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Calcul de la contrainte ultime sur une semelle

Calcul de la contrainte ultime sur une semelle

Calcul de la contrainte ultime sur une semelle

Contexte : Les fondations, l'assise de toute construction.

En géotechnique, la capacité portanteC'est la contrainte (pression) maximale que le sol peut supporter sous une fondation avant de rompre. Dépasser cette limite entraîne un poinçonnement du sol et la ruine de l'ouvrage. est la préoccupation majeure de tout ingénieur en génie civil. Elle détermine la charge maximale qu'une fondation (ou semelle) peut transmettre au sol sans provoquer sa rupture. Un calcul erroné peut avoir des conséquences catastrophiques. Cet exercice vous guidera à travers la méthode de calcul de la capacité portante d'une semelle superficielle selon la formule de Terzaghi, une des approches fondamentales et les plus enseignées dans le domaine.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la démarche de l'ingénieur géotechnicien. À partir de caractéristiques du sol obtenues via des essais en laboratoire ou in-situ (cohésion, angle de frottement), et des dimensions de la fondation, nous allons déterminer une pression admissible. C'est le lien direct entre la caractérisation d'un matériau naturel complexe, le sol, et le dimensionnement d'un élément de structure.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre les trois termes de la capacité portante (cohésion, surcharge, poids du sol).
  • Calculer la contrainte de rupture (ou ultime) d'une semelle filante avec la formule de Terzaghi.
  • Déterminer la contrainte admissible en appliquant un coefficient de sécurité.
  • Calculer la charge maximale que la fondation peut supporter.
  • Se familiariser avec les unités en géotechnique (kPa, kN/m³, degrés).

Données de l'étude

On souhaite dimensionner une semelle filante (longueur L très grande devant la largeur B) qui supportera un mur. La semelle est fondée à une profondeur Df dans un sol homogène. Les caractéristiques du sol et de la fondation sont les suivantes :

Schéma de la fondation superficielle
Niveau du terrain naturel B = 1.5 m Q D_f = 1.0 m Sol homogène : γ = 18 kN/m³ c' = 15 kPa φ' = 25°
Paramètre Symbole Valeur Unité
Largeur de la semelle \(B\) 1.5 \(\text{m}\)
Profondeur d'encastrement \(D_{\text{f}}\) 1.0 \(\text{m}\)
Poids volumique du sol \(\gamma\) 18 \(\text{kN/m}^3\)
Cohésion effective du sol \(c'\) 15 \(\text{kPa}\)
Angle de frottement effectif \(\phi'\) 25 \(\text{degrés}\)
Coefficient de sécurité global \(FS\) 3 -

Questions à traiter

  1. Déterminer les facteurs de portance \(N_{\text{c}}\), \(N_{\text{q}}\) et \(N_{\gamma}\) pour un angle de frottement \(\phi' = 25^\circ\).
  2. Calculer la contrainte de rupture (ou ultime) \(q_{\text{ult}}\) de la semelle en utilisant la formule de Terzaghi.
  3. Déterminer la contrainte admissible (ou de service) \(q_{\text{adm}}\) sous la semelle.
  4. Calculer la charge verticale maximale admissible \(Q_{\text{adm}}\) que le mur peut transmettre par mètre linéaire de semelle.

Les bases de la Géotechnique des Fondations

Avant de commencer la correction, revoyons la formule de capacité portante de Terzaghi.

La formule de Terzaghi :
Pour une semelle filante, la contrainte de rupture du sol \(q_{\text{ult}}\) est la somme de trois termes indépendants : \[ q_{\text{ult}} = c'N_{\text{c}} + q'N_{\text{q}} + \frac{1}{2}\gamma' B N_{\gamma} \]

  • Le premier terme (\(c'N_{\text{c}}\)) représente la contribution de la cohésionForce d'attraction interne entre les particules du sol. C'est ce qui permet de faire une boule de sable humide, mais pas de sable sec. Très importante dans les argiles. du sol.
  • Le deuxième terme (\(q'N_{\text{q}}\)) représente la contribution de la surchargeC'est le poids des terres situées à côté et au-dessus du niveau de la base de la fondation. Plus la fondation est profonde, plus la surcharge est importante et plus le sol peut porter. effective (\(q' = \gamma D_{\text{f}}\)) au niveau de la base de la fondation.
  • Le troisième terme (\(\frac{1}{2}\gamma' B N_{\gamma}\)) représente la contribution du poids du sol et du frottement dans le coin de sol mobilisé sous la fondation.
Les termes \(N_{\text{c}}\), \(N_{\text{q}}\), et \(N_{\gamma}\) sont des facteurs de portance adimensionnels qui dépendent uniquement de l'angle de frottementCaractérise la résistance au cisaillement du sol due au frottement entre les grains. Un tas de sable sec a une pente maximale qui dépend de son angle de frottement. \(\phi'\).

Correction : Calcul de la contrainte ultime sur une semelle

Question 1 : Déterminer les facteurs de portance

Principe (le concept physique)

Les facteurs de portance (Nc, Nq, Nγ) sont des coefficients sans dimension qui traduisent la manière dont la rupture se propage dans le sol sous la fondation. Ils dépendent de la complexité des lignes de glissement qui se développent. Ces lignes sont directement gouvernées par la résistance au cisaillement du sol, qui est caractérisée par l'angle de frottement φ'. Plus φ' est grand (sol plus frottant, comme un sable dense), plus le mécanisme de rupture est large et profond, et plus les facteurs de portance sont élevés.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ces facteurs sont issus de la théorie de la plasticité. Les formules de Prandtl (1921) et Reissner (1924) ont permis d'établir les expressions exactes pour Nq et Nc. La formule pour Nγ est plus complexe et il existe plusieurs propositions (Meyerhof, Vesic, Hansen...). Les formules de Terzaghi sont des approximations classiques et très utilisées.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Dans la pratique, personne ne calcule ces facteurs à la main. On utilise des abaques (graphiques) ou des tableaux normalisés. Pour un examen ou un exercice, les formules vous sont souvent données. L'important est de comprendre que ces facteurs augmentent de manière exponentielle avec l'angle de frottement. Une petite incertitude sur φ' peut avoir un impact énorme sur la capacité portante calculée.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 (Calcul géotechnique) fournit des formules et des tableaux pour calculer ces facteurs de portance. Les formules peuvent légèrement différer de celles de Terzaghi, car elles incluent des facteurs de forme, d'inclinaison de la charge, etc., pour être plus générales. Cependant, les formules de base restent les mêmes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour l'approche de Terzaghi (1943), les formules sont :

\[ N_{\text{q}} = e^{\pi \tan(\phi')} \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right) \]
\[ N_{\text{c}} = (N_{\text{q}} - 1) \cot(\phi') \]
\[ N_{\gamma} = 1.8 (N_{\text{q}} - 1) \tan(\phi') \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise les formules de Terzaghi, valables pour une semelle filante et une rupture par cisaillement généralisé.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Angle de frottement effectif, \(\phi' = 25^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "degrés" pour les calculs trigonométriques. Une erreur fréquente est de faire les calculs en radians, ce qui donne des résultats complètement faux. Commencez toujours par calculer \(N_{\text{q}}\), car les deux autres en dépendent.

Schéma (Avant les calculs)
Abaque des Facteurs de Portance (Principe)
φ' (°)NNγNqNc25°
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique les formules avec \(\phi' = 25^\circ\). Attention, \(\tan(25^\circ) \approx 0.466\).

\[ \begin{aligned} N_{\text{q}} &= e^{\pi \tan(25^\circ)} \tan^2\left(45^\circ + \frac{25^\circ}{2}\right) \\ &= e^{1.465} \tan^2(57.5^\circ) \\ &= 4.325 \times (1.57)^2 \\ &\approx 10.66 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} N_{\text{c}} &= (N_{\text{q}} - 1) \cot(\phi') \\ &= (10.66 - 1) \cot(25^\circ) \\ &= 9.66 \times 2.144 \\ &\approx 20.72 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} N_{\gamma} &= 1.8 (N_{\text{q}} - 1) \tan(\phi') \\ &= 1.8 \times (10.66 - 1) \times \tan(25^\circ) \\ &= 1.8 \times 9.66 \times 0.466 \\ &\approx 8.09 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeurs des Facteurs de Portance pour φ'=25°
Nγ8.09Nq10.66Nc20.72
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ces valeurs sont les multiplicateurs qui vont amplifier les contributions de la cohésion, de la surcharge et du poids du sol. Pour un sol purement frottant (sable, φ' > 0, c'=0), on voit que la portance dépendra de Nq et Nγ. Pour un sol purement cohérent (argile saturée, φ'=0, c'>0), Nq=1, Nγ=0 et Nc≈5.14, la portance ne dépendra que de la cohésion.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne mélangez pas les formules des différents auteurs. Si vous utilisez les facteurs de Terzaghi, utilisez-les pour les trois termes. Les facteurs de Meyerhof ou Vesic sont différents et doivent être utilisés avec leurs propres formules de capacité portante (qui incluent des facteurs de forme, etc.).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les facteurs de portance \(N_{\text{c}}, N_{\text{q}}, N_{\gamma}\) dépendent uniquement de l'angle de frottement \(\phi'\).
  • Ils augmentent très rapidement avec \(\phi'\).
  • \(N_{\text{q}}\) est calculé en premier, puis \(N_{\text{c}}\) et \(N_{\gamma}\) en découlent.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le facteur Nγ est le plus débattu des trois. Contrairement à Nc et Nq qui ont des solutions théoriques exactes, il n'existe pas de solution analytique pour Nγ. Les formules utilisées (Terzaghi, Meyerhof, Vesic) sont des approximations basées sur des modèles simplifiés et des résultats expérimentaux.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi Nγ est-il parfois nul ?

Pour un angle de frottement \(\phi' = 0\), ce qui est le cas pour une analyse à court terme (non drainée) dans une argile saturée, la tangente de \(\phi'\) est nulle. La formule de Nγ donne alors 0. Physiquement, cela signifie qu'en conditions non drainées, la résistance vient uniquement de la cohésion et de la surcharge, le terme de poids du sol sous la fondation ne contribue pas.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Pour \(\phi' = 25^\circ\), les facteurs de portance de Terzaghi sont : \(N_{\text{c}} \approx 20.72\), \(N_{\text{q}} \approx 10.66\) et \(N_{\gamma} \approx 8.09\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Calculez la valeur de \(N_{\text{q}}\) pour un angle de frottement de 30°.

Question 2 : Calculer la contrainte de rupture (q_ult)

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous avons les facteurs de portance, nous pouvons assembler les trois pièces du puzzle. Nous allons calculer la contribution de chaque composant (cohésion, surcharge, poids du sol) et les additionner pour obtenir la pression maximale théorique que le sol peut supporter avant de "casser" sous la fondation. C'est la capacité portante ultime.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La rupture du sol sous une fondation se produit le long de surfaces de glissement. La formule de Terzaghi est une solution qui équilibre les forces motrices (la charge de la fondation) et les forces résistantes (la résistance au cisaillement du sol le long de ces surfaces). Chaque terme de la formule représente la résistance mobilisée par un des aspects du sol : sa "colle" interne (cohésion), le confinement dû à son poids propre (surcharge) et la masse de sol directement sous la fondation.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez pousser votre main dans du sable. C'est difficile à cause du frottement (terme Nγ et Nq). Maintenant, imaginez pousser votre main dans de l'argile ferme. C'est difficile car il faut casser la "colle" entre les particules (terme Nc). La formule de Terzaghi combine simplement ces trois effets.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 utilise une formulation similaire, mais plus complète : \(q_{\text{ult}} = c'N_{\text{c}} s_{\text{c}} i_{\text{c}} + q'N_{\text{q}} s_{\text{q}} i_{\text{q}} + \frac{1}{2}\gamma' B' N_{\gamma} s_{\gamma} i_{\gamma}\). Les termes \(s\) sont des facteurs de forme (pour semelles carrées/circulaires) et les termes \(i\) sont des facteurs d'inclinaison de la charge. Pour notre cas (semelle filante, charge verticale), ces facteurs valent 1 et on retombe sur la formule de base.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de Terzaghi pour une semelle filante :

\[ q_{\text{ult}} = c'N_{\text{c}} + q'N_{\text{q}} + \frac{1}{2}\gamma' B N_{\gamma} \]

Avec la contrainte de surcharge effective :

\[ q' = \gamma \cdot D_{\text{f}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le sol est homogène, la charge est verticale et centrée, l'influence de la nappe phréatique est négligeable, et la semelle est considérée comme "filante" (longueur >> largeur).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(c' = 15 \, \text{kPa}\)
  • \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(D_{\text{f}} = 1.0 \, \text{m}\)
  • \(B = 1.5 \, \text{m}\)
  • \(N_{\text{c}} = 20.72\), \(N_{\text{q}} = 10.66\), \(N_{\gamma} = 8.09\) (de Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

La clé est la cohérence des unités. Le plus simple est de tout convertir en kN et en mètres. La cohésion est en kPa (kiloPascals), ce qui est équivalent à des kN/m². Le poids volumique est en kN/m³. Les longueurs sont en m. Le résultat final sera donc directement en kN/m², c'est-à-dire en kPa.

Schéma (Avant les calculs)
Composition de la Capacité Portante
q_ult = Terme Cohésion + Terme Surcharge + Terme Poidsc' * Ncq' * Nq0.5γ'BNγ
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la surcharge \(q'\) :

\[ \begin{aligned} q' &= \gamma \cdot D_{\text{f}} \\ &= 18 \, \text{kN/m}^3 \cdot 1.0 \, \text{m} \\ &= 18 \, \text{kN/m}^2 \\ &= 18 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

2. Calculer chaque terme de la formule :

\[ \begin{aligned} \text{Terme de cohésion} &= c'N_{\text{c}} \\ &= 15 \times 20.72 \\ &= 310.8 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Terme de surcharge} &= q'N_{\text{q}} \\ &= 18 \times 10.66 \\ &= 191.88 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{Terme de poids} &= \frac{1}{2}\gamma B N_{\gamma} \\ &= 0.5 \times 18 \times 1.5 \times 8.09 \\ &= 109.22 \, \text{kPa} \end{aligned} \]

3. Sommer les trois termes :

\[ \begin{aligned} q_{\text{ult}} &= 310.8 + 191.88 + 109.22 \\ &= 611.9 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Contributions à la Contrainte Ultime (612 kPa)
310.8 kPa (51%)191.9 kPa (31%)109.2 kPa (18%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte ultime est de 611.9 kPa. Cela signifie que si l'on appliquait une pression de 612 kPa sous la semelle, le sol se romprait. On peut voir la contribution de chaque terme : la cohésion est le facteur dominant ici (environ 51% de la portance), ce qui est typique pour un sol mixte (sable argileux / limon).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez pas le facteur 1/2 dans le troisième terme, c'est une erreur très courante. Vérifiez aussi que vous utilisez bien la largeur B et non la profondeur Df dans ce terme. Enfin, assurez-vous d'utiliser le poids volumique \(\gamma\) et non la densité.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte ultime est la somme de trois contributions : cohésion, surcharge et poids du sol.
  • La cohérence des unités (kN, m, kPa) est essentielle pour un calcul correct.
  • Chaque terme représente une source de résistance physique du sol.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Il existe différents modes de rupture du sol. La formule de Terzaghi suppose une "rupture par cisaillement généralisé", typique des sables denses ou argiles raides. Dans les sables lâches, on peut avoir une "rupture par poinçonnement", où le sol s'enfonce verticalement sous la semelle sans grand soulèvement sur les côtés. Les calculs doivent alors être adaptés.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la charge n'est pas centrée ?

Une charge excentrée crée un moment sur la fondation. Cela conduit à une distribution de pression non uniforme sous la semelle (trapézoïdale ou triangulaire). Pour le calcul, on utilise une largeur effective réduite B' = B - 2e, où 'e' est l'excentricité. La capacité portante diminue donc considérablement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte de rupture ultime de la semelle est d'environ 612 kPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le sol était un sable pur (\(c' = 0 \, \text{kPa}\)), quelle serait la nouvelle contrainte ultime en kPa ?

Question 3 : Déterminer la contrainte admissible (q_adm)

Principe (le concept physique)

On ne peut jamais dimensionner une structure pour qu'elle travaille à sa limite de rupture. Les incertitudes sur les propriétés du sol, sur les charges appliquées et les imperfections de la théorie nous obligent à prendre une marge de sécurité. Le coefficient de sécurité (FS) sert à réduire la contrainte ultime pour obtenir une contrainte admissible (ou de service), qui est la pression maximale que l'on s'autorisera à appliquer en conditions réelles.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le choix du Facteur de Sécurité (FS) est une décision d'ingénierie cruciale. Il dépend de plusieurs paramètres : la qualité et la quantité des reconnaissances de sol, la variabilité des propriétés du sol sur le site, la complexité du chargement, et les conséquences d'une rupture (un barrage nécessite un FS plus élevé qu'un hangar agricole). Les valeurs typiques pour les fondations varient de 2.5 à 4.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez au coefficient de sécurité comme à une "assurance" contre l'imprévu. Le sol n'est pas un matériau industriel homogène comme l'acier ; ses propriétés peuvent varier à quelques mètres de distance. Le FS est là pour garantir la sécurité de l'ouvrage malgré ces incertitudes que l'on ne pourra jamais totalement lever.

Normes (la référence réglementaire)

Les anciennes normes de calcul utilisaient cette approche du coefficient de sécurité global (FS). Les normes modernes comme l'Eurocode 7 utilisent une approche semi-probabiliste avec des "facteurs de sécurité partiels" appliqués séparément sur les charges (on les majore) et sur les résistances du matériau (on les minore). L'approche globale reste cependant très formatrice et est encore utilisée pour des pré-dimensionnements.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ q_{\text{adm}} = \frac{q_{\text{ult}}}{FS} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

L'hypothèse principale est que le coefficient de sécurité global de 3 est jugé suffisant pour couvrir toutes les incertitudes liées au projet.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte ultime, \(q_{\text{ult}} = 611.9 \, \text{kPa}\) (de Q2)
  • Coefficient de sécurité, \(FS = 3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

C'est un calcul simple, mais il est bon de vérifier que le résultat a un sens physique. Une contrainte admissible pour une semelle superficielle se situe souvent entre 100 et 400 kPa. Si vous trouvez une valeur de 20 kPa ou 2000 kPa, il y a probablement une erreur en amont.

Schéma (Avant les calculs)
Principe du Coefficient de Sécurité
q_ult÷ FSq_adm
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} q_{\text{adm}} &= \frac{611.9 \, \text{kPa}}{3} \\ &\approx 204 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Application du Coefficient de Sécurité
q_ult = 612 kPa÷ 3q_adm = 204 kPa
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La pression maximale que l'on peut appliquer en toute sécurité est de 204 kPa. Cette valeur est trois fois inférieure à la limite de rupture, ce qui nous donne une marge de sécurité confortable. Un facteur de 3 est une valeur très courante pour les fondations superficielles en raison des incertitudes inhérentes à la géotechnique.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la contrainte ultime (une capacité théorique du sol) et la contrainte admissible (une valeur de calcul pour l'ingénieur). Utiliser \(q_{\text{ult}}\) pour le dimensionnement mènerait à une structure dangereuse, sans aucune marge de sécurité.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte admissible est la contrainte de service maximale.
  • Elle s'obtient en divisant la contrainte ultime par un coefficient de sécurité.
  • Le coefficient de sécurité (typiquement 3) couvre les incertitudes.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En plus de la vérification à la rupture (capacité portante), l'ingénieur doit aussi faire une vérification des tassements. Parfois, une semelle est parfaitement sûre vis-à-vis de la rupture, mais la contrainte admissible doit être encore réduite pour limiter les tassements à une valeur acceptable pour la structure (quelques centimètres en général).

FAQ (pour lever les doutes)
Le coefficient de sécurité est-il toujours 3 ?

Non. C'est une valeur courante pour les fondations superficielles avec une investigation de sol standard. Il peut être réduit (ex: 2.5) si les reconnaissances de sol sont très poussées et les charges bien connues, ou augmenté (ex: 4) pour des ouvrages critiques ou des sols très hétérogènes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La contrainte admissible sous la semelle est d'environ 204 kPa.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Avec un coefficient de sécurité plus prudent de 3.5, quelle serait la nouvelle contrainte admissible en kPa ?

Question 4 : Calculer la charge maximale admissible (Q_adm)

Principe (le concept physique)

La dernière étape consiste à passer de la pression (une force par unité de surface) à la force totale. Connaissant la pression maximale que le sol peut supporter (\(q_{\text{adm}}\)) et la surface de la fondation, on peut calculer la charge totale (en kN) que la fondation peut transmettre au sol. Comme il s'agit d'une semelle filante, on calcule cette charge par mètre linéaire.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La charge admissible \(Q_{\text{adm}}\) est la force que l'ingénieur en structure va utiliser comme limite pour les charges descendantes (poids du mur, des planchers, de la toiture, charges de neige, etc.). Ce calcul est le point de jonction entre deux disciplines : la géotechnique (qui fournit la capacité du sol) et la structure (qui calcule les charges de l'ouvrage).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est la réponse finale que le client ou l'architecte attend du géotechnicien : "Combien de poids puis-je mettre à cet endroit ?". Notre travail a été de traduire des propriétés de sol complexes (c', φ') en une valeur d'ingénierie simple et directement utilisable : une charge par mètre.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de calcul de structure (comme l'Eurocode 2 pour le béton ou l'Eurocode 3 pour l'acier) définissent comment calculer les charges qui descendent sur les fondations. La comparaison de cette charge de calcul avec la charge admissible \(Q_{\text{adm}}\) constitue la vérification finale de la sécurité de la fondation.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La relation entre contrainte, force et surface est :

\[\sigma = \frac{F}{S} \Rightarrow F = \sigma \cdot S\]

Pour une semelle filante, la charge admissible par mètre linéaire est donc :

\[ Q_{\text{adm}} \, (\text{en kN/m}) = q_{\text{adm}} \, (\text{en kN/m}^2) \times B \, (\text{en m}) \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la charge transmise par le mur est uniformément répartie le long de la semelle filante.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Contrainte admissible, \(q_{\text{adm}} = 204 \, \text{kPa} = 204 \, \text{kN/m}^2\) (de Q3)
  • Largeur de la semelle, \(B = 1.5 \, \text{m}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Vérifiez les unités une dernière fois : \((\text{kN/m}^2) \times \text{m} = \text{kN/m}\). Le calcul est cohérent. Le résultat est une charge linéaire, ce qui est correct pour une semelle filante.

Schéma (Avant les calculs)
De la Pression à la Force
q_admQ_adm = ?
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} Q_{\text{adm}} &= 204 \, \text{kN/m}^2 \times 1.5 \, \text{m} \\ &= 306 \, \text{kN/m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Charge Admissible par Mètre Linéaire
B = 1.5 mQ_adm = 306 kN/m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le mur peut appliquer une charge maximale de 306 kN pour chaque mètre de sa longueur. Cette valeur sera utilisée par l'ingénieur en structure pour vérifier que les charges descendantes du bâtiment (poids propre, charges d'exploitation) sont bien inférieures à cette capacité. Si la charge était supérieure, il faudrait augmenter la largeur de la semelle (B) ou la profondeur d'ancrage (Df).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas oublier l'unité "par mètre linéaire". Ce n'est pas la charge totale que le bâtiment peut supporter, mais bien la charge pour chaque mètre de mur. Une confusion ici pourrait mener à des erreurs de calcul importantes pour la structure globale.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La charge admissible est le produit de la contrainte admissible par la surface.
  • Pour une semelle filante, on calcule une charge linéaire (en kN/m).
  • \(Q_{\text{adm}} = q_{\text{adm}} \times B\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les fondations de grande largeur, comme les radiers sous les immeubles de grande hauteur, le troisième terme de la formule (\(0.5\gamma B N_\gamma\)) devient prépondérant. La capacité portante augmente significativement avec la largeur de la fondation, une des raisons pour lesquelles les grands bâtiments ont souvent une fondation unique couvrant toute leur emprise.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette charge Q_adm inclut-elle le poids de la semelle ?

C'est un point subtil. La contrainte \(q_{\text{adm}}\) est souvent considérée comme une "contrainte nette admissible". Cela signifie qu'elle représente l'augmentation de contrainte que le sol peut supporter par rapport à son état initial (avant les travaux). Dans ce cas, \(Q_{\text{adm}}\) est la charge que la structure peut appliquer sur le dessus de la fondation, et le poids de la fondation et des terres remblayées est déjà pris en compte. C'est l'approche la plus courante.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La charge maximale admissible sur la semelle est de 306 kN par mètre linéaire.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la largeur B était augmentée à 2.0 m, quelle serait la nouvelle charge admissible \(Q_{\text{adm}}\) en kN/m ?

Outil Interactif : Paramètres de la Fondation

Modifiez les paramètres du sol et de la semelle pour voir leur influence sur la capacité portante.

Paramètres d'Entrée
25 °
15 kPa
1.5 m
Résultats Clés (FS=3)
Contrainte Ultime (kPa) -
Contrainte Admissible (kPa) -
Charge Admissible (kN/m) -

Le Saviez-Vous ?

Karl von Terzaghi (1883-1963) est considéré comme le "père de la mécanique des sols". Ingénieur autrichien puis américain, il a révolutionné l'approche empirique des fondations en la transformant en une véritable science basée sur des principes de mécanique. Sa publication "Erdbaumechanik" en 1925 a posé les bases de la géotechnique moderne.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si la nappe phréatique est proche ?

La présence d'eau change tout ! Il faut utiliser le poids volumique déjaugé du sol (\(\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_{\text{w}}\)) et prendre en compte les pressions interstitielles. La capacité portante diminue alors drastiquement. Les formules se complexifient pour prendre en compte la position de la nappe par rapport à la fondation.

Cette formule est-elle valable pour toutes les formes de semelles ?

Non, la formule présentée est pour une semelle "filante" (L/B > 5). Pour des semelles carrées, circulaires ou rectangulaires, il faut introduire des "facteurs de forme" (\(s_{\text{c}}, s_{\text{q}}, s_{\gamma}\)) qui viennent modifier chaque terme de l'équation pour tenir compte de l'effet tridimensionnel de la rupture. Par exemple, pour une semelle carrée, la portance est plus élevée que pour une semelle filante de même largeur B.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour un sol purement sableux (\(c' = 0\)), la capacité portante dépend principalement de...

2. Si on double la largeur (B) d'une semelle sur un sol sableux (\(c'=0\)), la charge admissible \(Q_{\text{adm}}\)...

Capacité Portante
Contrainte (pression) maximale que le sol peut supporter sous une fondation avant la rupture par poinçonnement.
Cohésion (c')
Partie de la résistance au cisaillement d'un sol qui est indépendante de la contrainte normale. Elle est due aux forces d'attraction entre les particules (typique des argiles).
Angle de Frottement (φ')
Partie de la résistance au cisaillement qui est proportionnelle à la contrainte normale. Elle est due au frottement entre les grains du sol (typique des sables).
Calcul de la contrainte ultime sur une semelle

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