Études de cas pratique

EGC

Facteur de Sécurité et Glissements de Terrain

Facteur de Sécurité et Glissements de Terrain

Facteur de Sécurité et Glissements de Terrain

Comprendre la Stabilité des Talus et les Glissements de Terrain

Les glissements de terrain sont des mouvements de masse de sol ou de roche le long d'une pente. L'analyse de la stabilité des talus vise à évaluer le risque de tels glissements. Le facteur de sécurité (FS) est un indicateur clé de cette stabilité : il est défini comme le rapport entre les forces (ou moments) résistantes et les forces (ou moments) motrices. Un FS supérieur à 1 indique une condition stable, tandis qu'un FS inférieur ou égal à 1 suggère une instabilité potentielle ou imminente. Pour les talus "infinis" (dont la longueur est grande par rapport à leur hauteur et où le plan de glissement est parallèle à la surface), une analyse simplifiée peut être menée.

Données de l'étude

On considère un talus infini avec une inclinaison \(\beta\) par rapport à l'horizontale. Le sol constituant le talus est un sable sec.

Caractéristiques du talus et du sol :

  • Angle d'inclinaison du talus (\(\beta\)) : \(20^\circ\)
  • Poids volumique du sol (\(\gamma\)) : \(18 \, \text{kN/m}^3\)
  • Angle de frottement interne du sol (\(\phi'\)) : \(30^\circ\)
  • Cohésion du sol (\(c'\)) : \(0 \, \text{kPa}\) (sol pulvérulent)
  • Profondeur du plan de glissement potentiel (mesurée verticalement depuis la surface, \(z\)) : \(2.5 \, \text{m}\)
  • La nappe phréatique est supposée très profonde et n'influence pas les conditions.
Schéma : Talus Infini et Plan de Glissement
Surface du Talus (\(\beta\)) Plan de Glissement Tranche W N T z=2.5m \(\beta\) Talus Infini

Talus infini avec un plan de glissement potentiel.

Questions à traiter

  1. Calculer la contrainte normale totale (\(\sigma\)) agissant perpendiculairement au plan de glissement.
  2. Puisque le sol est sec, la pression interstitielle (\(u\)) est nulle. Quelle est la contrainte normale effective (\(\sigma'\)) sur le plan de glissement ?
  3. Calculer la résistance au cisaillement mobilisable (\(\tau_f\)) le long du plan de glissement.
  4. Calculer la contrainte de cisaillement mobilisée (\(\tau_m\)) (ou effort cisaillant) agissant parallèlement au plan de glissement.
  5. Calculer le facteur de sécurité (\(FS\)) contre le glissement pour ce plan.
  6. Si l'angle du talus \(\beta\) était augmenté, comment cela affecterait-il le facteur de sécurité ? Commenter brièvement.

Correction : Facteur de Sécurité et Glissements de Terrain

Question 1 : Contrainte Normale Totale (\(\sigma\)) sur le Plan de Glissement

Principe :

Pour un talus infini, la contrainte normale totale (\(\sigma\)) sur un plan parallèle à la surface, à une profondeur verticale \(z\), est donnée par \(\sigma = \gamma z \cos^2\beta\). Cependant, il est plus direct de considérer le poids d'une tranche de sol et ses composantes.

Considérons une tranche de sol de largeur \(b\) (perpendiculaire au dessin) et de longueur \(l\) le long de la pente, avec une épaisseur \(t = z \cos\beta\) perpendiculaire à la pente. Le volume est \(V_{tranche} = b \cdot l \cdot t\). Le poids est \(W = \gamma V_{tranche}\). La contrainte normale est la composante du poids perpendiculaire au plan de glissement, divisée par l'aire du plan de glissement (\(A_{plan} = b \cdot l\)). La composante du poids perpendiculaire au plan de glissement est \(W \cos\beta\). Le poids de la colonne de sol verticalement au-dessus d'une aire \(A_{horiz}\) sur le plan de glissement est \(W_{col} = \gamma z A_{horiz}\). L'aire du plan de glissement \(A_{plan} = A_{horiz} / \cos\beta\). La force normale sur \(A_{plan}\) est \(N = W_{col} \cos\beta = \gamma z A_{horiz} \cos\beta\). Donc, \(\sigma = N / A_{plan} = (\gamma z A_{horiz} \cos\beta) / (A_{horiz} / \cos\beta) = \gamma z \cos^2\beta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma = \gamma z \cos^2\beta \]
Données spécifiques :
  • \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(z = 2.5 \, \text{m}\)
  • \(\beta = 20^\circ\) (\(\cos(20^\circ) \approx 0.9397\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= (18 \, \text{kN/m}^3) \cdot (2.5 \, \text{m}) \cdot (\cos(20^\circ))^2 \\ &\approx 18 \cdot 2.5 \cdot (0.9397)^2 \\ &\approx 45 \cdot 0.8830 \\ &\approx 39.735 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La contrainte normale totale sur le plan de glissement est \(\sigma \approx 39.74 \, \text{kPa}\).

Question 2 : Contrainte Normale Effective (\(\sigma'\))

Principe :

La contrainte normale effective (\(\sigma'\)) est la contrainte normale totale (\(\sigma\)) moins la pression interstitielle (\(u\)). Puisque le sol est sec, la pression interstitielle est nulle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma' = \sigma - u \]
Données spécifiques :
  • \(\sigma \approx 39.74 \, \text{kPa}\)
  • \(u = 0 \, \text{kPa}\) (sol sec)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma' &= 39.74 \, \text{kPa} - 0 \, \text{kPa} \\ &= 39.74 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte normale effective sur le plan de glissement est \(\sigma' \approx 39.74 \, \text{kPa}\).

Question 3 : Résistance au Cisaillement Mobilisable (\(\tau_f\))

Principe :

La résistance au cisaillement d'un sol pulvérulent (sans cohésion) est donnée par le critère de Mohr-Coulomb : \(\tau_f = \sigma' \tan(\phi')\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau_f = c' + \sigma' \tan(\phi') \]

Puisque \(c' = 0\), cela devient \(\tau_f = \sigma' \tan(\phi')\).

Données spécifiques :
  • \(\sigma' \approx 39.74 \, \text{kPa}\)
  • \(\phi' = 30^\circ\) (\(\tan(30^\circ) \approx 0.57735\))
  • \(c' = 0 \, \text{kPa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau_f &= (39.74 \, \text{kPa}) \cdot \tan(30^\circ) \\ &\approx 39.74 \cdot 0.57735 \\ &\approx 22.946 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La résistance au cisaillement mobilisable le long du plan de glissement est \(\tau_f \approx 22.95 \, \text{kPa}\).

Question 4 : Contrainte de Cisaillement Mobilisée (\(\tau_m\))

Principe :

Pour un talus infini, la contrainte de cisaillement mobilisée (\(\tau_m\)) sur un plan parallèle à la surface, à une profondeur verticale \(z\), est donnée par la composante du poids de la colonne de sol agissant parallèlement à la pente. \(\tau_m = \gamma z \sin\beta \cos\beta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \tau_m = \gamma z \sin\beta \cos\beta \]
Données spécifiques :
  • \(\gamma = 18 \, \text{kN/m}^3\)
  • \(z = 2.5 \, \text{m}\)
  • \(\beta = 20^\circ\) (\(\sin(20^\circ) \approx 0.3420\), \(\cos(20^\circ) \approx 0.9397\))
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau_m &= (18 \, \text{kN/m}^3) \cdot (2.5 \, \text{m}) \cdot \sin(20^\circ) \cdot \cos(20^\circ) \\ &\approx 18 \cdot 2.5 \cdot 0.3420 \cdot 0.9397 \\ &\approx 45 \cdot 0.32139 \\ &\approx 14.462 \, \text{kPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La contrainte de cisaillement mobilisée est \(\tau_m \approx 14.46 \, \text{kPa}\).

Question 5 : Facteur de Sécurité (\(FS\))

Principe :

Le facteur de sécurité contre le glissement est le rapport de la résistance au cisaillement mobilisable (\(\tau_f\)) à la contrainte de cisaillement mobilisée (\(\tau_m\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ FS = \frac{\tau_f}{\tau_m} = \frac{\sigma' \tan(\phi')}{\gamma z \sin\beta \cos\beta} = \frac{\gamma z \cos^2\beta \tan(\phi')}{\gamma z \sin\beta \cos\beta} = \frac{\cos\beta \tan(\phi')}{\sin\beta} = \frac{\tan(\phi')}{\tan\beta} \]

Cette formule simplifiée est valable pour un talus infini avec sol sec et \(c'=0\).

Données spécifiques :
  • \(\tau_f \approx 22.95 \, \text{kPa}\)
  • \(\tau_m \approx 14.46 \, \text{kPa}\)
  • Ou : \(\phi' = 30^\circ\), \(\beta = 20^\circ\) (\(\tan(30^\circ) \approx 0.57735\), \(\tan(20^\circ) \approx 0.36397\))
Calcul (avec \(\tau_f\) et \(\tau_m\)) :
\[ \begin{aligned} FS &= \frac{22.95 \, \text{kPa}}{14.46 \, \text{kPa}} \\ &\approx 1.587 \end{aligned} \]
Calcul (avec la formule simplifiée) :
\[ \begin{aligned} FS &= \frac{\tan(30^\circ)}{\tan(20^\circ)} \\ &\approx \frac{0.57735}{0.36397} \\ &\approx 1.5862 \end{aligned} \]

Les légères différences sont dues aux arrondis.

Résultat Question 5 : Le facteur de sécurité contre le glissement est \(FS \approx 1.59\).

Question 6 : Influence de l'Angle du Talus \(\beta\)

Discussion :

La formule du facteur de sécurité pour un talus infini en sol pulvérulent sec est \(FS = \frac{\tan(\phi')}{\tan\beta}\).

Si l'angle du talus \(\beta\) augmente :

  • \(\tan\beta\) augmente (car la fonction tangente est croissante pour les angles entre 0° et 90°).
  • Puisque \(\tan\beta\) est au dénominateur, une augmentation de \(\tan\beta\) entraîne une diminution du facteur de sécurité \(FS\).

Un talus plus raide est moins stable et a un facteur de sécurité plus faible. Si \(\beta\) devenait égal à \(\phi'\), alors \(\tan\beta = \tan\phi'\), et \(FS = 1\). Cela correspond à une condition d'équilibre limite, où le talus est juste sur le point de glisser. Si \(\beta > \phi'\), alors \(FS < 1\), et le talus serait instable.

Résultat Question 6 : Si l'angle du talus \(\beta\) augmente, le facteur de sécurité \(FS\) diminue, rendant le talus moins stable. Si \(\beta = \phi'\), alors \(FS = 1\), ce qui est une condition d'équilibre limite.

Quiz Intermédiaire 1 : Pour un talus infini en sol pulvérulent sec, si la cohésion \(c'\) était non nulle, comment cela affecterait-il le facteur de sécurité (tous les autres paramètres étant égaux) ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Un facteur de sécurité (\(FS\)) de 1.0 pour un talus signifie :

2. Dans l'analyse de stabilité d'un talus infini en sol pulvérulent sec, quel paramètre du sol est le plus crucial pour la résistance au cisaillement ?

Glossaire

Glissement de Terrain
Mouvement descendant d'une masse de sol ou de roche le long d'une surface de rupture (plan de glissement) sous l'effet de la gravité.
Facteur de Sécurité (\(FS\))
Rapport entre la résistance au cisaillement mobilisable du sol le long d'une surface de glissement potentielle et la contrainte de cisaillement mobilisée (ou agissante) le long de cette même surface. \(FS = \tau_f / \tau_m\).
Talus Infini
Modèle simplifié d'un talus dont la longueur est très grande par rapport à sa hauteur, et où le plan de glissement potentiel est supposé parallèle à la surface du talus et à une profondeur constante.
Contrainte Normale Effective (\(\sigma'\))
Contrainte transmise par le squelette solide du sol, égale à la contrainte normale totale moins la pression interstitielle.
Résistance au Cisaillement (\(\tau_f\))
Contrainte de cisaillement maximale qu'un sol peut supporter avant de rompre. Pour les sols, elle est souvent décrite par le critère de Mohr-Coulomb : \(\tau_f = c' + \sigma' \tan(\phi')\).
Contrainte de Cisaillement Mobilisée (\(\tau_m\))
Contrainte de cisaillement réelle agissant le long d'un plan potentiel de glissement due aux forces motrices (principalement la composante du poids du sol parallèle à la pente).
Angle de Frottement Interne (\(\phi'\))
Paramètre du sol représentant la résistance au cisaillement due au frottement entre les particules de sol.
Cohésion (\(c'\))
Composante de la résistance au cisaillement d'un sol qui est indépendante de la contrainte normale. Elle est due aux forces d'attraction entre les particules, typique des argiles.
Sol Pulvérulent
Sol dont la cohésion est négligeable (\(c' \approx 0\)), comme les sables et graviers propres.
Facteur de Sécurité et Glissements de Terrain - Exercice d'Application

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