EGC

Méthode des Trois Moments pour Poutre Continue

Méthode des Trois Moments pour Poutre Continue en RdM

Méthode des Trois Moments pour Poutre Continue

Contexte : Comment résoudre les poutres hyperstatiques ?

Une poutre reposant sur plus de deux appuis est dite "continue". Elle est hyperstatiqueUne structure est hyperstatique lorsque le nombre de réactions d'appui inconnues est supérieur au nombre d'équations de la statique. Il faut des équations supplémentaires basées sur la déformation pour la résoudre., ce qui signifie que les équations de la statique seules ne suffisent pas pour déterminer toutes les réactions d'appui. La méthode des trois moments, aussi connue sous le nom de théorème de Clapeyron, est une technique puissante qui fournit les équations supplémentaires nécessaires en se basant sur la continuité de la déformée de la poutre au niveau des appuis intermédiaires.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous montrera comment appliquer le théorème de Clapeyron pour trouver le moment fléchissant sur l'appui central d'une poutre à deux travées. Une fois ce moment (l'inconnue hyperstatique) déterminé, la poutre peut être "coupée" virtuellement en deux poutres isostatiques, rendant le calcul des réactions d'appui simple et direct.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le concept de poutre continue et d'hyperstaticité.
  • Appliquer l'équation des trois moments (théorème de Clapeyron).
  • Calculer les termes de charge pour des cas de chargement variés (concentré et réparti).
  • Déterminer le moment fléchissant sur un appui intermédiaire.
  • Utiliser le moment sur appui pour calculer toutes les réactions d'appui de la poutre.

Données de l'étude

Soit une poutre continue ABC à deux travées de section constante, reposant sur trois appuis simples en A, B et C. Les moments aux appuis de rive A et C sont nuls (\(M_A = M_C = 0\)).

  • La travée AB, de longueur \(L_1 = 6 \, \text{m}\), supporte une charge uniformément répartie \(q = 15 \, \text{kN/m}\).
  • La travée BC, de longueur \(L_2 = 5 \, \text{m}\), supporte une charge concentrée \(P = 50 \, \text{kN}\) en son milieu.
Schéma de la poutre continue
A B C q = 15 kN/m P = 50 kN L₁ = 6 m L₂ = 5 m

Questions à traiter

  1. Calculer le moment fléchissant sur l'appui intermédiaire B, noté \(M_B\).
  2. En déduire les valeurs des réactions d'appui en A, B et C.

Correction : Méthode des Trois Moments pour Poutre Continue

Question 1 : Calculer le moment fléchissant sur l'appui B (\(M_B\))

Principe (le concept physique)

Le théorème de Clapeyron relie les moments fléchissants sur trois appuis consécutifs (A, B, C) en se basant sur une condition de compatibilité : la pente (rotation) de la poutre à droite de l'appui B doit être égale à la pente à gauche de ce même appui. Cette continuité de la déformée fournit l'équation qui nous manque pour résoudre le système hyperstatique.

Animation du Principe de Continuité
θ_B
Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation des trois moments pour deux travées adjacentes (i et i+1) de section constante s'écrit : \( M_{i-1}L_i + 2M_i(L_i + L_{i+1}) + M_{i+1}L_{i+1} = -6 \left( \frac{\omega_i}{L_i} + \frac{\omega'_{i+1}}{L_{i+1}} \right) \). Les termes \(\omega\) et \(\omega'\) représentent les rotations des travées isostatiques équivalentes dues aux charges. Ils sont tabulés pour les cas de charge courants.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : La plus grande difficulté de cette méthode réside dans le calcul correct des termes de charge \(\omega\). Pour chaque travée, imaginez-la comme une poutre isostatique simple et calculez l'aire de son diagramme de moment fléchissant, puis la position du centre de gravité de cette aire. C'est ce que représentent les termes \(\omega\).

Astuce (pour aller plus vite)

Astuce de calcul : Il n'est pas toujours nécessaire de recalculer les aires des moments. Des formules directes existent pour les cas de charge classiques. Pour une charge répartie \(q\) sur une travée \(L\), \(-6\frac{\omega}{L} = -\frac{qL^3}{4}\). Pour une charge ponctuelle \(P\) au centre, \(-6\frac{\omega}{L} = -\frac{3PL^2}{8}\).

Normes (la référence réglementaire)

La méthode des trois moments est une méthode de "force" classique pour l'analyse des structures hyperstatiques. Elle est reconnue par les normes comme l'Eurocode comme une méthode valide pour déterminer la distribution des moments dans les poutres continues, qui sont ensuite utilisés pour les vérifications de résistance et de service.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la poutre a une inertie de flexion \(EI\) constante sur toute sa longueur. Les appuis sont considérés comme parfaitement rigides et alignés. Les moments aux appuis de rive (A et C) sont nuls car ce sont des appuis simples qui n'empêchent pas la rotation.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Équation des trois moments pour les appuis A-B-C :

\[ M_A L_1 + 2M_B(L_1 + L_2) + M_C L_2 = -6 \left( \frac{\omega_1}{L_1} + \frac{\omega'_2}{L_2} \right) \]

Terme de charge pour la travée 1 (charge répartie) :

\[ -6 \frac{\omega_1}{L_1} = -\frac{q L_1^3}{4} \]

Terme de charge pour la travée 2 (charge centrée) :

\[ -6 \frac{\omega'_2}{L_2} = -\frac{P L_2^2}{4} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(L_1 = 6 \, \text{m}\), \(q = 15 \, \text{kN/m}\)
  • \(L_2 = 5 \, \text{m}\), \(P = 50 \, \text{kN}\)
  • \(M_A = 0\), \(M_C = 0\) (appuis de rive simples)
Schéma avant calcul
Décomposition en travées isostatiques
Travée 1 (AB) q = 15 kN/m ω₁ Travée 2 (BC) P=50kN ω'₂
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du terme de charge pour la travée 1 (AB) :

\[ \begin{aligned} -6 \frac{\omega_1}{L_1} &= -\frac{q L_1^3}{4} \\ &= -\frac{15 \times 6^3}{4} \\ &= -810 \, \text{kN} \cdot \text{m}^2 \end{aligned} \]

2. Calcul du terme de charge pour la travée 2 (BC) :

\[ \begin{aligned} -6 \frac{\omega'_2}{L_2} &= -\frac{P L_2^2}{4} \\ &= -\frac{50 \times 5^2}{4} \\ &= -312.5 \, \text{kN} \cdot \text{m}^2 \end{aligned} \]

3. Application de l'équation des trois moments :

\[ \begin{aligned} (0 \times 6) + 2M_B(6 + 5) + (0 \times 5) &= -810 - 312.5 \\ 2M_B(11) &= -1122.5 \\ 22 M_B &= -1122.5 \\ \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \Rightarrow M_B &= \frac{-1122.5}{22} \\ &= -51.02 \, \text{kN} \cdot \text{m} \end{aligned} \]
Schéma après calcul
Moment sur l'appui B
ABC M_B = -51.02 kNm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le signe négatif du moment \(M_B\) est crucial. Par convention en RdM, un moment négatif indique une flexion qui tend les fibres supérieures de la poutre et comprime les fibres inférieures. C'est ce qu'on appelle un "moment d'encastrement" ou "moment sur appui", typique des poutres continues.

Point à retenir : La méthode des trois moments permet de trouver les moments fléchissants sur les appuis intermédiaires, qui sont les inconnues hyperstatiques de la structure.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

La détermination de \(M_B\) est l'étape clé qui "lève l'hyperstaticité" du problème. En connaissant ce moment, on peut maintenant isoler chaque travée et la traiter comme une poutre isostatique soumise à ses charges externes ET aux moments d'extrémité, ce qui permet de trouver les réactions.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Signes des termes de charge : Les termes de charge \(-6\omega/L\) sont négatifs par convention dans la formule. Une erreur de signe à ce niveau faussera complètement le résultat final. Soyez également vigilant si une charge est dirigée vers le haut, son terme changerait de signe.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'équation a été présentée par l'ingénieur et physicien français Benoît Paul Émile Clapeyron en 1849. Son travail a jeté les bases de l'analyse des structures hyperstatiques, révolutionnant la conception des ponts ferroviaires qui devenaient de plus en plus longs et complexes à cette époque.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si la poutre a une inertie EI différente sur chaque travée ?

La formule de Clapeyron s'adapte. Chaque terme de longueur \(L\) dans l'équation doit être divisé par l'inertie \(I\) correspondante. L'équation devient : \( \frac{M_{A} L_1}{I_1} + 2M_B(\frac{L_1}{I_1} + \frac{L_2}{I_2}) + \frac{M_{C} L_2}{I_2} = -6 \left( \frac{\omega_1}{L_1 I_1} + \frac{\omega'_2}{L_2 I_2} \right) \).

Résultat Final : Le moment fléchissant sur l'appui B est \(M_B = -51.02 \, \text{kN} \cdot \text{m}\).

À vous de jouer : Quelle serait la valeur de \(M_B\) (en kNm) si la charge P était nulle ?

Question 2 : Calculer les réactions d'appui

Principe (le concept physique)

Maintenant que l'inconnue hyperstatique \(M_B\) est connue, nous pouvons décomposer la poutre continue en deux poutres isostatiques indépendantes. Chaque travée est étudiée séparément, en la considérant comme une poutre sur deux appuis simples, soumise à ses charges initiales et aux moments d'extrémité (ici \(M_A=0\), \(M_B\), et \(M_C=0\)). Les réactions de chaque travée sont ensuite combinées pour obtenir les réactions finales de la poutre continue.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La réaction d'appui totale sur un appui intermédiaire est la somme des efforts tranchants à gauche et à droite de cet appui. En isolant la travée AB, on calcule l'effort tranchant \(V_{BA}\) (réaction en B de la travée AB). En isolant la travée BC, on calcule l'effort tranchant \(V_{BC}\) (réaction en B de la travée BC). La réaction totale en B est alors \(R_B = V_{BA} + V_{BC}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Faites très attention au signe du moment \(M_B\) lorsque vous l'introduisez dans les équations d'équilibre de chaque travée. Un moment négatif (horaire par convention) agira dans un sens sur la travée de gauche et dans le sens opposé sur la travée de droite (principe de l'action-réaction).

Astuce (pour aller plus vite)

Astuce de calcul : Pour une travée de longueur L avec un moment M à une extrémité, la réaction à l'autre extrémité due à ce moment est simplement \(M/L\). Vous pouvez calculer les réactions dues aux charges et celles dues aux moments séparément, puis les additionner (principe de superposition).

Normes (la référence réglementaire)

La décomposition d'une structure hyperstatique en plusieurs systèmes isostatiques après avoir déterminé les inconnues hyperstatiques est une méthode fondamentale et universelle en analyse des structures, validée par tous les codes de calcul.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On continue de travailler avec les hypothèses initiales. Chaque sous-système (travée AB et travée BC) est en équilibre statique sous l'effet des charges externes et des efforts de liaison (réactions et moment \(M_B\)).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour chaque travée isolée, on applique les équations de la statique :

\[ \sum F_y = 0 \quad ; \quad \sum M_{/\text{appui}} = 0 \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Travée AB: \(L_1 = 6 \, \text{m}\), \(q = 15 \, \text{kN/m}\)
  • Travée BC: \(L_2 = 5 \, \text{m}\), \(P = 50 \, \text{kN}\)
  • Moment sur appui: \(M_B = -51.02 \, \text{kN} \cdot \text{m}\)
Schéma avant calcul
Décomposition de la poutre en deux travées isostatiques
Travée 1 (AB) AB q=15kN/m |M_B| V_BA Travée 2 (BC) BC P=50kN |M_B| V_BC
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Isoler la travée AB et calculer les réactions \(R_A\) et \(V_{BA}\) :

Somme des moments par rapport à A :

\[ \begin{aligned} \sum M_{/A} &= 0 \\ (V_{BA} \times 6) - (q \times 6 \times \frac{6}{2}) + M_B &= 0 \\ \Rightarrow 6V_{BA} &= (15 \times 6 \times 3) - 51.02 \\ &= 270 - 51.02 \\ &= 218.98 \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ \Rightarrow V_{BA} &= \frac{218.98}{6} \\ &= 36.50 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Somme des forces verticales sur AB :

\[ \begin{aligned} \sum F_y &= 0 \\ R_A + V_{BA} - (q \times 6) &= 0 \\ \Rightarrow R_A &= (15 \times 6) - 36.50 \\ &= 90 - 36.50 \\ &= 53.50 \, \text{kN} \end{aligned} \]

2. Isoler la travée BC et calculer les réactions \(V_{BC}\) et \(R_C\) :

Somme des moments par rapport à C :

\[ \begin{aligned} \sum M_{/C} &= 0 \\ (-V_{BC} \times 5) + (P \times 2.5) - M_B &= 0 \\ \Rightarrow 5V_{BC} &= (50 \times 2.5) - 51.02 \\ &= 125 - 51.02 \\ &= 73.98 \, \text{kN} \cdot \text{m} \\ \Rightarrow V_{BC} &= \frac{73.98}{5} \\ &= 14.80 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Somme des forces verticales sur BC :

\[ \begin{aligned} \sum F_y &= 0 \\ V_{BC} + R_C - P &= 0 \\ \Rightarrow R_C &= 50 - 14.80 \\ &= 35.20 \, \text{kN} \end{aligned} \]

3. Calculer la réaction totale en B :

\[ \begin{aligned} R_B &= V_{BA} + V_{BC} \\ &= 36.50 + 14.80 \\ &= 51.30 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Schéma après calcul
Poutre continue avec toutes les réactions calculées
R_A=53.50kN R_B=51.30kN R_C=35.20kN q=15kN/m P=50kN
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Vérifions l'équilibre global : Total des charges = \( (15 \times 6) + 50 = 90 + 50 = 140 \, \text{kN} \). Total des réactions = \( 53.50 + 51.30 + 35.20 = 140 \, \text{kN} \). L'équilibre des forces verticales est respecté, ce qui valide nos calculs.

Point à retenir : Une fois l'inconnue hyperstatique trouvée, une structure complexe se décompose en plusieurs problèmes simples et isostatiques qui peuvent être résolus avec les outils de base de la statique.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le but final de l'analyse est de trouver les réactions pour pouvoir ensuite dimensionner les appuis et les fondations. Cette étape finalise le calcul des efforts externes agissant sur la poutre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Convention de signe pour \(M_B\) : Lors de l'isolation des travées, le moment \(M_B\) est une action interne. Il doit être appliqué avec son signe correct. Un \(M_B = -51.02\) est un moment qui tend les fibres supérieures. Il est donc horaire sur la coupe à droite de la travée AB et anti-horaire sur la coupe à gauche de la travée BC. Une erreur de signe ici est très fréquente.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les logiciels de calcul de structure modernes (éléments finis), l'ordinateur résout un immense système d'équations matricielles basé sur des principes similaires de compatibilité des déformations, mais appliqué à des milliers de petits "éléments" plutôt qu'à trois appuis.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la réaction en B n'est-elle pas simplement la plus grande ?

Contrairement à une idée reçue, l'appui central ne prend pas toujours la plus grande charge. La distribution des charges entre les appuis dépend de la rigidité relative des travées (\(L/I\)) et de la position des charges. Ici, la travée AB est plus longue et fortement chargée, ce qui explique que la réaction en A (\(R_A\)) soit plus élevée que celle en B (\(R_B\)).

Résultat Final : Les réactions d'appuis sont \(R_A = 53.50 \, \text{kN}\), \(R_B = 51.30 \, \text{kN}\) et \(R_C = 35.20 \, \text{kN}\).

À vous de jouer : En utilisant le \(M_B\) calculé, quelle serait la valeur de la réaction \(R_A\) (en kN) si la charge \(q\) était de 20 kN/m au lieu de 15 kN/m ?

Mini Fiche Mémo : Méthode des Trois Moments

ÉtapeActionObjectif
1. Identification Identifier les travées et les appuis. Noter les longueurs et les charges. Préparer les données pour l'équation.
2. Termes de charge Calculer les termes de charge \(-6\omega/L\) pour chaque travée. Quantifier l'effet des charges sur la rotation des travées.
3. Équation de Clapeyron Appliquer l'équation des trois moments pour chaque appui intermédiaire. Trouver les moments fléchissants sur les appuis (inconnues hyperstatiques).
4. Décomposition "Couper" la poutre au niveau des appuis et l'analyser comme des travées isostatiques indépendantes soumises aux charges et aux moments d'appui. Calculer les réactions pour chaque travée.
5. Sommation Additionner les réactions de part et d'autre des appuis intermédiaires. Obtenir les réactions d'appui finales.

Outil Interactif : Simulateur de Poutre Continue

Modifiez les charges pour voir leur influence en temps réel sur le moment \(M_B\) et les réactions.

Paramètres d'Entrée
15 kN/m
50 kN
Résultats
Moment \(M_B\) (kNm) -
Réaction \(R_A\) (kN) -
Réaction \(R_B\) (kN) -
Réaction \(R_C\) (kN) -

Le Saviez-Vous ?

Les poutres continues sont structurellement plus efficaces que les poutres simples. Le moment négatif sur l'appui intermédiaire réduit le moment positif maximal dans les travées, ce qui permet d'utiliser des poutres de plus faible hauteur pour une même portée et une même charge, d'où une économie de matière.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que se passe-t-il si un appui est un encastrement ?

Un encastrement peut être modélisé comme une travée de longueur nulle. Par exemple, si l'appui A était un encastrement, on ajouterait une travée fictive "0-A" de longueur \(L_0 = 0\) et on appliquerait l'équation des trois moments aux appuis 0-A-B. Cela permet de trouver le moment d'encastrement \(M_A\).

Cette méthode fonctionne-t-elle pour plus de deux travées ?

Oui, absolument. Pour une poutre à N appuis, il y a N-2 appuis intermédiaires. On applique l'équation des trois moments successivement à chaque groupe de trois appuis (A-B-C, puis B-C-D, etc.), ce qui génère un système de N-2 équations à N-2 inconnues (les moments sur les appuis intermédiaires) qu'il faut résoudre.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La méthode des trois moments est utilisée pour résoudre :

2. Le moment sur un appui intermédiaire d'une poutre continue sous charges verticales est généralement :

Poutre Continue
Une poutre qui s'étend sur plus de deux appuis, la rendant structurellement hyperstatique.
Inconnue Hyperstatique
Un effort (force ou moment) qui ne peut pas être déterminé en utilisant uniquement les équations de l'équilibre statique. Dans une poutre continue, les moments sur les appuis intermédiaires sont les inconnues hyperstatiques.
Théorème de Clapeyron
L'équation mathématique qui régit la méthode des trois moments. Elle établit une relation entre les moments fléchissants sur trois appuis consécutifs et les charges appliquées sur les deux travées adjacentes.
Méthode des Trois Moments pour Poutre Continue en Rdm

D’autres exercices de Rdm:

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *