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Calcul d’une poutre en bois

Calcul d’une poutre en bois - Eurocode 5

Calcul d’une poutre en bois

Contexte : Le bois, un matériau de structure performant et durable.

Le bois est un matériau de construction ancestral qui connaît un regain d'intérêt majeur grâce à ses performances mécaniques et ses atouts écologiques. Le dimensionnement des structures en bois est encadré par la norme Eurocode 5Norme européenne (EN 1995) qui définit les règles de conception et de calcul pour les bâtiments et les ouvrages de génie civil en bois.. Contrairement aux métaux, le comportement du bois dépend fortement de la durée d'application des charges et de l'humidité ambiante. Cet exercice vous guidera à travers le dimensionnement complet d'une solive de plancher, en vérifiant à la fois sa résistance (ne pas casser) et sa déformation (ne pas trop plier).

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la méthode de calcul aux états limites utilisée en génie civil moderne. Nous allons distinguer deux vérifications cruciales : l'État Limite Ultime (ELU) pour la sécurité et la résistance, et l'État Limite de Service (ELS) pour le confort et la durabilité. Vous apprendrez à manipuler les coefficients de sécurité et les facteurs de modification propres au matériau bois.

Objectifs Pédagogiques

  • Déterminer les charges de calcul à l'État Limite Ultime (ELU).
  • Calculer le moment fléchissant de calcul maximal dans une poutre sous charge répartie.
  • Appliquer le facteur de modification \(k_{\text{mod}}\) pour déterminer la résistance de calcul du bois.
  • Vérifier la résistance en flexion d'une section en bois selon l'Eurocode 5.
  • Vérifier la flèche à l'État Limite de Service (ELS) par rapport aux limites réglementaires.

Données de l'étude

On étudie une solive de plancher d'un bâtiment résidentiel, simplement appuyée à ses deux extrémités. Cette solive est en bois de classe C24.

Schéma de la solive et de son chargement
p (G+Q) L = 4.0 m
Paramètre Symbole Valeur Unité
Portée entre appuis \(L\) 4.0 \(\text{m}\)
Largeur de la section \(b\) 75 \(\text{mm}\)
Hauteur de la section \(h\) 225 \(\text{mm}\)
Charges permanentes (hors poids propre) \(G_k\) 1.5 \(\text{kN/m}\)
Charges d'exploitation (habitation) \(Q_k\) 2.0 \(\text{kN/m}\)
Classe du bois C24
Conditions d'humidité Classe de service 2
Durée de la charge d'exploitation Moyenne durée

Questions à traiter

  1. Déterminer les caractéristiques géométriques de la section et les propriétés mécaniques du bois C24.
  2. Calculer la charge répartie de calcul à l'ELU (\(p_d\)) et le moment fléchissant maximal de calcul (\(M_d\)).
  3. Déterminer la résistance en flexion de calcul (\(f_{\text{m,d}}\)) et vérifier la solive à l'ELU.
  4. Calculer la flèche finale (\(f_{\text{net,fin}}\)) et la vérifier par rapport à la limite admissible à l'ELS.

Les bases du calcul des structures bois (Eurocode 5)

Le calcul du bois est spécifique. Voici quelques concepts fondamentaux.

1. Calcul aux États Limites (ELU / ELS) :
L'Eurocode 5 utilise une approche semi-probabiliste. On vérifie la structure pour deux scénarios :

  • ELU (État Limite Ultime) : On s'assure que la structure ne s'effondre pas. On majore les charges (\(\gamma_G=1.35, \gamma_Q=1.5\)) et on minore la résistance du matériau (\(\gamma_M\)). C'est une vérification de sécurité.
  • ELS (État Limite de Service) : On s'assure que la structure reste fonctionnelle et confortable (pas de déformations ou vibrations excessives). On utilise les charges réelles (dites caractéristiques) et on vérifie la déformation.

2. Le facteur \(k_{\text{mod}}\) :
C'est LA grande particularité du bois. Sa résistance varie avec l'humidité et la durée pendant laquelle la charge est appliquée. Le facteur \(k_{\text{mod}}\) réduit la résistance caractéristique pour en tenir compte. Il dépend de :

  • La classe de service (1, 2 ou 3) qui représente le niveau d'humidité.
  • La classe de durée de chargement (permanente, longue, moyenne, courte, instantanée).

3. Le fluage du bois :
Sous une charge constante, le bois continue de se déformer dans le temps. C'est le phénomène de fluage. Pour calculer la flèche finale, on majore la déformation due aux charges permanentes par un coefficient \(k_{\text{def}}\), qui dépend lui aussi de la classe de service. \[ f_{\text{fin}} = f_{\text{inst,G}} \cdot (1+k_{\text{def}}) + f_{\text{inst,Q}} \]

Correction : Calcul d’une poutre en bois

Question 1 : Caractéristiques géométriques et propriétés du matériau

Principe (le concept physique)

Avant tout calcul de résistance, il faut connaître parfaitement notre objet : sa forme (géométrie) et de quoi il est fait (matériau). On calcule donc le moment quadratique \(I\) qui régit la déformation, et le module de flexion \(W\) qui régit la contrainte. On recherche ensuite dans les normes les propriétés standards du bois C24, qui est une classe de résistance courante.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La classe de résistance (ex: C24) est une classification standardisée qui garantit des propriétés mécaniques minimales pour un bois de structure. Le "C" signifie "Conifère" et le "24" correspond à la résistance caractéristique à la flexion en MPa. Cette classification permet aux ingénieurs de concevoir des structures fiables sans avoir à tester chaque pièce de bois individuellement.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Considérez cette première étape comme la "carte d'identité" de votre poutre. Sans connaître précisément sa géométrie et les propriétés du matériau qui la compose, tout calcul ultérieur serait impossible. C'est une étape de collecte et de préparation des données qui est absolument fondamentale.

Normes (la référence réglementaire)

Les propriétés des bois massifs résineux sont données dans la norme NF EN 338. Pour un bois de classe C24, on y trouve sa résistance caractéristique en flexion (\(f_{\text{m,k}}\)), son module d'élasticité moyen (\(E_{0,\text{mean}}\)) et sa masse volumique (\(\rho_k\)).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une section rectangulaire de base \(b\) et de hauteur \(h\):

\[ I_y = \frac{b \cdot h^3}{12} \quad ; \quad W_y = \frac{I_y}{v} = \frac{b \cdot h^2}{6} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section de bois est constante sur toute la longueur et que les dimensions sont conformes aux spécifications. On utilise les valeurs moyennes ou caractéristiques données par les normes.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Largeur de la section, \(b = 75 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de la section, \(h = 225 \, \text{mm}\)
  • Classe du bois : C24
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les sections de bois standards, ces caractéristiques géométriques sont souvent déjà tabulées par les fabricants. En pratique, l'ingénieur ne recalcule pas systématiquement l'inertie d'une section 75x225, il la lit directement dans un catalogue.

Schéma (Avant les calculs)
Section et Propriétés à Déterminer
b = 75 mmh = 225 mmIy = ?Wy = ?C24 -> ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Caractéristiques géométriques :

\[ \begin{aligned} I_y &= \frac{75 \cdot 225^3}{12} \\ &= 71\,191\,406 \, \text{mm}^4 \\ &\approx 7.12 \times 10^7 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} W_y &= \frac{75 \cdot 225^2}{6} \\ &= 632\,813 \, \text{mm}^3 \\ &\approx 6.33 \times 10^5 \, \text{mm}^3 \end{aligned} \]

2. Propriétés du bois C24 (NF EN 338) :

  • Résistance caractéristique à la flexion : \(f_{\text{m,k}} = 24 \, \text{MPa}\)
  • Module d'élasticité moyen : \(E_{0,\text{mean}} = 11\,000 \, \text{MPa}\)
  • Masse volumique caractéristique : \(\rho_k = 350 \, \text{kg/m}^3\)
Schéma (Après les calculs)
Caractéristiques de la Solive
Solive C24 75x225Iy ≈ 7.12e7 mm⁴Wy ≈ 6.33e5 mm³fmk = 24 MPaE = 11 GPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons maintenant toutes les données d'entrée nécessaires pour les vérifications. On remarque que le module d'élasticité du bois (11 GPa) est bien plus faible que celui de l'acier (210 GPa), ce qui laisse présager que les déformations (la flèche) seront un point critique à vérifier.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas confondre le module d'élasticité moyen \(E_{0,\text{mean}}\) utilisé pour les calculs de déformation, et le module au 5ème percentile \(E_{0.05}\) qui est parfois utilisé dans d'autres types de vérifications (comme le flambement).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les propriétés du bois sont standardisées par classe de résistance (ex: C24).
  • Les caractéristiques géométriques clés sont le moment quadratique \(I_y\) et le module de flexion \(W_y\).
  • Le bois est un matériau beaucoup plus souple que l'acier ou le béton.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le bois est un matériau orthotrope : ses propriétés mécaniques ne sont pas les mêmes dans les trois directions (longitudinale, radiale, tangentielle). La résistance et la rigidité sont maximales dans le sens des fibres, ce qui explique pourquoi on utilise toujours les poutres dans ce sens !

FAQ (pour lever les doutes)
D'où vient la classe C24 ?

Elle est déterminée par des essais non destructifs en scierie. Des machines évaluent la rigidité de chaque pièce de bois (par vibration ou flexion) et mesurent sa densité. En fonction des résultats, la pièce est classée (C18, C24, C30, etc.), ce qui garantit ses performances pour l'acheteur.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La section a un moment quadratique \(I_y \approx 7.12 \times 10^7 \, \text{mm}^4\) et un module de flexion \(W_y \approx 6.33 \times 10^5 \, \text{mm}^3\). Les propriétés du C24 sont \(f_{\text{m,k}}=24 \, \text{MPa}\) et \(E_{0,\text{mean}}=11000 \, \text{MPa}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour une section de 75x250 mm, quel serait le nouveau module de flexion \(W_y\) en \(\text{mm}^3\) ?

Question 2 : Calcul des charges et du moment de calcul (ELU)

Principe (le concept physique)

Pour vérifier la sécurité (ELU), on imagine le pire scénario "crédible". On majore donc les charges permanentes (qui sont assez bien connues) et les charges d'exploitation (plus variables) avec des coefficients de sécurité. On n'oublie pas d'ajouter le poids propre de la poutre elle-même. La somme de ces charges pondérées nous donne la charge de calcul totale (\(p_d\)) qui va générer le moment fléchissant maximal (\(M_d\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La combinaison de charges \(1.35G + 1.5Q\) est la combinaison fondamentale pour les bâtiments. Le coefficient 1.35 sur G prend en compte les incertitudes sur les poids des matériaux et les imperfections de construction. Le 1.5 sur Q couvre la variabilité beaucoup plus grande des charges d'exploitation (par exemple, une fête avec beaucoup de monde dans une pièce).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette étape est cruciale et s'appelle la "descente de charges". On part des charges surfaciques (en kN/m²) sur le plancher, on les multiplie par l'entraxe des solives pour obtenir des charges linéiques (en kN/m), puis on calcule les efforts dans la poutre. Ici, les charges linéiques sont déjà données pour simplifier.

Normes (la référence réglementaire)

Les coefficients de sécurité \(\gamma_G=1.35\) et \(\gamma_Q=1.5\) sont définis dans l'Eurocode 0 (EN 1990), la norme "mère" qui fixe les bases du calcul pour toutes les structures (béton, acier, bois...).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Combinaison de charges à l'ELU :

\[ p_d = 1.35 \cdot (G_k + G_{\text{pp}}) + 1.5 \cdot Q_k \]

Moment maximal pour une charge répartie sur une poutre bi-appuyée :

\[ M_d = \frac{p_d \cdot L^2}{8} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la solive est simplement appuyée (rotulée) à ses deux extrémités. On néglige toute continuité ou encastrement partiel qui pourrait réduire le moment en travée.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges permanentes, \(G_k = 1.5 \, \text{kN/m}\)
  • Charges d'exploitation, \(Q_k = 2.0 \, \text{kN/m}\)
  • Portée, \(L = 4.0 \, \text{m}\)
  • Poids propre, \(G_{\text{pp}}\) (à calculer)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour convertir rapidement le poids propre, retenez qu'une masse volumique de 350 kg/m³ correspond à un poids volumique d'environ 3.5 kN/m³. Il suffit alors de multiplier par la section en m² : \(3.5 \times (0.075 \times 0.225) \approx 0.059\) kN/m. C'est plus rapide que de repasser par les kg et g.

Schéma (Avant les calculs)
Charges et Moment Résultant
Charges pondérées Pd = ?Md = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du poids propre (\(G_{\text{pp}}\)) :

\[ \begin{aligned} G_{\text{pp}} &= \text{Section} \times \rho_k \times g \\ &= (0.075\,\text{m} \times 0.225\,\text{m}) \times 350\,\text{kg/m}^3 \times 9.81\,\text{m/s}^2 \\ &= 58.0 \, \text{N/m} \\ &= 0.058 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

2. Calcul de la charge de calcul (\(p_d\)) :

\[ \begin{aligned} p_d &= 1.35 \cdot (1.5 + 0.058) + 1.5 \cdot 2.0 \\ &= 1.35 \cdot 1.558 + 3.0 \\ &= 2.10 + 3.0 \\ &= 5.10 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]

3. Calcul du moment de calcul (\(M_d\)) :

\[ \begin{aligned} M_d &= \frac{p_d \cdot L^2}{8} \\ &= \frac{5.10 \, \text{kN/m} \cdot (4.0 \, \text{m})^2}{8} \\ &= \frac{5.10 \cdot 16}{8} \\ &= 10.2 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (ELU)
Md = 10.2 kN·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moment de 10.2 kN·m est la sollicitation maximale que la poutre devra supporter au cours de sa vie, en tenant compte des coefficients de sécurité. C'est cette valeur qui sera utilisée pour vérifier que la poutre ne casse pas.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est l'oubli du poids propre. Même s'il est souvent faible, il est obligatoire de le prendre en compte. Une autre erreur est de se tromper dans les unités : les charges sont en kN/m et la portée en m, le moment sera donc en kN·m. Il faudra le convertir en N·mm pour les calculs de contrainte.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • À l'ELU, on majore les charges avec les coefficients \(\gamma_G=1.35\) et \(\gamma_Q=1.5\).
  • Le moment maximal pour une charge répartie est \(pL^2/8\).
  • Ne jamais oublier le poids propre de l'élément.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les toitures, on doit aussi considérer les charges de neige et de vent, qui ont leurs propres coefficients et règles de combinaison. Pour certaines structures, comme les ponts, les combinaisons de charges deviennent extrêmement complexes pour tenir compte du trafic, du freinage, des effets thermiques, etc.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la formule est-elle \(pL^2/8\) ?

La réaction à chaque appui est \(pL/2\). Le moment en un point x est \(M(x) = (pL/2) \cdot x - p \cdot x \cdot (x/2)\). La dérivée s'annule pour \(x=L/2\). En remplaçant x par L/2 dans l'équation du moment, on trouve la valeur maximale : \(pL^2/8\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment fléchissant de calcul à l'ELU est de \(M_d = 10.2 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge d'exploitation Qk passait à 3.0 kN/m, quel serait le nouveau moment \(M_d\) en \(\text{kN} \cdot \text{m}\) ?

Question 3 : Vérification de la résistance en flexion (ELU)

Principe (le concept physique)

Maintenant que l'on connaît l'effort maximal sollicitant la poutre (\(M_d\)), il faut vérifier si elle peut y résister. Pour cela, on calcule la contrainte générée par ce moment (\(\sigma_{\text{m,d}}\)) et on la compare à la résistance du matériau (\(f_{\text{m,d}}\)). Cette résistance est la résistance "de base" du C24 (\(f_{\text{m,k}}\)), affectée du fameux facteur \(k_{\text{mod}}\) (pour l'humidité et la durée) et d'un coefficient de sécurité sur le matériau (\(\gamma_M\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le critère \(\sigma \le f\) est la base de la vérification de la résistance. La contrainte \(\sigma\) représente ce que la structure "subit", tandis que la résistance \(f\) représente ce que le matériau "peut supporter". Les coefficients de sécurité (sur les charges et le matériau) sont calibrés pour garantir une probabilité d'effondrement extrêmement faible sur la durée de vie de l'ouvrage.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le facteur \(k_{\text{mod}}\) est un concept clé. Un meuble de bibliothèque (charge permanente) fatigue plus le bois qu'une charge de neige (moyenne durée). De même, le bois est plus faible en milieu humide (salle de bain) qu'en milieu sec. \(k_{\text{mod}}\) traduit ces phénomènes en un simple coefficient multiplicateur. C'est l'une des beautés et des complexités du calcul bois.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5 (Tableau 3.1) donne les valeurs de \(k_{\text{mod}}\). Pour une classe de service 2 et une charge de moyenne durée (ex: plancher résidentiel), on a \(k_{\text{mod}} = 0.8\). Le coefficient partiel de sécurité pour le bois est \(\gamma_M = 1.3\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Résistance de calcul en flexion :

\[ f_{\text{m,d}} = k_{\text{mod}} \frac{f_{\text{m,k}}}{\gamma_M} \]

Contrainte de calcul en flexion :

\[ \sigma_{\text{m,d}} = \frac{M_d}{W_y} \]

Critère de vérification :

\[ \sigma_{\text{m,d}} \le f_{\text{m,d}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le risque de déversement (flambement latéral de la semelle comprimée) est empêché par le plancher cloué sur les solives, ce qui est généralement le cas.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Moment de calcul, \(M_d = 10.2 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
  • Module de flexion, \(W_y = 632\,813 \, \text{mm}^3\)
  • Résistance caractéristique, \(f_{\text{m,k}} = 24 \, \text{MPa}\)
  • \(k_{\text{mod}} = 0.8\) ; \(\gamma_M = 1.3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

On peut calculer le "taux de travail" : \(\text{Ratio} = \sigma_{\text{m,d}} / f_{\text{m,d}}\). Tant que ce ratio est inférieur ou égal à 1.0 (ou 100%), la section est conforme. C'est un indicateur très pratique pour juger rapidement du niveau de sollicitation de l'élément.

Schéma (Avant les calculs)
Comparaison Contrainte vs Résistance
Contrainte σ_d = ?Résistance f_d = ??
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la résistance de calcul (\(f_{\text{m,d}}\)) :

\[ \begin{aligned} f_{\text{m,d}} &= k_{\text{mod}} \frac{f_{\text{m,k}}}{\gamma_M} \\ &= 0.8 \cdot \frac{24 \, \text{MPa}}{1.3} \\ &\approx 14.77 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

2. Calcul de la contrainte de calcul (\(\sigma_{\text{m,d}}\)). Attention à la conversion d'unités ! \(M_d = 10.2 \, \text{kN} \cdot \text{m} = 10.2 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\).

\[ \begin{aligned} \sigma_{\text{m,d}} &= \frac{M_d}{W_y} \\ &= \frac{10.2 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}}{632\,813 \, \text{mm}^3} \\ &\approx 16.12 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

3. Vérification :

\[ 16.12 \, \text{MPa} > 14.77 \, \text{MPa} \quad \Rightarrow \quad \text{NON CONFORME} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification ELU Non Conforme
Contrainte σ_d = 16.12 MPaRésistance f_d = 14.77 MPaNON OK ❌
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte de calcul (16.12 MPa) est supérieure à la résistance de calcul du matériau (14.77 MPa). Le taux de travail est de \(16.12 / 14.77 \approx 1.09\), soit 109%. La solive ne respecte pas le critère de résistance à l'ELU. En tant qu'ingénieur, il faudrait choisir une section de bois plus haute, une classe de bois plus résistante (ex: C30), ou réduire l'entraxe des solives pour diminuer la charge reprise par chacune.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais oublier le facteur \(k_{\text{mod}}\) ! Omettre ce coefficient conduirait à surestimer la résistance du bois de manière significative et dangereuse. De même, ne pas oublier le coefficient de sécurité sur le matériau \(\gamma_M\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La résistance de calcul du bois dépend de la classe, de l'humidité et de la durée de la charge (\(k_{\text{mod}}\)).
  • La vérification de résistance est \(\sigma_{\text{m,d}} \le f_{\text{m,d}}\).
  • Le taux de travail \(\sigma/f\) doit être inférieur ou égal à 1.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En cas d'incendie, une poutre en bois de forte section se consume lentement de l'extérieur vers l'intérieur. La couche de charbon de bois qui se forme agit comme un isolant thermique et protège le cœur de la section, qui conserve ses propriétés mécaniques pendant un temps précieux. Le calcul au feu des structures bois est basé sur cette "vitesse de carbonisation".

FAQ (pour lever les doutes)
Et si la charge Q était de longue durée (ex: stockage) ?

Si la charge Q était de longue durée, la classe de durée de chargement serait "longue durée". Pour la classe de service 2, le \(k_{\text{mod}}\) passerait de 0.8 à 0.7. La résistance de calcul \(f_{\text{m,d}}\) serait donc plus faible, et la section serait encore moins susceptible de passer la vérification.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vérification en flexion à l'ELU n'est pas satisfaite (\(\sigma_{\text{m,d}} = 16.12 \, \text{MPa} > f_{\text{m,d}} = 14.77 \, \text{MPa}\)). La solive est sous-dimensionnée en résistance.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la résistance de calcul \(f_{\text{m,d}}\) (en \(\text{MPa}\)) pour un bois C30 dans les mêmes conditions ? (\(f_{\text{m,k}}=30 \, \text{MPa}\))

Question 4 : Vérification de la flèche (ELS)

Principe (le concept physique)

Même si la poutre résiste, il faut s'assurer qu'elle ne se déforme pas excessivement pour le confort des utilisateurs. C'est la vérification à l'ELS. On calcule la flèche sous les charges réelles (non pondérées). Comme le bois flue, on calcule une flèche finale qui tient compte de la déformation instantanée et de la déformation différée (fluage) due aux charges permanentes.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La flèche totale est la somme de la flèche instantanée (dès que l'on charge) et de la flèche de fluage (qui apparaît avec le temps). L'Eurocode 5 simplifie ce calcul complexe en majorant la part de flèche due aux charges quasi-permanentes (G + une fraction de Q) par le facteur \((1+k_{\text{def}})\). La vérification est ensuite faite par rapport à une limite relative à la portée (L/300, L/400, etc.) pour garantir un niveau de confort visuel et fonctionnel homogène quelle que soit la taille de la poutre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est souvent ce critère de déformation, et non la résistance, qui dimensionne les poutres en bois, surtout pour les planchers. Une solive peut être largement assez résistante pour ne pas casser, mais si elle est trop souple, le plancher vibrera, le carrelage fissurera et les occupants ressentiront un inconfort. La vérification à l'ELS est donc aussi importante que celle à l'ELU.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 5 (Tableau 7.2) recommande une limite de flèche de \(L/300\) pour les planchers afin d'éviter l'inconfort et les dommages aux éléments non structuraux (cloisons, carrelage). Le coefficient de fluage \(k_{\text{def}}\) pour la classe de service 2 est de \(0.8\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Flèche instantanée pour une charge répartie \(p\):

\[ f_{\text{inst}} = \frac{5 \cdot p \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I} \]

Flèche finale (avec fluage) :

\[ f_{\text{net,fin}} = f_{\text{inst,G}} \cdot (1+k_{\text{def}}) + f_{\text{inst,Q}} \]

Critère de vérification :

\[ f_{\text{net,fin}} \le \frac{L}{300} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise les charges caractéristiques (non pondérées) pour la vérification à l'ELS. On utilise le module d'élasticité moyen \(E_{0,\text{mean}}\) car on s'intéresse au comportement moyen de la structure et non à un cas extrême.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charges permanentes, \(G_{\text{tot,k}} = 1.558 \, \text{kN/m}\)
  • Charges d'exploitation, \(Q_k = 2.0 \, \text{kN/m}\)
  • Portée, \(L = 4.0 \, \text{m}\)
  • \(E_{0,\text{mean}} = 11000 \, \text{MPa}\) ; \(I_y = 7.12 \times 10^7 \, \text{mm}^4\)
  • \(k_{\text{def}} = 0.8\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour que la formule de la flèche soit homogène, il faut utiliser des unités cohérentes. Le plus simple est de tout passer en N et mm : charges en N/mm, L en mm, E en MPa (qui est N/mm²) et I en mm⁴. Le résultat sera directement en mm.

Schéma (Avant les calculs)
Déformation de la Solive
f_fin = ?Limite = L/300 = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Charges caractéristiques (en N/mm) : \(G_{\text{tot,k}} = 1.558 \, \text{kN/m} = 1.558 \, \text{N/mm}\). \(Q_k = 2.0 \, \text{kN/m} = 2.0 \, \text{N/mm}\). Portée \(L = 4000 \, \text{mm}\).

2. Flèches instantanées :

\[ \begin{aligned} f_{\text{inst,G}} &= \frac{5 \cdot p_G \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I} \\ &= \frac{5 \cdot 1.558 \cdot 4000^4}{384 \cdot 11000 \cdot 7.12 \times 10^7} \\ &\approx 6.63 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} f_{\text{inst,Q}} &= \frac{5 \cdot p_Q \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I} \\ &= \frac{5 \cdot 2.0 \cdot 4000^4}{384 \cdot 11000 \cdot 7.12 \times 10^7} \\ &\approx 8.51 \, \text{mm} \end{aligned} \]

3. Flèche finale :

\[ \begin{aligned} f_{\text{net,fin}} &= f_{\text{inst,G}} \cdot (1+k_{\text{def}}) + f_{\text{inst,Q}} \\ &= 6.63 \cdot (1+0.8) + 8.51 \\ &= 11.93 + 8.51 \\ &= 20.44 \, \text{mm} \end{aligned} \]

4. Limite admissible et vérification :

\[ \begin{aligned} f_{\text{adm}} &= \frac{L}{300} \\ &= \frac{4000 \, \text{mm}}{300} \\ &\approx 13.33 \, \text{mm} \end{aligned} \]
\[ 20.44 \, \text{mm} > 13.33 \, \text{mm} \quad \Rightarrow \quad \text{NON CONFORME} \]
Schéma (Après les calculs)
Vérification ELS Non Conforme
Flèche f_fin = 20.4 mmLimite f_adm = 13.3 mmNON OK ❌
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La flèche finale calculée (20.4 mm) est bien supérieure à la limite admissible (13.3 mm). La solive est donc également non conforme vis-à-vis des déformations. C'est souvent le critère de flèche qui est le plus dimensionnant pour les poutres en bois de grande portée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à bien utiliser le coefficient \(k_{\text{def}}\) uniquement sur la part de flèche due aux charges permanentes. Le fluage est un phénomène à long terme, il n'affecte pas (ou peu) les charges de courte durée comme les charges d'exploitation d'un logement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vérification de la flèche se fait à l'ELS avec les charges caractéristiques.
  • Le fluage du bois est pris en compte via le coefficient \(k_{\text{def}}\).
  • La limite de flèche usuelle pour un plancher est de L/300.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les planchers, on doit aussi vérifier le confort vibratoire. Une poutre peut respecter le critère de flèche statique mais quand même entrer en vibration de manière désagréable lorsque l'on marche dessus. L'Eurocode 5 propose des méthodes de calcul simplifiées pour vérifier que la fréquence propre du plancher est suffisamment élevée (supérieure à 8 Hz en général).

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la limite est-elle \(L/300\) et pas une valeur absolue ?

Une flèche de 2 cm est inacceptable sur une portée de 3 m, mais peut être tout à fait acceptable sur une très grande portée de 15 m. Utiliser une limite relative à la portée (L/300) assure un niveau de confort visuel et de performance similaire, quelle que soit la dimension de la travée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vérification de la flèche à l'ELS n'est pas satisfaite (\(f_{\text{net,fin}} = 20.4 \, \text{mm} > f_{\text{adm}} = 13.3 \, \text{mm}\)). La solive est trop souple.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la flèche limite admissible \(f_{\text{adm}}\) (en \(\text{mm}\)) pour une portée de 5.0 mètres ?

Outil Interactif : Paramètres de la Solive

Modifiez les paramètres de la solive pour voir leur influence sur les ratios de résistance et de flèche.

Paramètres d'Entrée
4.0 m
225 mm
Ratios de Vérification (doivent être ≤ 1.00)
Ratio Résistance (ELU) \(\sigma_d / f_d\) -
Ratio Flèche (ELS) \(f_{\text{fin}} / f_{\text{adm}}\) -

Le Saviez-Vous ?

À masse égale, le bois est plus résistant que l'acier. Le rapport résistance/poids du bois est exceptionnel, ce qui explique son utilisation dans des structures audacieuses comme les charpentes de grande portée ou même des immeubles de grande hauteur en bois lamellé-croisé (CLT). Le record actuel est la tour Mjøstårnet en Norvège, qui culmine à 85.4 mètres.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le coefficient de sécurité sur les charges est-il plus grand pour Q (1.5) que pour G (1.35) ?

Les charges permanentes (G), comme le poids des matériaux, sont relativement bien connues et stables dans le temps. L'incertitude est faible. En revanche, les charges d'exploitation (Q), comme le mobilier, les personnes ou la neige, sont beaucoup plus variables et incertaines. On leur applique donc un coefficient de sécurité plus élevé pour couvrir cette incertitude.

Que se passe-t-il si une poutre est en classe de service 3 ?

La classe de service 3 correspond à des conditions où le bois est exposé aux intempéries et peut être fréquemment mouillé (humidité > 20%). Dans ce cas, les valeurs de \(k_{\text{mod}}\) et \(k_{\text{def}}\) sont beaucoup plus pénalisantes (par exemple, \(k_{\text{mod}}\) passe à 0.5 pour une charge permanente). La résistance et la rigidité apparentes du bois sont fortement réduites, il faut donc des sections beaucoup plus grandes.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. On décide de mettre la solive dans une salle de bain (Classe de service 2) plutôt que dans un salon sec (Classe de service 1). Le facteur \(k_{\text{mod}}\) va...

2. Pour un plancher, le critère le plus souvent dimensionnant (celui qui impose la plus grande section) est...

Eurocode 5
Norme européenne de conception et de calcul des structures en bois. Elle définit les méthodes et les coefficients à utiliser.
ELU / ELS
État Limite Ultime (sécurité, résistance) et État Limite de Service (confort, déformation). Les deux vérifications fondamentales en calcul de structure.
k_mod
Facteur de modification qui ajuste la résistance du bois en fonction de la classe de service (humidité) et de la durée de la charge.
k_def
Coefficient de déformation différée qui permet de calculer l'effet du fluage du bois sur la flèche à long terme.
Calcul d’une poutre en bois

D’autres exercices de structure en bois :

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