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Calcul d’un Mur de Soutènement en Palplanches

Calcul d’un Mur de Soutènement en Palplanches

Calcul d’un Mur de Soutènement en Palplanches

Contexte : L'art de retenir la terre.

En géotechnique, les murs de soutènement sont des ouvrages essentiels pour stabiliser les terres et créer des dénivelés artificiels, que ce soit pour des quais portuaires, des fouilles de chantier ou des aménagements routiers. Le mur en palplanchesProfilés métalliques (généralement en acier) emboîtés les uns dans les autres et enfoncés dans le sol pour former un écran de soutènement continu et étanche. est une solution rapide et efficace. Son dimensionnement correct est vital pour garantir la sécurité et éviter des glissements de terrain catastrophiques. Cet exercice vous guidera à travers le calcul de la stabilité d'un mur en palplanche simple, dit "en console", selon la théorie de Rankine.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application fondamentale de la mécanique des sols. Nous allons utiliser les propriétés d'un sol (poids, angle de frottement) pour déterminer les forces qu'il exerce sur une structure (la poussée et la butée). Le but est de trouver la profondeur d'ancrage minimale (la "fiche") pour que le mur soit stable. C'est le quotidien de l'ingénieur géotechnicien.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les coefficients de poussée active (\(K_a\)) et de butée passive (\(K_p\)).
  • Déterminer les diagrammes de contraintes de poussée et de butée sur le mur.
  • Calculer la fiche (profondeur d'ancrage) minimale pour assurer la stabilité du mur.
  • Calculer le moment fléchissant maximal dans la palplanche pour son dimensionnement.
  • Se familiariser avec les unités en géotechnique (kN, m, kPa).

Données de l'étude

On souhaite retenir un massif de sable sec à l'aide d'un rideau de palplanches métalliques travaillant en console (sans tirant d'ancrage). Le terrain est horizontal et le sol est homogène. On néglige le frottement entre le sol et le mur.

Schéma du Mur de Soutènement
H = 4.0 m d = ? Poussée Butée Sable sec γ = 18 kN/m³ φ' = 30°
Paramètre Symbole Valeur Unité
Hauteur de déblai \(H\) 4.0 \(\text{m}\)
Poids volumique du sol \(\gamma\) 18 \(\text{kN/m³}\)
Angle de frottement interne \(\phi'\) 30 \(\text{degrés}\)
Cohésion (sol pulvérulent) \(c'\) 0 \(\text{kPa}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le coefficient de poussée active des terres \(K_a\).
  2. Calculer le coefficient de butée passive des terres \(K_p\).
  3. Déterminer la fiche (profondeur d'ancrage) \(d\) du rideau de palplanches en appliquant un coefficient de sécurité de 1.5 sur la butée.
  4. Calculer le moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}\) dans la palplanche.

Les bases de la Poussée des Terres

Avant la correction, revoyons les concepts de poussée et de butée selon la théorie de Rankine.

1. La Poussée Active (\(K_a\)) :
Lorsqu'un mur de soutènement se déplace légèrement en s'éloignant du sol, le sol se décomprime et entre dans un état de rupture "actif". Il exerce alors la pression minimale possible sur le mur. Le coefficient de poussée active \(K_a\) permet de calculer cette pression. Pour un sol sans cohésion et une surface horizontale, il est donné par : \[ K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) \]

2. La Butée Passive (\(K_p\)) :
Inversement, si le mur est "poussé" contre le sol, le sol se comprime et mobilise sa résistance maximale pour s'opposer au mouvement. C'est l'état de "butée passive". Le coefficient de butée passive \(K_p\) est toujours supérieur à 1 et est donné par : \[ K_p = \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right) \] La butée est la force stabilisatrice qui empêche le pied du mur de glisser.

3. Diagramme des Contraintes :
Pour un sol sec et homogène, la contrainte horizontale (\(\sigma'_h\)) à une profondeur \(z\) est simplement la contrainte verticale (\(\sigma'_v = \gamma \cdot z\)) multipliée par le coefficient approprié (\(K_a\) ou \(K_p\)). \[ \sigma'_{\text{h, active}} = K_a \cdot \gamma \cdot z \quad | \quad \sigma'_{\text{h, passive}} = K_p \cdot \gamma \cdot z \] Cela donne des diagrammes de contraintes triangulaires, qui sont la base du calcul des forces et des moments.

Correction : Calcul d’un Mur de Soutènement en Palplanches

Question 1 : Calculer le coefficient de poussée active (Ka)

Principe (le concept physique)

Le coefficient de poussée active, \(K_a\), est un nombre sans dimension qui traduit la réduction de la contrainte horizontale par rapport à la contrainte verticale lorsque le sol est en état d'expansion. Plus l'angle de frottement \(\phi'\) du sol est élevé (sol plus résistant), plus le sol "se tient" bien, et plus \(K_a\) est faible, ce qui signifie que le mur subit moins d'efforts.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La théorie de Rankine suppose que le mur se déplace suffisamment pour que le sol derrière lui atteigne un état de rupture plastique. Dans cet état "actif", les contraintes principales majeure et mineure sont respectivement la contrainte verticale (\(\sigma'_v\)) et la contrainte horizontale (\(\sigma'_h\)). Le rapport \(\sigma'_h / \sigma'_v\) est alors minimal et vaut \(K_a\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez un tas de sable. L'angle qu'il forme naturellement est lié à son angle de frottement. La poussée active, c'est la force minimale que ce sable exerce s'il est sur le point de s'éboulis. Un sol avec un grand angle de frottement (un tas de sable qui tient bien "debout") poussera moins fort sur un mur.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des pressions des terres est encadré par des normes comme l'Eurocode 7 (Calcul géotechnique). Cette norme définit les états limites à vérifier et les approches de calcul, en spécifiant comment appliquer les coefficients partiels de sécurité sur les propriétés des sols et sur les actions.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Selon la théorie de Rankine pour un sol pulvérulent (\(c'=0\)) avec une surface horizontale :

\[ K_a = \tan^2\left(45^\circ - \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1 - \sin(\phi')}{1 + \sin(\phi')} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On applique les hypothèses de la théorie de Rankine : le mur est vertical et parfaitement lisse (pas de frottement sol-mur), le remblai est horizontal, le sol est homogène et isotrope, et le sol atteint l'état de rupture.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Angle de frottement interne, \(\phi' = 30^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les angles courants, il est bon de connaître quelques valeurs par cœur. Pour \(\phi' = 30^\circ\), \(K_a\) vaut toujours 1/3. C'est le cas le plus fréquent dans les exercices académiques.

Schéma (Avant les calculs)
Cercle de Mohr à l'état de poussée active
σ'τσ'h=Ka·σ'vσ'vφ'=30°
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} K_a &= \tan^2\left(45^\circ - \frac{30^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2\left(45^\circ - 15^\circ\right) \\ &= \tan^2(30^\circ) \\ &= \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \\ &= \frac{1}{3} \approx 0.333 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Rapport des contraintes
σ'vσ'hKa = 1/3
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une valeur de \(K_a = 1/3\) signifie que la pression horizontale exercée par le sable sur le mur ne représente qu'un tiers de la pression verticale à la même profondeur. C'est une valeur typique pour un sable moyennement dense.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est une mauvaise utilisation de la calculatrice. Assurez-vous qu'elle est bien en mode "degrés" pour le calcul de l'angle. Ne pas oublier d'élever le résultat de la tangente au carré.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La poussée active est la pression minimale que le sol exerce.
  • Elle est calculée avec le coefficient \(K_a\).
  • \(K_a\) dépend uniquement de l'angle de frottement \(\phi'\) (pour un sol sans cohésion).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Si le mur est rugueux, le sol s'appuie dessus en frottant, ce qui a tendance à réduire légèrement la poussée. La théorie de Coulomb prend en compte ce frottement sol-mur, donnant des résultats souvent plus réalistes et économiques que Rankine.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si le remblai est incliné ?

Si le remblai est incliné d'un angle \(\beta\), la formule de \(K_a\) devient plus complexe. La pression n'est plus horizontale mais est inclinée de l'angle \(\beta\) par rapport à l'horizontale. Cela augmente la poussée sur le mur.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coefficient de poussée active \(K_a\) est de 1/3.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour un sable plus lâche avec \(\phi' = 25^\circ\), quel serait le coefficient \(K_a\) ?

Question 2 : Calculer le coefficient de butée passive (Kp)

Principe (le concept physique)

Le coefficient de butée passive, \(K_p\), représente l'augmentation de la contrainte horizontale par rapport à la contrainte verticale lorsque le sol est comprimé. C'est la résistance maximale que le sol peut mobiliser pour s'opposer à un déplacement. Un angle de frottement \(\phi'\) élevé conduit à un \(K_p\) très grand, ce qui est très favorable pour la stabilité du mur.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Dans l'état de butée "passive", le sol est comprimé jusqu'à la rupture. Les contraintes principales s'inversent par rapport à l'état actif : la contrainte horizontale \(\sigma'_h\) devient la contrainte principale majeure, et la contrainte verticale \(\sigma'_v\) la mineure. Le rapport \(\sigma'_h / \sigma'_v\) est alors maximal et vaut \(K_p\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à essayer de pousser une boîte lourde sur un sol sableux. Au début, le sable résiste beaucoup : c'est la butée. Il faut une force importante pour le "cisailler" et faire avancer la boîte. Cette résistance maximale du sol, c'est ce que nous quantifions avec \(K_p\). C'est la force qui "ancre" le bas de notre mur.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 précise que la mobilisation de la butée nécessite des déplacements beaucoup plus importants que pour la poussée. Il faut donc s'assurer que la structure peut subir ces déformations. Des coefficients de sécurité sont appliqués sur la butée pour garantir que l'on reste loin de la rupture réelle.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Selon la théorie de Rankine :

\[ K_p = \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi'}{2}\right) = \frac{1 + \sin(\phi')}{1 - \sin(\phi')} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que pour le calcul de la poussée active (mur lisse et vertical, sol horizontal et homogène, état de rupture atteint).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Angle de frottement interne, \(\phi' = 30^\circ\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour un sol sans frottement mur-sol, il existe une relation simple entre les deux coefficients : \(K_p = 1/K_a\). C'est un excellent moyen de vérifier vos calculs ! Si vous avez calculé \(K_a = 1/3\), alors \(K_p\) doit être 3.

Schéma (Avant les calculs)
Cercle de Mohr à l'état de butée passive
σ'τσ'vσ'h=Kp·σ'vφ'=30°
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} K_p &= \tan^2\left(45^\circ + \frac{30^\circ}{2}\right) \\ &= \tan^2\left(45^\circ + 15^\circ\right) \\ &= \tan^2(60^\circ) \\ &= (\sqrt{3})^2 \\ &= 3 \end{aligned} \]

Vérification : \(K_p = 1/K_a = 1/(1/3) = 3\). Le calcul est cohérent.

Schéma (Après les calculs)
Rapport des contraintes
σ'vσ'hKp = 3
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une valeur de \(K_p = 3\) signifie que le sol, lorsqu'il est comprimé, peut exercer une pression horizontale trois fois supérieure à la pression verticale. Cette forte résistance est ce qui ancre le mur dans le sol et l'empêche de basculer.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne jamais confondre \(K_a\) et \(K_p\). \(K_a\) est toujours inférieur à 1 (le sol pousse moins qu'il ne pèse verticalement), tandis que \(K_p\) est toujours supérieur à 1 (le sol résiste plus qu'il ne pèse). Une inversion conduirait à un dimensionnement totalement erroné et dangereux.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La butée est la pression maximale que le sol peut opposer.
  • Elle est calculée avec le coefficient \(K_p\).
  • \(K_p\) est l'inverse de \(K_a\) dans les conditions de Rankine.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans la réalité, la butée est difficile à mobiliser entièrement. Pour cette raison, les normes de calcul (comme l'Eurocode 7) imposent des facteurs de sécurité importants sur la butée, ou n'autorisent à prendre en compte qu'une fraction de sa valeur théorique.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la butée est-elle si supérieure à la poussée ?

Cela vient de la nature du frottement interne du sol. En poussée, les grains de sol "roulent" les uns sur les autres pour s'étendre. En butée, les grains se bloquent les uns contre les autres (phénomène d'arc-boutement) pour résister à la compression, mobilisant une résistance beaucoup plus grande.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le coefficient de butée passive \(K_p\) est de 3.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour un sable plus lâche avec \(\phi' = 25^\circ\), quel serait le coefficient \(K_p\) ? (Astuce: \(K_a \approx 0.406\))

Question 3 : Déterminer la fiche (d)

Principe (le concept physique)

Pour que le mur soit stable, les forces et les moments qui tendent à le faire basculer (poussée) doivent être équilibrés par les forces et les moments qui le retiennent (butée). Le calcul de la fiche consiste à trouver la profondeur d'ancrage \(d\) minimale pour que le moment stabilisateur de la butée soit supérieur au moment moteur de la poussée, avec une marge de sécurité.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

On simplifie le problème en supposant que le mur pivote autour de son pied (point O à la profondeur \(H+d\)). On calcule le moment de la force de poussée par rapport à ce point, et le moment de la force de butée. L'équilibre s'écrit : Moment(Butée) ≥ Sécurité × Moment(Poussée). La résolution de cette équation (qui est souvent polynomiale) donne la valeur de \(d\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est comme jouer sur une balançoire à bascule (un "tape-cul"). La poussée est un enfant lourd assis loin de l'axe, qui fait basculer la planche. La butée est un enfant très lourd assis très près de l'axe de l'autre côté, qui essaie d'empêcher le basculement. On cherche la position exacte pour que l'équilibre soit atteint, avec une marge de sécurité.

Normes (la référence réglementaire)

L'Eurocode 7 propose plusieurs approches de calcul. Une approche courante consiste à appliquer des facteurs de sécurité sur les résistances (comme la butée) ou sur les actions (comme la poussée). Le choix d'un facteur de sécurité de 1.5 sur la butée est une pratique courante pour un calcul simplifié.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Force de Poussée (\(F_a\)) et son bras de levier (\(z_a\)) par rapport au pied O :

\[ F_a = \frac{1}{2} K_a \gamma (H+d)^2 \quad | \quad z_a = \frac{H+d}{3} \]

2. Force de Butée (\(F_p\)) et son bras de levier (\(z_p\)) par rapport au pied O :

\[ F_p = \frac{1}{2} K_p \gamma d^2 \quad | \quad z_p = \frac{d}{3} \]

3. Équation d'équilibre des moments avec un facteur de sécurité \(FS_p\) sur la butée :

\[ \frac{F_p}{FS_p} \cdot z_p = F_a \cdot z_a \Rightarrow \frac{\frac{1}{2} K_p \gamma d^2}{FS_p} \cdot \frac{d}{3} = \frac{1}{2} K_a \gamma (H+d)^2 \cdot \frac{H+d}{3} \]

Après simplification, on obtient :

\[ \frac{K_p}{FS_p} d^3 = K_a (H+d)^3 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose un modèle de sol parfaitement plastique. L'hypothèse la plus forte est que le mur pivote exactement autour de son pied, ce qui est une simplification. En réalité, la distribution des pressions est plus complexe, mais ce modèle donne une première estimation raisonnable.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(H = 4.0 \, \text{m}\)
  • \(K_a = 1/3\)
  • \(K_p = 3\)
  • \(FS_p = 1.5\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La résolution de l'équation cubique peut être fastidieuse. En prenant la racine cubique de chaque côté, on la transforme en une équation du premier degré beaucoup plus simple à résoudre, comme montré dans le calcul. C'est une astuce mathématique très utile dans ce cas précis.

Schéma (Avant les calculs)
Équilibre des Moments par rapport au Pied O
FaFpOMoteurRésistant
Calcul(s) (l'application numérique)

On résout l'équation pour \(d\). On peut prendre la racine cubique des deux côtés :

\[ \begin{aligned} \sqrt[3]{\frac{K_p}{FS_p}} \cdot d &= \sqrt[3]{K_a} \cdot (H+d) \\ d \left( \sqrt[3]{\frac{K_p}{FS_p}} - \sqrt[3]{K_a} \right) &= \sqrt[3]{K_a} \cdot H \\ d &= H \cdot \frac{\sqrt[3]{K_a}}{\sqrt[3]{\frac{K_p}{FS_p}} - \sqrt[3]{K_a}} \\ d &= 4.0 \cdot \frac{\sqrt[3]{1/3}}{\sqrt[3]{\frac{3}{1.5}} - \sqrt[3]{1/3}} \\ &= 4.0 \cdot \frac{0.693}{\sqrt[3]{2} - 0.693} \\ &= 4.0 \cdot \frac{0.693}{1.260 - 0.693} \\ &= 4.0 \cdot \frac{0.693}{0.567} \\ &\approx 4.89 \, \text{m} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Géométrie Finale de la Palplanche
H=4.0md≈4.9mL_tot ≈ 9.8m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La fiche requise (\(\approx 4.9\) m) est plus grande que la hauteur de terres à retenir (\(4.0\) m). C'est un résultat typique pour un mur en console dans un sol sableux. La longueur totale de la palplanche sera de \(H+d\), soit près de 9 mètres. Cela montre qu'une part très importante de l'ouvrage est invisible, cachée dans le sol.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le facteur de sécurité ! Un calcul sans sécurité donnerait une fiche plus faible, mais ne laisserait aucune marge en cas de variation des propriétés du sol. De plus, les normes exigent souvent de majorer la fiche calculée (par exemple de 20%) pour déterminer la longueur réelle à commander.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La stabilité du mur est assurée par l'équilibre des moments (Moteur vs Résistant).
  • La butée est la force stabilisatrice, sur laquelle on applique un facteur de sécurité.
  • La fiche \(d\) est la profondeur d'ancrage nécessaire pour atteindre cet équilibre.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour de grandes hauteurs, un mur en console devient anti-économique car la fiche et le moment deviennent énormes. On utilise alors des murs "ancrés" ou "butonnés", où un ou plusieurs tirants d'ancrage sont ajoutés pour reprendre une partie de l'effort de poussée, réduisant ainsi la fiche et le moment dans la palplanche.

FAQ (pour lever les doutes)
Le point de rotation est-il vraiment au pied du mur ?

Non, c'est une simplification. En réalité, le mur pivote autour d'un point situé un peu au-dessus du pied. Cela conduit à des méthodes de calcul plus complexes (comme la méthode de Blum) qui donnent une distribution de pression plus réaliste. Cependant, la méthode du pivot en pied reste une approche conservative et simple pour le prédimensionnement.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La fiche théorique requise est d'environ 4.89 m.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le facteur de sécurité était plus exigeant (\(FS_p = 2.0\)), quelle serait la nouvelle fiche \(d\) requise en mètres ?

Question 4 : Calculer le moment fléchissant maximal (Mmax)

Principe (le concept physique)

Le moment fléchissant dans la palplanche est maximal à l'endroit où l'effort tranchant (la somme des forces horizontales) est nul. Cet endroit se situe quelque part en dessous du niveau du terrain naturel. Le calcul de ce moment est crucial pour choisir un profilé de palplanche suffisamment résistant pour ne pas plier et rompre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'effort tranchant \(T(z)\) à une profondeur \(z\) sous le niveau du terrain est la somme de la force de poussée au-dessus de ce point moins la force de butée. On cherche la profondeur \(z_0\) où \(T(z_0)=0\). Une fois \(z_0\) trouvée, on calcule le moment en ce point en sommant les moments de toutes les forces de poussée et de butée au-dessus de \(z_0\). C'est une application directe de la relation \(dM/dx = T\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que la palplanche est une règle en plastique plantée dans du sable. Si vous poussez sur la partie haute, elle va se courber. Le point de courbure maximale, là où elle risque le plus de casser, est le point de moment maximal. Ce n'est ni en haut, ni en bas, mais quelque part entre les deux, là où les forces de poussée et de butée commencent à s'équilibrer.

Normes (la référence réglementaire)

Une fois le moment maximal de calcul \(M_{Ed}\) déterminé (en appliquant les facteurs de sécurité adéquats sur les actions), on le compare au moment résistant plastique du profilé de palplanche \(M_{pl,Rd}\) selon l'Eurocode 3 (Calcul des structures en acier). On doit vérifier que \(M_{Ed} \le M_{pl,Rd}\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Trouver \(z_0\) (profondeur sous le terrain naturel où T=0) en équilibrant les forces (sans sécurité) :

\[ T(z_0) = \frac{1}{2} K_a \gamma (H+z_0)^2 - \frac{1}{2} K_p \gamma z_0^2 = 0 \Rightarrow K_a(H+z_0)^2 = K_p z_0^2 \]
\[ z_0 = H \frac{\sqrt{K_a}}{\sqrt{K_p} - \sqrt{K_a}} \]

2. Calculer \(M_{\text{max}}\) à la profondeur \(H+z_0\) en sommant les moments :

\[ M_{\text{max}} = \text{Moment(Butée)} - \text{Moment(Poussée)} = \frac{1}{6} K_p \gamma z_0^3 - \frac{1}{6} K_a \gamma (H+z_0)^3 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Le calcul du moment maximal se fait à l'état limite ultime, donc sans le facteur de sécurité sur la butée, pour trouver la sollicitation la plus défavorable que la palplanche doit pouvoir supporter avant de se plastifier.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(H = 4.0 \, \text{m}\)
  • \(\gamma = 18 \, \text{kN/m³}\)
  • \(K_a = 1/3\)
  • \(K_p = 3\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Une fois \(z_0\) calculé, on peut réutiliser l'égalité \(K_a(H+z_0)^2 = K_p z_0^2\) pour simplifier l'expression du moment. Cela peut éviter des erreurs de calcul et accélérer la résolution.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme des Pressions et Point de Cisaillement Nul
T=0, M=Mmaxz₀=?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de \(z_0\) :

\[ \begin{aligned} z_0 &= H \cdot \frac{\sqrt{K_a}}{\sqrt{K_p} - \sqrt{K_a}} \\ &= 4.0 \cdot \frac{\sqrt{1/3}}{\sqrt{3} - \sqrt{1/3}} \\ &= 4.0 \cdot \frac{0.577}{1.732 - 0.577} \\ &= 4.0 \cdot \frac{0.577}{1.155} \\ &\approx 2.0 \, \text{m} \end{aligned} \]

2. Calcul de \(M_{\text{max}}\) :

\[ \begin{aligned} M_{\text{max}} &= \frac{\gamma}{6} \left[ K_p z_0^3 - K_a (H+z_0)^3 \right] \\ &= \frac{18}{6} \left[ 3 \cdot (2.0)^3 - \frac{1}{3} (4.0+2.0)^3 \right] \\ &= 3 \left[ 3 \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 6^3 \right] \\ &= 3 \left[ 24 - \frac{1}{3} \cdot 216 \right] \\ &= 3 [24 - 72] \\ &= -144 \, \text{kN} \cdot \text{m/ml} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant
Mmax=144
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le signe négatif indique le sens de la flexion (la face côté remblai est tendue). La valeur absolue de 144 kN·m par mètre linéaire de mur est une sollicitation très importante. Il faudra choisir un profilé de palplanche en acier avec un module de flexion suffisant pour y résister. Ce moment est l'élément clé pour le dimensionnement structurel de la palplanche elle-même.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est d'utiliser les pressions réduites par le facteur de sécurité pour calculer le moment. Le moment maximal doit être calculé avec les forces réelles (sans sécurité) pour représenter la sollicitation la plus défavorable que le matériau doit supporter.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment maximal dimensionne la résistance de la palplanche.
  • Il se produit à la profondeur où l'effort tranchant est nul.
  • Le calcul se fait en considérant la somme des moments des forces de poussée et de butée.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les palplanches modernes sont souvent des profilés en Z (comme les AZ) ou en U (comme les PU). Leur forme est optimisée pour offrir un grand module de flexion (donc une grande résistance au moment) pour un poids d'acier minimal. Le choix du bon profilé est un compromis entre la sécurité et le coût du projet.

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on vérifier autre chose que le moment ?

Oui. En plus du moment fléchissant, il faut aussi vérifier l'effort tranchant maximal, bien que ce soit rarement le critère dimensionnant pour les palplanches. Il faut également vérifier la flèche (la déformation en tête du mur) pour s'assurer qu'elle reste dans des limites acceptables pour les ouvrages situés derrière le mur.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment fléchissant maximal est de 144 kN·m/ml. C'est cette valeur qui servira à choisir le profilé de palplanche dans un catalogue de fabricant.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la hauteur à retenir H passait à 5.0 m (tous autres paramètres inchangés), quel serait le nouveau moment maximal en kN·m/ml ?

Outil Interactif : Stabilité du Mur

Modifiez les paramètres du sol pour voir leur influence sur la fiche requise et le moment maximal.

Paramètres d'Entrée
4.0 m
30 °
18.0 kN/m³
Résultats Clés
Fiche requise (d) (m) -
Moment Maximal (kN·m/ml) -
Longueur totale palplanche (m) -

Le Saviez-Vous ?

La théorie de la poussée des terres a été initialement développée par l'ingénieur et physicien français Charles-Augustin de Coulomb en 1776. Il cherchait à déterminer la pression exercée par les remblais sur les murs de fortification. Ses travaux, basés sur l'équilibre de "coins" de sol, sont encore à la base de la mécanique des sols moderne.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il s'il y a de l'eau dans le sol ?

La présence d'une nappe phréatique change radicalement les calculs. Il faut utiliser le poids volumique déjaugé du sol sous l'eau et ajouter la pression de l'eau (pression hydrostatique, \(u = \gamma_w \cdot z_w\)) des deux côtés du mur. Cela complique les diagrammes de pression et augmente généralement les efforts sur le mur.

Cette méthode de calcul est-elle toujours utilisée ?

Oui, la méthode de Rankine (ou des méthodes similaires comme celle de Coulomb) reste une approche de base pour le prédimensionnement. Cependant, pour des projets complexes, les ingénieurs utilisent aujourd'hui des logiciels de calcul par éléments finis (comme Plaxis) qui modélisent le comportement du sol et l'interaction sol-structure de manière beaucoup plus détaillée et précise.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si l'angle de frottement du sol (\(\phi'\)) augmente, que se passe-t-il ?

2. Pour un mur en console, la butée passive est une force...

Poussée des terres
Force exercée par un massif de sol sur un ouvrage de soutènement. On distingue la poussée active (état de décompression) de la poussée au repos.
Butée des terres
Résistance maximale qu'un massif de sol peut opposer à un ouvrage qui le comprime. C'est une force stabilisatrice.
Angle de frottement interne (\(\phi'\))
Propriété intrinsèque d'un sol pulvérulent (sable, gravier) qui mesure sa résistance au cisaillement. C'est l'équivalent de l'angle d'un tas de sable en équilibre.
Calcul d’un Mur de Soutènement en Palplanches

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