Études de cas pratique

EGC

Torsion dans une Poutre en T

Calcul de Torsion dans une Poutre en T

Calcul de Torsion dans une Poutre en T

Comprendre la Torsion dans les Poutres

La torsion se produit lorsqu'un couple (ou moment de torsion) est appliqué à un élément structural, tendant à le tordre autour de son axe longitudinal. Ce phénomène induit des contraintes de cisaillement dans la section transversale de l'élément et un angle de rotation (angle de torsion). Pour les sections circulaires, l'analyse est relativement simple. Cependant, pour les sections non circulaires, comme les poutres en T, la distribution des contraintes de cisaillement et le calcul du moment d'inertie de torsion (ou constante de torsion) sont plus complexes. Cet exercice se concentrera sur une approche simplifiée pour une poutre en T.

Données de l'étude

Une poutre en acier de section en T est encastrée à une extrémité et soumise à un couple de torsion à son extrémité libre. La poutre a une longueur \(L = 2.0 \, \text{m}\).

Dimensions de la section en T :

  • Largeur du patin (semelle supérieure) (\(b_f\)) : \(100 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur du patin (\(t_f\)) : \(10 \, \text{mm}\)
  • Hauteur de l'âme (partie verticale) (\(h_w\)) : \(90 \, \text{mm}\) (Hauteur totale \(H = t_f + h_w = 100 \, \text{mm}\))
  • Épaisseur de l'âme (\(t_w\)) : \(10 \, \text{mm}\)

Sollicitation et propriétés du matériau :

  • Couple de torsion appliqué (\(T\)) : \(500 \, \text{N.m}\)
  • Module de cisaillement de l'acier (\(G\)) : \(80 \, \text{GPa}\)
Schéma : Poutre en T Soumise à un Couple de Torsion
Encastrement T bf=100 tf=10 H=100 tw=10 L = 2.0 m

Poutre en T encastrée et soumise à un couple de torsion.

Questions à traiter

  1. Décomposer la section en T en deux rectangles principaux (patin et âme).
  2. Calculer une valeur approchée du moment d'inertie de torsion (\(J_{approx}\)) pour la section en T en utilisant la formule \(J \approx \sum \frac{1}{3} b_i t_i^3\) pour chaque rectangle composant (où \(b_i\) est la grande dimension et \(t_i\) la petite dimension de chaque rectangle).
  3. Calculer la contrainte de cisaillement maximale approximative (\(\tau_{max}\)) dans la poutre, en considérant qu'elle se produit dans la partie la plus épaisse ou la plus sollicitée (\(\tau_{max} \approx \frac{T \cdot t}{J_{approx}}\), où \(t\) est l'épaisseur du composant). Discuter brièvement où cette contrainte maximale est susceptible de se produire.
  4. Calculer l'angle de torsion total (\(\theta\)) de l'extrémité libre de la poutre par rapport à l'encastrement. Exprimer le résultat en radians et en degrés.

Correction : Calcul de Torsion dans une Poutre en T

Question 1 : Décomposition de la Section en T

Principe :

Pour simplifier l'analyse de la torsion des sections non circulaires comme une section en T, on la décompose souvent en rectangles simples. Ici, nous avons un rectangle pour le patin (semelle) et un rectangle pour l'âme (partie verticale).

Décomposition :
  • Rectangle 1 (Patin) :
    • Grande dimension (\(b_1\)) : \(b_f = 100 \, \text{mm}\)
    • Petite dimension (épaisseur) (\(t_1\)) : \(t_f = 10 \, \text{mm}\)
  • Rectangle 2 (Âme) :
    • Grande dimension (\(b_2\)) : \(h_w = 90 \, \text{mm}\)
    • Petite dimension (épaisseur) (\(t_2\)) : \(t_w = 10 \, \text{mm}\)
Résultat Question 1 : La section est décomposée en un patin de \(100 \text{ mm} \times 10 \text{ mm}\) et une âme de \(90 \text{ mm} \times 10 \text{ mm}\).

Question 2 : Moment d'Inertie de Torsion Approximatif (\(J_{approx}\))

Principe :

Pour les sections ouvertes composées de rectangles minces, une approximation courante du moment d'inertie de torsion \(J\) est la somme des moments d'inertie de torsion de chaque rectangle composant, calculés par \(J_i \approx \frac{1}{3} b_i t_i^3\), où \(b_i\) est la longueur et \(t_i\) l'épaisseur (la plus petite dimension) du rectangle \(i\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ J_{approx} = \sum_{i} \frac{1}{3} b_i t_i^3 \]
Calcul :

Pour le patin (Rectangle 1) : \(b_1 = 100 \, \text{mm}\), \(t_1 = 10 \, \text{mm}\)

\[ J_1 = \frac{1}{3} (100 \, \text{mm}) (10 \, \text{mm})^3 = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 1000 = \frac{100000}{3} \approx 33333.33 \, \text{mm}^4 \]

Pour l'âme (Rectangle 2) : \(b_2 = 90 \, \text{mm}\), \(t_2 = 10 \, \text{mm}\)

\[ J_2 = \frac{1}{3} (90 \, \text{mm}) (10 \, \text{mm})^3 = \frac{1}{3} \cdot 90 \cdot 1000 = 30 \cdot 1000 = 30000 \, \text{mm}^4 \]

Moment d'inertie de torsion total approximatif :

\[ \begin{aligned} J_{approx} &= J_1 + J_2 \\ &= 33333.33 \, \text{mm}^4 + 30000 \, \text{mm}^4 \\ &= 63333.33 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]

Conversion en m\(^4\) : \(J_{approx} = 63333.33 \, \text{mm}^4 \cdot (10^{-3} \, \text{m/mm})^4 = 63333.33 \times 10^{-12} \, \text{m}^4 \approx 6.333 \times 10^{-8} \, \text{m}^4\).

Résultat Question 2 : Le moment d'inertie de torsion approximatif est \(J_{approx} \approx 63333.33 \, \text{mm}^4\) (ou \(6.333 \times 10^{-8} \, \text{m}^4\)).

Question 3 : Contrainte de Cisaillement Maximale Approximative (\(\tau_{max}\))

Principe :

Pour une section ouverte composée de rectangles minces, la contrainte de cisaillement maximale due à la torsion se produit généralement sur la surface, au milieu de la plus longue dimension du rectangle le plus épais. La formule approximative est \(\tau_{max} \approx \frac{T \cdot t}{J_{approx}}\), où \(t\) est l'épaisseur du rectangle où la contrainte est maximale.

Dans notre cas, le patin et l'âme ont la même épaisseur (\(t_f = t_w = 10 \, \text{mm}\)). La contrainte maximale se produira donc au milieu de la plus longue des "longues dimensions" des rectangles, c'est-à-dire au milieu de la largeur du patin (\(b_f = 100 \, \text{mm}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau_{max} \approx \frac{T \cdot t_{max\_component}}{J_{approx}} \]

Ici, \(t_{max\_component}\) sera l'épaisseur commune \(t = 10 \, \text{mm}\).

Données spécifiques (unités N, mm, MPa) :
  • Couple de torsion (\(T\)) : \(500 \, \text{N.m} = 500 \times 10^3 \, \text{N.mm}\)
  • Épaisseur (\(t\)) : \(10 \, \text{mm}\) (pour le patin et l'âme)
  • \(J_{approx} \approx 63333.33 \, \text{mm}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau_{max} &\approx \frac{(500 \times 10^3 \, \text{N.mm}) \cdot (10 \, \text{mm})}{63333.33 \, \text{mm}^4} \\ &= \frac{5000000}{63333.33} \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 78.947 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Cette contrainte maximale se produirait approximativement au milieu de la largeur du patin (sur les faces supérieure et inférieure) et au milieu de la hauteur de l'âme (sur les faces latérales).

Résultat Question 3 : La contrainte de cisaillement maximale approximative est \(\tau_{max} \approx 78.95 \, \text{MPa}\). Elle se situe sur les surfaces extérieures, au milieu des côtés les plus longs des rectangles composants (patin et âme).

Question 4 : Angle de Torsion Total (\(\theta\))

Principe :

L'angle de torsion (\(\theta\)) d'un arbre de longueur \(L\) soumis à un couple de torsion \(T\), ayant un module de cisaillement \(G\) et un moment d'inertie de torsion \(J\), est donné par la formule :

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \theta = \frac{T \cdot L}{G \cdot J_{approx}} \]
Données spécifiques (unités N, m, Pa) :
  • Couple de torsion (\(T\)) : \(500 \, \text{N.m}\)
  • Longueur (\(L\)) : \(2.0 \, \text{m}\)
  • Module de cisaillement (\(G\)) : \(80 \, \text{GPa} = 80 \times 10^9 \, \text{N/m}^2\)
  • \(J_{approx} \approx 6.333 \times 10^{-8} \, \text{m}^4\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \theta &= \frac{500 \, \text{N.m} \cdot 2.0 \, \text{m}}{(80 \times 10^9 \, \text{N/m}^2) \cdot (6.333 \times 10^{-8} \, \text{m}^4)} \\ &= \frac{1000}{80 \cdot 6.333 \times 10^{9-8}} \, \text{rad} \\ &= \frac{1000}{80 \cdot 6.333 \cdot 10} \, \text{rad} \\ &= \frac{1000}{5066.4} \, \text{rad} \\ &\approx 0.19738 \, \text{rad} \end{aligned} \]

Conversion en degrés : \(\theta_{deg} = \theta_{rad} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\)

\[ \begin{aligned} \theta_{deg} &= 0.19738 \cdot \frac{180}{\pi} \\ &\approx 0.19738 \cdot 57.2958 \\ &\approx 11.308^\circ \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'angle de torsion total est \(\theta \approx 0.197 \, \text{rad}\), soit environ \(11.31^\circ\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si le module de cisaillement G du matériau augmente, l'angle de torsion \(\theta\) (pour T, L, J constants) :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La torsion dans une poutre induit principalement des contraintes de :

2. Le moment d'inertie de torsion (\(J\)) pour une section non circulaire est :

3. L'angle de torsion est inversement proportionnel à :

Glossaire

Torsion
Sollicitation d'un corps soumis à un couple de forces qui tend à le tordre autour de son axe longitudinal.
Couple de Torsion (\(T\))
Moment appliqué qui provoque la torsion. Unité : Newton-mètre (N.m).
Contrainte de Cisaillement (\(\tau\))
Contrainte interne qui se développe tangentiellement à la section transversale d'un corps soumis à la torsion. Unité : Pascals (Pa) ou multiples.
Module de Cisaillement (\(G\))
Aussi appelé module de rigidité ou module de Coulomb. C'est une mesure de la résistance d'un matériau à la déformation par cisaillement. Unité : Pascals (Pa) ou multiples.
Moment d'Inertie de Torsion (\(J\))
Propriété géométrique d'une section transversale qui caractérise sa résistance à la torsion. Pour les sections non circulaires, son calcul est complexe et différent du moment d'inertie polaire. Unité : m\(^4\) ou mm\(^4\).
Angle de Torsion (\(\theta\))
Angle de rotation d'une section transversale par rapport à une autre (ou par rapport à un encastrement) sous l'effet d'un couple de torsion. Unité : radians (rad) ou degrés (°).
Calcul de Torsion dans une Poutre en T - Exercice d'Application

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