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Cisaillement et Moment d’un Profilé HEA

Cisaillement et Moment d’un Profilé HEA

Cisaillement et Moment d’un Profilé HEA

Contexte : Les porte-à-faux dans la construction.

Les structures en porte-à-faux, ou consoles, sont des éléments porteurs encastrés à une seule de leurs extrémités, comme les balcons, les auvents ou les potences industrielles. Leur calcul est critique car tous les efforts (moment fléchissant et effort tranchant) sont repris par un unique appui : l'encastrement. Les profilés HEA, avec leurs larges semelles, sont souvent utilisés pour ce type d'application en raison de leur grande rigidité et de leur résistance à la flexion et à la torsion. Cet exercice vous propose de vérifier la conformité d'une console en HEA soumise à des charges permanentes et d'exploitation.

Remarque Pédagogique : Ce cas d'étude est fondamental car il met en évidence le comportement d'une structure hyperstatique simple. Contrairement à une poutre sur deux appuis, le moment maximal et l'effort tranchant maximal se situent au même endroit : à l'encastrement. Nous allons vérifier la résistance du profilé à ces deux sollicitations combinées et nous verrons que la déformation (la flèche) est souvent le critère le plus pénalisant pour ce type de structure.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les réactions d'appui (effort et moment) d'une console.
  • Déterminer les sollicitations de calcul \(M_{\text{Ed}}\) et \(V_{\text{Ed}}\) à l'ELU.
  • Vérifier la résistance d'un profilé HEAPoutrelle en H à larges ailes (Profil Européen). Très robuste, il est souvent utilisé comme poteau ou comme poutre fortement sollicitée. à la flexion.
  • Introduire et vérifier la résistance du profilé au cisaillement.
  • Calculer et vérifier la flèche d'une console à l'ELS en utilisant le principe de superposition.

Données de l'étude

On étudie une potence métallique (poutre en console) encastrée dans un mur en béton. La poutre est un profilé HEA qui supporte des charges réparties (son poids propre et celui d'équipements) ainsi qu'une charge ponctuelle à son extrémité libre (un palan par exemple).

Schéma de la poutre en console
p (G+S) F (F_G+F_Q) Portée, L = 5 m
Schéma 3D interactif du profilé HEA
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée de la console \(L\) 5.0 \(\text{m}\)
Charge répartie permanente \(G\) 5.0 \(\text{kN/m}\)
Charge répartie d'exploitation \(S\) 4.0 \(\text{kN/m}\)
Charge ponctuelle permanente \(F_{\text{G}}\) 10.0 \(\text{kN}\)
Charge ponctuelle d'exploitation \(F_{\text{Q}}\) 15.0 \(\text{kN}\)
Nuance de l'acier - S275 -
Limite d'élasticité \(f_{\text{y}}\) 275 \(\text{MPa}\)
Limite de flèche admissible \(f_{\text{adm}}\) L / 250 -

Questions à traiter

  1. Calculer les charges de calcul à l'ELU (\(p_{\text{Ed}}\) et \(F_{\text{Ed}}\)).
  2. Déterminer les réactions d'appui à l'encastrement (\(V_{\text{Ed,max}}\) et \(M_{\text{Ed,max}}\)).
  3. Choisir un profilé HEA et vérifier sa résistance à la flexion ET au cisaillement.
  4. Vérifier la flèche du profilé choisi à l'ELS.

Les bases du calcul de structure métallique

Pour cet exercice, nous utilisons les formules de la poutre en console.

1. Les États Limites (ELU & ELS) :
La philosophie reste la même :

  • ELU (Résistance) : On utilise des charges majorées (\(1.35 \cdot G + 1.5 \cdot Q\)) pour vérifier que la structure ne rompt pas.
  • ELS (Service) : On utilise des charges réelles (\(G + Q\)) pour vérifier que la structure ne se déforme pas excessivement.

2. Formules pour une console :
Les efforts maximaux se trouvent toujours à l'encastrement. Pour une charge répartie \(p\) et une charge ponctuelle \(F\) en bout : \[ V_{\text{max}} = p \cdot L + F \] \[ M_{\text{max}} = \frac{p \cdot L^2}{2} + F \cdot L \]

3. Vérification de la résistance au cisaillement :
En plus de la flexion, on doit vérifier que l'effort tranchant de calcul (\(V_{\text{Ed}}\)) est inférieur à la résistance plastique au cisaillement (\(V_{\text{pl,Rd}}\)). La formule est : \[ V_{\text{pl,Rd}} = \frac{A_{\text{v}} \cdot f_{\text{y}}}{\sqrt{3} \cdot \gamma_{\text{M0}}} \ge V_{\text{Ed}} \] Où \(A_{\text{v}}\) est l'aire de cisaillement du profilé (donnée dans les catalogues).

Correction : Cisaillement et Moment d’un Profilé HEA

Question 1 : Calculer les charges de calcul à l'ELU

Principe (le concept physique)

La première étape est de déterminer la sollicitation la plus défavorable que la structure subira au cours de sa vie, en tenant compte des incertitudes. On applique donc les coefficients de sécurité de l'Eurocode aux charges permanentes (G) et d'exploitation (Q ou S) pour obtenir les charges de calcul à l'ELU.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette approche est dite "semi-probabiliste". Les coefficients de sécurité (par exemple, 1.35 et 1.5) ne sont pas arbitraires ; ils sont calibrés pour assurer que la probabilité de défaillance de la structure reste en dessous d'un seuil acceptable sur toute sa durée de vie, en considérant les variabilités statistiques des charges et des résistances des matériaux.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Considérez cette étape comme la définition du "cahier des charges" de votre structure. Une erreur ici, comme sous-estimer une charge ou inverser un coefficient, invalidera tous les calculs qui suivent. La rigueur est essentielle dès le début.

Normes (la référence réglementaire)

La combinaison d'actions est définie dans la norme NF EN 1990 (Eurocode 0 : Bases de calcul des structures). Pour les bâtiments, la combinaison fondamentale la plus courante est donnée par l'équation 6.10.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Combinaison d'actions fondamentale à l'ELU :

\[ p_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot G + 1.5 \cdot S \]
\[ F_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot F_{\text{G}} + 1.5 \cdot F_{\text{Q}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les charges d'exploitation (neige, palan) sont les seules charges variables et qu'elles agissent simultanément de la manière la plus défavorable.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges réparties : \(G = 5.0 \, \text{kN/m}\), \(S = 4.0 \, \text{kN/m}\)
  • Charges ponctuelle : \(F_{\text{G}} = 10.0 \, \text{kN}\), \(F_{\text{Q}} = 15.0 \, \text{kN}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour éviter les erreurs, traitez séparément la charge répartie et la charge ponctuelle. Calculez \(p_{\text{Ed}}\) d'un côté et \(F_{\text{Ed}}\) de l'autre avant de les utiliser dans les étapes suivantes.

Schéma (Avant les calculs)
Combinaison des charges sur la console
Charges RépartiesG+S→p_EdCharges PonctuellesF_G+F_Q→F_Ed
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Charge répartie de calcul :

\[ \begin{aligned} p_{\text{Ed}} &= 1.35 \cdot (5.0 \, \text{kN/m}) + 1.5 \cdot (4.0 \, \text{kN/m}) \\ &= 6.75 \, \text{kN/m} + 6.0 \, \text{kN/m} \\ &= 12.75 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Charge ponctuelle de calcul :

\[ \begin{aligned} F_{\text{Ed}} &= 1.35 \cdot (10.0 \, \text{kN}) + 1.5 \cdot (15.0 \, \text{kN}) \\ &= 13.5 \, \text{kN} + 22.5 \, \text{kN} \\ &= 36.0 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charges de calcul ELU sur la console
Charge répartie p_EdCharge ponctuelle F_Ed
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons transformé les charges de service en charges de calcul. Celles-ci représentent un scénario majoré qui sera utilisé pour toutes les vérifications de résistance (ELU). La charge totale verticale à reprendre est de \(12.75 \times 5 + 36 = 99.75\) kN.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas mélanger les charges réparties (en kN/m) et les charges ponctuelles (en kN). Elles contribuent différemment aux efforts internes. Appliquez les coefficients à chaque charge de service avant de les combiner.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le calcul à l'ELU utilise des charges majorées pour garantir la sécurité.
  • La formule de base est \(1.35 \times \text{Permanent} + 1.5 \times \text{Variable}\).
  • On applique cette pondération à chaque type de charge (répartie, ponctuelle).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans certains cas, comme pour vérifier la stabilité au soulèvement, on utilise une combinaison défavorable où les charges permanentes sont minorées (par exemple, \(0.9 \cdot G\)) pour simuler le cas le plus critique.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le coefficient pour les charges variables est-il plus grand ?

Parce qu'elles sont plus incertaines. Le poids propre d'une structure (charge permanente) est connu avec une bonne précision, alors que les charges d'exploitation (neige, vent, foule) sont de nature aléatoire et peuvent atteindre des pics exceptionnels. Le coefficient plus élevé reflète cette incertitude.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les charges de calcul à l'ELU sont \(p_{\text{Ed}} = 12.75 \, \text{kN/m}\) et \(F_{\text{Ed}} = 36.0 \, \text{kN}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge ponctuelle d'exploitation \(F_{\text{Q}}\) était de 20 kN, quelle serait la nouvelle valeur de \(F_{\text{Ed}}\) en kN ?

Question 2 : Déterminer les réactions d'appui à l'encastrement

Principe (le concept physique)

Pour une poutre en console, l'encastrement doit fournir une réaction verticale pour équilibrer toutes les charges appliquées, et un moment de réaction pour empêcher la poutre de pivoter. Ces réactions sont, par définition, les efforts internes maximaux dans la poutre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les diagrammes des efforts pour une console sont simples : l'effort tranchant est linéaire (ou constant s'il n'y a que des charges ponctuelles) et maximal à l'encastrement. Le moment fléchissant est parabolique (ou linéaire) et également maximal (en valeur absolue) à l'encastrement, où il est négatif (fibre supérieure tendue).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la différence fondamentale avec une poutre sur deux appuis : ici, l'effort tranchant et le moment fléchissant sont maximaux au même endroit. Cela rend la vérification de l'encastrement et de la section à cet endroit absolument critique.

Normes (la référence réglementaire)

Ces calculs relèvent des principes de base de la statique et de la résistance des matériaux (RdM), qui sont les fondements sur lesquels les Eurocodes sont bâtis. Les normes ne détaillent pas ces formules, les considérant comme acquises.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Les réactions à l'encastrement (et donc les efforts maximaux) sont :

\[ V_{\text{Ed,max}} = p_{\text{Ed}} \cdot L + F_{\text{Ed}} \]
\[ M_{\text{Ed,max}} = \frac{p_{\text{Ed}} \cdot L^2}{2} + F_{\text{Ed}} \cdot L \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose un encastrement parfait, ce qui signifie que la section à l'appui ne peut ni se déplacer ni tourner. On applique le principe de superposition : l'effet total est la somme des effets de chaque charge.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges de calcul : \(p_{\text{Ed}} = 12.75 \, \text{kN/m}\), \(F_{\text{Ed}} = 36.0 \, \text{kN}\)
  • Portée de la console, \(L = 5.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour le moment, pensez "force fois bras de levier". La force totale de la charge répartie est \(p_{\text{Ed}} \cdot L\), et son "centre de gravité" est à \(L/2\) de l'encastrement, d'où le terme \( (p_{\text{Ed}}L) \cdot (L/2) = p_{\text{Ed}}L^2/2 \). La force ponctuelle \(F_{\text{Ed}}\) est à un bras de levier de \(L\), d'où le terme \(F_{\text{Ed}} \cdot L\).

Schéma (Avant les calculs)
Diagrammes des Efforts Internes (Forme attendue)
Effort Tranchant (V)V_max?Moment Fléchissant (M)M_max?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de l'effort tranchant maximal :

\[ \begin{aligned} V_{\text{Ed,max}} &= (12.75 \, \text{kN/m} \cdot 5.0 \, \text{m}) + 36.0 \, \text{kN} \\ &= 63.75 \, \text{kN} + 36.0 \, \text{kN} \\ &= 99.75 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Calcul du moment fléchissant maximal :

\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed,max}} &= \frac{12.75 \, \text{kN/m} \cdot (5.0 \, \text{m})^2}{2} + (36.0 \, \text{kN} \cdot 5.0 \, \text{m}) \\ &= \frac{12.75 \cdot 25}{2} + 180 \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ &= 159.375 + 180 \\ &= 339.38 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagrammes des Efforts Internes
Effort Tranchant (V)V_Ed,maxMoment Fléchissant (M)M_Ed,max
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons maintenant les efforts maximaux que la section à l'encastrement doit pouvoir supporter. Le moment de 339.38 kNm est très important et sera le facteur principal pour le dimensionnement. L'effort tranchant de 99.75 kN est également significatif et devra être vérifié.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier un des termes dans le calcul du moment, ou d'utiliser la mauvaise formule (par exemple \(pL^2/8\), qui est pour une poutre sur deux appuis). Pour une console, le moment dû à la charge répartie est bien en \(pL^2/2\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Pour une console, les efforts \(V\) et \(M\) sont maximaux à l'encastrement.
  • Le moment est la somme des moments créés par chaque charge (\(M = M_p + M_F\)).
  • L'effort tranchant est la somme de toutes les forces verticales.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les structures réelles, un encastrement n'est jamais parfaitement rigide. Il y a toujours une petite rotation à l'appui, ce qui a pour effet de légèrement réduire le moment maximal à l'encastrement mais d'augmenter la flèche en bout de console. Des modèles plus complexes peuvent prendre en compte cette "flexibilité" de l'appui.

FAQ (pour lever les doutes)
Le poids propre de la poutre est-il pris en compte ?

Oui, il est supposé inclus dans la charge répartie permanente G. Dans un calcul d'ingénieur, on fait une première estimation, on choisit un profilé, puis on vérifie que son poids réel est bien couvert par la valeur de G utilisée, en ajustant si nécessaire.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les sollicitations maximales sont \(V_{\text{Ed}} = 99.75 \, \text{kN}\) et \(M_{\text{Ed}} = 339.38 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée L était de 4 m (au lieu de 5 m), quel serait le nouveau moment maximal \(M_{\text{Ed,max}}\) en kNm ?

Question 3 : Choisir un profilé HEA et vérifier sa résistance

Principe (le concept physique)

Nous devons trouver un profilé HEA dont la capacité de résistance en flexion (\(M_{\text{Rd}}\)) et au cisaillement (\(V_{\text{Rd}}\)) est supérieure aux sollicitations de calcul (\(M_{\text{Ed}}\) et \(V_{\text{Ed}}\)). On commence par la flexion, qui est généralement le critère principal, puis on vérifie le cisaillement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance en flexion dépend de la forme de la section (\(W_{\text{pl}}\)) et de la nuance d'acier (\(f_{\text{y}}\)). La résistance au cisaillement dépend principalement de l'âme du profilé (son "aire de cisaillement" \(A_{\text{v}}\)) et de la nuance d'acier. Pour les profilés en H, l'âme reprend la quasi-totalité de l'effort tranchant, tandis que les semelles reprennent la quasi-totalité du moment fléchissant.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est ici que l'on passe du calcul abstrait au choix d'un objet concret. La démarche est toujours la même : 1. Calculer la "capacité requise" (ici, \(W_{\text{pl,y,req}}\)). 2. Consulter un catalogue pour trouver le profilé le plus économique qui satisfait ce besoin. 3. Vérifier toutes les autres conditions (ici, le cisaillement).

Normes (la référence réglementaire)

Les formules de vérification de la résistance en flexion et au cisaillement pour les sections de Classe 1, 2 ou 3 sont données dans la norme NF EN 1993-1-1, aux chapitres 6.2.5 et 6.2.6 respectivement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Flexion :

\[ W_{\text{pl,y,req}} \ge \frac{M_{\text{Ed}}}{f_{\text{y}}} \quad | \quad \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{\text{pl,Rd}}} \le 1.0 \]

2. Cisaillement :

\[ V_{\text{pl,Rd}} = \frac{A_{\text{v}} \cdot f_{\text{y}}}{\sqrt{3} \cdot \gamma_{\text{M0}}} \quad | \quad \frac{V_{\text{Ed}}}{V_{\text{pl,Rd}}} \le 1.0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le profilé est de Classe 1, 2 ou 3, ce qui est le cas des HEA courants. On suppose également que le déversement (flambement latéral) est empêché, ce qui est une hypothèse à vérifier dans un cas réel.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_{\text{Ed}} = 339.38 \, \text{kNm}\)
  • \(V_{\text{Ed}} = 99.75 \, \text{kN}\)
  • \(f_{\text{y}} = 275 \, \text{MPa}\)
  • \(\gamma_{\text{M0}} = 1.0\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les calculs de résistance, convertissez tout en N et mm : \(M_{\text{Ed}} = 339.38 \times 10^6\) Nmm, \(V_{\text{Ed}} = 99.75 \times 10^3\) N. \(f_{\text{y}}\) est déjà en N/mm². Les résultats des catalogues (\(W_{\text{pl}}\) en cm³, \(A_{\text{v}}\) en cm²) devront être convertis (\(1\text{cm}^3=10^3\text{mm}^3\), \(1\text{cm}^2=10^2\text{mm}^2\)).

Schéma (Avant les calculs)
Processus de Sélection et Vérification
M_Ed & V_EdCalculer W_pl,reqChoisir HEA& Vérifier M et V
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du module de section plastique requis pour la flexion :

\[ \begin{aligned} W_{\text{pl,y,req}} &\ge \frac{M_{\text{Ed}} \cdot \gamma_{\text{M0}}}{f_{\text{y}}} \\ &= \frac{339.38 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{275 \, \text{N/mm}^2} \\ &\ge 1234109 \, \text{mm}^3 \\ &\ge 1234.1 \, \text{cm}^3 \end{aligned} \]

2. Sélection dans le catalogue. On cherche le premier HEA avec \(W_{\text{pl,y}} > 1234.1 \, \text{cm}^3\).

Profilé\(W_{\text{pl,y}}\) (cm³)\(A_{\text{v}}\) (cm²)Choix
HEA 280107649.6❌
HEA 300126055.0✔️

On choisit donc le profilé HEA 300.

3. Vérification de la résistance à la flexion pour le HEA 300 :

\[ \begin{aligned} M_{\text{c,Rd}} &= \frac{W_{\text{pl,y}} \cdot f_{\text{y}}}{\gamma_{\text{M0}}} \\ &= \frac{1260 \times 10^3 \cdot 275}{1.0} \\ &= 346.5 \times 10^6 \, \text{Nmm} \\ &= 346.5 \, \text{kNm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Ratio Flexion} &= \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{\text{c,Rd}}} \\ &= \frac{339.38}{346.5} \\ &= 0.98 \le 1.0 \quad \Rightarrow \text{OK} \end{aligned} \]

4. Vérification de la résistance au cisaillement pour le HEA 300 :

\[ \begin{aligned} V_{\text{pl,Rd}} &= \frac{A_{\text{v}} \cdot f_{\text{y}}}{\sqrt{3} \cdot \gamma_{\text{M0}}} \\ &= \frac{(55.0 \times 10^2 \, \text{mm}^2) \cdot 275 \, \text{N/mm}^2}{\sqrt{3} \cdot 1.0} \\ &= 874341 \, \text{N} \\ &= 874.3 \, \text{kN} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Ratio Cisaillement} &= \frac{V_{\text{Ed}}}{V_{\text{pl,Rd}}} \\ &= \frac{99.75}{874.3} \\ &= 0.11 \le 1.0 \quad \Rightarrow \text{OK} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification des Résistances
FlexionSollicitation (M_Ed)Résistance (M_Rd)CisaillementSollicitation (V_Ed)Résistance (V_Rd)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le profilé HEA 300 est validé pour la résistance. Il travaille à 98% de sa capacité en flexion, ce qui est très optimisé. Sa résistance au cisaillement est très largement supérieure à la sollicitation, ce qui est typique pour les profilés laminés en flexion.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier de vérifier le cisaillement, même s'il est rarement dimensionnant pour ce type de profilé. Dans le cas de poutres courtes et très chargées, ou avec des charges importantes près des appuis, le cisaillement peut devenir critique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le dimensionnement commence par le calcul du module de section plastique requis (\(W_{\text{pl,y,req}}\)).
  • On choisit le profilé le plus léger qui satisfait cette exigence.
  • On vérifie ensuite la résistance au cisaillement avec l'aire de cisaillement \(A_{\text{v}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

S'il y a un effort normal de compression important en plus de la flexion (ce qui est courant dans les portiques), il faut vérifier l'interaction entre les efforts. La présence de compression réduit la capacité de la poutre à reprendre du moment fléchissant.

FAQ (pour lever les doutes)
Qu'est-ce que le \(\sqrt{3}\) dans la formule du cisaillement ?

Il provient du critère de plasticité de von Mises. Il relie la contrainte de cisaillement limite à la contrainte de traction limite (la limite d'élasticité \(f_{\text{y}}\)). Pour l'acier, la limite en cisaillement est environ \(f_{\text{y}} / \sqrt{3}\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le profilé HEA 300 est adéquat du point de vue de la résistance (ELU).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on utilisait un acier S355 (\(f_{\text{y}} = 355\) MPa), quel serait le nouveau \(W_{\text{pl,y,req}}\) en cm³ ?

Question 4 : Vérifier la flèche à l'ELS

Principe (le concept physique)

Il faut maintenant s'assurer que la déformation de la console sous les charges de service (non majorées) reste acceptable. On calcule la flèche due à chaque charge (répartie et ponctuelle) et on les additionne (principe de superposition).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La flèche d'une console est très sensible à sa longueur. La formule pour une charge répartie contient \(L^4\) et celle pour une charge ponctuelle en bout contient \(L^3\). C'est pourquoi les porte-à-faux sont structurellement "coûteux" et leur portée est souvent limitée. La rigidité en flexion, caractérisée par le produit \(E \cdot I_{\text{y}}\) (Module de Young \(\times\) Moment quadratique), est le seul paramètre qui s'oppose à cette déformation.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour les consoles, la vérification de la flèche est presque toujours plus difficile à satisfaire que la vérification de la résistance. Une console peut être très solide mais donner une impression d'insécurité si elle est trop souple. C'est un critère de confort et de fonctionnalité primordial.

Normes (la référence réglementaire)

Les limites de déformation sont généralement spécifiées dans l'Annexe Nationale de l'Eurocode 3. Une limite de L/250 est courante pour les consoles supportant des éléments non fragiles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Flèche totale = Flèche (charge répartie) + Flèche (charge ponctuelle)

\[ f_{\text{max}} = \frac{p_{\text{ser}} \cdot L^4}{8 \cdot E \cdot I_{\text{y}}} + \frac{F_{\text{ser}} \cdot L^3}{3 \cdot E \cdot I_{\text{y}}} \le f_{\text{adm}} = \frac{L}{250} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise le principe de superposition, valide dans le domaine élastique (ELS). On considère que le module de Young de l'acier est \(E = 210000\) MPa.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges de service : \(p_{\text{ser}} = 9.0\) kN/m, \(F_{\text{ser}} = 25.0\) kN
  • Profilé : HEA 300, avec \(I_{\text{y}} = 18260 \, \text{cm}^4\)
  • Portée \(L = 5.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La cohérence des unités est cruciale ici. Le plus sûr est de tout convertir en Newtons (N) et millimètres (mm) avant d'appliquer les formules. N'oubliez pas que \(1 \text{ kN/m} = 1 \text{ N/mm}\).

Schéma (Avant les calculs)
Vérification de la Flèche de la Console
f_max = ?Limite adm. = L/250
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Charges et données de service pour le HEA 300 (\(I_{\text{y}} = 18260 \, \text{cm}^4\)) :

\[ \begin{aligned} p_{\text{ser}} &= 5.0 + 4.0 = 9.0 \, \text{kN/m} \\ &= 9.0 \, \text{N/mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} F_{\text{ser}} &= 10.0 + 15.0 = 25.0 \, \text{kN} \\ &= 25000 \, \text{N} \end{aligned} \]
\[ L = 5000 \, \text{mm} \quad | \quad I_{\text{y}} = 18260 \times 10^4 \, \text{mm}^4 \]

2. Calcul des flèches :

\[ \begin{aligned} f_{\text{répartie}} &= \frac{9.0 \cdot (5000)^4}{8 \cdot 210000 \cdot (18260 \times 10^4)} \\ &= 18.4 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{\text{ponctuelle}} &= \frac{25000 \cdot (5000)^3}{3 \cdot 210000 \cdot (18260 \times 10^4)} \\ &= 27.2 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{\text{totale}} &= 18.4 + 27.2 \\ &= 45.6 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Vérification :

\[ \begin{aligned} f_{\text{adm}} &= \frac{L}{250} \\ &= \frac{5000 \, \text{mm}}{250} \\ &= 20 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ 45.6 \, \text{mm} > 20 \, \text{mm} \quad (\text{Ratio} = 45.6/20 \approx 2.28 > 1.0) \Rightarrow \text{NON CONFORME} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Flèche Calculée vs Admissible
f_admf_max
Réflexions (l'interprétation du résultat)

C'est un résultat classique : le profilé HEA 300, parfaitement dimensionné pour la résistance, est beaucoup trop souple. La flèche est plus du double de la limite admissible. Cela signifie que le dimensionnement de cette console est piloté par la condition de rigidité (l'ELS) et non par la résistance (l'ELU). L'ingénieur doit choisir un profilé avec une inertie \(I_{\text{y}}\) bien plus grande (par exemple un HEA 360 ou HEA 400) et tout revérifier.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser les mauvaises formules de flèche (celles pour poutre sur deux appuis au lieu de celles pour console) est une erreur grave. De plus, il faut impérativement utiliser les charges de service (non pondérées) pour cette vérification.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de la flèche se fait à l'ELS avec les charges réelles (\(G+Q\)).
  • Pour les consoles, la flèche est souvent le critère dimensionnant.
  • On utilise le principe de superposition : \(f_{\text{totale}} = f_{\text{répartie}} + f_{\text{ponctuelle}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les consoles très longues, on peut utiliser des poutres à inertie variable : le profilé est plus haut (plus rigide) à l'encastrement, là où le moment est maximal, et s'affine vers l'extrémité libre. C'est une façon d'optimiser la quantité de matière tout en contrôlant la flèche.

FAQ (pour lever les doutes)
La limite de flèche est-elle toujours L/250 ?

Non, pour les consoles, la limite est souvent plus stricte, par exemple L/180 ou L/150, car la déformation est plus visible et peut être plus gênante. La valeur exacte dépend des normes nationales et de l'usage de la structure.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La flèche du HEA 300 (45.6 mm) est supérieure à la flèche admissible (20 mm). Le profilé n'est donc pas validé.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la flèche totale (en mm) si on utilisait un HEA 400 (\(I_{\text{y}} = 51580 \, \text{cm}^4\)) ?

Outil Interactif : Paramètres de la Console

Modifiez les paramètres de la console pour voir leur influence sur la résistance et la flèche.

Paramètres d'Entrée
5.0 m
15 kN
Résultats Clés
Moment ELU (M_Ed) (kN·m) -
Ratio Résistance Flexion -
Ratio Flèche ELS -

Le Saviez-Vous ?

Les profilés H (HEA, HEB, HEM) ont été développés pour optimiser la reprise des efforts de compression. Leurs larges semelles les rendent très stables et efficaces contre le flambement, c'est pourquoi ils sont le choix par excellence pour les poteaux dans les bâtiments à plusieurs étages, comme le Centre Pompidou à Paris.

Foire Aux Questions (FAQ)

Comment l'encastrement est-il réalisé en pratique ?

Un encastrement parfait est un modèle théorique. En pratique, on le réalise en scellant la poutre profondément dans le mur en béton, ou plus couramment, en la soudant ou la boulonnant sur une platine métallique elle-même fixée au mur par de grosses tiges d'ancrage. La rigidité de cette liaison détermine la qualité de l'encastrement.

Aurait-on pu utiliser un profilé IPE pour cette console ?

Oui, mais un IPE est moins "carré" qu'un HEA (ses ailes sont moins larges). Pour une même hauteur, un HEA est plus rigide et plus stable, notamment vis-à-vis du déversement (tendance de la semelle comprimée à flamber latéralement), un risque plus important sur les consoles. Le choix du HEA est donc souvent plus judicieux et sécuritaire pour ce type d'élément.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Sur une poutre en console, où se situe le moment fléchissant maximal ?

2. Si la portée (L) d'une console double, sa flèche maximale due à une charge ponctuelle en bout est...

Profilé HEA
Poutrelle en H à larges ailes (Profil Européen, série légère 'A'). Profilé normalisé très utilisé pour sa grande rigidité, en particulier pour les poteaux et les poutres soumises à de fortes charges.
Console (ou Porte-à-faux)
Élément de structure qui n'est supporté qu'à une seule de ses extrémités par un encastrement.
Aire de cisaillement (Av)
Caractéristique géométrique d'un profilé représentant la surface de sa section qui reprend efficacement l'effort tranchant. Pour un profilé en I ou H, il s'agit principalement de l'âme.
Cisaillement et Moment d’un Profilé HEA

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