Études de cas pratique

EGC

Méthode des Trois Moments pour Poutre Continue

Calcul de Poutre Continue par la Méthode des Trois Moments

Comprendre la Méthode des Trois Moments

La méthode des trois moments (ou équation de Clapeyron) est une technique classique en Résistance des Matériaux pour analyser les poutres continues (poutres reposant sur plus de deux appuis). Elle permet de déterminer les moments fléchissants sur les appuis intermédiaires, qui sont hyperstatiques. Une fois ces moments connus, on peut calculer les réactions d'appui et tracer les diagrammes des efforts internes (effort tranchant et moment fléchissant).

Données

Considérons une poutre continue sur trois appuis simples (A, B, C) de deux travées. La poutre a une rigidité flexionnelle \(EI\) constante.

  • Géométrie et Appuis :
    • Travée 1 (AB) : Longueur \(L_1 = 5 \, \text{m}\)
    • Travée 2 (BC) : Longueur \(L_2 = 4 \, \text{m}\)
    • Appuis A, B, C : Appuis simples (permettent la rotation)
  • Charges Appliquées :
    • Travée 1 (AB) : Charge uniformément répartie \(q_1 = 10 \, \text{kN/m}\)
    • Travée 2 (BC) : Charge ponctuelle \(F = 20 \, \text{kN}\) appliquée au milieu de la travée (\(L_2/2 = 2 \, \text{m}\) de B).
  • Propriétés :
    • Rigidité flexionnelle \(EI\) : Constante
Schéma de la Poutre Continue
A RA B RB C RC q1 = 10 kN/m F=20kN L1 = 5 m L2 = 4 m 2 m

Questions

  1. Appliquer l'équation des trois moments aux appuis A, B et C pour déterminer le moment fléchissant sur l'appui intermédiaire B (\(M_B\)).
  2. Calculer les réactions d'appui verticales en A, B et C (\(R_A, R_B, R_C\)).
  3. Calculer le moment fléchissant maximal dans la première travée (AB).

Correction : Calcul de Poutre Continue par la Méthode des Trois Moments

Question 1 : Calcul du Moment sur Appui Intermédiaire (\(M_B\))

Équation des Trois Moments (Clapeyron) :

Pour deux travées adjacentes i et i+1 (appuis i-1, i, i+1), l'équation s'écrit (avec EI constant) :

\[ M_{i-1} L_i + 2 M_i (L_i + L_{i+1}) + M_{i+1} L_{i+1} = -6 \left( \frac{\Omega_i \bar{x}_i}{L_i} + \frac{\Omega_{i+1} \bar{x}'_{i+1}}{L_{i+1}} \right) \]

Où :

  • \(M_{i-1}, M_i, M_{i+1}\) sont les moments aux appuis i-1, i, et i+1.
  • \(L_i, L_{i+1}\) sont les longueurs des travées i et i+1.
  • \(\Omega_i\) est l'aire du diagramme des moments fléchissants de la travée i considérée comme isostatique (simplement appuyée).
  • \(\bar{x}_i\) est la distance du centre de gravité de \(\Omega_i\) à l'appui gauche (i-1).
  • \(\bar{x}'_{i+1}\) est la distance du centre de gravité de \(\Omega_{i+1}\) à l'appui droit (i+1).

Dans notre cas, on applique l'équation aux appuis A, B, C (i=1). Les appuis A et C sont des appuis simples d'extrémité, donc \(M_A = 0\) et \(M_C = 0\).

\[ M_A L_1 + 2 M_B (L_1 + L_2) + M_C L_2 = -6 \left( \frac{\Omega_1 \bar{x}_1}{L_1} + \frac{\Omega_2 \bar{x}'_2}{L_2} \right) \]
\[ 0 \times L_1 + 2 M_B (L_1 + L_2) + 0 \times L_2 = -6 \left( \frac{\Omega_1 \bar{x}_1}{L_1} + \frac{\Omega_2 \bar{x}'_2}{L_2} \right) \]
\[ 2 M_B (L_1 + L_2) = -6 \left( \frac{\Omega_1 \bar{x}_1}{L_1} + \frac{\Omega_2 \bar{x}'_2}{L_2} \right) \]
Calcul des termes de charge (\(\Omega \bar{x} / L\)) :

Travée 1 (AB) : Charge répartie \(q_1 = 10 \, \text{kN/m}\), \(L_1 = 5 \, \text{m}\). Le diagramme isostatique est une parabole d'aire \(\Omega_1 = \frac{2}{3} L_1 (\frac{q_1 L_1^2}{8})\) et \(\bar{x}_1 = L_1/2\).

\[ \frac{\Omega_1 \bar{x}_1}{L_1} = \frac{(\frac{2}{3} L_1 \frac{q_1 L_1^2}{8}) (L_1/2)}{L_1} = \frac{q_1 L_1^3}{24} \] \[ \frac{\Omega_1 \bar{x}_1}{L_1} = \frac{10 \times 5^3}{24} = \frac{1250}{24} \approx 52.08 \, \text{kN} \cdot \text{m}^2 \]

Travée 2 (BC) : Charge ponctuelle \(F = 20 \, \text{kN}\) au milieu (\(a=b=L_2/2=2\,\text{m}\)), \(L_2 = 4 \, \text{m}\). Le diagramme isostatique est un triangle d'aire \(\Omega_2 = \frac{1}{2} L_2 (\frac{F L_2}{4})\) et \(\bar{x}'_2 = L_2/2\).

\[ \frac{\Omega_2 \bar{x}'_2}{L_2} = \frac{(\frac{1}{2} L_2 \frac{F L_2}{4}) (L_2/2)}{L_2} = \frac{F L_2^2}{16} \] \[ \frac{\Omega_2 \bar{x}'_2}{L_2} = \frac{20 \times 4^2}{16} = \frac{20 \times 16}{16} = 20 \, \text{kN} \cdot \text{m}^2 \]
Calcul de \(M_B\) :
\[ 2 M_B (5 + 4) = -6 (52.08 + 20) \] \[ 2 M_B \times 9 = -6 \times 72.08 \] \[ 18 M_B = -432.48 \] \[ M_B = \frac{-432.48}{18} \approx -24.03 \, \text{kN} \cdot \text{m} \]
Résultat Question 1 : Le moment fléchissant sur l'appui intermédiaire B est \(M_B \approx -24.0 \, \text{kN} \cdot \text{m}\). (Le signe négatif indique une traction en fibre supérieure, ce qui est typique sur un appui intermédiaire).

Question 2 : Calcul des Réactions d'Appui (\(R_A, R_B, R_C\))

Principe :

On isole chaque travée comme une poutre sur deux appuis, soumise aux charges externes et aux moments d'appui (calculés précédemment). On applique ensuite les équations d'équilibre à chaque travée.

Travée 1 (AB) :

Charges : \(q_1 = 10 \, \text{kN/m}\). Moments aux appuis : \(M_A = 0\), \(M_B = -24.0 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

Somme des moments par rapport à B :

\[ \sum M_{/B} = 0 \Rightarrow (R_A \times L_1) - (q_1 \times L_1 \times \frac{L_1}{2}) + M_B - M_A = 0 \] \[ (R_A \times 5) - (10 \times 5 \times 2.5) - 24.0 - 0 = 0 \] \[ 5 R_A - 125 - 24 = 0 \] \[ 5 R_A = 149 \] \[ R_A = \frac{149}{5} = 29.8 \, \text{kN} \]

On calcule \(R_{B1}\) (part de la réaction en B venant de la travée 1) par \(\sum F_y = 0\) sur la travée AB :

\[ R_A + R_{B1} - (q_1 \times L_1) = 0 \] \[ 29.8 + R_{B1} - (10 \times 5) = 0 \] \[ R_{B1} = 50 - 29.8 = 20.2 \, \text{kN} \]
Travée 2 (BC) :

Charges : \(F = 20 \, \text{kN}\) à \(L_2/2 = 2 \, \text{m}\). Moments aux appuis : \(M_B = -24.0 \, \text{kN} \cdot \text{m}\), \(M_C = 0\).

Somme des moments par rapport à B :

\[ \sum M_{/B} = 0 \Rightarrow (R_C \times L_2) - (F \times \frac{L_2}{2}) + M_C - M_B = 0 \] \[ (R_C \times 4) - (20 \times 2) + 0 - (-24.0) = 0 \] \[ 4 R_C - 40 + 24 = 0 \] \[ 4 R_C = 16 \] \[ R_C = \frac{16}{4} = 4.0 \, \text{kN} \]

On calcule \(R_{B2}\) (part de la réaction en B venant de la travée 2) par \(\sum F_y = 0\) sur la travée BC :

\[ R_{B2} + R_C - F = 0 \] \[ R_{B2} + 4.0 - 20 = 0 \] \[ R_{B2} = 20 - 4.0 = 16.0 \, \text{kN} \]
Réaction Totale en B :
\[ R_B = R_{B1} + R_{B2} \] \[ R_B = 20.2 + 16.0 \] \[ R_B = 36.2 \, \text{kN} \]
Résultat Question 2 : Les réactions d'appui verticales sont :
  • \(R_A = 29.8 \, \text{kN}\)
  • \(R_B = 36.2 \, \text{kN}\)
  • \(R_C = 4.0 \, \text{kN}\)

Vérification globale \(\sum F_y = R_A+R_B+R_C - (q_1 L_1) - F \)\(= 29.8 + 36.2 + 4.0 - (10 \times 5) - 20 \)\(= 70 - 50 - 20 = 0\). OK.

Question 3 : Moment Fléchissant Maximal dans la Travée 1 (AB)

Principe :

Le moment fléchissant dans une travée d'une poutre continue est la somme du moment isostatique (dû aux charges sur la travée considérée comme simplement appuyée) et du moment hyperstatique (dû aux moments sur appuis, variant linéairement).

\[ M(x) = M_{\text{iso}}(x) + M_{\text{hyper}}(x) \]

Le moment maximal se produit là où l'effort tranchant s'annule (\(V(x)=0\)).

Calcul de l'Effort Tranchant \(V(x)\) dans la travée AB :

\(V(x) = R_A - q_1 x\)

\[ V(x) = 29.8 - 10 x \]

L'effort tranchant s'annule pour :

\[ 29.8 - 10 x_0 = 0 \Rightarrow x_0 = \frac{29.8}{10} = 2.98 \, \text{m} \]
Calcul du Moment Fléchissant \(M(x)\) dans la travée AB :

Moment isostatique : \(M_{\text{iso}}(x) = R_{A,iso} x - \frac{q_1 x^2}{2}\). La réaction isostatique \(R_{A,iso} = q_1 L_1 / 2 = 10 \times 5 / 2 = 25 \, \text{kN}\).

\[ M_{\text{iso}}(x) = 25 x - 5 x^2 \]

Moment hyperstatique (variation linéaire de \(M_A=0\) à \(M_B=-24.0\)) :

\[ M_{\text{hyper}}(x) = M_A + \frac{M_B - M_A}{L_1} x \] \[ M_{\text{hyper}}(x) = 0 + \frac{-24.0 - 0}{5} x = -4.8 x \]

Moment total :

\[ M(x) = M_{\text{iso}}(x) + M_{\text{hyper}}(x) \] \[ M(x) = (25 x - 5 x^2) + (-4.8 x) \] \[ M(x) = 20.2 x - 5 x^2 \]
Calcul du Moment Maximal (\(M_{\text{max, AB}}\)) :

On calcule \(M(x)\) à la position \(x_0 = 2.98 \, \text{m}\).

\[ M_{\text{max, AB}} = M(x_0) = 20.2 \times 2.98 - 5 \times (2.98)^2 \] \[ M_{\text{max, AB}} = 60.196 - 5 \times 8.8804 \] \[ M_{\text{max, AB}} = 60.196 - 44.402 \] \[ M_{\text{max, AB}} = 15.794 \, \text{kN} \cdot \text{m} \]
Résultat Question 3 : Le moment fléchissant maximal dans la première travée (AB) est \(M_{\text{max, AB}} \approx +15.8 \, \text{kN} \cdot \text{m}\) et se produit à \(x \approx 2.98 \, \text{m}\) de l'appui A.
Calcul de Poutre Continue par la Méthode des Trois Moments

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