Torsion dans une Poutre en T
📝 Situation du Projet
Dans le cadre de la rénovation de la grande verrière de la Gare Saint-Lazare, une passerelle de maintenance technique doit être installée. Pour des raisons esthétiques et d'encombrement réduit, l'architecte impose l'utilisation de profilés en Té (T-beam) reconstitués soudés (PRS). Ces poutres, bien que performantes en flexion simple, sont notoirement sensibles aux phénomènes de torsion.
La configuration géométrique de la passerelle induit une charge excentrée : le garde-corps technique est déporté, créant un bras de levier important. Lorsqu'un opérateur de maintenance s'appuie sur ce garde-corps ou y dépose du matériel lourd, un moment de torsion significatif est transmis à la poutre principale en T. Votre bureau d'études structures doit valider la capacité de ce profilé ouvert à reprendre ce moment de torsion sans plastification excessive ni déformation incompatible avec l'usage.
En tant qu'Ingénieur Structure Senior, vous devez vérifier la résistance à la torsion uniforme (Saint-Venant) du profilé en T. Vous calculerez les contraintes de cisaillement maximales et l'angle de rotation unitaire pour valider le dimensionnement vis-à-vis des États Limites (ELU et ELS).
"Attention, les profilés ouverts (I, T, U) ont une très faible inertie de torsion par rapport aux tubes. Vérifie scrupuleusement l'angle de rotation, car c'est souvent le critère limitant avant même la rupture. On négligera la torsion gênée (gauchissement) pour cette première approche (hypothèse de Saint-Venant pure)."
Les paramètres définis ci-dessous constituent le socle technique du projet. Ils sont issus des normes européennes en vigueur (Eurocodes) et des spécifications du cahier des charges (CCTP) de la structure métallique.
📚 Référentiel Normatif Applicable
- Eurocode 3 (EN 1993-1-1) : Calcul des structures en acier. Fournit les critères de résistance (ELU) et les propriétés des matériaux.
- Théorie de Saint-Venant : Modèle de calcul pour la torsion uniforme des poutres prismatiques, applicable ici car les extrémités sont considérées libres de gauchissement dans cette phase d'APD.
Le choix de l'acier s'est porté sur une nuance standard de construction, offrant un bon compromis entre coût et ductilité. La charge de torsion résulte d'une analyse de cas de charge défavorable (opérateur en bout de console).
| ACIER DE CONSTRUCTION S355 | |
| Nuance | S355 (Standard européen structurel) |
| Limite d'élasticité (fy) | 355 MPa (Valeur caractéristique à ne pas dépasser avant plastification) |
| Module de Coulomb (G) | 81 000 MPa (Module de cisaillement transversal, pilote la rigidité en torsion) |
| SOLLICITATION DE CALCUL | |
| Moment de Torsion (T_Ed) | 2.50 kNm (Charge pondérée ELU incluant le poids propre et la surcharge d'exploitation excentrée) |
| Portée de la poutre (L) | 4.00 m (Distance entre appuis, longueur de torsion libre) |
📐 Géométrie du Profilé T (PRS)
Le profilé est un "Profilé Reconstitué Soudé" (PRS), fabriqué en atelier par soudage d'une âme sur une semelle. Cette conception sur-mesure permet d'optimiser le poids mais crée une section "ouverte" très sensible à la torsion.
- Hauteur totale (h): 300 mm (Encombrement vertical)
- Largeur de la semelle (b): 200 mm (Assise supérieure)
- Épaisseur de la semelle (tf): 15 mm (Partie la plus rigide)
- Épaisseur de l'âme (tw): 10 mm (Âme élancée, attention au voilement local)
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Moment de Torsion appliqué | \(T_{\text{Ed}}\) | 2.50 | kNm |
| Limite élastique acier | \(f_{\text{y}}\) | 355 | MPa |
| Module de cisaillement | \(G\) | 81 000 | MPa |
E. Protocole de Résolution
Pour mener à bien cette vérification de stabilité structurelle, nous allons suivre une démarche analytique rigoureuse basée sur la théorie des poutres à parois minces.
Calcul de l'Inertie de Torsion
Détermination de la constante de torsion de Saint-Venant (\(I_{\text{t}}\)) par décomposition du profilé en rectangles élémentaires.
Contrainte de Cisaillement Max
Calcul de la contrainte tangentielle maximale (\(\tau_{\text{max}}\)) et prise en compte de la concentration de contrainte au raccordement.
Angle de Rotation Unitaire
Évaluation de la déformation angulaire de la poutre sous la charge donnée.
Vérification Normative (ELU/ELS)
Comparaison des résultats obtenus avec les critères admissibles de l'Eurocode 3.
Torsion dans une Poutre en T
🎯 Objectif Scientifique
L'objectif fondamental de cette étape est de quantifier la "rigidité géométrique" intrinsèque du profilé vis-à-vis de la sollicitation de torsion pure. Contrairement à l'inertie de flexion quadratique (\(I_{\text{y}}\) ou \(I_{\text{z}}\)) qui dépend de la distribution de la matière par rapport à un axe neutre, la constante de torsion de Saint-Venant (\(I_{\text{t}}\) ou \(J\)) pour un profilé ouvert dépend de la somme des inerties de chaque paroi rectangulaire qui le compose. C'est une caractéristique purement géométrique, indépendante du matériau, qui servira de dénominateur commun à tous les calculs de contrainte et de déformation ultérieurs.
📚 Référentiel Théorique
Face à une section complexe comme un Té, l'approche exacte par résolution des équations différentielles partielles est fastidieuse et inutilement complexe pour un avant-projet. Nous allons utiliser une méthode simplifiée mais robuste : la décomposition de la section en rectangles allongés élémentaires. Pour un profil ouvert, la rigidité totale est approximativement la somme des rigidités de torsion de chaque plaque individuelle. Attention cependant : cette approximation néglige l'effet favorable du nœud de raccordement (l'intersection âme/semelle) qui est plus massif et apporte un surplus de rigidité. Pour être conservatif (sécuritaire), nous accepterons cette légère sous-estimation, ce qui nous placera du côté de la sécurité pour le calcul des déformations.
Il est crucial de comprendre la distinction physique majeure entre un profilé fermé (tube) et un profilé ouvert (I, T, U). Dans un tube, le flux de cisaillement tourne en boucle sur un grand périmètre, offrant une rigidité immense. Dans un profilé ouvert, le flux de cisaillement est contraint de faire des "allers-retours" dans l'épaisseur de chaque paroi. Par conséquent, la rigidité de torsion varie selon le cube de l'épaisseur (\(t^3\)) pour les profils ouverts, contre une variation proportionnelle à la surface enclose pour les tubes. C'est pourquoi les profils ouverts sont intrinsèquement très souples en torsion.
Étape 1 : Données d'Entrée & Décomposition
Nous décomposons le Té en deux rectangles distincts pour l'application de la formule : la semelle horizontale et l'âme verticale.
| Élément | Variable | Longueur (b) [mm] | Épaisseur (t) [mm] |
|---|---|---|---|
| 1. Semelle (Aile) | \(b_{\text{f}}, t_{\text{f}}\) | 200 | 15 |
| 2. Âme | \(h_{\text{w}}, t_{\text{w}}\) | 285 (300 - 15) | 10 |
Attention à ne pas compter deux fois la zone d'intersection ! La hauteur totale du profilé est de 300mm, mais l'épaisseur de la semelle est de 15mm. La longueur du rectangle "Âme" à considérer est donc la hauteur nette sous semelle :
Une erreur ici surestimerait l'inertie.
Étape 2 : Calculs Détaillés
1. Contribution de la Semelle (Aile)
Calculons d'abord l'inertie propre du rectangle supérieur (Semelle). Nous utilisons \(b=200\text{mm}\) et \(t=15\text{mm}\). Le terme prépondérant est le cube de l'épaisseur :
La semelle seule apporte une contribution de \(22.5 \times 10^4 \text{ mm}^4\) à la rigidité totale.
2. Contribution de l'Âme (Partie Verticale)
Calculons maintenant l'inertie du rectangle vertical (Âme). Nous utilisons la hauteur nette \(b=285\text{mm}\) et l'épaisseur \(t=10\text{mm}\). Ici, \(10^3 = 1000\).
L'âme, bien que plus longue géométriquement, est plus fine (\(10\text{mm}\) contre \(15\text{mm}\)). Comme l'épaisseur intervient au cube, sa contribution est nettement plus faible que celle de la semelle.
3. Inertie de Torsion Totale
La constante totale est simplement la somme arithmétique des contributions élémentaires :
C'est cette valeur unique qui caractérisera notre poutre pour la suite.
Nous avons quantifié la capacité géométrique du profilé à résister à la torsion. La valeur obtenue (\(32 \text{ cm}^4\)) est relativement faible. Cela confirme l'intuition physique : sans boucle fermée pour la circulation du flux de cisaillement, la matière est "mal utilisée" pour reprendre la torsion. La majorité de la rigidité (environ 70%) provient de la semelle, soulignant l'importance cruciale de l'épaisseur des parois (\(t\)) par rapport à leur largeur (\(b\)).
Pour comparaison, un profilé fermé de dimensions extérieures similaires (ex: Tube carré 200x200x10) aurait une inertie de torsion de l'ordre de \(5000 \times 10^4 \text{ mm}^4\). Notre résultat est environ 150 fois plus faible ! Cet ordre de grandeur est tout à fait cohérent avec la théorie des sections ouvertes et doit immédiatement alerter l'ingénieur sur les risques de déformation excessive.
Nous n'avons pas appliqué de coefficient correctif pour le raccord (souvent compris entre 1.10 et 1.20 selon les abaques). C'est un choix délibéré et sécuritaire : en sous-estimant légèrement la rigidité, nous surestimerons les déformations et les contraintes calculées, ce qui nous place du côté de la sécurité (approche conservative).
🎯 Objectif Scientifique
L'application d'un couple de torsion engendre des contraintes de cisaillement (tangentielles) dans la section transversale. Pour une section rectangulaire mince, ces contraintes ne sont pas uniformes : elles sont nulles au centre de l'épaisseur et maximales sur les longs bords du rectangle. L'objectif est de calculer cette valeur maximale pour vérifier que l'acier ne plastifie pas (ne subit pas de déformation irréversible), tout en identifiant les zones critiques de concentration de contraintes.
📚 Référentiel Théorique
Dans un profilé ouvert composé de plusieurs parois d'épaisseurs différentes, la contrainte maximale se situe toujours dans la paroi la plus épaisse. Pourquoi ? Parce que pour un même angle de rotation imposé à toute la section, les fibres les plus éloignées du plan médian (donc celles de la paroi la plus épaisse) subissent le plus grand glissement relatif. Ici, c'est donc la semelle (\(t=15\text{mm}\)) qui sera le siège des contraintes maximales, et non l'âme. De plus, nous savons par expérience qu'une concentration de contrainte apparait à la jonction âme-semelle (l'angle rentrant). Nous allons calculer la contrainte nominale sur la surface.
Dans une section mince en torsion libre, les contraintes de cisaillement \(\tau\) varient linéairement à travers l'épaisseur, atteignant leur maximum en surface (position ci-dessous) et s'annulant sur la fibre moyenne.
Elles sont dirigées parallèlement au contour de la section. C'est ce flux de cisaillement qui génère le couple résistant.
Cette formule dérive de l'équilibre local. Pour une section ouverte mince, la contrainte maximale \(\tau_{\text{nom}}\) sur la peau est proportionnelle à l'épaisseur :
Où \(T_{\text{Ed}}\) est le moment de torsion appliqué (en N.mm), \(t\) l'épaisseur de la paroi considérée (en mm), et \(I_{\text{t}}\) l'inertie de torsion (en mm\(^4\)). On voit bien que \(\tau\) est proportionnel à \(t\).
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Moment de Torsion | \(T_{\text{Ed}}\) | 2.50 kNm |
| Épaisseur Semelle | \(t_{\text{f}}\) | 15 mm |
| Épaisseur Âme | \(t_{\text{w}}\) | 10 mm |
| Inertie calculée | \(I_{\text{t}}\) | 320 000 mm\(^4\) |
Le piège classique est l'unité du moment. Il est donné en kNm (kilo-Newton mètre) alors que les dimensions sont en mm et les contraintes attendues en MPa (N/mm²). Il faut impérativement convertir le moment en N.mm avant de diviser. Rappel :
Étape 2 : Calculs Détaillés
1. Conversion du Moment
Nous convertissons la charge pour travailler dans le système homogène Newton-Millimètre. Le préfixe "kilo" apporte un facteur \(10^3\), et le passage de "mètre" à "millimètre" apporte un autre facteur \(10^3\). Le facteur total est donc \(10^6\).
2. Calcul de la Contrainte Max (Semelle)
La contrainte est maximale là où l'épaisseur est la plus grande. Nous utilisons donc \(t = t_{\text{f}} = 15 \text{ mm}\) pour trouver le maximum absolu.
Nous arrondissons cette valeur à une décimale pour l'exploitation : \(117.2 \text{ MPa}\).
La contrainte de cisaillement calculée représente l'effort interne que doit supporter le matériau pour équilibrer le moment de torsion. C'est une contrainte "de surface". Si l'âme avait été choisie pour le calcul (\(t=10\text{mm}\)), nous aurions trouvé une contrainte de \(78 \text{ MPa}\), ce qui aurait été faussement rassurant. C'est bien la paroi la plus épaisse qui est le maillon faible en termes de contrainte.
La limite d'élasticité au cisaillement pur est approximativement :
Pour un acier S355, cela donne une résistance limite d'environ \(205 \text{ MPa}\). Notre valeur de \(117 \text{ MPa}\) est nettement inférieure à cette limite. À ce stade, la section semble capable de résister mécaniquement sans casser.
Attention : ce calcul ne prend pas en compte la concentration de contrainte au raccord âme-semelle. Si le rayon de congé est faible, la contrainte locale peut doubler ! Dans un calcul d'exécution final, il faudrait appliquer un coefficient de concentration \(k\) (déterminé par abaques ou éléments finis) pour vérifier la fatigue, surtout si la charge est cyclique.
🎯 Objectif Scientifique
Au-delà de la résistance pure (ne pas casser), une structure doit respecter des critères de rigidité (ne pas trop se déformer). Une poutre de passerelle qui vrille excessivement sous les pas des piétons créerait un sentiment d'insécurité inacceptable et pourrait endommager les éléments non structuraux (garde-corps, vitrages). Nous cherchons ici à calculer l'angle de torsion par unité de longueur, puis la rotation totale en bout de poutre.
📚 Référentiel Théorique
C'est souvent ici que le bât blesse pour les sections ouvertes. La formule de la déformation relie directement le moment appliqué à la rigidité de torsion \(G \cdot I_{\text{t}}\). Le module \(G\) est une constante du matériau (acier), on ne peut pas le changer. La seule variable géométrique est \(I_{\text{t}}\). Comme nous avons vu que \(I_{\text{t}}\) est très faible pour un profilé en T, nous devons nous attendre à un angle de rotation \(\theta\) très élevé. Nous calculerons d'abord la rotation par millimètre (valeur brute), puis nous la convertirons en degrés par mètre pour qu'elle soit intelligible.
En torsion uniforme, il existe une relation linéaire directe entre le moment appliqué \(T\) et la vitesse de rotation \(\theta\) (dérivée de l'angle de rotation par rapport à la position longitudinale \(x\)). Cette relation est analogue à la loi de la flexion (\(M = E \cdot I \cdot \kappa\)). En torsion pure, nous avons la relation fondamentale :
Plus le produit \(G \cdot I_{\text{t}}\) (rigidité torsionnelle) est grand, plus la poutre est rigide et s'oppose à la rotation.
L'angle de torsion unitaire \(\theta\) (en rad/mm) est obtenu en inversant la relation précédente :
La rotation totale \(\phi\) en extrémité de poutre libre (longueur \(L\)) est obtenue par intégration de la rotation unitaire sur la longueur :
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Moment de Torsion | \(T_{\text{Ed}}\) | \(2.50 \times 10^6\) N.mm |
| Module de Coulomb | \(G\) | 81 000 MPa |
| Inertie de Torsion | \(I_{\text{t}}\) | 320 000 mm\(^4\) |
| Longueur Poutre | \(L\) | 4 000 mm |
Les formules physiques sortent toujours des angles en radians. Ne convertissez en degrés qu'à la toute fin pour l'affichage. Calculer avec des degrés dans les formules intermédiaires conduirait à des résultats aberrants.
Étape 2 : Calculs Détaillés
1. Calcul de l'angle unitaire (\(\theta\))
Calculons d'abord la rotation par millimètre de poutre. Nous divisons le moment par la rigidité torsionnelle \(G \cdot I_{\text{t}}\).
2. Conversion en unités parlantes
Pour visualiser le résultat, convertissons en degrés par mètre. On multiplie par 1000 (mm -> m) puis par \(180/\pi\) (rad -> deg).
La poutre tourne de plus de 5 degrés pour chaque mètre de longueur !
3. Rotation Totale en extrémité (\(\phi\))
Sur une portée de 4 mètres, l'accumulation est linéaire :
Une rotation de plus de 22 degrés est visuellement énorme. Pour vous donner une image, c'est l'angle d'une part de pizza standard découpée en 16. Sur une passerelle, cela signifie que le plancher s'incline dangereusement, rendant la marche impossible et générant des efforts parasites monstrueux dans les assemblages d'extrémité.
Ce résultat n'est pas une erreur de calcul, mais une conséquence physique directe de la géométrie "ouverte" du profilé. Un tube carré de poids équivalent aurait tourné de moins de 0.5°. Le rapport de 1 à 40 entre les deux solutions illustre pourquoi les poutres en I ou en T ne sont jamais utilisées pour reprendre de la torsion pure.
Nous avons supposé une torsion "libre" (Saint-Venant). En réalité, les appuis empêchent partiellement le gauchissement (la section qui veut se voiler). Cela induit une "torsion gênée" qui rigidifie un peu la poutre, mais génère des contraintes normales longitudinales supplémentaires. Même avec cet effet favorable, l'ordre de grandeur de la rotation resterait inacceptable.
🎯 Objectif
Il s'agit de conclure formellement sur la validité du dimensionnement. L'ingénieur doit prononcer un "GO / NO-GO" en comparant les valeurs calculées (S : Sollicitations) aux seuils réglementaires (R : Résistances) définis par l'Eurocode. Cette étape synthétise l'aspect sécurité (ELU) et l'aspect fonctionnalité (ELS).
📚 Référentiel Normatif
Nous avons deux critères distincts à valider, et le dimensionnement est piloté par le plus défavorable des deux :
1. ELU (État Limite Ultime) : La structure ne doit pas rompre. Nous comparerons la contrainte de cisaillement \(\tau_{\text{max}}\) à la résistance de l'acier au cisaillement \(\tau_{\text{Rd}}\).
2. ELS (État Limite de Service) : La structure doit rester fonctionnelle. Pour une passerelle, une rotation excessive est un critère rédhibitoire. Nous comparerons \(\phi_{\text{tot}}\) à une limite usuelle de confort (souvent 1° ou 2°).
En l'absence de contrainte normale (\(\sigma = 0\)), le critère de Von Mises se simplifie. Le critère général :
Devient en cisaillement pur :
Cela signifie que la contrainte de cisaillement pure limite est \(f_{\text{y}}\) divisé par racine de 3.
Résistance plastique au cisaillement :
Ratio de vérification (doit être \(\le 1.0\)) :
Étape 1 : Données d'Entrée Finales
| Paramètre | Valeur Calculée | Limite Normative |
|---|---|---|
| Contrainte \(\tau_{\text{max}}\) | 117.2 MPa | \(f_{\text{y}}/\sqrt{3}\) |
| Rotation \(\phi_{\text{tot}}\) | 22.1 ° | \(2.0^\circ\) (Critère projet) |
Toujours vérifier les deux états limites. Un profil peut très bien être assez solide (ELU OK) mais trop souple (ELS KO), ou l'inverse. Ici, la disparité entre les deux résultats est flagrante.
Étape 2 : Calculs de Vérification
1. Vérification ELU (Résistance)
Calcul de la limite de rupture au cisaillement. On divise la limite élastique \(f_{\text{y}}=355\) par \(\sqrt{3} \approx 1.732\) :
Calcul du taux de travail (Ratio) :
Conclusion ELU : La section résiste mécaniquement (\(\text{OK à } 57\%\)). Elle ne va pas rompre sous la charge.
2. Vérification ELS (Déformation)
Comparaison directe de l'angle calculé avec la limite de service :
Conclusion ELS : La déformation dépasse de plus de 1000% la tolérance admissible. C'est un échec critique.
Ce cas d'étude est un exemple d'école parfait pour illustrer le concept de "dimensionnement par la rigidité". Si l'on s'était contenté de vérifier la contrainte (ELU), on aurait validé la poutre, ce qui aurait conduit à une catastrophe fonctionnelle sur le chantier (poutre vrillée, garde-corps inutilisable). L'ELS est ici le critère prépondérant.
Le ratio ELS (11.05) est tellement élevé qu'il n'est pas rattrapable par un simple épaississement des parois (il faudrait des épaisseurs aberrantes). Cela indique que la typologie même du profilé (section ouverte) est inadaptée à la sollicitation (torsion).
Ne jamais dimensionner un profilé ouvert en torsion uniquement sur la contrainte ! La déformation est presque toujours le critère dimensionnant. La solution n'est pas d'optimiser le Té, mais de changer radicalement de stratégie structurelle.
📄 Livrable Final (Note de Calculs EXE)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 03/02/2026 | Vérification préliminaire Torsion St-Venant | Ing. Structure |
- Eurocode 3 : Calcul des structures en acier (EN 1993-1-1)
- Hypothèse de Saint-Venant (Torsion uniforme)
| Moment Torsion (T_Ed) | 2.50 kNm |
| Nuance Acier | S355 |
| Inertie Torsion (It) | 32.0 cm4 |
Vérification de la contrainte tangentielle et de la déformation angulaire.
L'Expert
Prof. Génie Civil
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