C'est cette valeur que nous utiliserons pour calculer les efforts internes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre les coefficients de sécurité sur les charges (\(\gamma_{\text{Q}}\)) avec ceux sur les matériaux (\(\gamma_{\text{M}}\)). Les premiers majorent les efforts, les seconds minorent les résistances. Oublier l'un ou l'autre conduirait à un dimensionnement non sécuritaire.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul à l'ELU se fait avec des charges de calcul, majorées par des coefficients de sécurité.
  • Pour les charges d'exploitation, le coefficient est typiquement \(\gamma_{\text{Q}} = 1.5\).
  • La conversion d'unité (kN/m en N/mm) est une étape clé.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La méthode des coefficients de sécurité partiels (ou méthode semi-probabiliste) utilisée par les Eurocodes a remplacé l'ancienne méthode des contraintes admissibles, qui utilisait un unique coefficient de sécurité global. La nouvelle approche est plus rationnelle car elle distingue les incertitudes liées aux charges de celles liées aux matériaux.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi \(\gamma_{\text{Q}}\) vaut 1.5 et pas une autre valeur ?

Cette valeur est le fruit d'un consensus normatif basé sur des décennies d'études statistiques et de retours d'expérience. Elle vise à couvrir avec une probabilité de défaillance très faible les cas où la charge d'exploitation réelle dépasserait la valeur caractéristique estimée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge répartie de calcul à l'ELU est de 7.5 N/mm.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge était une charge permanente (poids propre) de \(g_{\text{k}} = 2.0\) kN/m, avec un \(\gamma_{\text{G}} = 1.35\), quelle serait la charge de calcul \(g_{\text{d}}\) en N/mm ?

Question 2 : Calculer \(V_{\text{d}}\) et \(M_{\text{d}}\)

Principe (le concept physique)

Une fois la charge de calcul déterminée, on utilise les formules de la RdM pour trouver les efforts internes maximaux qu'elle génère dans la poutre. Pour une charge répartie, l'effort tranchant (tendance au cisaillement) est maximal aux appuis, tandis que le moment fléchissant (tendance à la flexion) est maximal au centre de la poutre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les diagrammes d'efforts internes sont liés par des relations d'intégration. L'effort tranchant \(V(x)\) est l'intégrale opposée de la charge \(q(x)\). Le moment fléchissant \(M(x)\) est l'intégrale de l'effort tranchant \(V(x)\). C'est pourquoi le moment est maximal lorsque l'effort tranchant s'annule, ce qui se produit à mi-portée dans ce cas symétrique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez porter une longue planche chargée de livres. Vos bras (les appuis) sentent le plus d'effort "vertical" : c'est l'effort tranchant maximal. La planche, elle, a le plus envie de "casser" en son milieu : c'est le moment fléchissant maximal.

Normes (la référence réglementaire)

Les formules \(qL/2\) et \(qL^2/8\) sont des résultats fondamentaux de la statique du solide et de la RdM. Elles sont valables pour une poutre isostatique (simplement appuyée) et sont répertoriées dans tous les formulaires de génie civil.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une poutre sur appuis simples avec une charge répartie \(q_{\text{d}}\) et une portée \(L\):

\[ V_{\text{d}} = \frac{q_{\text{d}} \cdot L}{2} \quad \text{et} \quad M_{\text{d}} = \frac{q_{\text{d}} \cdot L^2}{8} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les appuis sont parfaits (une rotule et un appui simple) et que la charge est parfaitement et uniformément répartie sur toute la longueur de la poutre.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de calcul, \(q_{\text{d}} = 7.5 \, \text{N/mm}\)
  • Portée, \(L = 6.0 \, \text{m} = 6000 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour le moment, au lieu de manipuler de très grands nombres, vous pouvez garder les unités en kN et m : \(M_{\text{d}} = (7.5 \, \text{kN/m} \cdot (6 \, \text{m})^2) / 8 = 33.75 \, \text{kN} \cdot \text{m}\). Il faudra ensuite penser à multiplier par \(10^6\) pour le convertir en N·mm pour le calcul de contrainte.

Schéma (Avant les calculs)
Forme attendue des diagrammes d'efforts
Effort Tranchant (V)0+Vmax?-Vmax?Moment Fléchissant (M)+Mmax?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'effort tranchant maximal de calcul \(V_{\text{d}}\):

\[ \begin{aligned} V_{\text{d}} &= \frac{7.5 \, \text{N/mm} \cdot 6000 \, \text{mm}}{2} \\ &= \frac{45000 \, \text{N}}{2} \\ &= 22500 \, \text{N} \quad (22.5 \, \text{kN}) \end{aligned} \]

2. Calcul du moment fléchissant maximal de calcul \(M_{\text{d}}\):

\[ \begin{aligned} M_{\text{d}} &= \frac{7.5 \, \text{N/mm} \cdot (6000 \, \text{mm})^2}{8} \\ &= \frac{7.5 \cdot 36 \times 10^6}{8} \, \text{N} \cdot \text{mm} \\ &= 33750000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \quad (33.75 \, \text{kN} \cdot \text{m}) \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagrammes des Efforts Internes
Effort Tranchant (V)+22.5 kN-22.5 kNMoment Fléchissant (M)+33.75 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons maintenant quantifié les deux efforts internes maximaux que la poutre doit supporter. Le moment de 33.75 kN.m va "étirer" les fibres inférieures et "comprimer" les fibres supérieures, tandis que l'effort tranchant de 22.5 kN va tendre à faire "glisser" verticalement les sections les unes par rapport aux autres.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente ici est l'unité de la portée \(L\). Elle doit être en mm pour être cohérente avec \(q_{\text{d}}\) en N/mm. Oublier de convertir les mètres en millimètres est une source d'erreur majeure, surtout pour le moment où \(L\) est au carré !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Pour une charge répartie, \(V_{\text{max}}\) est aux appuis, \(M_{\text{max}}\) est à mi-portée.
  • La formule du moment contient \(L^2\), il est donc très sensible à la portée.
  • Ces valeurs de calcul (\(V_{\text{d}}, M_{\text{d}}\)) sont les sollicitations à utiliser pour les vérifications de contraintes.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poutres continues (sur plus de deux appuis), le moment maximal peut être négatif (fibres supérieures tendues) au-dessus des appuis intermédiaires. L'ingénieur doit alors vérifier les contraintes à la fois en travée (moment positif) et sur appui (moment négatif).

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la charge n'était pas répartie mais ponctuelle au milieu ?

Les formules changeraient. Comme vu dans l'exercice précédent, on aurait \(V_{\text{max}} = F/2\) et \(M_{\text{max}} = FL/4\). Chaque cas de charge a ses propres formules de sollicitations.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les sollicitations maximales de calcul sont \(V_{\text{d}} = 22.5 \, \text{kN}\) et \(M_{\text{d}} = 33.75 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec la même charge \(q_{\text{d}}\), si la portée était de 8m, quel serait le nouveau moment maximal \(M_{\text{d}}\) en kN.m ?

Question 3 : Calculer la contrainte de flexion et vérifier la résistance

Principe (le concept physique)

La vérification en flexion consiste à s'assurer que la contrainte maximale générée par le moment fléchissant (\(\sigma_{\text{m,d}}\)) ne dépasse pas la capacité du matériau à résister à cette contrainte (\(f_{\text{m,d}}\)). C'est le critère fondamental de non-rupture en flexion.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule \(\sigma = M/W\) découle de l'hypothèse de Navier-Bernoulli : les sections planes restent planes après déformation. Cela implique une répartition linéaire de la déformation (et donc de la contrainte dans le domaine élastique) à travers la hauteur de la section, nulle à l'axe neutre et maximale sur les fibres extrêmes.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le module de flexion \(W\) peut être vu comme "l'efficacité géométrique" de la section à résister au moment. Pour un même moment appliqué, une section avec un grand \(W\) (typiquement une section haute) subira une contrainte plus faible.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification \(\sigma_{\text{m,d}} \le f_{\text{m,d}}\) est la formulation de base de la vérification en flexion de l'Eurocode 5 (clause 6.1.6). La norme ajoute des vérifications supplémentaires pour des phénomènes comme le déversement (flambement latéral) pour les poutres non maintenues latéralement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le critère de vérification est :

\[ \sigma_{\text{m,d}} \le f_{\text{m,d}} \]

Avec la contrainte de flexion calculée par :

\[ \sigma_{\text{m,d}} = \frac{M_{\text{d}}}{W_{\text{y}}} \quad \text{où} \quad W_{\text{y}} = \frac{b \cdot h^2}{6} \]

Et la résistance de calcul en flexion :

\[ f_{\text{m,d}} = k_{\text{mod}} \frac{f_{\text{m,k}}}{\gamma_{\text{M}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est maintenue contre le déversement (par exemple par un plancher) et que la flexion se produit uniquement autour de l'axe fort (axe y).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_{\text{d}} = 33750000 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • \(b=120 \, \text{mm}\), \(h=400 \, \text{mm}\)
  • \(f_{\text{m,k}} = 24 \, \text{MPa}\), \(k_{\text{mod}} = 0.8\), \(\gamma_{\text{M}} = 1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul du taux de travail (\(\sigma_{\text{m,d}} / f_{\text{m,d}}\)) est souvent plus parlant qu'une simple comparaison. Un taux de travail de 71% (\(0.71\)) est généralement considéré comme un bon dimensionnement : ni trop juste, ni surdimensionné.

Schéma (Avant les calculs)
Distribution Linéaire des Contraintes de Flexion
-σ_max?+σ_max?Axe Neutre
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du module de flexion \(W_{\text{y}}\):

\[ \begin{aligned} W_{\text{y}} &= \frac{120 \cdot 400^2}{6} \\ &= 3200000 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

2. Calcul de la contrainte de flexion \(\sigma_{\text{m,d}}\):

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{m,d}} &= \frac{33750000 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{3200000 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 10.55 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

3. Calcul de la résistance de calcul en flexion \(f_{\text{m,d}}\):

\[ \begin{aligned} f_{\text{m,d}} &= 0.8 \cdot \frac{24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 14.77 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

4. Vérification du critère :

\[ 10.55 \, \text{MPa} \le 14.77 \, \text{MPa} \quad \Rightarrow \quad \text{OK!} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Contrainte de Flexion
σ_d = 10.55 MPaRésistance f_d = 14.77 MPaOK ✔️ (71%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La poutre travaille à 71% de sa capacité en flexion. Elle est donc correctement dimensionnée pour cette sollicitation, avec une marge de sécurité suffisante. La vérification est satisfaite.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le carré sur la hauteur \(h\) dans la formule du module de flexion \(W_{\text{y}}\). C'est une erreur fréquente qui fausse complètement le calcul de la contrainte.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte de flexion est le rapport entre le moment et le module de flexion (\(M/W\)).
  • La résistance de calcul est la résistance caractéristique affectée des coefficients \(k_{\text{mod}}\) et \(\gamma_{\text{M}}\).
  • Le critère de sécurité est \(\sigma_{\text{d}} \le f_{\text{d}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les très hautes poutres en bois lamellé-collé, la taille peut avoir un effet sur la résistance. L'Eurocode 5 introduit un "facteur de hauteur" \(k_h\) qui réduit légèrement la résistance en flexion pour les poutres de plus de 600 mm de hauteur.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la résistance est-elle différente en flexion (\(f_{\text{m}}\)) et en traction (\(f_{\text{t}}\)) ?

Même si la flexion induit de la traction, la résistance caractéristique en flexion pure (\(f_{\text{m,k}}\)) est généralement plus élevée que celle en traction pure (\(f_{\text{t,k}}\)). Cela est dû à un effet de redistribution des contraintes et à la moindre probabilité de trouver un défaut critique dans la zone la plus sollicitée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de flexion de calcul (10.55 MPa) est inférieure à la résistance de calcul (14.77 MPa). La poutre est validée vis-à-vis de la flexion.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la hauteur de la poutre était de 360 mm, quelle serait la nouvelle contrainte de flexion \(\sigma_{\text{m,d}}\) en MPa ?

Question 4 : Calculer la contrainte de cisaillement et vérifier la résistance

Principe (le concept physique)

De la même manière que pour la flexion, il faut s'assurer que la contrainte de cisaillement maximale dans la poutre (\(\tau_{\text{d}}\)) reste inférieure à la capacité du matériau à résister au cisaillement (\(f_{\text{v,d}}\)). Le cisaillement est particulièrement critique pour les poutres courtes et hautes, ou près des appuis où l'effort tranchant est maximal.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule exacte de la contrainte de cisaillement est \(\tau = VQ/(Ib)\), où Q est le moment statique. Pour une section rectangulaire, cette formule donne une distribution parabolique de la contrainte, avec un maximum au centre valant \(1.5 \cdot V/A\). La formule simplifiée de l'Eurocode utilise directement ce maximum.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez un jeu de cartes que vous essayez de plier. Les cartes vont glisser les unes sur les autres. C'est une analogie du cisaillement. La colle entre les lamelles d'une poutre en BLC travaille pour empêcher ce glissement.

Normes (la référence réglementaire)

La vérification au cisaillement est définie dans la clause 6.1.7 de l'Eurocode 5. La norme précise que pour les calculs, on peut utiliser l'effort tranchant à l'appui sans réduction, ce qui est une approche sécuritaire.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le critère de vérification est :

\[ \tau_{\text{d}} \le f_{\text{v,d}} \]

Avec la contrainte de cisaillement calculée par :

\[ \tau_{\text{d}} = 1.5 \cdot \frac{V_{\text{d}}}{A} \quad \text{où} \quad A = b \cdot h \]

Et la résistance de calcul au cisaillement :

\[ f_{\text{v,d}} = k_{\text{mod}} \frac{f_{\text{v,k}}}{\gamma_{\text{M}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise la formule simplifiée pour une section rectangulaire. On suppose que la poutre n'est pas entaillée aux appuis, car une entaille réduirait considérablement la résistance au cisaillement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(V_{\text{d}} = 22500 \, \text{N}\)
  • \(b=120 \, \text{mm}\), \(h=400 \, \text{mm}\)
  • \(f_{\text{v,k}} = 2.5 \, \text{MPa}\), \(k_{\text{mod}} = 0.8\), \(\gamma_{\text{M}} = 1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les poutres de proportions courantes (élancement \(L/h > 10\)), la flexion est presque toujours plus critique que le cisaillement. Un calcul rapide de l'ordre de grandeur permet souvent de le confirmer avant de faire le calcul détaillé.

Schéma (Avant les calculs)
Distribution Parabolique des Contraintes de Cisaillement
τ_max?Axe Neutre
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'aire de la section \(A\):

\[ \begin{aligned} A &= 120 \cdot 400 \\ &= 48000 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

2. Calcul de la contrainte de cisaillement \(\tau_{\text{d}}\):

\[ \begin{aligned} \tau_{\text{d}} &= 1.5 \cdot \frac{22500 \, \text{N}}{48000 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 0.70 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

3. Calcul de la résistance de calcul au cisaillement \(f_{\text{v,d}}\):

\[ \begin{aligned} f_{\text{v,d}} &= 0.8 \cdot \frac{2.5 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 1.54 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

4. Vérification du critère :

\[ 0.70 \, \text{MPa} \le 1.54 \, \text{MPa} \quad \Rightarrow \quad \text{OK!} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification de la Contrainte de Cisaillement
τ_d = 0.70 MPaRésistance f_v,d = 1.54 MPaOK ✔️ (45%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La poutre travaille à seulement 45% de sa capacité en cisaillement. Pour cette poutre élancée (portée de 6m pour une hauteur de 40cm), la flexion est clairement le mode de défaillance dimensionnant, ce qui est très souvent le cas. Le cisaillement ne devient critique que pour des poutres très courtes ou avec de lourdes charges près des appuis.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le facteur 1.5 pour les sections rectangulaires. Omettre ce facteur sous-estimerait la contrainte de cisaillement de 33%, ce qui pourrait être dangereux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte de cisaillement maximale est calculée avec l'effort tranchant maximal \(V_{\text{d}}\).
  • Pour une section rectangulaire, \(\tau_{\text{d}} = 1.5 \cdot V_{\text{d}} / A\).
  • Le critère de sécurité est \(\tau_{\text{d}} \le f_{\text{v,d}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La rupture par cisaillement dans le bois se manifeste souvent par une fissure horizontale le long du fil du bois, près de l'axe neutre et des appuis. C'est un mode de rupture fragile (soudain), c'est pourquoi la vérification, même si elle est rarement dimensionnante, reste impérative.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la contrainte de cisaillement est-elle maximale au centre ?

C'est à l'axe neutre que le "glissement" entre la partie supérieure (comprimée) et la partie inférieure (tendue) est le plus important. Les fibres à cet endroit subissent le plus grand effort pour rester solidaires, d'où la contrainte de cisaillement maximale.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de cisaillement de calcul (0.70 MPa) est inférieure à la résistance de calcul (1.54 MPa). La poutre est validée vis-à-vis du cisaillement.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la largeur de la poutre était réduite à 100 mm, quelle serait la nouvelle contrainte de cisaillement \(\tau_{\text{d}}\) en MPa ?

Outil Interactif : Paramètres de Dimensionnement

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur les taux de travail en flexion et cisaillement.

Paramètres d'Entrée
5.0 kN/m
6.0 m
400 mm
Résultats Clés (Taux de Travail)
Flexion (\(\sigma_{\text{d}} / f_{\text{m,d}}\)) -
Cisaillement (\(\tau_{\text{d}} / f_{\text{v,d}}\)) -
Statut -

Le Saviez-Vous ?

Le bois est un matériau anisotrope : ses propriétés mécaniques dépendent fortement de la direction des fibres. Il est très résistant en traction et compression parallèles aux fibres, mais très faible perpendiculairement. La résistance au cisaillement est également limitée. C'est pourquoi le BLC, en alignant les fibres des lamelles dans la direction de la poutre, optimise l'utilisation du matériau.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si une seule des deux vérifications (flexion ou cisaillement) n'est pas respectée ?

Si même un seul critère n'est pas satisfait, la poutre est considérée comme non conforme et ne peut pas être utilisée en l'état. L'ingénieur doit alors la redimensionner, généralement en augmentant sa hauteur, ce qui est très efficace pour la flexion (\(h^2\)) et le cisaillement (\(h\)), ou en choisissant une classe de bois plus résistante.

D'où viennent les valeurs de \(k_{\text{mod}}\) et \(\gamma_{\text{M}}\) ?

Ces coefficients sont définis dans l'Eurocode 5. \(\gamma_{\text{M}}\) est un coefficient de sécurité partiel fixe pour le matériau (1.3 pour le bois massif et lamellé-collé). \(k_{\text{mod}}\) dépend de la classe de service (qui définit l'humidité ambiante) et de la classe de durée de la charge (permanente, longue, moyenne, courte ou instantanée). Une charge de neige (moyenne durée) aura un \(k_{\text{mod}}\) plus élevé qu'une charge permanente de plancher.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si une poutre est utilisée dans un environnement très humide (classe de service 3), son \(k_{\text{mod}}\) sera...

2. Pour une poutre rectangulaire, la contrainte de cisaillement maximale se trouve...

Bois Lamellé-Collé (BLC)
Matériau structurel obtenu par l'assemblage et le collage de lamelles de bois dont le fil est essentiellement parallèle. Permet de créer des éléments de grande taille et de formes complexes.
Eurocode 5
Norme européenne (EN 1995) pour la conception et le calcul des structures en bois, basée sur la méthode des états limites.
k_mod
Coefficient de modification qui ajuste la résistance du bois en fonction de la durée de la charge et de la classe de service (humidité).
gamma_M (\(\gamma_{\text{M}}\))
Coefficient de sécurité partiel appliqué aux propriétés du matériau pour tenir compte des incertitudes.
Contraintes dans les Fibres de Bois Lamellé-Collé

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