Études de cas pratique

EGC

Calcul de flèche d’une poutre

Calcul de flèche d’une poutre en RDM

Comprendre le Calcul de flèche d’une poutre en RDM

En Résistance Des Matériaux (RDM), la flèche d'une poutre est son déplacement vertical maximal sous l'effet des charges appliquées. Le calcul de la flèche est essentiel pour s'assurer que la déformation de la poutre reste dans des limites admissibles, garantissant ainsi la sécurité, la fonctionnalité et l'esthétique de la structure. Une flèche excessive peut entraîner des dommages aux éléments non structuraux (cloisons, revêtements) ou un inconfort pour les usagers.

Cet exercice a pour objectifs de :

  • Comprendre les paramètres influençant la flèche d'une poutre.
  • Appliquer la formule de la flèche maximale pour une poutre sur appuis simples avec une charge uniformément répartie.
  • Vérifier la compatibilité des unités dans les calculs.

Données de l'Exercice

On considère une poutre en acier sur deux appuis simples, soumise à une charge uniformément répartie sur toute sa longueur.

Caractéristiques de la poutre et du chargement :

  • Longueur de la poutre entre appuis (\(L\)) : \(6.0 \, \text{m}\)
  • Charge uniformément répartie (\(w\)) : \(5 \, \text{kN/m}\)
  • Module d'élasticité de l'acier (\(E\)) : \(210 \, \text{GPa}\) (GigaPascals)
  • Moment d'inertie de la section de la poutre (\(I\)) : \(3000 \, \text{cm}^4\)
Schéma de la Poutre sur Appuis Simples avec Charge Répartie
A B w = 5 kN/m f_max L = 6m Poutre et sa Déformée

Questions à Traiter

  1. Convertir le module d'élasticité \(E\) en \(\text{N/mm}^2\) ou \(\text{kN/m}^2\).
  2. Convertir le moment d'inertie \(I\) en \(\text{m}^4\).
  3. Calculer la flèche maximale (\(f_{\text{max}}\)) au milieu de la poutre en utilisant la formule appropriée. Exprimer le résultat en millimètres.

Correction : Calcul de flèche d’une poutre en RDM

Question 1 : Conversion du module d'élasticité \(E\)

Principe :

Le module d'élasticité est donné en GPa. \(1 \, \text{GPa} = 10^9 \, \text{Pa} = 10^9 \, \text{N/m}^2\). Aussi, \(1 \, \text{GPa} = 10^3 \, \text{N/mm}^2\). Pour la cohérence avec les autres unités (kN et m), nous allons le convertir en \(\text{kN/m}^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E \, (\text{kN/m}^2) = E \, (\text{GPa}) \times 10^9 \, \text{N/m}^2\text{/GPa} \times \frac{1 \, \text{kN}}{1000 \, \text{N}} \]
Données spécifiques :
  • \(E = 210 \, \text{GPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E &= 210 \, \text{GPa} \times 10^9 \, \text{Pa/GPa} \\ &= 210 \times 10^9 \, \text{N/m}^2 \\ &= 210 \times 10^6 \, \text{kN/m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le module d'élasticité est \(E = 210 \times 10^6 \, \text{kN/m}^2\).

Question 2 : Conversion du moment d'inertie \(I\)

Principe :

Le moment d'inertie est donné en \(\text{cm}^4\). Il faut le convertir en \(\text{m}^4\) pour la cohérence des unités. \(1 \, \text{m} = 100 \, \text{cm}\), donc \(1 \, \text{m}^4 = (100 \, \text{cm})^4 = 10^8 \, \text{cm}^4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ I \, (\text{m}^4) = I \, (\text{cm}^4) \times (10^{-2} \, \text{m/cm})^4 = I \, (\text{cm}^4) \times 10^{-8} \]
Données spécifiques :
  • \(I = 3000 \, \text{cm}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I &= 3000 \, \text{cm}^4 \times 10^{-8} \, \text{m}^4/\text{cm}^4 \\ &= 3000 \times 10^{-8} \, \text{m}^4 \\ &= 3 \times 10^{-5} \, \text{m}^4 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le moment d'inertie est \(I = 3 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\).

Quiz Intermédiaire (Q2) : Si le moment d'inertie était donné en \(\text{mm}^4\), pour le convertir en \(\text{m}^4\), il faudrait multiplier par :

Question 3 : Calcul de la flèche maximale (\(f_{\text{max}}\))

Principe :

Pour une poutre sur deux appuis simples de longueur \(L\), soumise à une charge uniformément répartie \(w\), la flèche maximale se produit au milieu de la travée et est donnée par la formule classique de la RDM.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ f_{\text{max}} = \frac{5 w L^4}{384 E I} \]
Données spécifiques (avec unités cohérentes) :
  • \(w = 5 \, \text{kN/m}\)
  • \(L = 6.0 \, \text{m}\)
  • \(E = 210 \times 10^6 \, \text{kN/m}^2\) (résultat Q1)
  • \(I = 3 \times 10^{-5} \, \text{m}^4\) (résultat Q2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{\text{max}} &= \frac{5 \times (5 \, \text{kN/m}) \times (6.0 \, \text{m})^4}{384 \times (210 \times 10^6 \, \text{kN/m}^2) \times (3 \times 10^{-5} \, \text{m}^4)} \\ &= \frac{5 \times 5 \times 1296}{384 \times 210 \times 10^6 \times 3 \times 10^{-5}} \, \text{m} \\ &= \frac{32400}{384 \times 210 \times 3 \times 10^1} \, \text{m} \\ &= \frac{32400}{2419200} \, \text{m} \\ &\approx 0.0133928 \, \text{m} \end{aligned} \]

Conversion en millimètres :

\[ f_{\text{max}} \approx 0.0133928 \, \text{m} \times 1000 \, \text{mm/m} \approx 13.39 \, \text{mm} \]
Résultat Question 3 : La flèche maximale au milieu de la poutre est \(f_{\text{max}} \approx 13.39 \, \text{mm}\).

Quiz Intermédiaire (Q3) : Si la longueur \(L\) de la poutre double, la flèche maximale (pour une même charge \(w\) et \(EI\)) sera multipliée par :

Quiz Récapitulatif

1. La flèche d'une poutre est influencée par :

2. Un module d'élasticité (E) plus élevé pour un matériau de poutre signifie que, pour une même charge et géométrie :

3. Le moment d'inertie (\(I\)) d'une section de poutre caractérise :

Glossaire

Flèche (d'une poutre)
Déplacement vertical d'un point de la ligne moyenne d'une poutre sous l'effet d'un chargement. La flèche maximale est souvent le critère de dimensionnement.
Poutre sur Appuis Simples
Poutre reposant sur un appui simple (rotule) à une extrémité et un appui à rouleau à l'autre, permettant la rotation aux appuis et la libre dilatation.
Charge Uniformément Répartie (\(w\))
Charge dont l'intensité est constante sur toute la longueur (ou une partie) de la poutre, exprimée en force par unité de longueur (ex: kN/m).
Module d'Élasticité (\(E\))
Aussi appelé module de Young, il caractérise la rigidité d'un matériau, c'est-à-dire sa capacité à résister à la déformation élastique. Unité : Pascals (Pa) ou ses multiples (GPa, MPa).
Moment d'Inertie (\(I\))
Propriété géométrique d'une section transversale qui caractérise sa résistance à la flexion. Unité : \(\text{m}^4\), \(\text{cm}^4\), \(\text{mm}^4\).
Rigidité Flexionnelle (\(EI\))
Produit du module d'élasticité (\(E\)) par le moment d'inertie (\(I\)). C'est un indicateur de la résistance globale d'une poutre à la flexion.
GPa (GigaPascal)
Unité de pression ou de contrainte égale à \(10^9\) Pascals.
Exercice : Calcul de flèche d’une poutre en RDM - Application Pratique

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5 Commentaires
  1. Benoni bumbangi
    Benoni bumbangi sur 5 mars 2024 à 15h29

    Comment calculer la flèche d’une poutre encastré a un seul extrémité avec une charge uniformément repartir ( matériaux : acier )

    Réponse
  2. Libère
    Libère sur 31 mars 2024 à 17h25

    Bonjour,
    I me semble que la formule indiquée est pour le calcul de la flèche d’une poutre simplement appuyée. Pour une poutre encastrée aux 2 extrémités, c’est la même formule mais sans le 5. En effet, l’encastrement empêche la rotation de la poutre sous charge, ce qui en réduit d’autant la flèche.

    Réponse
    • EGC - Génie Civil
      EGC - Génie Civil sur 31 mars 2024 à 17h41

      Merci pour le commentaire,
      Dans le cas de notre exercice la flèche maximale calculée est pour une charge uniformément répartie sur une poutre simplement appuyée aux deux extrémités, il y avait effectivement une erreur dans l’écriture mais c’est réglé !!!

      Réponse
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