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Connexion des Éléments Métalliques

Connexion des Éléments Métalliques

Connexion des Éléments Métalliques

Contexte : L'assemblage des structures.

Si les poutres et poteaux sont le squelette d'une structure métallique, les connexions en sont les articulations. Leur conception est tout aussi cruciale que celle des éléments porteurs. Un assemblage mal dimensionné peut entraîner la ruine de l'ensemble de l'ouvrage. Cet exercice se concentre sur le type d'assemblage le plus courant : la connexion d'une poutre secondaire (solive) sur une poutre principale au moyen de cornières et de boulons. Nous vérifierons, selon l'Eurocode 3Ensemble de normes européennes pour le calcul des structures en acier. Il définit les méthodes de calcul pour garantir la résistance, la stabilité et la durabilité des constructions., que l'assemblage peut transmettre en toute sécurité l'effort tranchant de la solive.

Remarque Pédagogique : Cet exercice détaille la vérification des différents modes de ruine d'un assemblage boulonné simple. Nous allons décomposer le problème en vérifiant séparément la résistance des boulons au cisaillement et la résistance des pièces métalliques à la pression diamétrale. L'objectif est de s'assurer que le "maillon le plus faible" de la chaîne de transmission des efforts est suffisamment résistant.

Objectifs Pédagogiques

  • Identifier les différents modes de ruine d'un assemblage par boulons sollicité en cisaillement.
  • Calculer la résistance au cisaillementSollicitation qui tend à faire glisser les unes contre les autres les différentes parties d'une pièce. Pour un boulon, c'est la tendance à être "cisaillé" en deux. d'un groupe de boulons.
  • Calculer la résistance à la pression diamétraleAussi appelée résistance au poinçonnement. C'est la capacité des plaques assemblées à résister à l'écrasement local du métal autour du trou du boulon. des plaques connectées.
  • Déterminer la résistance globale de l'assemblage et la comparer à l'effort appliqué.
  • Comprendre l'influence du diamètre, de la classe des boulons et de l'épaisseur des plaques.

Données de l'étude

On étudie l'assemblage d'une solive IPE 200 sur l'âme d'une poutre principale HEA 240. La connexion est réalisée par deux cornières L80x80x8 et des boulons de classe 8.8. L'assemblage doit reprendre un effort tranchant à l'ELU de 150 kN.

Schéma de la connexion Solive / Poutre
HEA 240 IPE 200 Cornière V_Ed
Vue 3D interactive de l'assemblage
Paramètre Symbole Valeur Unité
Effort tranchant de calcul \(V_{\text{Ed}}\) 150 \(\text{kN}\)
Nuance de l'acier (poutres, cornières) - S235 -
Limite de rupture de l'acier \(f_{\text{u}}\) 360 \(\text{MPa}\)
Boulons - M20 - Classe 8.8 -
Diamètre du boulon \(d\) 20 \(\text{mm}\)
Résistance à la rupture du boulon \(f_{\text{ub}}\) 800 \(\text{MPa}\)
Épaisseur de l'âme de l'IPE 200 \(t_{\text{w}}\) 5.6 \(\text{mm}\)
Épaisseur de la cornière \(t_{\text{c}}\) 8 \(\text{mm}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance au cisaillement d'un boulon M20 classe 8.8.
  2. Calculer la résistance à la pression diamétrale sur l'âme de l'IPE 200.
  3. Déterminer le nombre de boulons nécessaires pour reprendre l'effort \(V_{\text{Ed}}\).
  4. La disposition proposée avec 2 boulons par cornière est-elle suffisante ?

Les bases du calcul d'assemblages

Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux de l'Eurocode 3 pour les assemblages.

1. Le principe du maillon le plus faible :
Un assemblage peut se rompre de plusieurs manières (modes de ruine). La résistance de l'assemblage est dictée par la plus faible de toutes les résistances calculées pour chaque mode de ruine. On doit donc toutes les vérifier. Pour un assemblage simple en cisaillement, les modes principaux sont :

  • Cisaillement des boulons : Les boulons sont cisaillés.
  • Pression diamétrale (ou poinçonnement) : Le métal autour des trous est écrasé par les boulons.

2. Résistance au cisaillement d'un boulon (\(F_{\text{v,Rd}}\)) :
Elle dépend de la résistance de l'acier du boulon (\(f_{\text{ub}}\)) et de sa section (\(A_{\text{s}}\)). Le plan de cisaillement peut passer par la partie filetée (plus faible) ou non filetée. Par sécurité, on considère la section résistante \(A_{\text{s}}\). \[ F_{\text{v,Rd}} = \frac{\alpha_v \cdot f_{\text{ub}} \cdot A_{\text{s}}}{\gamma_{\text{M2}}} \] Où \(\alpha_v=0.6\) pour les classes 4.6, 5.6, 8.8 et \(\gamma_{\text{M2}}=1.25\) est un coefficient de sécurité.

3. Résistance à la pression diamétrale (\(F_{\text{b,Rd}}\)) :
Elle dépend de la résistance de la plaque (\(f_{\text{u}}\)), de son épaisseur (\(t\)), du diamètre du boulon (\(d\)) et des distances géométriques (pince et entraxe). \[ F_{\text{b,Rd}} = \frac{k_1 \cdot \alpha_b \cdot f_{\text{u}} \cdot d \cdot t}{\gamma_{\text{M2}}} \] Où \(k_1\) et \(\alpha_b\) sont des coefficients géométriques.

Correction : Connexion des Éléments Métalliques

Question 1 : Calculer la résistance au cisaillement d'un boulon

Principe (le concept physique)

On cherche à déterminer la force maximale qu'un seul boulon peut supporter avant d'être cisaillé en deux par les plaques qu'il assemble. Cette résistance dépend directement de la nuance de l'acier du boulon (sa "classe") et de son diamètre. On considère ici un seul plan de cisaillement (entre l'âme de la solive et la cornière).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La classe d'un boulon (ex: 8.8) donne ses caractéristiques mécaniques. Le premier chiffre (8) multiplié par 100 donne la résistance à la rupture \(f_{\text{ub}}\) en MPa (ici 800 MPa). Le produit des deux chiffres (8x8=64) multiplié par 10 donne la limite élastique \(f_{\text{yb}}\) en MPa (ici 640 MPa). Un boulon de classe supérieure (ex: 10.9) sera plus résistant mais aussi moins ductile.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez au boulon comme à un fusible. Il est conçu pour avoir une résistance bien définie. Notre travail est de nous assurer que ce 'fusible' est assez costaud pour le service normal, mais sa résistance reste une valeur connue et maîtrisée.

Normes (la référence réglementaire)

La formule est issue du Tableau 3.4 de l'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-8). Le coefficient \(\gamma_{\text{M2}} = 1.25\) est un coefficient partiel de sécurité appliqué aux assemblages pour tenir compte des incertitudes liées à la mise en œuvre et aux imperfections géométriques.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance au cisaillement pour un plan de cisaillement :

\[ F_{\text{v,Rd}} = \frac{\alpha_v \cdot f_{\text{ub}} \cdot A_{\text{s}}}{\gamma_{\text{M2}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le plan de cisaillement passe par la partie filetée du boulon, ce qui est l'hypothèse la plus sécuritaire. La section résistante \(A_{\text{s}}\) est donc utilisée plutôt que la section brute \(A\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Boulon M20, classe 8.8
  • Résistance à la rupture, \(f_{\text{ub}} = 800 \, \text{MPa}\)
  • Section résistante pour M20, \(A_{\text{s}} = 245 \, \text{mm}^2\) (valeur tabulée)
  • Coefficient \(\alpha_v = 0.6\)
  • Coefficient \(\gamma_{\text{M2}} = 1.25\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Les valeurs de \(A_{\text{s}}\) sont tabulées pour chaque diamètre de boulon. Il est utile de garder une table de ces valeurs à portée de main. Pour un calcul rapide, on peut l'approximer par \(0.78 \times (\pi d^2 / 4)\), mais l'utilisation de la valeur exacte est requise pour un calcul normatif.

Schéma (Avant les calculs)
Mode de ruine : Cisaillement du boulon
Plan de cisaillement
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule de résistance :

\[ \begin{aligned} F_{\text{v,Rd}} &= \frac{0.6 \cdot (800 \, \text{N/mm}^2) \cdot (245 \, \text{mm}^2)}{1.25} \\ &= \frac{117600 \, \text{N}}{1.25} \\ &= 94080 \, \text{N} \\ &= 94.1 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résistance au cisaillement calculée
F_v,Rd = 94.1 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un seul boulon M20 de classe 8.8 peut reprendre un effort de cisaillement de 94.1 kN. C'est la valeur de référence que nous utiliserons pour déterminer le nombre de boulons nécessaires.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la section brute \(A\) et la section résistante \(A_{\text{s}}\). L'utilisation de \(A\) surestimerait la résistance. Attention également au nombre de plans de cisaillement. Dans un assemblage à double couvre-joint, la résistance serait doublée.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance au cisaillement dépend de la classe et du diamètre du boulon.
  • La formule est \(F_{\text{v,Rd}} = (\alpha_v \cdot f_{\text{ub}} \cdot A_{\text{s}}) / \gamma_{\text{M2}}\).
  • C'est une des vérifications fondamentales de tout assemblage boulonné.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les premiers grands ponts métalliques, comme le pont de Brooklyn, n'utilisaient pas de boulons mais des rivets. Les rivets étaient chauffés au rouge, insérés dans les trous, puis martelés pour former une seconde tête. En refroidissant, ils se contractaient, serrant très fortement les plaques ensemble.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si l'assemblage est soumis à un effort alterné ?

Dans ce cas, la fatigue peut devenir un problème. L'Eurocode 3 a des chapitres entiers dédiés au calcul à la fatigue des assemblages pour s'assurer qu'ils ne rompent pas après des milliers de cycles de chargement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance de calcul au cisaillement d'un boulon M20 8.8 est de \(94.1 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la résistance \(F_{\text{v,Rd}}\) (en kN) d'un boulon M16 classe 10.9 (\(f_{\text{ub}}=1000 \, \text{MPa}\), \(A_{\text{s}}=157 \, \text{mm}^2\)) ?

Question 2 : Calculer la résistance à la pression diamétrale sur l'âme de l'IPE 200

Principe (le concept physique)

On vérifie maintenant non plus le boulon, mais la plaque dans laquelle il est inséré. Sous l'effet de l'effort, le boulon appuie très fort sur le bord du trou, ce qui peut écraser ou déchirer le métal. Cette résistance dépend de l'épaisseur de la plaque, de sa nuance d'acier, et de la géométrie de la connexion (distances aux bords).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les coefficients \(\alpha_b\) et \(k_1\) tiennent compte de la géométrie. \(\alpha_b\) est le plus petit de trois termes : \(\frac{e_1}{3d_0}\), \(\frac{p_1}{3d_0} - \frac{1}{4}\), ou \(\frac{f_{\text{ub}}}{f_{\text{u}}}\). Il compare les distances au bord (\(e_1\)) et entre axes (\(p_1\)) au diamètre du trou (\(d_0\)) pour prévenir une rupture prématurée. \(k_1\) est un coefficient similaire pour la direction perpendiculaire à l'effort. Pour un calcul simplifié, on prend souvent la valeur minimale de \(\alpha_b\) qui dépend des distances minimales réglementaires.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez appuyer avec votre pouce sur une feuille de papier : vous la transpercez facilement. Si vous appuyez sur une plaque d'acier, rien ne se passe. La résistance à la pression diamétrale, c'est la même idée : on vérifie que le 'pouce' (le boulon) ne transperce pas le 'papier' (la plaque).

Normes (la référence réglementaire)

La formule est issue du Tableau 3.4 de l'Eurocode 3 (NF EN 1993-1-8). Les règles de distances minimales aux bords et entraxes sont cruciales et définies au paragraphe 3.5 pour éviter ce type de ruine.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance à la pression diamétrale :

\[ F_{\text{b,Rd}} = \frac{k_1 \cdot \alpha_b \cdot f_{\text{u}} \cdot d \cdot t}{\gamma_{\text{M2}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Nous allons faire un calcul simplifié en supposant des distances aux bords et entraxes standards qui nous permettent de déterminer les coefficients. On prendra \(e_1=35 \, \text{mm}\), \(p_1=70 \, \text{mm}\), \(d_0 = d+2 = 22 \, \text{mm}\). On vérifie la pièce la plus fine, qui est l'âme de l'IPE 200 (\(t_{\text{w}} = 5.6 \, \text{mm}\)), car elle sera la plus critique.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Limite de rupture de l'acier, \(f_{\text{u}} = 360 \, \text{MPa}\)
  • Diamètre du boulon, \(d = 20 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur de l'âme, \(t = t_{\text{w}} = 5.6 \, \text{mm}\)
  • Coefficient \(\gamma_{\text{M2}} = 1.25\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La pression diamétrale est souvent le mode de ruine qui dimensionne les assemblages avec des plaques minces. Si vous obtenez une résistance très faible, le premier réflexe est de vérifier si vous ne pouvez pas augmenter l'épaisseur de la pièce la plus faible.

Schéma (Avant les calculs)
Mode de ruine : Pression diamétrale
Écrasement du métal
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des coefficients \(\alpha_b\) et \(k_1\). Pour les bords, on prend \(e_2=40 \, \text{mm}\).

\[ \begin{aligned} \alpha_b &= \min\left(\frac{e_1}{3d_0}; \frac{p_1}{3d_0}-\frac{1}{4}; \frac{f_{\text{ub}}}{f_{\text{u}}}; 1.0\right) \\ &= \min\left(\frac{35}{3 \cdot 22}; \frac{70}{3 \cdot 22}-\frac{1}{4}; \frac{800}{360}; 1.0\right) \\ &= \min(0.53; 0.81; 2.22; 1.0) \\ &= 0.53 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} k_1 &= \min\left(2.8\frac{e_2}{d_0}-1.7; 2.5\right) \\ &= \min\left(2.8\frac{40}{22}-1.7; 2.5\right) \\ &= \min(3.39; 2.5) \\ &= 2.5 \end{aligned} \]

2. Calcul de la résistance \(F_{\text{b,Rd}}\) :

\[ \begin{aligned} F_{\text{b,Rd}} &= \frac{2.5 \cdot 0.53 \cdot (360 \, \text{N/mm}^2) \cdot (20 \, \text{mm}) \cdot (5.6 \, \text{mm})}{1.25} \\ &= \frac{53424 \, \text{N}}{1.25} \\ &= 42739 \, \text{N} \\ &= 42.7 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résistance à la pression diamétrale calculée
F_b,Rd = 42.7 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La résistance à la pression diamétrale (42.7 kN) est bien plus faible que la résistance au cisaillement du boulon (94.1 kN). Cela signifie que dans cette configuration, c'est l'âme de la poutre qui cédera par écrasement bien avant que le boulon ne se cisaille. C'est donc ce mode de ruine qui est dimensionnant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier de vérifier la pression diamétrale, en se concentrant uniquement sur les boulons. Il faut toujours vérifier toutes les pièces d'un assemblage. Une autre erreur est de se tromper dans le calcul des coefficients \(k_1\) et \(\alpha_b\), qui dépendent des directions "parallèle" et "perpendiculaire" à l'effort.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance d'un assemblage dépend aussi des plaques assemblées.
  • La pression diamétrale est souvent critique pour les plaques fines.
  • La résistance \(F_{\text{b,Rd}}\) dépend de l'épaisseur \(t\) et de la géométrie (\(e_1, p_1\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour augmenter la résistance à la pression diamétrale sans changer de profilé, on peut souder localement une plaque de renfort (un 'doublard') sur l'âme de la poutre, augmentant ainsi l'épaisseur \(t\) uniquement dans la zone de l'assemblage.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on \(f_{\text{u}}\) et non \(f_y\) ?

Parce que la pression diamétrale est un phénomène de rupture très localisé. On accepte une plastification locale (écrasement) du matériau autour du trou, et la capacité ultime est donc liée à la résistance à la rupture de l'acier (\(f_{\text{u}}\)) et non à sa limite élastique (\(f_y\)).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La résistance de calcul à la pression diamétrale par boulon sur l'âme de l'IPE 200 est de \(42.7 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'on utilisait une âme de 10 mm d'épaisseur (\(t_{\text{w}}=10\)) au lieu de 5.6 mm, quelle serait la nouvelle résistance \(F_{\text{b,Rd}}\) (en kN) ?

Question 3 : Déterminer le nombre de boulons nécessaires

Principe (le concept physique)

Pour déterminer le nombre de boulons requis, on divise l'effort total à transmettre par la résistance du "maillon le plus faible" de la connexion pour un seul boulon. Dans notre cas, nous avons vu que la pression diamétrale sur l'âme de l'IPE est plus faible que le cisaillement du boulon. C'est donc cette valeur qui va dicter le calcul.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le dimensionnement en ingénierie suit presque toujours la même logique : on compare un 'besoin' (la sollicitation, \(V_{\text{Ed}}\)) à une 'capacité' (la résistance, \(F_{\text{Rd}}\)). La sécurité est assurée si Capacité ≥ Besoin. Ici, on transforme cette inéquation pour trouver le nombre d'éléments (les boulons) nécessaires pour que la capacité totale soit suffisante.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'arrondi à l'entier supérieur est une règle de sécurité fondamentale. Même si le calcul donne 3.05 boulons, on doit en mettre 4. On ne peut pas avoir 'un petit bout de boulon' ! Dans la pratique, on essaie aussi d'utiliser un nombre pair de boulons pour avoir une disposition symétrique.

Normes (la référence réglementaire)

La distribution des efforts dans un groupe de boulons est une hypothèse importante. L'Eurocode 3 (section 3.7) suppose que pour un assemblage simple comme celui-ci, l'effort tranchant se répartit uniformément entre tous les boulons.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Nombre de boulons requis :

\[ n \ge \frac{V_{\text{Ed}}}{F_{\text{min,Rd}}} \quad \text{avec} \quad F_{\text{min,Rd}} = \min(F_{\text{v,Rd}}, F_{\text{b,Rd}}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que tous les boulons sont de même diamètre et de même classe, et qu'ils sont posés correctement. Un boulon mal serré ou un trou mal percé ne reprendrait pas sa part de l'effort, surchargeant les autres.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Effort tranchant de calcul, \(V_{\text{Ed}} = 150 \, \text{kN}\)
  • Résistance au cisaillement, \(F_{\text{v,Rd}} = 94.1 \, \text{kN}\) (de Q1)
  • Résistance à la pression diamétrale, \(F_{\text{b,Rd}} = 42.7 \, \text{kN}\) (de Q2)
Astuces(Pour aller plus vite)

Quand vous faites le calcul, gardez toujours en tête quel mode de ruine est le plus faible. C'est lui, et lui seul, qui doit être utilisé pour déterminer le nombre de boulons. Utiliser la résistance la plus forte mènerait à un dimensionnement non sécuritaire.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre des Forces : Effort vs Résistance
V_Ed = 150 kNASSEMBLAGEn x F_min,Rd = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Déterminer la résistance minimale par boulon :

\[ \begin{aligned} F_{\text{min,Rd}} &= \min(94.1 \, \text{kN}, 42.7 \, \text{kN}) \\ &= 42.7 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Calculer le nombre de boulons :

\[ \begin{aligned} n &\ge \frac{150 \, \text{kN}}{42.7 \, \text{kN/boulon}} \\ &\ge 3.51 \end{aligned} \]

Le nombre de boulons doit être un entier. On arrondit donc toujours à l'entier supérieur.

\[ n = 4 \, \text{boulons} \]
Schéma (Après les calculs)
Nombre de boulons requis
V_Ed = 150 kN4 BOULONS4x42.7=170.8 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le calcul montre qu'il faut un minimum de 4 boulons pour transférer l'effort de 150 kN en toute sécurité. Ces 4 boulons doivent relier les cornières à l'âme de la solive IPE 200.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à la cohérence des unités. Si \(V_{\text{Ed}}\) est en kN et \(F_{\text{min,Rd}}\) est en kN, le résultat est sans dimension, ce qui est correct pour un nombre de boulons. Une erreur d'unité (kN et N) donnerait un résultat absurde.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance de l'assemblage est la résistance du maillon le plus faible.
  • Le nombre de boulons est l'effort total divisé par cette résistance minimale.
  • Toujours arrondir au nombre entier supérieur.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les assemblages très longs (plus de 15 fois le diamètre du boulon), les boulons aux extrémités travaillent plus que ceux du milieu. L'Eurocode impose alors un coefficient de réduction pour tenir compte de cette répartition non uniforme de l'effort.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si l'effort est aussi un moment ?

Dans ce cas (assemblage par platine d'extrémité par exemple), la répartition de l'effort n'est plus uniforme. Les boulons les plus éloignés du centre de rotation sont les plus sollicités. Le calcul est alors plus complexe et fait intervenir le moment d'inertie du groupe de boulons.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Il faut un minimum de 4 boulons pour cet assemblage.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'effort \(V_{\text{Ed}}\) était de 200 kN, combien de boulons faudrait-il ?

Question 4 : La disposition proposée est-elle suffisante ?

Principe (le concept physique)

On compare le nombre de boulons requis par le calcul (de Q3) au nombre de boulons effectivement présents dans la conception proposée. L'assemblage est réalisé par deux cornières, et le schéma montre 2 boulons par cornière, soit 4 boulons au total, qui relient les cornières à l'âme de l'IPE.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La dernière étape du dimensionnement est la 'vérification'. C'est une étape de synthèse où l'on confirme que la solution technique choisie (la géométrie, le nombre de boulons) satisfait bien aux exigences du calcul. C'est une comparaison simple entre ce qui est 'fourni' et ce qui est 'requis'.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette question peut sembler simple, mais elle est essentielle. Elle représente la conclusion de la note de calcul de l'ingénieur : 'L'assemblage proposé est conforme'. C'est la réponse finale que le bureau de contrôle attend.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 (et toutes les normes de calcul) est basé sur ce principe de vérification. La formule générale est toujours de la forme \(E_{\text{d}} \le R_{\text{d}}\), où \(E_{\text{d}}\) est la valeur de calcul de l'effet des actions (la sollicitation) et \(R_{\text{d}}\) est la valeur de calcul de la résistance.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Condition de vérification :

\[ n_{\text{fourni}} \ge n_{\text{requis}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la disposition géométrique des 4 boulons respecte les règles de pinces et d'entraxes minimaux et maximaux de l'Eurocode 3, ce qui assure que notre calcul de résistance par boulon est valide.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Nombre de boulons requis, \(n_{\text{requis}} = 4\) (de Q3)
  • Nombre de boulons fournis, \(n_{\text{fourni}} = 4\) (de l'énoncé)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour optimiser, on cherche à avoir un 'ratio de travail' (\(E_{\text{d}} / R_{\text{d}}\)) proche de 100%, mais sans le dépasser. Un ratio de 30% signifie que l'assemblage est surdimensionné (trop cher). Un ratio de 105% signifie qu'il n'est pas conforme.

Schéma (Avant les calculs)
Vérification Finale : Conception vs Calcul
Conception Proposée(2x2 = 4 boulons)Calcul Réglementaire(n_requis = ?)≥ ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Nombre de boulons fournis par la conception :

\[ n_{\text{fourni}} = 2 \, \text{cornières} \times 2 \, \text{boulons/cornière} = 4 \, \text{boulons} \]

2. Nombre de boulons requis par le calcul :

\[ n_{\text{requis}} = 4 \, \text{boulons} \]

3. Vérification :

\[ n_{\text{fourni}} (4) \ge n_{\text{requis}} (4) \Rightarrow \text{OK} \]
Schéma (Après les calculs)
Conformité de l'assemblage
Fourni : 4 boulonsRequis : 4 boulons✔️
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La disposition proposée est juste suffisante pour reprendre l'effort. La résistance totale de l'assemblage est \(4 \times 42.7 \, \text{kN} = 170.8 \, \text{kN}\), ce qui est supérieur à l'effort appliqué de 150 kN. Le ratio de travail est de \(150 / 170.8 = 88\%\), ce qui est un bon dimensionnement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Il ne faut pas oublier de vérifier également la connexion des cornières sur la poutre principale (le HEA). Cet exercice se concentre sur la connexion sur la solive, mais dans un cas réel, il faudrait faire le même calcul pour les boulons qui se fixent dans l'âme du HEA, qui est plus épaisse et donc probablement moins critique pour la pression diamétrale.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La conception finale doit fournir au moins autant de résistance que nécessaire.
  • La vérification est la comparaison directe entre le fourni et le requis.
  • Un bon dimensionnement est à la fois sûr (\(R_{\text{d}} > E_{\text{d}}\)) et économique (ratio de travail élevé).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans l'industrie automobile ou aéronautique, les coefficients de sécurité sont souvent plus faibles qu'en bâtiment. Le poids est un critère tellement critique que les ingénieurs travaillent avec des marges plus faibles, compensées par des contrôles de qualité et des analyses beaucoup plus poussées.

FAQ (pour lever les doutes)
Que faire si la disposition n'est pas suffisante ?

L'ingénieur a plusieurs options : augmenter le nombre de boulons (passer à 3 par cornière, soit 6 au total), augmenter le diamètre des boulons (passer en M24), utiliser des boulons de classe supérieure (10.9), ou augmenter l'épaisseur de la plaque la plus faible (renforcer l'âme de l'IPE).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Oui, la disposition avec 4 boulons (2 par cornière) est suffisante pour reprendre l'effort tranchant de 150 kN.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la conception proposait 3 boulons par cornière (6 au total), quel serait le nouveau ratio de travail de l'assemblage ? (en %)

Outil Interactif : Paramètres de l'Assemblage

Modifiez les paramètres de l'assemblage pour voir leur influence sur les résistances.

Paramètres d'Entrée
150 kN
Résistances par Boulon
Résistance Cisaillement (F_v,Rd) (kN) -
Résistance Pression Diamétrale (F_b,Rd) (kN) -
Nombre de Boulons Requis (n) -

Le Saviez-Vous ?

Le viaduc de Millau, un des ponts les plus hauts du monde, est un chef-d'œuvre de la construction métallique. Ses pylônes et son tablier en acier sont assemblés par des dizaines de milliers de boulons à Haute Résistance (HR) précontraints. Ces boulons ne travaillent pas en cisaillement, mais serrent les plaques si fort que c'est le frottement entre elles qui transmet les efforts.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi ne vérifie-t-on pas la traction dans les boulons ici ?

Dans cet assemblage articulé, l'effort principal est un effort tranchant (\(V_{\text{Ed}}\)) qui tend à cisailler les boulons. Il n'y a pas de moment fléchissant transmis par la connexion, donc pas d'effort de traction significatif sur les boulons. Les assemblages qui transmettent un moment (encastrements) ont des boulons qui travaillent à la fois en cisaillement et en traction, ce qui est plus complexe à calculer.

Quelle est la différence entre un boulon 8.8 et un boulon 10.9 ?

Un boulon de classe 10.9 est fabriqué à partir d'un acier de plus haute résistance. Sa résistance à la rupture (\(f_{\text{ub}}\)) est de 1000 MPa contre 800 MPa pour un 8.8. Il est donc environ 25% plus résistant pour un même diamètre. Cependant, il est aussi plus cher et moins ductile (il se déforme moins avant de rompre), ce qui peut être un inconvénient dans certaines applications, notamment en zone sismique.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on double l'épaisseur de la plaque la plus fine, la résistance à la pression diamétrale (\(F_{\text{b,Rd}}\)) va approximativement...

2. Pour un assemblage donné, si la résistance au cisaillement d'un boulon est de 100 kN et sa résistance à la pression diamétrale est de 80 kN, quelle valeur utilise-t-on pour calculer le nombre de boulons ?

Cisaillement
Sollicitation mécanique qui tend à faire glisser les plans d'un matériau les uns par rapport aux autres. Pour un boulon, c'est l'effort qui tend à le couper perpendiculairement à son axe.
Pression Diamétrale
Également appelée résistance au poinçonnement. C'est la capacité d'une plaque à résister à l'écrasement localisé du matériau par la tige du boulon. Ce mode de ruine est souvent critique dans les plaques minces.
Classe de Boulon (ex: 8.8)
Désignation normalisée qui définit les caractéristiques mécaniques de l'acier du boulon, notamment sa résistance à la rupture (\(f_{\text{ub}}\)) et sa limite d'élasticité (\(f_{\text{yb}}\)).
Connexion des Éléments Métalliques

Techniques de Connexion des Éléments Métalliques

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