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Calcul de flèche d’une poutre

Calcul de Flèche d'une Poutre par Double Intégration en RdM

Calcul de flèche d’une poutre

Contexte : Pourquoi une poutre ne doit-elle pas trop se déformer ?

En génie civil, il ne suffit pas qu'une structure soit assez solide pour ne pas s'effondrer (vérification aux États Limites UltimesLes ELU correspondent à la ruine ou à un endommagement structurel majeur de l'ouvrage (rupture, flambement, perte d'équilibre...).). Elle doit aussi être suffisamment rigide pour rester fonctionnelle et confortable pour les usagers. Une déformation excessive, appelée flècheLa flèche est le déplacement vertical maximal d'une poutre sous l'effet des charges., peut causer des fissures dans les cloisons, des problèmes d'étanchéité, ou un sentiment d'insécurité. Le calcul de la flèche est donc une vérification cruciale aux États Limites de ServiceLes ELS concernent les conditions normales d'utilisation et de confort des usagers (déformations, vibrations, fissuration...). (ELS).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers la méthode de la double intégration, une technique fondamentale pour déterminer l'équation de la déformée d'une poutre. Nous partirons de l'équation du moment fléchissant pour trouver, par intégrations successives, les équations de la rotation et de la flèche.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les réactions d'appuis pour une poutre simplement appuyée.
  • Établir l'équation du moment fléchissant M(x) le long de la poutre.
  • Intégrer M(x) pour obtenir l'équation de la rotation (pente) θ(x).
  • Intégrer θ(x) pour obtenir l'équation de la déformée (flèche) y(x).
  • Utiliser les conditions aux limites pour déterminer les constantes d'intégration.
  • Calculer la flèche maximale et identifier sa position.

Données de l'étude

On étudie une poutre en acier, simplement appuyée en A et B, de longueur L = 8 m. Elle est soumise à une charge uniformément répartie q = 10 kN/m. La poutre a un profilé dont les caractéristiques sont :

  • Module de Young : \(E = 210 \, \text{GPa}\)
  • Moment d'inertie : \(I = 12000 \, \text{cm}^4\)
Schéma de la poutre sur appuis simples
q = 10 kN/m A B L = 8 m

Questions à traiter

  1. Calculer les réactions d'appuis en A et B.
  2. Établir l'équation du moment fléchissant M(x) pour \(x \in [0, L]\).
  3. Par double intégration, déterminer l'équation de la déformée y(x).
  4. Calculer la valeur de la flèche maximale en millimètres.

Correction : Calcul de flèche d’une poutre

Question 1 : Calculer les réactions d'appuis

Principe (le concept physique)

Pour que la poutre soit stable, elle doit être en équilibre statique. Cela signifie que la somme de toutes les forces verticales agissant sur elle doit être nulle, et que la somme des moments autour de n'importe quel point doit également être nulle. Ces principes nous permettent de trouver les forces inconnues exercées par les appuis.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le Principe Fondamental de la Statique (PFS) appliqué à un problème 2D nous donne trois équations : \(\sum F_x = 0\), \(\sum F_y = 0\), et \(\sum M_{/P} = 0\). Dans notre cas, il n'y a pas de forces horizontales. La symétrie du problème (géométrie et chargement) est une information puissante : elle implique que les réactions verticales aux appuis seront identiques.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Avant de vous lancer dans des calculs complexes, prenez toujours un moment pour observer la structure. La reconnaissance d'une symétrie peut vous faire gagner un temps précieux et réduire les risques d'erreur. Ici, la symétrie nous permet de déduire que \(R_A = R_B\) sans même poser une équation de moment.

Astuces (Pour aller plus vite)

Astuce : Pour une charge uniformément répartie sur une poutre simple, la charge totale est simplement \(Q = q \times L\). Chaque appui reprend la moitié de cette charge totale. C'est un raccourci mental très utile pour ce cas de charge classique.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des réactions d'appuis est le point de départ de toute note de calcul de structure, conformément aux exigences des normes de conception comme les Eurocodes. Ces réactions sont fondamentales pour le dimensionnement des appuis eux-mêmes et des fondations qui les supportent.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre est un corps rigide indéformable pour cette étape de calcul statique. Les appuis sont considérés comme parfaits : l'appui A est une articulation parfaite (pivot) et l'appui B un appui simple parfait (rouleau).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équilibre des forces verticales :

\[ \sum F_y = R_A + R_B - qL = 0 \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge répartie : \(q = 10 \, \text{kN/m}\)
  • Longueur de la poutre : \(L = 8 \, \text{m}\)
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de corps libre de la poutre
Q = qL R_A ? R_B ?
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la charge totale :

\[ \begin{aligned} Q &= q \times L \\ &= 10 \, \text{kN/m} \times 8 \, \text{m} \\ &= 80 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Application de l'équilibre et de la symétrie :

\[ \begin{aligned} R_A = R_B &= \frac{Q}{2} \\ &= \frac{80 \, \text{kN}}{2} \\ &= 40 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Poutre avec réactions d'appuis calculées
80 kN 40 kN 40 kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat est logique et confirme notre intuition : dans un cas parfaitement symétrique, la charge est répartie équitablement entre les deux supports. Chaque appui reprend 40 kN, soit la moitié de la charge totale de 80 kN.

Point à retenir : Pour une poutre symétrique avec un chargement symétrique, les réactions aux appuis sont égales et valent la moitié de la charge totale appliquée.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette première étape est indispensable. Sans connaître les forces externes (réactions) qui agissent sur la poutre, il est impossible de déterminer les efforts internes (moment fléchissant, effort tranchant) et, par conséquent, de calculer la déformation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas se fier aveuglément à la symétrie : L'hypothèse de symétrie n'est valable que si la géométrie ET le chargement sont tous deux symétriques. Si une charge ponctuelle était ajoutée à un endroit non centré, ce calcul simple ne serait plus valable.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Une structure qui peut être résolue uniquement avec les équations de la statique est dite "isostatique". Si elle a plus d'appuis que nécessaire (par exemple, un troisième appui au milieu), elle devient "hyperstatique" et des méthodes plus avancées sont nécessaires pour calculer les réactions.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passerait-il si la charge n'était pas symétrique ?

Si la charge n'était pas symétrique, les réactions ne seraient plus égales. Il faudrait alors utiliser l'équation de la somme des moments par rapport à l'un des appuis (par exemple, \(\sum M_{/A} = 0\)) pour trouver la réaction à l'autre appui (\(R_B\)), puis utiliser \(\sum F_y = 0\) pour trouver la première réaction (\(R_A\)).

Résultat Final : Les réactions d'appuis sont \(R_A = 40 \, \text{kN}\) et \(R_B = 40 \, \text{kN}\).

À vous de jouer : Quelle serait la valeur de \(R_A\) (en kN) si la longueur L était de 10 m (q restant à 10 kN/m) ?

Question 2 : Établir l'équation du moment fléchissant M(x)

Principe (le concept physique)

Le moment fléchissant en un point d'une poutre représente l'intensité de la "flexion" à cet endroit. On le calcule en faisant une coupe imaginaire à une distance \(x\) de l'origine et en sommant les moments de toutes les forces (réactions et charges) situées d'un côté de la coupe.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le moment fléchissant \(M(x)\) est une fonction de la position \(x\). Pour une charge répartie, cette fonction est une parabole. La convention de signe est importante : généralement, un moment qui provoque une traction dans la fibre inférieure de la poutre (lui donnant une forme de "sourire") est considéré comme positif.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Le point le plus délicat est souvent de calculer le moment généré par la charge répartie. Visualisez la portion de charge sur la longueur \(x\) comme une force unique égale à \(q \times x\), appliquée au centre de gravité de cette portion, c'est-à-dire à une distance de \(x/2\) de la coupe.

Astuces (Pour aller plus vite)

Astuce : La relation \(V(x) = dM/dx\) (l'effort tranchant est la dérivée du moment) est un excellent moyen de vérifier vos calculs. Calculez l'effort tranchant \(V(x) = R_A - qx = 40 - 10x\). Si vous dérivez votre équation de moment, vous devriez retrouver cette expression.

Normes (la référence réglementaire)

Le diagramme des moments fléchissants est un outil central dans les normes de conception (Eurocode 3 pour l'acier, Eurocode 2 pour le béton). La valeur maximale du moment, \(M_{\text{max}}\), est directement utilisée pour vérifier la résistance de la section de la poutre à la flexion.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On applique le principe de la coupe. La poutre est coupée à une abscisse \(x\) quelconque entre 0 et L. La partie gauche de la poutre est isolée et considérée en équilibre sous l'action des forces externes et des efforts internes à la coupe (M(x) et V(x)).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Définition du moment fléchissant :

\[ M(x) = \sum M_{/x} (\text{forces à gauche de } x) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Réaction d'appui : \(R_A = 40 \, \text{kN}\)
  • Charge répartie : \(q = 10 \, \text{kN/m}\)
Schéma (Avant les calculs)
Coupe virtuelle à une distance x et forces agissantes
R_A M(x) x
Calcul(s) (l'application numérique)

Expression littérale du moment :

\[ \begin{aligned} M(x) &= R_A \cdot x - (q \cdot x) \cdot \frac{x}{2} \\ &= \frac{qL}{2}x - \frac{qx^2}{2} \end{aligned} \]

Application numérique :

\[ M(x) = 40x - 5x^2 \quad (\text{en kN} \cdot \text{m}) \]
Schéma (Après les calculs)
Allure du diagramme du moment fléchissant
M(x) Parabole M_max
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'équation obtenue est celle d'une parabole tournée vers le bas, ce qui est le résultat classique pour une poutre soumise à une charge uniformément répartie. Le moment est nul aux appuis (à x=0 et x=L) et maximal au centre, là où la flexion est la plus forte.

Point à retenir : L'équation du moment fléchissant est la clé de voûte du calcul de structure ; elle est le point de départ pour l'analyse des contraintes et des déformations.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Nous devons établir cette fonction M(x) car c'est elle qui est directement reliée à la courbure de la poutre. Sans cette équation, il est impossible d'utiliser la méthode de la double intégration pour trouver la flèche.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Erreurs de signe et de bras de levier : L'erreur la plus fréquente est de se tromper sur le signe d'un moment (est-ce qu'il fait "sourire" ou "pleurer" la poutre ?) ou sur la distance du bras de levier (pour une charge répartie, c'est la moitié de la longueur sur laquelle elle s'applique).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les architectes utilisent souvent la forme du diagramme des moments fléchissants pour inspirer la forme de leurs structures. Un pont en arc, par exemple, a une forme qui ressemble à un diagramme de moment inversé, ce qui lui permet de travailler principalement en compression, un mode de fonctionnement idéal pour des matériaux comme la pierre ou le béton.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le moment de la charge répartie est-il \( (qx) \cdot (x/2) \) ?

On peut remplacer la charge répartie sur la section de longueur \(x\) par une force ponctuelle équivalente. La magnitude de cette force est l'aire sous la charge, soit \(q \times x\). Son point d'application est le centre de gravité de cette aire, qui pour un rectangle se trouve à mi-distance, soit \(x/2\) de la coupe.

Résultat Final : L'équation du moment fléchissant est \(M(x) = \frac{qL}{2}x - \frac{qx^2}{2}\).

À vous de jouer : En utilisant l'équation \(M(x) = 40x - 5x^2\), quel est le moment maximal (en kN.m) au centre de la poutre (x=4m) ?

Question 3 : Déterminer l'équation de la déformée y(x)

Principe (le concept physique)

La relation fondamentale liant le moment fléchissant et la déformée est l'équation différentielle de la poutre : \(EI \frac{d^2y}{dx^2} = M(x)\). Elle stipule que la courbure de la poutre en un point est proportionnelle au moment fléchissant en ce point. Pour trouver la flèche y(x), il faut "remonter" de la courbure à la forme de la poutre en intégrant deux fois.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La première intégration de \(M(x)/EI\) donne la fonction de la rotation (ou pente), \(\theta(x)\). La seconde intégration donne la fonction de la déformée (ou flèche), \(y(x)\). Chaque intégration fait apparaître une constante d'intégration (\(C_1\) et \(C_2\)). Ces constantes sont déterminées grâce aux "conditions aux limites", qui sont les déplacements ou rotations connus en certains points de la poutre (typiquement aux appuis).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La partie la plus importante de cette étape est de bien identifier et appliquer les conditions aux limites. Pour une poutre sur appuis simples, le déplacement vertical (la flèche) est obligatoirement nul aux points d'appui. C'est cette information physique qui permet de résoudre le problème mathématique.

Astuces (Pour aller plus vite)

Astuce : Appliquez la condition \(y(0)=0\) dès la fin de la deuxième intégration. Vous verrez immédiatement que \(C_2=0\), ce qui simplifie l'équation avant de calculer \(C_1\) avec la deuxième condition.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de construction (Eurocodes) ne prescrivent pas la méthode de calcul, mais elles imposent des limites à la flèche calculée. La détermination de l'équation de la déformée est la méthode la plus rigoureuse pour s'assurer que ces limites sont respectées en tout point de la structure.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Cette méthode repose sur l'hypothèse des petites déformations (la déformée de la poutre est très faible par rapport à sa longueur) et sur un comportement élastique et linéaire du matériau. Le produit EI (rigidité en flexion) est supposé constant sur toute la longueur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation différentielle de la déformée :

\[ EI \frac{d^2y}{dx^2} = M(x) \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Équation du moment : \(M(x) = \frac{qL}{2}x - \frac{qx^2}{2}\)
  • Condition limite 1 : \(y(0) = 0\) (appui en A)
  • Condition limite 2 : \(y(L) = 0\) (appui en B)
Schéma (Avant les calculs)
Poutre avec conditions aux limites
y(0) = 0 y(L) = 0
Calcul(s) (l'application numérique)

Première intégration pour obtenir la rotation :

\[ \begin{aligned} EI \frac{dy}{dx} &= \int \left(\frac{qL}{2}x - \frac{qx^2}{2}\right) dx \\ &= \frac{qLx^2}{4} - \frac{qx^3}{6} + C_1 \end{aligned} \]

Seconde intégration pour obtenir la flèche :

\[ \begin{aligned} EI y(x) &= \int \left(\frac{qLx^2}{4} - \frac{qx^3}{6} + C_1\right) dx \\ &= \frac{qLx^3}{12} - \frac{qx^4}{24} + C_1x + C_2 \end{aligned} \]

Détermination de la constante \(C_2\) avec la condition \(y(0) = 0\) :

\[ \begin{aligned} EI \cdot y(0) &= \frac{qL(0)^3}{12} - \frac{q(0)^4}{24} + C_1(0) + C_2 \\ 0 &= 0 - 0 + 0 + C_2 \\ \Rightarrow C_2 &= 0 \end{aligned} \]

Détermination de la constante \(C_1\) avec la condition \(y(L) = 0\) :

\[ \begin{aligned} EI \cdot y(L) &= \frac{qL(L)^3}{12} - \frac{q(L)^4}{24} + C_1L \\ 0 &= \frac{qL^4}{12} - \frac{qL^4}{24} + C_1L \\ 0 &= \frac{2qL^4 - qL^4}{24} + C_1L \\ 0 &= \frac{qL^4}{24} + C_1L \\ -C_1L &= \frac{qL^4}{24} \\ C_1 &= -\frac{qL^3}{24} \end{aligned} \]

Équation finale de la déformée :

\[ EI y(x) = \frac{qLx^3}{12} - \frac{qx^4}{24} - \frac{qL^3x}{24} \]
Schéma (Après les calculs)
Forme de la déformée y(x)
y(x)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'équation finale est une fonction polynomiale du 4ème degré qui décrit la forme exacte de la poutre fléchie. Les constantes d'intégration, déterminées par les appuis, ont permis de "fixer" cette courbe en place, en s'assurant qu'elle passe bien par les points de support.

Point à retenir : La double intégration transforme l'équation du moment en équation de déformée. Les constantes d'intégration sont déterminées par les conditions de déplacement et de rotation connues aux appuis.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape est le cœur de la méthode. Elle nous donne une formule générale pour la flèche en n'importe quel point \(x\) de la poutre, ce qui nous permettra ensuite de trouver la valeur maximale qui nous intéresse pour la vérification réglementaire.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier les constantes d'intégration : C'est une erreur mathématique fondamentale. Chaque intégration indéfinie doit faire apparaître une nouvelle constante. L'oublier mène à un résultat physiquement incorrect.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour des poutres avec des charges discontinues, la méthode de la double intégration devient fastidieuse car il faut une nouvelle équation pour chaque section. Des méthodes comme celles de "Macaulay" ou des "fonctions de singularité" ont été développées pour gérer ces cas avec une seule équation.

FAQ (pour lever les doutes)
Quelles seraient les conditions aux limites pour une poutre encastrée à gauche ?

Pour un encastrement en \(x=0\), le déplacement ET la rotation sont bloqués. Les conditions seraient donc \(y(0) = 0\) et \(\theta(0) = dy/dx(0) = 0\). Ces deux conditions au même point permettent de trouver les deux constantes d'intégration.

Résultat Final : L'équation de la déformée est \(y(x) = \frac{q}{24EI} (2Lx^3 - x^4 - L^3x)\).

À vous de jouer : Quelle est la signification physique de la constante \(C_1\) ?

Question 4 : Calculer la valeur de la flèche maximale

Principe (le concept physique)

La flèche est maximale au point où la poutre est "la plus basse". En ce point, la tangente à la courbe de déformation est horizontale, ce qui signifie que sa pente (la rotation \(\theta(x)\)) est nulle. La première étape est donc de trouver la position \(x\) où \(\theta(x) = 0\), puis de calculer la flèche \(y(x)\) à cette position.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ceci est un problème d'optimisation classique. Pour trouver l'extremum (maximum ou minimum) d'une fonction \(y(x)\), on cherche les points où sa dérivée première s'annule (\(y'(x) = 0\)). Dans notre cas, la dérivée de la flèche est la rotation, donc on résout \(\theta(x) = 0\). Pour un cas symétrique, la solution est intuitivement au centre de la poutre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La conversion des unités est l'étape la plus critique ici. Les ingénieurs travaillent souvent avec des unités mixtes (kN, m, GPa, cm⁴). Avant le calcul final, il est impératif de tout convertir dans un système cohérent, de préférence le Système International (N, m, Pa).

Astuces (Pour aller plus vite)

Astuce : La formule de la flèche maximale pour une poutre simplement appuyée avec une charge uniformément répartie, \(f_{\text{max}} = \frac{5qL^4}{384EI}\), est l'une des plus célèbres de la RDM. La mémoriser peut vous faire gagner beaucoup de temps lors de pré-dimensionnements rapides.

Normes (la référence réglementaire)

Les Eurocodes spécifient des limites de flèche pour garantir le confort et l'intégrité des éléments non structuraux. Une limite courante pour les planchers est \(L/250\). Dans notre cas, \(8000 \, \text{mm} / 250 = 32 \, \text{mm}\). Notre flèche calculée de 21.2 mm est donc acceptable.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la flèche maximale se produit bien dans le domaine de validité de l'équation, soit entre \(x=0\) et \(x=L\). Les valeurs de E et I sont considérées comme exactes et constantes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Condition pour la flèche maximale :

\[ \frac{dy}{dx} = 0 \]

Formule de la flèche maximale pour ce cas de charge :

\[ |y_{\text{max}}| = \frac{5qL^4}{384EI} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(q = 10000 \, \text{N/m}\)
  • \(L = 8 \, \text{m}\)
  • \(E = 210 \times 10^9 \, \text{N/m}^2\)
  • \(I = 1.2 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\)
Schéma (Avant les calculs)
Localisation de la flèche maximale
y_max ? dy/dx = 0
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la flèche maximale en mètres :

\[ \begin{aligned} y_{\text{max}} &= -\frac{5qL^4}{384EI} \\ &= -\frac{5 \times 10000 \times (8)^4}{384 \times (210 \times 10^9) \times (1.2 \times 10^{-5})} \\ &\approx -0.02116 \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en millimètres :

\[ \begin{aligned} y_{\text{max}} &\approx -21.16 \, \text{mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Flèche maximale calculée
21.2 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une flèche de 21.2 mm sur une poutre de 8 m est une déformation significative mais souvent acceptable. Le signe négatif confirme que la déformation se fait vers le bas, dans le sens de la gravité, ce qui est physiquement cohérent. La comparaison à la limite réglementaire (L/250 = 32 mm) montre que la poutre est suffisamment rigide.

Point à retenir : La flèche maximale est trouvée au point de rotation nulle. Son calcul nécessite une attention rigoureuse aux unités pour obtenir un résultat correct et comparable aux limites réglementaires.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

C'est l'aboutissement du calcul. Cette valeur unique est celle qui sera comparée aux critères de serviceabilité de la norme. C'est un critère de conception aussi important que la résistance de la poutre : une poutre peut être assez forte pour ne pas rompre, mais trop flexible pour être utilisée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Incohérence des unités : C'est la source d'erreur N°1. Ne mélangez jamais des kN avec des N, ou des cm⁴ avec des m⁴ dans la même formule. Convertissez tout vers le Système International (N, m, Pa) avant de faire l'application numérique. Par exemple, \(1 \, \text{GPa} = 10^9 \, \text{N/m}^2\) et \(1 \, \text{cm}^4 = 10^{-8} \, \text{m}^4\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les planchers, la flèche due aux charges permanentes appliquées après la pose des cloisons est appelée "flèche nuisible". C'est souvent cette partie de la flèche totale qui est la plus limitée par les normes, car c'est elle qui risque de causer des dommages aux éléments non-structuraux.

FAQ (pour lever les doutes)
Que signifie le signe négatif du résultat ?

Le signe dépend du repère choisi. Si l'axe y est orienté vers le haut, une flèche négative signifie un déplacement vers le bas, ce qui est le cas pour une poutre fléchissant sous son poids ou une charge de gravité. La valeur qui nous intéresse est la magnitude de ce déplacement.

Résultat Final : La flèche maximale est de \(y_{\text{max}} \approx -21.2 \, \text{mm}\).

À vous de jouer : Si on double la hauteur de la poutre, son moment d'inertie I est multiplié par 8. Par quel facteur la flèche maximale sera-t-elle divisée ?

Mini Fiche Mémo : Méthode de Double Intégration

ÉtapeActionFormule Clé
1. Statique Calculer les réactions et établir M(x). \(\sum F = 0, \sum M = 0\)
2. 1ère Intégration Intégrer M(x) pour trouver la rotation. \(EI \theta(x) = \int M(x)dx + C_1\)
3. 2ème Intégration Intégrer \(\theta(x)\) pour trouver la flèche. \(EI y(x) = \iint M(x)dx + C_1x + C_2\)
4. Constantes Utiliser les conditions aux limites (appuis). Ex: \(y(0)=0, y(L)=0, \theta(L/2)=0\)

Outil Interactif : Simulateur de Flèche

Modifiez les paramètres pour voir leur influence sur la flèche maximale.

Paramètres d'Entrée
10 kN/m
8.0 m
Résultats (pour E=210 GPa, I=12000 cm⁴)
Flèche maximale (mm) -
Limite admissible L/250 (mm) -

Le Saviez-Vous ?

La théorie des poutres, sur laquelle repose ce calcul, a été développée principalement par Leonhard Euler et Daniel Bernoulli au 18ème siècle. L'équation \(EI y'' = M(x)\) est souvent appelée équation d'Euler-Bernoulli. C'est l'une des pierres angulaires de l'ingénierie des structures.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que signifie le produit "EI" ?

Le produit \(EI\) est appelé la rigidité en flexion de la poutre. Il combine une propriété du matériau (E, le module de Young, qui mesure sa rigidité intrinsèque) et une propriété de la géométrie de la section (I, le moment d'inertie, qui mesure son efficacité à résister à la flexion). Plus EI est grand, plus la poutre est rigide et moins elle se déforme.

Pourquoi la flèche dépend-elle de la longueur à la puissance 4 (\(L^4\)) ?

Cette forte dépendance (\(L^4\)) est cruciale. Elle signifie que si vous doublez la longueur d'une poutre, sa flèche sera multipliée par \(2^4 = 16\), en supposant que la charge et la section restent les mêmes. C'est pourquoi les longues portées nécessitent des poutres beaucoup plus hautes (avec un plus grand moment d'inertie I) pour contrôler la déformation.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est la condition aux limites pour la rotation (pente) d'une poutre simplement appuyée avec une charge symétrique ?

2. Si on remplace l'acier (E=210 GPa) par de l'aluminium (E=70 GPa) pour la même poutre et la même charge, la flèche sera :

Flèche
Déplacement transversal (généralement vertical) d'un point de la ligne moyenne d'une poutre sous l'effet d'un chargement.
Moment Fléchissant (M)
Effort interne dans une poutre qui tend à la faire courber. Il est la résultante des moments des forces situées d'un côté d'une section de coupe.
Module de Young (E)
Caractéristique d'un matériau qui décrit sa rigidité, c'est-à-dire sa capacité à résister à la déformation élastique. Unité : Pascals (Pa) ou GPa.
Moment d'Inertie (I)
Propriété géométrique d'une section qui quantifie sa résistance à la flexion. Plus la matière est éloignée de l'axe de flexion, plus I est grand. Unité : m⁴.
Calcul de flèche d’une poutre

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5 Commentaires
  1. Benoni bumbangi
    Benoni bumbangi sur 5 mars 2024 à 15h29

    Comment calculer la flèche d’une poutre encastré a un seul extrémité avec une charge uniformément repartir ( matériaux : acier )

    Réponse
  2. Libère
    Libère sur 31 mars 2024 à 17h25

    Bonjour,
    I me semble que la formule indiquée est pour le calcul de la flèche d’une poutre simplement appuyée. Pour une poutre encastrée aux 2 extrémités, c’est la même formule mais sans le 5. En effet, l’encastrement empêche la rotation de la poutre sous charge, ce qui en réduit d’autant la flèche.

    Réponse
    • EGC - Génie Civil
      EGC - Génie Civil sur 31 mars 2024 à 17h41

      Merci pour le commentaire,
      Dans le cas de notre exercice la flèche maximale calculée est pour une charge uniformément répartie sur une poutre simplement appuyée aux deux extrémités, il y avait effectivement une erreur dans l’écriture mais c’est réglé !!!

      Réponse
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