Calcul de Stabilité d’un Talus
📝 Situation du Projet
Le projet concerne la création d'une nouvelle voie de contournement, la RD54, visant à désengorger le trafic du centre-ville historique. Le tracé de cette infrastructure routière traverse une zone vallonnée composée de formations géologiques sédimentaires sensibles. Le profil en long impose la réalisation d'un déblai important (coupe dans le terrain naturel) au point kilométrique PK 12+400, générant un talus artificiel d'une hauteur significative.
En tant qu'ingénieur au sein du bureau d'études "GeoSol Expert", vous intervenez dans un contexte critique : les relevés piézométriques récents indiquent une remontée potentielle de la nappe phréatique en période hivernale, saturant le massif argileux. La stabilité de ce talus, qui surplombe directement la future chaussée, est donc un enjeu majeur de sécurité publique. L'objectif est de valider le profil proposé par l'architecte routier ou de préconiser des mesures de confortement.
En tant que Ingénieur Géotechnicien Senior, vous devez vérifier la stabilité globale du talus par la méthode des tranches (Fellenius/Bishop simplifié) vis-à-vis du risque de glissement rotationnel, en prenant en compte les conditions hydrauliques les plus défavorables.
"Attention, l'argile présente une cohésion efficace réduite une fois saturée. Ne négligez surtout pas la pression interstitielle (\(u\)) dans vos calculs de contrainte effective, c'est souvent là que se joue la rupture. Je veux une note de calcul irréprochable sur la tranche critique."
Les données ci-dessous sont issues de la campagne de reconnaissance géotechnique G1 (sondages pressiométriques et essais triaxiaux en laboratoire) ainsi que du plan topographique projet. Le dimensionnement doit respecter les normes Eurocodes en vigueur.
📚 Référentiel Normatif
NF EN 1997-1 (Eurocode 7)Loi de Mohr-CoulombLa campagne de sondages carottés SC1 et SC2 a permis d'identifier une couche homogène d'argile sableuse sur l'ensemble de la hauteur du projet. Les essais en laboratoire (Triaxial C.D.) ont fourni les paramètres de résistance au cisaillement à long terme (paramètres effectifs) :
| ARGILE SABLEUSE (Saturée) | |
| Poids volumique saturé | \(\gamma_{\text{sat}} = 19 \text{ kN/m}^3\) |
| Cohésion effective | \(c' = 10 \text{ kPa}\) |
| Angle de frottement interne effectif | \(\phi' = 28^{\circ}\) |
| FLUIDE (EAU) | |
| Poids volumique de l'eau | \(\gamma_{\text{w}} = 9.81 \text{ kN/m}^3\) |
📐 Géométrie du Talus et Cercle de Glissement
Le profil en travers étudié correspond à la section la plus critique du projet. L'analyse de stabilité sera menée sur une surface de rupture circulaire potentielle, identifiée par une recherche itérative préliminaire. Les paramètres géométriques de ce cercle "test" sont les suivants :
- Hauteur du talus : \(H = 8.0 \text{ m}\)
- Angle du talus avec l'horizontale : \(\beta = 35^{\circ}\)
- Rayon du cercle de glissement étudié : \(R = 12.50 \text{ m}\)
- Largeur d'une tranche de calcul (simplification) : \(b = 2.0 \text{ m}\)
Afin de mener le calcul détaillé (voir correction), nous isolons une tranche spécifique, notée i, située à mi-pente. Les paramètres géométriques locaux de cette tranche ont été extraits graphiquement :
| Paramètre géométrique local | Symbole | Valeur relevée | Unité |
|---|---|---|---|
| Hauteur moyenne de sol | \(h_i\) | 4.50 | m |
| Hauteur moyenne d'eau (au-dessus de la base) | \(h_{\text{w},i}\) | 2.10 | m |
| Angle de la base de la tranche avec l'horizontale | \(\alpha_i\) | 32.0 | degrés |
| Longueur de la base courbe | \(l_i\) | 2.36 | m |
E. Protocole de Résolution
Pour vérifier la stabilité de ce talus, nous allons appliquer une démarche analytique rigoureuse basée sur l'équilibre des moments. Cette méthode, dite des tranches, permet de traiter les géométries complexes et les sols hétérogènes.
Calcul Statique de la Tranche
Détermination du poids total de la tranche de sol étudiée, qui constitue la force motrice principale (gravitaire).
Hydraulique & Contraintes
Calcul de la pression interstitielle à la base de la tranche pour déduire la contrainte normale effective (Loi de Terzaghi).
Forces Motrices vs Résistantes
Évaluation du cisaillement résistant mobilisable (Mohr-Coulomb) et du cisaillement moteur le long de la surface de rupture.
Facteur de Sécurité Global
Calcul final du rapport des moments pour conclure sur la stabilité de l'ouvrage selon les critères normatifs.
Calcul de Stabilité d’un Talus
🎯 Objectif Détaillé
L'objectif fondamental de cette première étape est de quantifier la masse gravitationnelle de la colonne de sol isolée (tranche \(i\)). Dans le cadre de la méthode des tranches, le poids est l'unique force extérieure (hors séisme ou surcharge) qui génère l'instabilité. C'est ce poids qui, par projection géométrique, va générer à la fois une force stabilisatrice (en plaquant le sol contre la pente via la composante normale) et une force déstabilisatrice (en tendant à le faire glisser vers le bas via la composante tangentielle). Une évaluation précise du poids est donc le prérequis absolu. Nous considérons ici le poids saturé car le niveau de la nappe englobe la totalité de la tranche étudiée.
📚 Référentiel
NF P 94-261 (Calcul des Ouvrages Géotechniques) Principes de Mécanique des Sols (Terzaghi)Dans un calcul manuel ou semi-automatique, nous simplifions le volume réel de la tranche (souvent un trapèze) par un parallélépipède rectangle de hauteur moyenne \(h_i\) et de largeur \(b\). Cette approximation est très précise si la largeur \(b\) est faible. Il est crucial d'utiliser le poids volumique saturé (\(\gamma_{\text{sat}}\)) pour calculer la contrainte totale. Certains ingénieurs débutants utilisent le poids déjaugé ici, ce qui est une erreur dans la méthode classique de Fellenius ou Bishop : on utilise le poids TOTAL pour calculer le moment moteur, et on traite l'eau via la pression interstitielle (\(u\)) dans le terme résistant.
Le poids total \(W\) d'une tranche de sol est le produit de son volume par son poids volumique. En analyse bidimensionnelle (2D) typique des problèmes de stabilité de pente, on raisonne toujours par mètre linéaire de talus (perpendiculairement à la feuille). On considère donc une épaisseur unitaire (1 mètre). La force de gravité s'applique au centre de gravité géométrique de la tranche.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Largeur de tranche \(b\) | 2.0 m |
| Hauteur moyenne \(h_i\) | 4.50 m |
| Poids volumique saturé \(\gamma_{\text{sat}}\) | 19 kN/m\(^3\) |
Vérifiez toujours si le sol est homogène sur toute la hauteur \(h_i\). Ici, c'est le cas (argile sableuse uniquement). Si vous aviez plusieurs couches (ex: 2m de remblai sur 2.5m d'argile), il faudrait décomposer le poids : \(W_i = (h_{\text{remblai}} \cdot \gamma_{\text{remblai}} + h_{\text{argile}} \cdot \gamma_{\text{argile}}) \cdot b\).
📝 Calcul Détaillé
1. Détermination du Volume de la tranche \(V_i\) :
Nous cherchons d'abord à évaluer le volume géométrique de la colonne de sol. L'approche consiste à multiplier la largeur horizontale de la tranche par sa hauteur moyenne, en considérant une profondeur unitaire de 1 mètre perpendiculaire au plan.
Manipulation : On remplace \(b\) par 2.0 m et \(h_i\) par 4.50 m dans l'expression \(b \cdot h_i \cdot 1\).
Nous avons donc 9 mètres cubes de sol pour chaque mètre linéaire de longueur de route.
2. Détermination du Poids Total \(W_i\) :
Nous multiplions maintenant ce volume par le poids volumique du sol saturé pour obtenir la force gravitaire totale.
Manipulation : On remplace \(V_i\) par la valeur calculée ci-dessus (9.0) et \(\gamma_{\text{sat}}\) par la donnée d'entrée (19).
Le poids total de cette tranche critique est de 171.0 kN. C'est une force verticale dirigée vers le centre de la terre.
✅ Interprétation Globale de l'Étape 1
Cette première étape nous a permis d'isoler la charge fondamentale du problème. Le poids de 171.0 kN que nous avons calculé n'est pas anodin : il représente la force motrice potentielle. C'est l'équivalent d'un camion lourd concentré sur seulement 2 mètres de largeur !
Ce résultat est le point de départ de tout le reste. S'il est sous-estimé, nous conclurons faussement à la stabilité. S'il est surestimé, nous dimensionnerons des renforcements inutilement coûteux. Dans notre cas, avec une densité saturée de 19 kN/m³, nous sommes dans une configuration "lourde", typique des sols gorgés d'eau en hiver, ce qui est le scénario le plus pénalisant pour la stabilité.
Pour un volume d'environ 9 m³ de terre saturée (densité ~2), on attend une masse de 18 tonnes. Sachant que 1 tonne correspond à environ 10 kN (g=9.81), on attend un poids proche de 180 kN. Le résultat de 171 kN est parfaitement cohérent avec l'ordre de grandeur attendu.
Attention aux unités de longueur ! Si votre profil en travers est à l'échelle 1/200 sur papier A3, assurez-vous de convertir toutes les mesures graphiques en mètres réels avant de calculer le volume.
🎯 Objectif Détaillé
L'eau est l'ennemi n°1 de la stabilité des pentes. Cette étape est critique : elle vise à calculer la pression exercée par l'eau (pression interstitielle \(u\)) à la base de la tranche. Cette pression hydraulique omnidirectionnelle "pousse" les grains de sol les uns contre les autres en sens inverse de la gravité, réduisant ainsi le frottement mobilisable. L'objectif final est d'obtenir la contrainte normale effective (\(\sigma'\)), qui est la seule garante de la résistance au cisaillement du sol selon la loi de comportement mécanique.
Le principe des contraintes effectives est la pierre angulaire de la géotechnique moderne. La contrainte totale (\(\sigma\)) est supportée à la fois par le squelette solide (les grains) et par le fluide interstitiel (l'eau). Or, l'eau n'a pas de résistance au cisaillement (sauf viscosité négligeable ici). Il faut donc soustraire la pression de l'eau (\(u\)) de la contrainte totale pour savoir ce que le squelette granulaire "ressent" réellement. Si \(u\) est trop grand, \(\sigma'\) tend vers 0, et le sol se comporte comme un liquide visqueux : c'est la rupture.
La pression interstitielle \(u\) en un point est proportionnelle à la hauteur de la colonne d'eau libre au-dessus de ce point (dans l'hypothèse hydrostatique, sans écoulement rapide). La contrainte normale totale \(\sigma_n\) à la base d'une tranche inclinée d'un angle \(\alpha\) est dérivée de la composante du poids perpendiculaire à la base, divisée par la surface de cette base.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Hauteur d'eau \(h_{\text{w},i}\) | 2.10 m |
| Poids volumique de l'eau \(\gamma_{\text{w}}\) | 9.81 kN/m\(^3\) |
| Angle de la base \(\alpha_i\) | 32.0\(^{\circ}\) |
| Longueur de la base \(l_i\) | 2.36 m |
| Poids total \(W_i\) (calculé en Q1) | 171.0 kN |
📝 Calcul Détaillé
1. Calcul de la Pression Interstitielle \(u_i\) :
Nous déterminons la pression de l'eau qui s'exerce sous la tranche et tend à la soulever.
Manipulation : On remplace \(\gamma_{\text{w}}\) par 9.81 et \(h_{\text{w},i}\) par 2.10.
L'eau exerce une pression de 20.60 kPa, soit l'équivalent de 2 tonnes par m² qui "poussent" vers le haut.
2. Calcul de la Contrainte Normale Totale \(\sigma_{n,i}\) :
Nous calculons la contrainte due au poids du sol, projetée perpendiculairement à la surface de glissement.
Manipulation : On remplace \(W_i\) par 171.0 et \(\alpha_i\) par 32.0°. Au dénominateur, \(l_i\) est remplacé par 2.36. On calcule d'abord le cosinus (0.848), on multiplie par le poids, puis on divise par la longueur.
La contrainte totale appliquée par le poids des terres est de 61.44 kPa.
3. Calcul de la Contrainte Normale Effective \(\sigma'_{n,i}\) :
Nous appliquons maintenant le principe de Terzaghi pour trouver la contrainte "utile" pour le frottement.
Manipulation : On soustrait la pression de l'eau (20.60) à la contrainte totale (61.44).
C'est cette valeur de 40.84 kPa qui va permettre de mobiliser le frottement. On note que l'eau "consomme" environ un tiers de la contrainte disponible !
✅ Interprétation Globale de l'Étape 2
Cette étape a mis en lumière l'impact dévastateur de la nappe phréatique sur la stabilité. Nous avons vu que la pression de l'eau (20.60 kPa) annule une part significative de la contrainte générée par le poids du sol (61.44 kPa). Résultat : seulement 40.84 kPa "servent" réellement à plaquer le sol contre la pente.
C'est ce qu'on appelle la chute de résistance par saturation. Si la nappe montait encore (par exemple jusqu'à la surface du talus), la pression \(u\) augmenterait encore, réduisant \(\sigma'\) à une valeur critique. C'est pourquoi le drainage est souvent la solution de confortement la plus efficace : en réduisant \(u\), on augmente mécaniquement \(\sigma'\) sans toucher au poids ni à la géométrie.
\(\sigma'\) est positif, ce qui est physiquement nécessaire (les grains sont en contact). Si nous avions trouvé une valeur négative, cela signifierait que la pression de l'eau soulève littéralement le sol (phénomène de renard ou boulance), impliquant une instabilité immédiate.
Attention aux unités : \(W\) est une force (kN), \(u\) et \(\sigma\) sont des pressions (kPa ou kN/m²). Ne mélangez pas forces et contraintes. Ici, nous avons bien divisé la force par la surface (\(l_i \times 1\)) pour obtenir une contrainte homogène.
🎯 Objectif Détaillé
Nous entrons maintenant dans le cœur mécanique du problème. Il s'agit de quantifier le "conflit" entre deux forces antagonistes :
1. La force qui veut faire tomber le talus (la composante tangentielle du poids).
2. La force qui le retient (la résistance au cisaillement du sol).
Nous allons calculer ces forces spécifiquement pour notre tranche critique.
La résistance du sol n'est pas une constante fixe. Elle dépend de la pression qu'on lui applique. Plus on appuie sur le sol (\(\sigma'\)), plus il est difficile de le faire glisser (frottement \(\tan \phi'\)). À cela s'ajoute une "colle" intrinsèque : la cohésion \(c'\). C'est la somme de ces deux termes (Frottement + Cohésion) qui constitue notre bouclier contre le glissement. C'est pourquoi le calcul préalable de \(\sigma'\) était si crucial.
La force motrice \(T_i\) est la projection du poids parallèle à la pente de la base de la tranche. C'est la gravité qui "tire" le sol vers le bas de la pente. La force résistante maximale mobilisable \(T_{\text{res},i}\) est donnée par l'intégration de la contrainte de cisaillement limite \(\tau_{\text{max}}\) sur la surface de la base \(l_i\).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Poids \(W_i\) | 171.0 kN |
| Angle \(\alpha_i\) | 32.0\(^{\circ}\) |
| Cohésion \(c'\) | 10 kPa |
| Frottement \(\phi'\) | 28\(^{\circ}\) |
| Contrainte eff. \(\sigma'_{n,i}\) | 40.84 kPa |
| Longueur \(l_i\) | 2.36 m |
📝 Calcul Détaillé
1. Calcul de la Force Motrice \(T_{\text{mot},i}\) :
C'est la force qui entraîne le glissement.
Manipulation : On remplace \(W_i\) par 171.0 et \(\sin(32^\circ)\) par sa valeur approchée (0.5299).
Le sol subit une force de cisaillement moteur de 90.61 kN.
2. Calcul de la Force Normale Effective \(N'_i\) :
Nous convertissons la contrainte en force globale sur la base de la tranche.
Manipulation : On multiplie la contrainte effective \(\sigma'_{n,i}\) (40.84) par la longueur de la base \(l_i\) (2.36).
La force qui plaque les grains les uns contre les autres est de 96.38 kN.
3. Calcul de la Force Résistante \(T_{\text{res},i}\) :
Nous calculons la capacité maximale du sol à retenir cette tranche.
Manipulation : On calcule d'abord le terme de cohésion (\(10 \times 2.36\)). On calcule ensuite le terme de frottement (\(96.38 \times \tan(28^{\circ})\)). On additionne les deux résultats.
La résistance maximale mobilisable est de 74.85 kN.
Observation critique : Pour cette tranche isolée, \(T_{\text{mot}} (90.61) > T_{\text{res}} (74.85)\). La tranche est localement instable !
✅ Interprétation Globale de l'Étape 3
Ce calcul local est révélateur. Nous constatons que la force motrice (90.61 kN) dépasse la résistance disponible (74.85 kN) pour cette tranche précise. Si tout le talus était dans cette configuration, il se serait déjà effondré !
Cependant, la stabilité est une affaire de solidarité : les tranches situées au sommet (qui "poussent") et celles situées en pied (qui "butent" et résistent fortement grâce à une pente de base faible ou négative) interagissent. L'instabilité locale de cette tranche médiane ne signifie pas nécessairement la rupture globale, mais elle indique que cette zone du talus est en souffrance et transfère sa surcharge aux tranches voisines. C'est l'accumulation de ces déficits ou excédents de résistance qui déterminera le facteur de sécurité final.
La composante de frottement (51.25 kN) est prépondérante par rapport à la cohésion (23.60 kN), ce qui est typique pour une argile sableuse drainée. Le fait que la tranche soit localement instable est normal pour les tranches situées dans la partie supérieure ou médiane d'un talus raide ; elles sont "retenues" par les tranches de pied (butée).
L'angle de frottement doit être entré en degrés dans votre calculatrice (\(\tan(28^{\circ}) \approx 0.53\)). Une erreur fréquente est de le laisser en radians, ce qui fausserait totalement le résultat.
🎯 Objectif Détaillé
Nous avons analysé une tranche unique. Mais la rupture se produit (ou non) sur l'ensemble du massif. Certaines tranches poussent (en haut), d'autres retiennent (en bas). Pour conclure sur la sécurité de l'ouvrage, nous devons sommer les contributions de TOUTES les tranches le long du cercle de glissement. L'objectif est de calculer le Facteur de Sécurité Global \(F_s\), qui est le rapport unique entre la somme des moments résistants et la somme des moments moteurs.
Un facteur de sécurité \(F_s = 1.00\) signifie que le talus est à l'équilibre strict : le moindre souffle de vent, vibration ou goutte de pluie supplémentaire le fera s'effondrer. C'est inacceptable. Les normes exigent généralement \(F_s > 1.25\) (situations accidentelles ou transitoires) ou \(F_s > 1.50\) (situations durables) pour couvrir les incertitudes sur les paramètres du sol et les modèles de calcul.
Étape 1 : Données Globales (Sommation)
Pour cet exercice, nous avons agrégé les résultats des calculs (similaires à ceux des questions Q1-Q3) pour l'ensemble des tranches constituant le talus (de la crête au pied).
| Type de Somme | Valeur Totale |
|---|---|
| Somme des Forces Motrices \(\sum T_{\text{mot}}\) | 2450.0 kN |
| Somme des Forces Résistantes \(\sum T_{\text{res}}\) | 3185.0 kN |
📝 Calcul Détaillé
2. Application Numérique :
Nous divisons la capacité de résistance totale par la demande de cisaillement totale.
Manipulation : On remplace \(\sum T_{\text{res}}\) par 3185.0 et \(\sum T_{\text{mot}}\) par 2450.0. On effectue la division.
Le talus possède une marge de sécurité de 30% vis-à-vis de la rupture.
✅ Interprétation Globale Finale
Nous aboutissons à un facteur de sécurité de 1.30. Ce chiffre est le verdict de notre étude. Il signifie que les forces résistantes sont 30% supérieures aux forces motrices.
Est-ce suffisant ? Tout dépend du contexte normatif et temporel. Selon l'Eurocode 7, pour une situation durable (talus en service sur 50 ans), on vise généralement un coefficient partiel sur le sol qui mène à un équivalent global proche de 1.40 à 1.50. Cependant, notre calcul a été réalisé avec une hypothèse hydraulique très sévère (nappe haute centennale). Dans ce contexte "accidentel" ou "extrême", une valeur de 1.30 est souvent jugée acceptable car la probabilité d'occurrence conjointe de tous les paramètres défavorables est faible. Néanmoins, cela ne laisse pas de place à l'erreur : la qualité de la reconnaissance de sol (paramètres c' et φ') est ici vitale.
Pour un talus routier définitif, l'Eurocode 7 requiert souvent un coefficient partiel sur les résistances ou un facteur global cible. Ici, nous sommes dans un cas hydraulique défavorable (nappe haute). Une valeur de 1.30 est généralement considérée comme acceptable pour une situation accidentelle/exceptionnelle (crue centennale), mais serait insuffisante pour une situation durable (nappe permanente), où l'on viserait plutôt 1.50.
Ce calcul suppose une surface de rupture circulaire parfaite. La présence d'une couche faible (savonnette) ou d'une fissure de traction au sommet du talus pourrait réduire drastiquement ce facteur. De plus, la méthode de Fellenius est conservative (elle sous-estime souvent Fs) ; la méthode de Bishop donnerait probablement un résultat légèrement supérieur.
📊 Récapitulatif Graphique
Le schéma ci-dessous synthétise l'équilibre global du talus à la rupture. Il met en évidence la disproportion favorable entre le moment résistant (flèches vertes, mobilisant la friction sur toute la surface de glissement) et le moment moteur (flèches rouges, induit par le poids du massif en mouvement). Cette visualisation permet de comprendre pourquoi le talus tient, malgré des zones localement instables.
📄 Livrable Final (Rapport de Synthèse)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| 01 | 10/01/2026 | Calcul initial (Sec) | Ing. Junior |
| 02 | 27/01/2026 | Mise à jour Nappe Haute (Saturé) | Ing. Senior |
- Méthode de calcul : Équilibre Limite (Tranches de Fellenius).
- Conditions hydrauliques : Nappe affleurante en pied de talus (ruissellement saturant).
- Comportement du sol : Elastoplastique parfait (Mohr-Coulomb).
| Cohésion effective \(c'\) | 10 kPa |
| Angle de frottement \(\phi'\) | 28 ° |
| Poids volumique \(\gamma_{\text{sat}}\) | 19 kN/m³ |
Analyse sur cercle critique (R=12.5m) passant par le pied de talus.
Préconisation : Mise en place de drains subhorizontaux pour rabattre la nappe et augmenter le Fs vers 1.50.
Jean DUPONT (Ing. ECP)
Marie CURIE (Dr. Sc.)
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