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Calcul du Rayon Hydraulique

Calcul du Rayon Hydraulique en Hydraulique

Comprendre le Rayon Hydraulique

Le rayon hydraulique (\(R_h\)) est un paramètre géométrique fondamental utilisé dans les calculs d'écoulement des fluides, en particulier pour les canaux ouverts et les conduites non pleines. Il représente une "longueur caractéristique" de la section d'écoulement et est défini comme le rapport de l'aire de la section mouillée (\(A_m\)) au périmètre mouillé (\(P_m\)). Le rayon hydraulique intervient dans de nombreuses formules empiriques de la mécanique des fluides, comme la formule de Manning-Strickler pour le calcul de la vitesse d'écoulement, car il permet de prendre en compte l'effet combiné de la forme et de la taille de la section sur les frottements.

Données de l'étude

On étudie l'écoulement de l'eau dans un canal rectangulaire.

Caractéristiques du canal :

  • Largeur du canal (au fond) (\(b\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur de l'eau dans le canal (tirant d'eau) (\(y\)) : \(0.5 \, \text{m}\)
Schéma : Section d'un Canal Rectangulaire
Surface Libre Largeur (b) = 2.0m Hauteur (y) = 0.5m Rayon Hydraulique

Section transversale d'un canal rectangulaire montrant la largeur (b) et la hauteur d'eau (y).

Questions à traiter

  1. Calculer la section mouillée (\(A_m\)) du canal.
  2. Calculer le périmètre mouillé (\(P_m\)) du canal.
  3. Calculer le rayon hydraulique (\(R_h\)) du canal.
  4. Si le canal était très large par rapport à la hauteur d'eau (par exemple, \(b \gg y\)), comment le rayon hydraulique se simplifierait-il approximativement ?

Correction : Calcul du Rayon Hydraulique

Question 1 : Section mouillée (\(A_m\)) du canal

Principe :

La section mouillée (\(A_m\)) est l'aire de la section transversale de l'écoulement du fluide. Pour un canal rectangulaire de largeur \(b\) et où l'eau atteint une hauteur (tirant d'eau) \(y\), la section mouillée est simplement l'aire d'un rectangle de base \(b\) et de hauteur \(y\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[A_m = b \times y\]
Données spécifiques :
  • Largeur du canal (\(b\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur de l'eau (\(y\)) : \(0.5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_m &= 2.0 \, \text{m} \times 0.5 \, \text{m} \\ &= 1.0 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La section mouillée du canal est \(A_m = 1.0 \, \text{m}^2\).

Question 2 : Périmètre mouillé (\(P_m\)) du canal

Principe :

Le périmètre mouillé (\(P_m\)) est la longueur de la paroi du canal qui est en contact avec le fluide en écoulement. Pour un canal rectangulaire, cela inclut le fond du canal (de largeur \(b\)) et les deux parois latérales verticales jusqu'à la hauteur de l'eau (\(y\)). La surface libre de l'eau n'est pas incluse dans le périmètre mouillé car il n'y a pas de frottement avec une paroi solide à cet endroit.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_m = b + 2y\]
Données spécifiques :
  • Largeur du canal (\(b\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Hauteur de l'eau (\(y\)) : \(0.5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_m &= 2.0 \, \text{m} + 2 \times 0.5 \, \text{m} \\ &= 2.0 \, \text{m} + 1.0 \, \text{m} \\ &= 3.0 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le périmètre mouillé du canal est \(P_m = 3.0 \, \text{m}\).

Question 3 : Rayon hydraulique (\(R_h\)) du canal

Principe :

Le rayon hydraulique (\(R_h\)) est défini comme le rapport de la section mouillée (\(A_m\)) au périmètre mouillé (\(P_m\)). C'est une mesure qui caractérise l'efficacité hydraulique d'une section d'écoulement : plus le rayon hydraulique est grand (pour une section donnée), moins les frottements par unité de volume de fluide sont importants.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_h = \frac{A_m}{P_m}\]
Données spécifiques (résultats des questions précédentes) :
  • Section mouillée (\(A_m\)) : \(1.0 \, \text{m}^2\)
  • Périmètre mouillé (\(P_m\)) : \(3.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_h &= \frac{1.0 \, \text{m}^2}{3.0 \, \text{m}} \\ &\approx 0.333 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le rayon hydraulique du canal est \(R_h \approx 0.333 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Pour une conduite circulaire de diamètre D coulant à pleine section, le rayon hydraulique est :

Question 4 : Simplification du rayon hydraulique pour un canal très large

Principe :

Si un canal rectangulaire est très large par rapport à la hauteur d'eau (\(b \gg y\)), cela signifie que la largeur du fond \(b\) est beaucoup plus grande que les deux hauteurs d'eau \(y\) sur les parois verticales. Dans ce cas, le périmètre mouillé \(P_m = b + 2y\) peut être approximé par \(b\), car \(2y\) devient négligeable par rapport à \(b\). Le rayon hydraulique \(R_h = A_m / P_m = (b \times y) / (b + 2y)\) tend alors vers \((b \times y) / b\).

Analyse :

Si \(b \gg y\), alors \(P_m = b + 2y \approx b\).

Le rayon hydraulique devient :

\[R_h = \frac{A_m}{P_m} = \frac{b \times y}{b + 2y}\]

Si \(b\) est très grand par rapport à \(2y\), le terme \(2y\) au dénominateur devient négligeable devant \(b\). Donc :

\[R_h \approx \frac{b \times y}{b} = y\]
Résultat Question 4 : Pour un canal rectangulaire très large par rapport à la hauteur d'eau (\(b \gg y\)), le rayon hydraulique \(R_h\) tend vers la hauteur d'eau \(y\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La section mouillée d'un canal rectangulaire est :

2. Le périmètre mouillé d'un canal rectangulaire est :

3. Le rayon hydraulique est défini comme :

Glossaire

Rayon Hydraulique (\(R_h\))
Rapport entre la section mouillée (\(A_m\)) d'un écoulement et son périmètre mouillé (\(P_m\)). C'est une longueur caractéristique utilisée dans les calculs d'écoulement. \(R_h = A_m / P_m\).
Section Mouillée (\(A_m\))
Aire de la section transversale du fluide en écoulement, perpendiculaire à la direction de l'écoulement.
Périmètre Mouillé (\(P_m\))
Longueur de la ligne de contact entre le fluide en écoulement et les parois solides du canal ou de la conduite.
Canal Rectangulaire
Canal ouvert dont la section transversale est de forme rectangulaire.
Tirant d'Eau (ou Hauteur d'Eau, \(y\))
Profondeur de l'eau dans un canal ou une rivière, mesurée verticalement depuis le fond jusqu'à la surface libre.
Calcul du Rayon Hydraulique en Hydraulique - Exercice d'Application

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