Planification d’une exploitation à ciel ouvert

Correction : Planification d’une exploitation à ciel ouvert

1. Calcul de la géométrie de la mine

1.1 Détermination de la profondeur maximale exploitable

Imaginez une pente très raide, comme un toboggan, où l’on descend dans la terre. Pour que cette pente soit sûre, on choisit un angle de \(45°\), ce qui veut dire que si on descend de \(1\) mètre vers le bas, on doit reculer de \(1\) mètre vers l’arrière pour ne pas tomber. Ici, notre mine mesure \(200\) m de large. Pour faire deux pentes (une de chaque côté), chaque pente peut être longue de \(100\) m. Cela définit la profondeur maximale à laquelle on peut creuser sans que les parois ne s’effondrent.

Formule générale :
\[ \text{profondeur}_{\max} = \frac{\text{largeur totale}}{2} \]

Données :
• Largeur totale de la mine : \(200\,\mathrm{m}\)
• Angle de talus (pente) : \(45°\) → \(\tan 45° = 1\)

Application numérique :
\[ \text{profondeur}_{\max} = \frac{200\,\mathrm{m}}{2} \] \[ \text{profondeur}_{\max} = 100\,\mathrm{m} \]

Conclusion : La mine peut atteindre \(100\,\mathrm{m}\) de profondeur sans risquer un éboulement.

1.2 Calcul du volume total de minerai et de stérile

- Minerai : c’est le matériau qui contient du cuivre, qu’on veut extraire et vendre.
- Stérile : c’est la roche inutile qu’il faut enlever pour accéder au minerai.

On peut représenter la zone à extraire comme une boîte (un prisme) de \(200\times400\times100\) m (largeur×longueur×profondeur). Le volume de cette boîte correspond au volume de minerai. Ensuite, pour chaque tonne de minerai, il y a \(2\) tonnes de stérile selon le rapport \(2:1\). La densité nous permet de passer du volume (m³) à la masse (tonnes), en sachant qu’1 m³ de minerai pèse \(2,5\) t.

Formules :
\[ V_{\text{minerai}} = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{profondeur} \]
\[ M_{\text{minerai}} = V_{\text{minerai}} \times \rho \]
\[ M_{\text{stérile}} = 2 \times M_{\text{minerai}} \]
\[ V_{\text{stérile}} = \frac{M_{\text{stérile}}}{\rho} \]

Données :
• Longueur : \(400\,\mathrm{m}\)
• Largeur : \(200\,\mathrm{m}\)
• Profondeur : \(100\,\mathrm{m}\)
• Densité \(\rho\) : \(2,5\,\mathrm{t/m}^3\)
• Rapport stérile/minerai : \(2:1\)

Calculs :
1. Calcul du volume de minerai :
\[ V_{\text{minerai}} = 400 \times 200 \times 100 \] \[ V_{\text{minerai}} = 8\,000\,000\ \mathrm{m}^3 \]
2. Calcul de la masse de minerai :
\[ M_{\text{minerai}} = 8\,000\,000 \times 2,5 \] \[ M_{\text{minerai}} = 20\,000\,000\ \mathrm{t} \]
3. Calcul de la masse de stérile :
\[ M_{\text{stérile}} = 2 \times 20\,000\,000 \] \[ M_{\text{stérile}} = 40\,000\,000\ \mathrm{t} \]
4. Calcul du volume de stérile :
\[ V_{\text{stérile}} = \frac{40\,000\,000}{2,5} \] \[ V_{\text{stérile}} = 16\,000\,000\ \mathrm{m}^3 \]

Conclusions :
• Volume de minerai : \(8\,000\,000\,\mathrm{m}^3\)
• Volume de stérile : \(16\,000\,000\,\mathrm{m}^3\)

2. Évaluation économique

2.1 Estimation du revenu total

Pour calculer le revenu, on multiplie la quantité de minerai (en tonnes) par le prix de vente du cuivre par tonne. C’est comme si vous achetiez des pommes : si vous avez 20 sacs de 1 kg chacun et que chaque kg coûte 6 €, votre recette est 20 × 6 = 120 €. Ici, on remplace 20 kg par 20 000 000 t et 6 € par 6 000 USD.

Formule :
\[ \text{Revenu} = M_{\text{minerai}} \times P_{\text{Cu}} \]

Données :
• Masse de minerai : \(20\,000\,000\,\mathrm{t}\)
• Prix du cuivre : \(6\,000\,\mathrm{USD/t}\)

Calcul du revenu total :
\[ \text{Revenu} = 20\,000\,000 \times 6\,000 \] \[ \text{Revenu} = 120\,000\,000\,000\ \mathrm{USD} \]

Résultat : \(120\,000\,000\,000\,\mathrm{USD}\)

2.2 Calcul du coût total

Trois types de coûts sont à prévoir :
1. Extraire le minerai de la terre.
2. Traiter le minerai pour en extraire le cuivre pur.
3. Gérer (déplacer et stocker) la roche stérile.
Chacun se calcule en multipliant la quantité concernée par le coût unitaire (coût par tonne).

Formules :
\[ C_{\text{ext}} = M_{\text{minerai}} \times C_{\text{ext/t}} \]
\[ C_{\text{trait}} = M_{\text{minerai}} \times C_{\text{trait/t}} \]
\[ C_{\text{stérile}} = M_{\text{stérile}} \times C_{\text{stérile/t}} \]
\[ C_{\text{total}} = C_{\text{ext}} + C_{\text{trait}} + C_{\text{stérile}} \]

Données :
• Minerai : \(20\,000\,000\,\mathrm{t}\)
• Stérile : \(40\,000\,000\,\mathrm{t}\)
• Extraction : \(20\,\mathrm{USD/t}\)
• Traitement : \(15\,\mathrm{USD/t}\)
• Gestion stérile : \(5\,\mathrm{USD/t}\)

Calculs :
1. Calcul du coût d’extraction :
\[ C_{\text{ext}} = 20\,000\,000 \times 20 \] \[ C_{\text{ext}} = 400\,000\,000\,\mathrm{USD} \]
2. Calcul du coût de traitement :
\[ C_{\text{trait}} = 20\,000\,000 \times 15 \] \[ C_{\text{trait}} = 300\,000\,000\,\mathrm{USD} \]
3. Calcul du coût de gestion des stériles :
\[ C_{\text{stérile}} = 40\,000\,000 \times 5 \] \[ C_{\text{stérile}} = 200\,000\,000\,\mathrm{USD} \]
4. Calcul du coût total :
\[ C_{\text{total}} = 400\,000\,000 + 300\,000\,000 + 200\,000\,000 \] \[ C_{\text{total}} = 900\,000\,000\,\mathrm{USD} \]

Résultat : \(900\,000\,000\,\mathrm{USD}\)

2.3 Calcul de la rentabilité

La rentabilité, ou le profit, est ce qu’il reste quand on soustrait tous les coûts du revenu total. C’est comme votre argent de poche : si vous gagnez 50 € et dépensez 20 €, il vous reste 30 €.

Formule :
\[ \text{Profit} = \text{Revenu} - C_{\text{total}} \]

Données :
• Revenu : \(120\,000\,000\,000\,\mathrm{USD}\)
• Coût total : \(900\,000\,000\,\mathrm{USD}\)

Calcul du profit :
\[ \text{Profit} = 120\,000\,000\,000 - 900\,000\,000 \] \[ \text{Profit} = 119\,100\,000\,000\,\mathrm{USD} \]

Résultat : \(119\,100\,000\,000\,\mathrm{USD}\)

Résumé des résultats

• Profondeur exploitable : \(100\,\mathrm{m}\)
• Volume minerai : \(8\,000\,000\,\mathrm{m}^3\)
• Volume stérile : \(16\,000\,000\,\mathrm{m}^3\)
• Revenu total : \(120\,000\,000\,000\,\mathrm{USD}\)
• Coût total : \(900\,000\,000\,\mathrm{USD}\)
• Profit : \(119\,100\,000\,000\,\mathrm{USD}\)

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