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Choix de la nuance d’acier pour une structure

Choix de la nuance d’acier pour une structure

Choix de la nuance d’acier pour une structure

Contexte : L'équilibre entre résistance et économie.

En construction métallique, le choix de la nuance d'acier est une décision fondamentale qui impacte à la fois la sécurité et le coût du projet. Une nuance d'acier est définie principalement par sa limite d'élasticitéContrainte maximale qu'un matériau peut supporter sans subir de déformation permanente. Au-delà de cette limite, le matériau se déforme de manière irréversible. (par exemple, 235 MPa pour un acier S235, 355 MPa pour un S355). Un acier de nuance supérieure est plus résistant, ce qui peut permettre d'utiliser des profilés plus légers et donc de réduire le poids (et le coût) de la structure. Cependant, cet acier est lui-même plus cher à l'achat. L'ingénieur doit donc trouver le juste équilibre.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guide à travers le processus de vérification d'une poutre en acier selon l'Eurocode 3. Vous apprendrez à distinguer deux types de vérifications cruciales : la vérification de la résistance à l'État Limite Ultime (ELU)Vérification de la sécurité structurale. On s'assure que la structure ne s'effondre pas sous les charges les plus défavorables (charges pondérées)., qui garantit que la poutre ne casse pas, et la vérification de la déformation à l'État Limite de Service (ELS)Vérification du confort et de l'aptitude à l'emploi. On s'assure que la structure ne se déforme pas excessivement sous les charges d'utilisation normales., qui assure le confort et la durabilité de l'ouvrage.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la différence entre les vérifications à l'ELU et à l'ELS.
  • Calculer les charges de calcul pondérées pour l'ELU.
  • Déterminer le moment de flexionEffort interne dans une poutre qui tend à la faire fléchir. Il est maximal là où la contrainte de flexion est la plus forte. maximal dans une poutre sur deux appuis.
  • Vérifier la résistance en flexion d'un profilé en acier.
  • Calculer la flècheDéplacement vertical maximal d'une poutre sous l'effet d'une charge. C'est la mesure de sa déformation. (déformation) et la comparer à une limite admissible.
  • Justifier le choix d'une nuance d'acier (S235 vs. S355) en fonction des résultats.

Données de l'étude

On étudie une solive de plancher (poutre) en profilé IPE 200, simplement appuyée à ses extrémités. Elle doit supporter son poids propre, les charges permanentes du plancher et des charges d'exploitation (liées à l'usage du local).

Schéma de la poutre et de son chargement
q (charges) Portée, L = 7.0 m
Vue 3D interactive de la poutre
Paramètre Notation Valeur Unité
Portée de la poutre \(L\) 7.0 m
Charges permanentes (hors poids propre) \(G_k\) 3.0 kN/m
Charges d'exploitation \(Q_k\) 4.0 kN/m
Profilé - IPE 200 -
Poids propre du profilé \(P_p\) 0.224 kN/m
Module d'élasticité (W_el,y) \(W_{\text{el,y}}\) 194 cm³
Moment d'inertie (I_y) \(I_y\) 1943 cm⁴
Limite de flèche admissible \(f_{\text{lim}}\) L / 250 -

Questions à traiter

  1. Calculer la charge totale pondérée à l'ELU, \(q_{\text{Ed}}\).
  2. Calculer le moment de flexion maximal de calcul, \(M_{\text{Ed}}\).
  3. Vérifier la résistance en flexion de la poutre en acier S235.
  4. Calculer la flèche maximale à l'ELS et la comparer à la limite admissible.
  5. Conclure : la nuance S235 est-elle suffisante ? Si non, l'utilisation d'un acier S355 résoudrait-elle le problème ?

Les bases du calcul de poutre en flexion (Eurocode 3)

Pour résoudre cet exercice, il faut maîtriser quelques formules de base de la résistance des matériaux.

1. Moment et Contrainte de Flexion
Pour une poutre sur deux appuis avec une charge uniforme \(q\), le moment de flexion maximal se situe au milieu de la travée et vaut : \[ M_{\text{max}} = \frac{q \cdot L^2}{8} \] Ce moment engendre une contrainte de flexion \(\sigma\) dans la section, qui est maximale dans les fibres les plus éloignées de l'axe neutre : \[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}}}{W_{\text{el}}} \]

2. Flèche (Déformation)
La même charge \(q\) provoque une déformation verticale de la poutre, appelée flèche. Pour une poutre sur deux appuis, la flèche maximale se situe également au milieu et vaut : \[ f_{\text{max}} = \frac{5 \cdot q \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I} \] Où \(E\) est le module de Young de l'acier et \(I\) est le moment d'inertie de la section.

3. ELU vs. ELS : Deux philosophies de calcul

  • ELU (Résistance) : On imagine le pire scénario. On majore les charges (\(1.35G + 1.5Q\)) pour s'assurer que la structure ne s'effondre pas. C'est une question de sécurité.
  • ELS (Service) : On regarde ce qui se passe en conditions normales d'utilisation. On ne majore pas les charges (\(G+Q\)) pour vérifier que la structure reste confortable et fonctionnelle (pas de vibrations excessives, pas de fissures dans les cloisons dues à une trop grande flèche). C'est une question de confort et de durabilité.

Correction : Choix de la nuance d’acier pour une structure

Question 1 : Calculer la charge totale pondérée à l'ELU, \(q_{\text{Ed}}\)

Principe (le concept physique)

À l'État Limite Ultime (ELU), on ne considère pas les charges réelles, mais des charges "pondérées" ou "majorées". On applique des coefficients de sécurité aux charges permanentes (G) et aux charges d'exploitation (Q) pour simuler une situation exceptionnellement défavorable et garantir la sécurité de la structure.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les coefficients 1.35 et 1.50 ne sont pas choisis au hasard. Ils proviennent d'analyses statistiques et probabilistes sur la variabilité des charges au cours de la vie d'un bâtiment. Les charges permanentes (comme le poids d'une dalle en béton) sont mieux connues et donc moins majorées (x1.35) que les charges d'exploitation (comme le poids des personnes ou du mobilier), qui sont plus incertaines (x1.50).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

N'oubliez jamais d'inclure le poids propre de la poutre dans les charges permanentes ! C'est une erreur classique. La poutre doit se supporter elle-même avant de supporter quoi que ce soit d'autre.

Normes (la référence réglementaire)

La combinaison de charges \(1.35 G_k + 1.50 Q_k\) est la combinaison fondamentale la plus courante pour les bâtiments, définie par l'Eurocode 0 (EN 1990 - Bases de calcul des structures).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charges permanentes totales :

\[ G_{\text{total}} = G_k + P_p \]

Charge de calcul à l'ELU :

\[ q_{\text{Ed}} = 1.35 \cdot G_{\text{total}} + 1.50 \cdot Q_k \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les charges sont uniformément réparties sur toute la longueur de la poutre. On utilise la combinaison de charges la plus défavorable.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges permanentes, \(G_k = 3.0 \, \text{kN/m}\)
  • Poids propre, \(P_p = 0.224 \, \text{kN/m}\)
  • Charges d'exploitation, \(Q_k = 4.0 \, \text{kN/m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Commencez toujours par regrouper toutes les charges de même nature. Ici, additionnez d'abord toutes les charges permanentes (\(G_k + P_p\)) avant d'appliquer les coefficients de pondération.

Schéma (Avant les calculs)
Composition des charges
G_k + P_pQ_k+=q_Ed ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des charges permanentes totales :

\[ \begin{aligned} G_{\text{total}} &= 3.0 \, \text{kN/m} + 0.224 \, \text{kN/m} \\ &= 3.224 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Calcul de la charge pondérée à l'ELU :

\[ \begin{aligned} q_{\text{Ed}} &= 1.35 \times 3.224 \, \text{kN/m} + 1.50 \times 4.0 \, \text{kN/m} \\ &= 4.3524 \, \text{kN/m} + 6.0 \, \text{kN/m} \\ &= 10.3524 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charge de calcul ELU
q_Ed = 10.35 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La charge de calcul (10.35 kN/m) est significativement plus élevée que la somme des charges réelles (3.224 + 4 = 7.224 kN/m). Cette majoration de près de 43% est la marge de sécurité que nous prenons pour le calcul de la résistance.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais utiliser les charges pondérées de l'ELU pour un calcul de déformation (ELS), et inversement. C'est une erreur de principe qui peut conduire soit à un surdimensionnement coûteux, soit à une structure trop flexible.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'ELU est un état de RÉSISTANCE, on utilise des charges PONDÉRÉES (\(1.35G+1.5Q\)).
  • L'ELS est un état de SERVICE, on utilise des charges NON-PONDÉRÉES (\(G+Q\)).
  • Le poids propre est une charge permanente.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de "sécurité semi-probabiliste" utilisant des coefficients partiels (comme 1.35 et 1.50) a été introduit dans les années 1970 et a révolutionné le calcul de structure, qui était auparavant basé sur une approche "déterministe" avec un seul coefficient de sécurité global, moins rationnel.

FAQ (pour lever les doutes)
Existe-t-il d'autres combinaisons de charges ?

Oui, de nombreuses autres. Par exemple, pour les "combinaisons accidentelles" (incendie, explosion), les coefficients sont différents. Il existe aussi des combinaisons qui incluent le vent ou la neige. L'ingénieur doit étudier toutes les combinaisons possibles pour trouver la plus défavorable pour chaque élément.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge totale pondérée à l'ELU est de \(q_{\text{Ed}} = 10.35 \, \text{kN/m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge d'exploitation \(Q_k\) était de 5.0 kN/m, quelle serait la nouvelle charge \(q_{\text{Ed}}\) en kN/m ?

Question 2 : Calculer le moment de flexion maximal de calcul, \(M_{\text{Ed}}\)

Principe (le concept physique)

Le moment de flexion est l'effort interne qui fait "plier" la poutre. Pour une poutre sur deux appuis avec une charge uniforme, cet effort est maximal au centre de la poutre, là où elle a le plus tendance à casser.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le diagramme du moment de flexion pour ce cas de charge est une parabole. Elle est nulle aux appuis (la poutre peut y tourner librement) et atteint son maximum \(M_{\text{max}}\) à L/2. La valeur \(qL^2/8\) est l'un des résultats les plus fondamentaux de la RDM.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Attention aux unités ! Si la charge est en kN/m et la longueur en m, le moment sera en kN.m. C'est l'unité standard pour les moments de flexion. Il faudra ensuite la convertir pour les calculs de contrainte.

Normes (la référence réglementaire)

Cette formule découle de l'intégration de l'effort tranchant, qui lui-même découle de l'intégration de la charge. C'est une application directe de la théorie des poutres d'Euler-Bernoulli, qui est la base de tous les calculs de flexion dans les Eurocodes.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ M_{\text{Ed, max}} = \frac{q_{\text{Ed}} \cdot L^2}{8} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est "isostatique" (simplement appuyée) et que la charge est parfaitement uniforme.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge de calcul, \(q_{\text{Ed}} = 10.35 \, \text{kN/m}\)
  • Portée, \(L = 7.0 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La formule \(qL^2/8\) est un réflexe à avoir pour tout ingénieur structure. Mémorisez-la, elle vous servira constamment.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant
M_Ed = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} M_{\text{Ed, max}} &= \frac{10.35 \, \text{kN/m} \times (7.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{10.35 \times 49}{8} \\ &= 63.39 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur Maximale du Moment
63.39 kN.m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ce moment de 63.39 kN.m représente l'effort maximal que la section centrale de la poutre doit être capable de supporter sans plastifier. C'est la valeur que nous allons utiliser pour vérifier la résistance de la section.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est d'oublier de mettre la longueur au carré. Le moment de flexion est très sensible à la portée : si vous doublez la longueur de la poutre, le moment est multiplié par quatre !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment maximal pour une poutre sur deux appuis avec charge uniforme est \(M_{\text{max}} = qL^2/8\).
  • Ce moment est exprimé en unité de force x longueur (ex: kN.m).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Galilée fut l'un des premiers scientifiques à étudier la résistance des poutres au 17ème siècle. Bien que sa théorie de la flexion fût incorrecte, il a correctement identifié que la résistance d'une poutre rectangulaire était proportionnelle à sa largeur et au carré de sa hauteur.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la charge n'est pas uniforme ?

La formule change. Par exemple, pour une charge ponctuelle F appliquée au milieu de la travée, le moment maximal vaut \(M_{\text{max}} = FL/4\). Chaque cas de charge a sa propre formule pour le moment maximal.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment de flexion maximal de calcul est \(M_{\text{Ed, max}} = 63.39 \, \text{kN.m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la portée L était de 6.0 m au lieu de 7.0 m, quel serait le nouveau moment \(M_{\text{Ed}}\) en kN.m ?

Question 3 : Vérifier la résistance en flexion de la poutre en acier S235

Principe (le concept physique)

On vérifie que le moment de flexion appliqué (\(M_{\text{Ed}}\)) est inférieur à la résistance en flexion du profilé (\(M_{c,Rd}\)). Cette résistance dépend de la forme de la section (via son module d'élasticité \(W_{\text{el}}\)) et de la nuance d'acier (via sa limite d'élasticité \(f_y\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le module de section \(W_{\text{el}}\) (ou module d'élasticité de section) représente la capacité géométrique d'une section à résister à la flexion. Pour une même aire, une section haute et fine (comme un profilé en I) aura un \(W_{\text{el}}\) beaucoup plus grand qu'une section carrée, et sera donc beaucoup plus efficace en flexion.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La conversion d'unités est la principale source d'erreurs ici. Le moment est en kN.m, le module de section en cm³, et la limite d'élasticité en MPa (N/mm²). Il est impératif de tout convertir dans un système cohérent (par exemple, kN et cm) avant de faire le calcul final.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de résistance \(M_{c,Rd} = W_{\text{el}} \cdot f_y / \gamma_{M0}\) est donnée dans l'Eurocode 3 (EN 1993-1-1, clause 6.2.5) pour les sections de classe 1 ou 2, qui ne sont pas sensibles au voilement local. Les profilés IPE laminés à chaud sont typiquement dans ces classes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance en flexion :

\[ M_{c,Rd} = \frac{W_{\text{el,y}} \cdot f_y}{\gamma_{M0}} \]

Critère de vérification :

\[ \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{c,Rd}} \le 1.0 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est maintenue latéralement et n'est donc pas sujette au déversement (un phénomène d'instabilité latérale similaire au flambement, mais en flexion).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de calcul, \(M_{\text{Ed}} = 63.39 \, \text{kN.m}\)
  • Profilé IPE 200, \(W_{\text{el,y}} = 194 \, \text{cm}^3\)
  • Nuance d'acier S235, \(f_y = 235 \, \text{MPa}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour convertir les unités : 1 kN.m = 100 kN.cm. 1 MPa = 1 N/mm² = 0.1 kN/cm². Ces deux conversions vous permettront de travailler directement en kN et cm.

Schéma (Avant les calculs)
Contraintes dans la section
CompressionTraction
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités :

\[ f_y = 235 \, \text{MPa} = 235 \, \text{N/mm}^2 = 23.5 \, \text{kN/cm}^2 \]

2. Calcul de la résistance en flexion du profilé :

\[ \begin{aligned} M_{c,Rd} &= \frac{194 \, \text{cm}^3 \times 23.5 \, \text{kN/cm}^2}{1.0} \\ &= 4559 \, \text{kN.cm} \\ &= 45.59 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]

3. Comparaison (ratio de travail) :

\[ \begin{aligned} \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{c,Rd}} &= \frac{63.39 \, \text{kN.m}}{45.59 \, \text{kN.m}} \\ &= 1.39 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan de la résistance
Résistance (45.6)Effort Appliqué (63.4)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le ratio de 1.39 est supérieur à 1.0. Cela signifie que l'effort appliqué est 39% plus élevé que ce que la poutre peut supporter. La poutre va plastifier et se rompre sous la charge de calcul. La sécurité n'est pas assurée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La plus grande erreur serait de s'arrêter ici et de conclure que le projet n'est pas faisable. L'échec d'une vérification n'est pas une fin en soi, c'est une étape normale du processus de conception qui nous indique qu'il faut modifier un paramètre (ici, la nuance d'acier ou le profilé).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance en flexion dépend de la géométrie (\(W_{\text{el}}\)) et du matériau (\(f_y\)).
  • La vérification consiste à comparer le moment appliqué au moment résistant.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les profilés en "I" (comme l'IPE) sont si efficaces en flexion car ils concentrent la majorité de la matière dans les "semelles" (les barres horizontales), le plus loin possible de l'axe neutre. C'est là que la contrainte est maximale, et donc là où la matière est la plus "utile". L'âme (la barre verticale) sert principalement à maintenir les semelles écartées et à reprendre l'effort tranchant.

FAQ (pour lever les doutes)
Qu'est-ce que le "déversement" ?

C'est un phénomène d'instabilité qui affecte les poutres élancées fléchies. La semelle comprimée (la partie supérieure de la poutre) se comporte comme une barre comprimée et a tendance à flamber latéralement, hors de son plan. Pour l'éviter, on ajoute des maintiens (par exemple, les solives secondaires d'un plancher) qui bloquent ce déplacement latéral.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vérification de résistance n'est pas satisfaite : \( \frac{63.39 \, \text{kN.m}}{45.59 \, \text{kN.m}} = 1.39 > 1.0 \). Le profilé IPE 200 en acier S235 n'est pas assez résistant.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la résistance en flexion \(M_{c,Rd}\) de ce même profilé s'il était en acier S355 (\(f_y = 355\) MPa) ?

Question 4 : Calculer la flèche maximale à l'ELS et la comparer à la limite

Principe (le concept physique)

Indépendamment de la résistance, une poutre ne doit pas trop se déformer pour rester fonctionnelle. On calcule donc la déformation (la flèche) sous les charges de service (non pondérées) et on la compare à une limite fixée par les normes, souvent une fraction de la portée (L/250).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La flèche est inversement proportionnelle au module de Young \(E\) et au moment d'inertie \(I\). Le module de Young est une propriété intrinsèque du matériau (l'acier a un \(E\) d'environ 210 000 MPa, qu'il soit S235 ou S355). Le moment d'inertie \(I\) est une propriété géométrique de la section qui représente sa rigidité en flexion.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est un point crucial : changer la nuance d'acier (de S235 à S355) augmente la RÉSISTANCE, mais ne change PAS la RIGIDITÉ (le module E est le même). Par conséquent, si une poutre est trop flexible, utiliser un acier plus résistant ne résoudra pas le problème de la flèche.

Normes (la référence réglementaire)

Les limites de flèche sont données dans l'Eurocode 3 et ses annexes nationales. La limite de L/250 est une valeur courante pour les planchers afin d'éviter l'inconfort des usagers (sensation de plancher "élastique") et les dommages aux éléments non structuraux (fissures dans les cloisons, les carrelages...).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge de service : \( q_{\text{ser}} = G_{\text{total}} + Q_k \)

Flèche maximale :

\[ f_{\text{max}} = \frac{5 \cdot q_{\text{ser}} \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I_y} \]

Critère de vérification : \( f_{\text{max}} \le f_{\text{lim}} = \frac{L}{250} \)

Hypothèses (le cadre du calcul)

On calcule la flèche due à la totalité des charges de service. Parfois, les normes demandent de ne calculer que la flèche due aux charges variables, ou la "flèche nuisible" après la pose des cloisons.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges permanentes, \(G_{\text{total}} = 3.224 \, \text{kN/m}\)
  • Charges d'exploitation, \(Q_k = 4.0 \, \text{kN/m}\)
  • Portée, \(L = 7.0 \, \text{m}\)
  • Module de Young, \(E = 210000 \, \text{MPa}\)
  • Moment d'inertie, \(I_y = 1943 \, \text{cm}^4\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La gestion des unités est ici encore plus complexe ! Une méthode robuste consiste à tout convertir en N et mm : \(L\) en mm, \(q\) en N/mm, \(E\) en MPa (N/mm²), \(I\) en mm⁴. La flèche sortira alors directement en mm.

Schéma (Avant les calculs)
Déformation de la poutre (flèche)
f_max = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Conversion des unités en N et mm :

\[ \begin{aligned} q_{\text{ser}} &= (3.224+4.0) \, \text{kN/m} = 7.224 \, \text{kN/m} = 7.224 \, \text{N/mm} \\ L &= 7.0 \, \text{m} = 7000 \, \text{mm} \\ E &= 210000 \, \text{N/mm}^2 \\ I_y &= 1943 \, \text{cm}^4 = 1943 \times 10^4 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

2. Calcul de la flèche maximale :

\[ \begin{aligned} f_{\text{max}} &= \frac{5 \times 7.224 \times (7000)^4}{384 \times 210000 \times (1943 \times 10^4)} \\ &= \frac{8.672 \times 10^{16}}{1.566 \times 10^{15}} \\ &\approx 55.4 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Calcul de la flèche limite :

\[ f_{\text{lim}} = \frac{L}{250} = \frac{7000 \, \text{mm}}{250} = 28 \, \text{mm} \]

4. Comparaison :

\[ f_{\text{max}} = 55.4 \, \text{mm} > f_{\text{lim}} = 28 \, \text{mm} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison Flèche / Limite
Limite (28 mm)Flèche (55.4 mm)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La flèche calculée est presque le double de la flèche autorisée. La poutre est beaucoup trop flexible. Même si elle était assez résistante, elle ne serait pas acceptable en service. Le plancher vibrerait et se déformerait de manière visible et inconfortable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à la puissance 4 sur la longueur dans la formule de la flèche ! Une petite augmentation de la portée a un effet énorme sur la déformation. C'est la raison pour laquelle les très longues portées nécessitent des poutres très hautes (avec un grand moment d'inertie I).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de la flèche se fait à l'ELS, avec les charges de service (non pondérées).
  • La flèche dépend de la géométrie (\(I\)) et du matériau (\(E\)), mais pas de la résistance (\(f_y\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les ponts ou les planchers de très grande portée, les ingénieurs utilisent la "pré-flèche" ou "contre-flèche". La poutre est fabriquée avec une courbure vers le haut, de sorte qu'une fois mise en place et chargée par son propre poids, elle devienne parfaitement horizontale.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le module de Young E est-il le même pour tous les aciers ?

Le module de Young représente la "raideur" atomique du matériau, c'est-à-dire la force des liaisons entre les atomes de fer. Ajouter un peu de carbone et d'autres éléments d'alliage pour augmenter la résistance (passer de S235 à S355) ne modifie quasiment pas cette raideur fondamentale. C'est pourquoi tous les aciers de construction ont un module E d'environ 210 GPa.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vérification de flèche n'est pas satisfaite : \( f_{\text{max}} = 55.4 \, \text{mm} > f_{\text{lim}} = 28 \, \text{mm} \). Le profilé IPE 200 est trop flexible pour cette portée.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la poutre était un IPE 240 (\(I_y = 3892\) cm⁴), la condition de flèche serait-elle vérifiée ? (Oui/Non)

Question 5 : Conclure : la nuance S235 est-elle suffisante ? Si non, l'utilisation d'un acier S355 résoudrait-elle le problème ?

Principe (le concept physique)

On dresse le bilan des deux vérifications précédentes (ELU et ELS) pour prendre une décision d'ingénierie. Une solution n'est acceptable que si elle satisfait TOUS les critères.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le dimensionnement est souvent gouverné par un seul critère. Soit la poutre est "dimensionnée par la résistance" (le critère ELU est le plus proche de 1.0), soit elle est "dimensionnée par la rigidité" (le critère ELS est le plus proche de 1.0). Identifier le critère dominant permet de choisir la bonne stratégie pour optimiser la structure.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est ici que l'on voit la différence entre un simple calcul et un raisonnement d'ingénieur. Il ne suffit pas de dire "ça ne marche pas". Il faut comprendre POURQUOI ça ne marche pas (résistance ? rigidité ? les deux ?) pour proposer une solution efficace.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 3 impose la satisfaction des deux critères, ELU et ELS, pour qu'une structure soit déclarée conforme.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pas de nouvelle formule. C'est une analyse des résultats précédents.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les seules options sont de changer la nuance d'acier ou le profilé, et qu'on ne peut pas modifier la portée ou les charges.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Ratio de résistance (ELU) : 1.39 (> 1.0)
  • Ratio de flèche (ELS) : \(55.4 / 28.0 = 1.98\) (> 1.0)
Astuces(Pour aller plus vite)

Quand les deux critères (ELU et ELS) ne sont pas respectés, il faut s'attaquer au problème de la flèche (ELS) en premier. En choisissant un profilé plus rigide (avec un I plus grand), on améliore la flèche. Souvent, ce nouveau profilé sera aussi plus résistant (W plus grand), ce qui peut résoudre le problème de résistance par la même occasion.

Schéma (Avant les calculs)
Tableau de bord de la décision
CritèreStatutSolution ?
Résistance (ELU)ÉchecAcier S355 ?
Flèche (ELS)ÉchecAcier S355 ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Analyse de la solution "passer en S355" :

1. Vérification de la résistance avec S355 (\(f_y = 355\) MPa) :

\[ \begin{aligned} M_{c,Rd, S355} &= \frac{194 \, \text{cm}^3 \times 35.5 \, \text{kN/cm}^2}{1.0} \\ &= 68.87 \, \text{kN.m} \end{aligned} \]
\[ \frac{M_{\text{Ed}}}{M_{c,Rd, S355}} = \frac{63.39}{68.87} = 0.92 \le 1.0 \quad (\text{OK !}) \]

2. Vérification de la flèche avec S355 :

Le module de Young \(E\) est le même pour S235 et S355. Le calcul de la flèche donne donc exactement le même résultat :

\[ f_{\text{max}} = 55.4 \, \text{mm} > f_{\text{lim}} = 28 \, \text{mm} \quad (\text{Échec !}) \]
Schéma (Après les calculs)
Impact du changement de nuance
CritèreStatut (S235)Statut (S355)
Résistance (ELU)ÉchecOK
Flèche (ELS)ÉchecÉchec
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Passer à un acier S355 résout le problème de résistance (ELU), mais pas le problème de déformation (ELS). La poutre est toujours trop flexible. La seule solution est donc de changer de profilé pour un plus rigide (avec un moment d'inertie \(I_y\) plus grand), par exemple un IPE 220 ou un IPE 240.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais croire qu'un acier plus "fort" est la solution à tous les problèmes. La rigidité est une propriété géométrique, pas une propriété de résistance du matériau. C'est la distinction la plus importante entre l'ELU et l'ELS.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Une conception doit satisfaire TOUS les critères (ELU et ELS).
  • Changer la nuance d'acier affecte la résistance (ELU) mais pas la flèche (ELS).
  • Changer le profilé (la géométrie) affecte à la fois la résistance et la flèche.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le pont du Millau, l'un des plus hauts du monde, utilise des aciers à très haute performance (similaires au S460). Mais sa rigidité provient avant tout de la hauteur exceptionnelle de son tablier (la "poutre" principale) et de son système de haubans, qui agissent comme des appuis élastiques pour limiter la flèche.

FAQ (pour lever les doutes)
Dans quel cas le S355 est-il vraiment utile ?

Le S355 est très utile pour les éléments très sollicités mais courts et trapus, où le flambement ou la flèche ne sont pas les critères dominants. C'est le cas par exemple des poteaux courts et chargés, ou des poutres de faible portée supportant de très lourdes charges.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La nuance S235 est insuffisante car la poutre ne satisfait ni le critère de résistance, ni le critère de flèche. Passer à une nuance S355 résoudrait le problème de résistance mais PAS le problème de flèche. La solution correcte est de changer le profilé pour un IPE plus grand (par exemple, un IPE 240).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Une poutre est vérifiée OK en résistance (ELU) mais échoue de peu en flèche (ELS). Quelle est la meilleure solution ?

Outil Interactif : Simulateur de Stabilité

Modifiez les paramètres du portique pour voir leur influence sur l'effort dans les barres et le ratio de travail au flambement.

Paramètres d'Entrée
5.0 m
6.0 m
Résultats Clés
Effort Normal (N_Ed) (kN) -
Résistance Flambement (N_b,Rd) (kN) -
Ratio de Travail (N_Ed / N_b,Rd) -

Le Saviez-Vous ?

La Tour Eiffel est un gigantesque système de contreventement. Sa structure en treillis, composée de milliers de poutres et de rivets, est conçue pour résister au vent en le laissant passer à travers elle, tout en transférant les efforts vers ses quatre énormes piliers. Sa forme évasée à la base lui confère une stabilité exceptionnelle.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi ne pas utiliser que la diagonale tendue ?

C'est une excellente question ! Dans certaines structures légères, on peut considérer que la diagonale comprimée, étant très élancée, ne reprend aucun effort (elle "flambe" immédiatement). On ne compte alors que sur la diagonale tendue. Cependant, pour les bâtiments industriels, l'Eurocode impose généralement de vérifier les deux barres, car la barre comprimée participe tout de même à la rigidité de l'ensemble.

Qu'est-ce que la "longueur de flambement" ?

C'est la longueur effective de la barre qui participe au flambement. Pour une barre articulée à ses deux extrémités (comme dans notre cas), la longueur de flambement est égale à sa longueur géométrique. Mais si les extrémités étaient encastrées, la barre serait mieux tenue et sa longueur de flambement serait plus faible (par exemple 0.7 fois sa longueur réelle), la rendant plus résistante au flambement.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour rendre une barre plus résistante au flambement, il est plus efficace de :

2. Si on double la hauteur H du portique (en gardant L constant), l'effort N_Ed dans les diagonales va approximativement...

Contreventement
Système structurel (généralement des barres en diagonale) destiné à reprendre les efforts horizontaux (vent, séisme) et à assurer la stabilité globale d'un ouvrage.
Flambement
Phénomène d'instabilité d'une pièce longue et mince soumise à une compression, qui se courbe brusquement au lieu de se raccourcir.
Eurocode 3
Norme européenne de calcul des structures en acier. Elle définit les règles de sécurité et les méthodes de dimensionnement pour garantir la fiabilité des constructions.
Choix de la nuance d’acier pour une structure

D’autres exercices de Structure Métallique:

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