Calcul de Stabilité d’un Talus

Contexte : Assurer la pérennité des ouvrages en terre.

La stabilité des pentes, qu'elles soient naturelles ou artificielles (talus de route, digues, excavations), est une préoccupation majeure en génie civil. Un glissement de terrain peut avoir des conséquences catastrophiques. L'analyse de stabilité consiste à comparer les forces qui tendent à retenir le sol en place (forces résistantes) à celles qui tendent à le faire glisser (forces motrices). Le rapport entre ces deux types de forces est appelé le Facteur de SécuritéRatio des forces/moments résistants sur les forces/moments moteurs. Un F.S. > 1 indique une stabilité théorique. En pratique, on vise des valeurs de 1.3 à 1.5 selon les normes et les risques.. Cet exercice vous initiera à la méthode des tranches, une technique classique pour évaluer ce facteur de sécurité pour une surface de rupture potentielle de forme circulaire.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une introduction à l'une des méthodes de calcul les plus fondamentales en géotechnique. Nous allons décomposer un problème complexe (la stabilité d'une masse de sol) en une série de calculs plus simples sur une seule "tranche" de sol. Cela permet de comprendre la contribution de chaque force (poids, cohésion, frottement) à l'équilibre global. C'est la base des logiciels modernes de calcul de stabilité.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre les forces agissant sur une tranche de sol dans un talus.
Appliquer la méthode des tranches pour analyser une surface de rupture circulaire.
Calculer le poids d'une tranche et ses composantes.
Déterminer les forces résistantes (cohésion et frottement) sur la base d'une tranche.
Calculer le Facteur de Sécurité (F.S.) et interpréter le résultat.

Données de l'étude

On étudie la stabilité d'un talus homogène. Une surface de rupture circulaire potentielle a été identifiée. Pour simplifier, l'analyse se concentrera sur une seule tranche de ce mécanisme de rupture, comme illustré ci-dessous.

Schéma du Talus et de la Tranche d'Étude

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Poids volumique du sol	\(\gamma\)	19	\(\text{kN/m³}\)
Angle de frottement interne du sol	\(\phi'\)	28	\(\text{°}\)
Cohésion effective du sol	\(c'\)	12	\(\text{kPa}\)
Largeur de la tranche	\(b\)	2.0	\(\text{m}\)
Hauteur moyenne de la tranche	\(h\)	3.5	\(\text{m}\)
Angle à la base de la tranche	\(\alpha\)	22	\(\text{°}\)

Questions à traiter

Calculer le poids \(W\) de la tranche par mètre linéaire de talus.
Déterminer la force résistante totale \(F_R\) sur la base de la tranche.
Calculer la force motrice \(F_M\) qui tend à faire glisser la tranche.
En déduire le Facteur de Sécurité (F.S.) pour cette tranche.

Les bases de la Stabilité des Pentes

Avant de commencer la résolution, revoyons les concepts fondamentaux.

1. Le Facteur de Sécurité (F.S.) :
Le F.S. est la mesure quantitative de la stabilité. Il est défini comme le rapport des forces (ou moments) qui résistent au glissement sur les forces (ou moments) qui provoquent le glissement. \[ \text{F.S.} = \frac{\text{Forces Résistantes}}{\text{Forces Motrices}} \] Un F.S. > 1.0 indique que le talus est stable. En pratique, les normes exigent des F.S. plus élevés (typiquement 1.3 à 1.5) pour tenir compte des incertitudes.

2. La Méthode des Tranches :
Pour analyser une surface de rupture courbe, on découpe la masse de sol en glissement en une série de tranches verticales. On analyse ensuite l'équilibre de chaque tranche. La force résistante provient de la résistance au cisaillement du sol à la base de la tranche, qui a deux composantes : la cohésion (qui est indépendante de la charge) et le frottement (qui est proportionnel à la force normale sur la base).

Correction : Calcul de Stabilité du Talus

Question 1 : Calculer le poids de la tranche (W)

Principe (le concept physique)

Le poids est la force motrice principale dans un glissement de terrain. C'est la force de gravité agissant sur la masse de la tranche qui la pousse vers le bas. Pour le calculer, on a besoin du volume de la tranche et du poids volumique du sol.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le poids volumique (\(\gamma\)) d'un sol est son poids par unité de volume (en kN/m³). Le poids d'une tranche (\(W\)) est simplement le produit de son volume (\(V\)) par ce poids volumique. Pour une tranche de largeur \(b\), de hauteur moyenne \(h\) et de longueur unitaire (1 m dans la direction perpendiculaire au plan), le volume est \(V = b \times h \times 1\). Le poids est donc \(W = V \times \gamma\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Il est crucial de bien distinguer la masse (en kg) et le poids (en N ou kN). En géotechnique, on travaille presque toujours avec le poids volumique (\(\gamma\)) et non la masse volumique (\(\rho\)), car le poids est directement une force, ce qui simplifie les calculs d'équilibre.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 (NF EN 1997-1) spécifie que le poids des terres doit être considéré comme une action permanente. Dans les calculs de stabilité, on utilise sa valeur caractéristique, sans pondération, car le poids est à la fois moteur et résistant (via le frottement).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Poids de la tranche par mètre linéaire :

W = b \cdot h \cdot \gamma

Hypothèses (le cadre du calcul)

On approxime la tranche par un rectangle de largeur \(b\) et de hauteur moyenne \(h\). On suppose que le poids volumique du sol est constant dans toute la tranche.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

\(b = 2.0 \, \text{m}\)
\(h = 3.5 \, \text{m}\)
\(\gamma = 19 \, \text{kN/m³}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Vérifiez toujours la cohérence des unités. Ici, \(m \times m \times kN/m³\). Les \(m³\) s'annulent, laissant des \(kN\). Comme on calcule par mètre linéaire de talus, l'unité finale est bien des \(kN/m\), ce qui est correct pour le poids d'une tranche.

Schéma (Avant les calculs)

Géométrie de la Tranche

Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule :

\begin{aligned} W &= (2.0 \, \text{m}) \cdot (3.5 \, \text{m}) \cdot (19 \, \text{kN/m³}) \\ &= 7.0 \, \text{m²} \cdot 19 \, \text{kN/m³} \\ &= 133 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Poids de la Tranche Calculé

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Chaque mètre de talus, au droit de cette tranche, pèse 133 kN. C'est cette force qui va être décomposée en une partie qui pousse le talus (motrice) et une partie qui appuie sur la surface de rupture et génère du frottement (résistante).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'utiliser une surface au lieu d'un volume. Il ne faut pas oublier de multiplier par la largeur de la tranche pour obtenir le poids correct.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le poids est la force motrice principale.
\(W = \text{Volume} \times \text{Poids Volumique}\).
Pour une tranche, \(V \approx b \times h \times 1\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Si la nappe phréatique se trouve dans le talus, le calcul du poids se complique. On doit utiliser le poids volumique déjaugé (\(\gamma'\)) pour la partie du sol immergée, qui est plus faible que le poids volumique total. La présence d'eau diminue le poids des terres mais aussi, et surtout, la résistance au frottement, ce qui est très défavorable pour la stabilité.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le poids de la tranche est \(W = 133 \, \text{kN/m}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le poids volumique du sol était de 20 kN/m³, quel serait le nouveau poids W de la tranche (en kN/m) ?

Question 2 : Déterminer la force résistante totale (FR)

Principe (le concept physique)

La force résistante est ce qui empêche la tranche de glisser. Elle se développe le long de la surface de rupture à la base de la tranche. Elle a deux origines : la cohésion, qui est comme une "colle" entre les grains de sol, et le frottement, qui est la résistance au glissement des grains les uns sur les autres, mobilisée par la force normale (perpendiculaire) à la surface de rupture.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La résistance au cisaillement du sol est modélisée par le critère de Mohr-Coulomb : \(\tau = c' + \sigma'_n \tan \phi'\), où \(\tau\) est la contrainte de cisaillement maximale, \(c'\) la cohésion, \(\phi'\) l'angle de frottement, et \(\sigma'_n\) la contrainte normale effective. Pour obtenir la force résistante sur la base de la tranche de longueur \(l\), on multiplie par \(l\): \(F_R = (c' \cdot l) + (N' \tan \phi')\), où \(N'\) est la force normale effective (\(N' = \sigma'_n \cdot l\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à un livre posé sur une table inclinée. Pour le faire glisser, il faut vaincre le frottement. Si vous appuyez sur le livre (vous augmentez la force normale N'), le frottement augmente et il est plus difficile de le faire glisser. Si en plus vous mettez un peu de miel sous le livre (la cohésion c'), il y a une force de retenue même sans appuyer. Le sol se comporte de la même manière.

Normes (la référence réglementaire)

Pour une analyse de stabilité à long terme dans un sol fin, l'Eurocode 7 préconise d'utiliser les caractéristiques effectives du sol (\(c', \phi'\)), qui tiennent compte de la pression de l'eau dans les pores du sol. Pour cet exercice, on suppose qu'il n'y a pas de nappe phréatique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Longueur de la base de la tranche :

l = \frac{b}{\cos \alpha}

2. Force normale à la base de la tranche :

N = W \cos \alpha

3. Force résistante totale :

F_R = (c' \cdot l) + (N \cdot \tan \phi')

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la résistance au cisaillement est entièrement mobilisée le long de la surface de rupture (hypothèse de l'équilibre limite). On néglige les forces de cisaillement sur les côtés verticaux de la tranche (méthode de Fellenius ou suédoise, la plus simple).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

\(W = 133 \, \text{kN/m}\) (de Q1)
\(c' = 12 \, \text{kPa} = 12 \, \text{kN/m²}\)
\(\phi' = 28^\circ\)
\(b = 2.0 \, \text{m}\)
\(\alpha = 22^\circ\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux angles ! Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" pour les calculs de cosinus, sinus et tangente. Une erreur de mode (radians vs degrés) est une source fréquente d'erreurs.

Schéma (Avant les calculs)

Forces à la Base de la Tranche

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la longueur de la base \(l\) :

\begin{aligned} l &= \frac{2.0 \, \text{m}}{\cos(22^\circ)} \\ &= \frac{2.0}{0.927} \\ &= 2.157 \, \text{m} \end{aligned}

2. Calculer la force normale \(N\) :

\begin{aligned} N &= 133 \, \text{kN/m} \cdot \cos(22^\circ) \\ &= 133 \cdot 0.927 \\ &= 123.3 \, \text{kN/m} \end{aligned}

3. Calculer la force résistante \(F_R\) :

\begin{aligned} F_R &= (12 \, \text{kN/m²} \cdot 2.157 \, \text{m}) + (123.3 \, \text{kN/m} \cdot \tan 28^\circ) \\ &= 25.88 \, \text{kN/m} + (123.3 \cdot 0.532) \, \text{kN/m} \\ &= 25.88 + 65.59 \\ &= 91.47 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Composantes de la Force Résistante

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La force totale qui retient cette tranche est de 91.5 kN/m. On voit que dans ce cas, la contribution du frottement (65.6 kN/m) est plus importante que celle de la cohésion (25.9 kN/m). C'est typique des sols avec un angle de frottement significatif.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur classique est de confondre la force normale \(N\) avec le poids \(W\). La force normale est la composante du poids perpendiculaire à la base de la tranche, elle est donc toujours inférieure à W (sauf si la base est horizontale, \(\alpha=0\)).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La force résistante a deux composantes : cohésion et frottement.
\(F_R = \text{Cohésion} + \text{Frottement} = (c' \cdot l) + (N \cdot \tan \phi')\).
La force normale \(N\) dépend de l'angle \(\alpha\) de la base de la tranche.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les argiles saturées en condition non drainée (par exemple lors d'une excavation rapide), on utilise une analyse en contraintes totales. L'angle de frottement est considéré nul (\(\phi_u=0\)) et toute la résistance provient d'une cohésion non drainée (\(c_u\)). Le calcul est alors beaucoup plus simple car la partie "frottement" de la résistance disparaît.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La force résistante totale sur la base de la tranche est \(F_R \approx 91.5 \, \text{kN/m}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le sol n'avait aucune cohésion (\(c'=0\)), quelle serait la force résistante \(F_R\) (en kN/m) ?

Question 3 : Calculer la force motrice (FM)

Principe (le concept physique)

La force motrice est la composante du poids de la tranche qui agit parallèlement à la base, dans le sens de la pente. C'est cette force qui "pousse" la tranche et essaie de la faire glisser le long de la surface de rupture.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Par simple trigonométrie, si le poids \(W\) est une force verticale et que la base de la tranche est inclinée d'un angle \(\alpha\) par rapport à l'horizontale, alors la composante de \(W\) parallèle à cette base est donnée par \(W \sin \alpha\). Cette force est maximale lorsque la base est la plus inclinée.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est exactement le même principe qu'un objet sur un plan incliné en physique. La force qui le fait descendre est \(P \sin \alpha\), où P est son poids et \(\alpha\) l'angle du plan. Ici, le poids est \(W\) et l'angle de la base de la tranche est \(\alpha\).

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des forces motrices est une application directe des lois de la statique. Les normes géotechniques ne définissent pas ces formules, mais encadrent la manière dont les forces résultantes doivent être utilisées pour vérifier la sécurité.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Force motrice de la tranche :

F_M = W \sin \alpha

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la seule force motrice est le poids de la tranche. On néglige d'autres effets potentiels comme des surcharges en tête de talus ou des forces sismiques pour cet exercice de base.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

\(W = 133 \, \text{kN/m}\) (de Q1)
\(\alpha = 22^\circ\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour se souvenir des composantes : la composante normale (perpendiculaire) est en cosinus car lorsque \(\alpha=0\), elle est maximale et égale à W (\(\cos 0 = 1\)). La composante tangentielle (parallèle) est en sinus car lorsque \(\alpha=0\), elle est nulle (\(\sin 0 = 0\)).

Schéma (Avant les calculs)

Décomposition du Poids W

Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule :

\begin{aligned} F_M &= 133 \, \text{kN/m} \cdot \sin(22^\circ) \\ &= 133 \cdot 0.375 \\ &= 49.8 \, \text{kN/m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Forces Motrice et Normale Calculées

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Sur les 133 kN/m du poids de la tranche, environ 50 kN/m "poussent" activement la tranche vers le bas de la pente. C'est cette force que la résistance du sol (calculée à 91.5 kN/m) doit contrecarrer pour assurer la stabilité.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Veillez à ne pas inverser sinus et cosinus. La force motrice est la composante tangentielle (parallèle à la surface de glissement), donc en sinus de l'angle de la base.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La force motrice est la composante du poids parallèle à la base de la tranche.
\(F_M = W \sin \alpha\).
Elle représente la "poussée" qui tend à provoquer le glissement.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Lors d'un tremblement de terre, une force motrice supplémentaire, horizontale, s'ajoute au poids. Cette force sismique, proportionnelle à la masse de la tranche, augmente considérablement les forces motrices et peut déclencher des glissements de terrain même sur des pentes considérées comme stables en conditions normales.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La force motrice est \(F_M \approx 49.8 \, \text{kN/m}\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si l'angle à la base \(\alpha\) était de 30°, quelle serait la nouvelle force motrice \(F_M\) (en kN/m) ?

Question 4 : En déduire le Facteur de Sécurité (F.S.)

Principe (le concept physique)

Le facteur de sécurité est le bilan final de notre analyse. Il compare directement la capacité du sol à résister (la force résistante \(F_R\)) à la sollicitation qui lui est appliquée (la force motrice \(F_M\)). Si la résistance est supérieure à la sollicitation, le F.S. est supérieur à 1 et la tranche est stable.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour un talus entier, le facteur de sécurité global est le rapport de la somme de toutes les forces résistantes de toutes les tranches sur la somme de toutes les forces motrices. Dans cet exercice simplifié, nous ne calculons le F.S. que pour une seule tranche, mais le principe reste identique. La méthode de Bishop, plus rigoureuse, calcule le F.S. en faisant le rapport des moments résistants sur les moments moteurs par rapport au centre du cercle de rupture.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Un F.S. de 1.0 signifie que le talus est à la limite exacte de la rupture. La moindre perturbation (une forte pluie, une petite vibration) pourrait déclencher le glissement. C'est pourquoi les ingénieurs exigent toujours une marge de sécurité, avec un F.S. de conception typiquement supérieur à 1.3.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 ne fixe pas une valeur unique pour le facteur de sécurité. Il utilise une approche par états limites avec des coefficients partiels. Cependant, la pratique courante et de nombreux guides nationaux recommandent des facteurs de sécurité globaux minimaux, souvent de l'ordre de 1.3 pour des situations permanentes et 1.1 pour des situations temporaires (comme une excavation de chantier).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Facteur de Sécurité :

\text{F.S.} = \frac{\text{Force Résistante Totale}}{\text{Force Motrice}} = \frac{F_R}{F_M}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le F.S. calculé pour cette seule tranche est représentatif de la stabilité globale. En réalité, il faudrait faire ce calcul pour toutes les tranches et sommer les résultats pour obtenir le F.S. global du talus.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

\(F_R = 91.47 \, \text{kN/m}\) (de Q2)
\(F_M = 49.8 \, \text{kN/m}\) (de Q3)

Astuces(Pour aller plus vite)

Le F.S. est un nombre sans dimension (kN/m divisé par kN/m). Si votre calcul final a une unité, c'est qu'il y a une erreur dans votre raisonnement ou vos formules.

Schéma (Avant les calculs)

Bilan des Forces

Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule du Facteur de Sécurité :

\begin{aligned} \text{F.S.} &= \frac{91.47 \, \text{kN/m}}{49.8 \, \text{kN/m}} \\ &= 1.836 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat de Stabilité

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le facteur de sécurité calculé est de 1.84. Cette valeur est nettement supérieure à 1.0, et également supérieure aux seuils de sécurité usuels (1.3-1.5). On peut donc conclure que pour cette surface de rupture potentielle, le talus est très stable. L'ingénieur devrait cependant vérifier d'autres surfaces de rupture possibles pour s'assurer d'avoir trouvé le cas le plus défavorable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas inverser le rapport ! Le F.S. est toujours Résistance / Sollicitation. Une inversion donnerait un résultat inférieur à 1 et une conclusion erronée sur la stabilité.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le Facteur de Sécurité est le critère ultime de la stabilité.
\(\text{F.S.} = \text{Forces Résistantes} / \text{Forces Motrices}\).
Si F.S. > 1.3 - 1.5, le talus est considéré comme stable et sûr.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le glissement de terrain du barrage de Vajont en Italie en 1963 est l'une des pires catastrophes du génie civil. Le flanc d'une montagne entière a glissé dans le lac de retenue, créant une vague de 250 m de haut qui a détruit plusieurs villages et causé la mort de près de 2000 personnes. Cet événement a montré l'importance cruciale d'une analyse géotechnique approfondie pour les grands projets.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le Facteur de Sécurité pour la tranche étudiée est F.S. \(\approx\) 1.84.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la cohésion \(c'\) était nulle (un sable pur), quel serait le nouveau F.S. (en utilisant les forces déjà calculées) ?

Outil Interactif : Paramètres de Stabilité

Modifiez les propriétés du sol pour voir leur influence sur le facteur de sécurité de la tranche.

Paramètres d'Entrée

Angle de frottement φ' (°) 28 °

Cohésion c' (kPa) 12 kPa

Angle de la base α (°) 22 °

Résultats Clés

Force Résistante (kN/m) -

Force Motrice (kN/m) -

Facteur de Sécurité (F.S.) -

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si le sol n'est pas homogène ?

La situation se complique grandement. Si une couche de sol plus faible se trouve dans le talus, la surface de rupture aura tendance à la suivre. Les calculs doivent alors prendre en compte les différentes caractéristiques des couches traversées par la surface de rupture, qui ne sera plus forcément circulaire.

La méthode des tranches est-elle la seule qui existe ?

Non, il existe d'autres approches. Pour les problèmes plus complexes, les ingénieurs utilisent des méthodes numériques comme l'analyse par éléments finis (FEM) ou l'analyse par éléments discrets (DEM), qui permettent de modéliser le comportement du sol de manière beaucoup plus détaillée et de visualiser les déformations et les zones de rupture sans pré-supposer une forme de surface de glissement.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Une forte pluie sur un talus argileux va très probablement...

Diminuer le facteur de sécurité
Augmenter le facteur de sécurité
N'avoir aucun effet sur la stabilité

2. Dans un sable sec (c'=0), la force résistante au glissement dépend principalement de...

La hauteur du talus uniquement
La couleur du sable
La force normale et de l'angle de frottement

Facteur de Sécurité (F.S.): Rapport des forces ou moments résistants sur les forces ou moments moteurs. Un F.S. > 1 indique la stabilité. Les normes exigent généralement F.S. ≥ 1.3-1.5.
Cohésion (c'): Partie de la résistance au cisaillement d'un sol qui est indépendante de la contrainte normale. C'est une sorte de "force de collage" entre les particules de sol.
Angle de Frottement (\(\phi'\)): Paramètre qui décrit la résistance au cisaillement d'un sol due au frottement entre les particules. Cette résistance est proportionnelle à la force normale qui comprime les particules les unes contre les autres.

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