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Étude du Comportement en Fluage du Béton

Étude du Comportement en Fluage du Béton

Étude du Comportement en Fluage du Béton

Contexte : Le fluage du bétonDéformation différée d'un matériau sous l'effet d'une contrainte constante. Pour le béton, c'est un phénomène majeur qui affecte les déformations à long terme des structures..

Le béton, comme beaucoup de matériaux, se déforme instantanément sous l'application d'une charge. Cependant, une de ses caractéristiques fondamentales est de continuer à se déformer dans le temps, même si la charge reste constante. Ce phénomène, appelé fluage, est crucial en génie civil car il est responsable des déformations à long terme des structures (flèches des poutres, raccourcissement des poteaux) et des pertes de précontrainte. Savoir le quantifier selon les normes (Eurocode 2) est donc une compétence essentielle pour tout ingénieur structure.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers la méthodologie de l'Eurocode 2 pour calculer le coefficient de fluage et son impact sur la déformation totale d'un élément en béton soumis à une charge de longue durée.

Objectifs Pédagogiques

  • Définir et calculer le coefficient de fluage final \(\phi(\infty, t_0)\) selon l'Eurocode 2.
  • Calculer la déformation totale (instantanée + différée) d'un élément en béton.
  • Déterminer le module d'élasticité effectif du béton pour les calculs à long terme.
  • Comprendre l'influence de l'humidité relative et de l'âge de chargement sur l'amplitude du fluage.

Données de l'étude

On étudie une poutre en béton armé de section rectangulaire, simplement appuyée, soumise à des charges permanentes. On souhaite évaluer sa déformation à long terme due au fluage.

Schéma de la Poutre
Poutre sur appuis simples avec charge uniforme
Charge permanente (g) L
Paramètre Symbole Valeur Unité
Classe du béton - C30/37 -
Humidité relative ambiante \(\text{RH}\) 50 %
Dimensions de la section (b x h) - 300 x 500 \(\text{mm}\)
Âge du béton au chargement \(t_0\) 28 \(\text{jours}\)
Contrainte de compression constante \(\sigma_{\text{c}}\) 12 \(\text{MPa}\)

Questions à traiter

  1. Déterminer les caractéristiques du béton : résistance moyenne \(f_{\text{cm}}\) et module d'élasticité moyen \(E_{\text{cm}}\).
  2. Calculer le rayon moyen de la section \(h_0\).
  3. Calculer le coefficient de fluage notionnel \(\phi_0\) en utilisant la méthode de l'Annexe B de l'Eurocode 2.
  4. Déterminer le coefficient de fluage final \(\phi(\infty, t_0)\).
  5. Calculer la déformation totale à l'infini \(\epsilon_{\text{c}}(\infty)\) et le module d'élasticité effectif \(E_{\text{c,eff}}\).

Les bases sur le Fluage du Béton

Le fluage est une déformation différée sous charge constante. La déformation totale du béton à un instant \(t\) est la somme de la déformation instantanée et de la déformation de fluage.

1. Déformation Totale
La déformation totale \(\epsilon_{\text{c}}(t)\) sous une contrainte constante \(\sigma_{\text{c}}\) appliquée à l'âge \(t_0\) est donnée par : \[ \epsilon_{\text{c}}(t) = \epsilon_{\text{ci}}(t_0) + \epsilon_{\text{cc}}(t) = \frac{\sigma_{\text{c}}}{E_{\text{cm}}} \cdot (1 + \phi(t, t_0)) \] Où \(\phi(t, t_0)\) est le coefficient de fluage.

2. Module d'Élasticité Effectif
Pour simplifier les calculs de déformations à long terme, on utilise un module d'élasticité fictif, dit "effectif", qui intègre l'effet du fluage : \[ E_{\text{c,eff}} = \frac{E_{\text{cm}}}{1 + \phi(\infty, t_0)} \]

Correction : Étude du Comportement en Fluage du Béton

Question 1 : Caractéristiques du béton (C30/37)

Principe

Les propriétés mécaniques du béton, comme sa résistance et sa rigidité (module d'élasticité), sont directement liées à sa classe de résistance. Ces valeurs de base sont indispensables pour tout calcul de structure.

Mini-Cours

La désignation "C30/37" signifie que la résistance caractéristique sur cylindre (\(f_{\text{ck}}\)) est de 30 MPa et sur cube est de 37 MPa. Les calculs réglementaires en Europe se basent sur la résistance cylindrique. La résistance moyenne (\(f_{\text{cm}}\)) est statistiquement supérieure à la résistance caractéristique pour tenir compte de la variabilité de la production.

Remarque Pédagogique

Pensez à toujours commencer par bien identifier les propriétés du matériau. C'est la première étape de tout calcul de dimensionnement ou de vérification. Une erreur ici se répercutera sur tous les résultats suivants.

Normes

On utilise le Tableau 3.1 de la norme NF EN 1992-1-1 (Eurocode 2) qui donne les propriétés des bétons de classes C12/15 à C90/105.

Formule(s)

Formule de la résistance moyenne

\[ f_{\text{cm}} = f_{\text{ck}} + 8 \text{ (MPa)} \]

Formule du module d'élasticité moyen

\[ E_{\text{cm}} = 22 \cdot \left(\frac{f_{\text{cm}}}{10}\right)^{0.3} \text{ (GPa)} \]
Hypothèses

On suppose que le béton est de qualité standard et que ses propriétés sont conformes à celles définies par l'Eurocode 2 pour sa classe de résistance.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Résistance caractéristique cylindrique\(f_\text{ck}\)30\(\text{MPa}\)
Astuces

Pour les classes de béton usuelles (entre C25/30 et C50/60), le module d'élasticité \(E_{\text{cm}}\) en GPa est très proche de la valeur de la résistance caractéristique \(f_{\text{ck}}\). Pour un C30/37, on obtient 33 GPa, ce qui est proche de 30. C'est un bon moyen de vérifier rapidement un ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)
Essai de compression sur cylindre de béton
FF
Calcul(s)

Calcul de la résistance moyenne \(f_{\text{cm}}\)

\[ \begin{aligned} f_{\text{cm}} &= f_{\text{ck}} + 8 \\ &= 30 + 8 \\ &= 38 \text{ MPa} \end{aligned} \]

Calcul du module d'élasticité moyen \(E_{\text{cm}}\)

\[ \begin{aligned} E_{\text{cm}} &= 22 \cdot \left(\frac{f_{\text{cm}}}{10}\right)^{0.3} \\ &= 22 \cdot \left(\frac{38}{10}\right)^{0.3} \\ &\approx 32837 \text{ MPa} \\ &\Rightarrow E_{\text{cm}} \approx 33 \text{ GPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Courbe contrainte-déformation du béton
εσPente = Ecmfcm
Réflexions

Nous avons maintenant les deux paramètres fondamentaux qui décrivent le comportement élastique à court terme du béton : sa résistance moyenne et sa rigidité moyenne. Ces valeurs serviront de base à tous les calculs de déformation.

Points de vigilance

Ne pas confondre la résistance caractéristique \(f_{\text{ck}}\) (utilisée pour les calculs de résistance à l'état limite ultime) et la résistance moyenne \(f_{\text{cm}}\) (utilisée pour les calculs de déformations et de fluage).

Points à retenir
  • La classe du béton définit toutes ses propriétés mécaniques de base.
  • La résistance moyenne \(f_{\text{cm}}\) est toujours supérieure de 8 MPa à la résistance caractéristique \(f_{\text{ck}}\).
  • Le module d'élasticité \(E_{\text{cm}}\) dépend de la résistance moyenne.
Le saviez-vous ?

Le module d'élasticité du béton (environ 30-40 GPa) est environ 5 à 7 fois plus faible que celui de l'acier (210 GPa). C'est cette grande différence de rigidité qui justifie le concept de béton armé, où l'acier reprend efficacement les efforts de traction.

FAQ
Pourquoi ajoute-t-on 8 MPa à \(f_{\text{ck}}\) ?

Ce "8 MPa" est une marge forfaitaire définie par l'Eurocode qui représente l'écart-type de la production de béton. Elle permet de passer d'une valeur caractéristique (ayant 5% de chance de ne pas être atteinte) à une valeur moyenne (50% de chance).

Résultat Final
La résistance moyenne en compression est \(f_{\text{cm}} = 38 \text{ MPa}\) et le module d'élasticité moyen est \(E_{\text{cm}} = 33 \text{ GPa}\).
A vous de jouer

Quelles seraient les valeurs de \(f_{\text{cm}}\) et \(E_{\text{cm}}\) pour un béton de classe C25/30 ?

Question 2 : Calcul du rayon moyen \(h_0\)

Principe

Le rayon moyen \(h_0\) est une dimension géométrique fictive qui quantifie la "massivité" d'une section. Elle est fondamentale pour les calculs de déformations différées (fluage et retrait) car elle gouverne la vitesse de séchage du béton.

Mini-Cours

Le fluage et le retrait sont directement liés aux échanges hydriques entre le béton et l'air ambiant. Un élément mince (faible \(h_0\)) sèche vite, ce qui accélère et amplifie ces phénomènes. Un élément massif (grand \(h_0\)) sèche très lentement, limitant ainsi les déformations différées. Le rayon moyen \(h_0\) modélise cet effet d'échelle.

Remarque Pédagogique

Visualisez ce rayon moyen comme la "distance moyenne" que l'eau doit parcourir pour s'échapper du béton. Plus cette distance est grande, plus le processus est lent.

Normes

La définition de \(h_0\) est donnée dans l'Annexe B.1 de l'Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1).

Formule(s)

Formule du rayon moyen

\[ h_0 = \frac{2 \cdot A_c}{u} \]
Hypothèses

On suppose que toutes les faces de la poutre (les deux flancs et la sous-face) sont exposées à l'air ambiant, ce qui est le cas usuel pour une poutre. La face supérieure est souvent protégée par une dalle, mais on considère ici le cas le plus défavorable où tout le périmètre participe au séchage.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Largeur de la sectionb300\(\text{mm}\)
Hauteur de la sectionh500\(\text{mm}\)
Astuces

Pour une section rectangulaire, la formule se simplifie en \(h_0 = \frac{2 \cdot b \cdot h}{2 \cdot (b+h)} = \frac{b \cdot h}{b+h}\). Connaître cette simplification peut faire gagner du temps.

Schéma (Avant les calculs)
Section transversale et périmètre exposé
b = 300 mmh = 500 mmu
Calcul(s)

Calcul de l'aire de la section \(A_c\)

\[ \begin{aligned} A_c &= b \times h \\ &= 300 \text{ mm} \times 500 \text{ mm} \\ &= 150000 \text{ mm}^2 \end{aligned} \]

Calcul du périmètre exposé \(u\)

\[ \begin{aligned} u &= 2 \cdot (b+h) \\ &= 2 \cdot (300 \text{ mm} + 500 \text{ mm}) \\ &= 1600 \text{ mm} \end{aligned} \]

Calcul du rayon moyen \(h_0\)

\[ \begin{aligned} h_0 &= \frac{2 \times A_c}{u} \\ &= \frac{2 \times 150000 \text{ mm}^2}{1600 \text{ mm}} \\ &= 187.5 \text{ mm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Section avec rayon moyen
h₀/2h₀=187.5mm
Réflexions

Une valeur de 187.5 mm est typique pour une poutre de taille moyenne. Cette valeur sera utilisée dans toutes les formules suivantes pour prendre en compte l'effet de la géométrie de la section.

Points de vigilance

Attention à bien identifier le périmètre \(u\) exposé à l'air. Si la poutre était coulée contre un mur ou recouverte d'un revêtement étanche sur une face, ce périmètre serait réduit, ce qui augmenterait \(h_0\).

Points à retenir
  • Le rayon moyen \(h_0\) lie la géométrie de la section aux phénomènes de séchage.
  • Sa formule est \(h_0 = 2 A_c / u\).
  • Plus l'élément est massif, plus \(h_0\) est grand.
Le saviez-vous ?

Pour une dalle de grande dimension, le séchage se fait principalement par les deux faces horizontales. Le périmètre \(u\) est alors approximativement le double de sa surface en plan, et son rayon moyen \(h_0\) est très proche de son épaisseur.

FAQ
Quelles sont les unités de \(h_0\) ?

\(h_0\) est une longueur, elle s'exprime donc en millimètres (mm) dans le système d'unités de l'Eurocode.

Résultat Final
Le rayon moyen de la section est \(h_0 = 187.5 \text{ mm}\).
A vous de jouer

Quel serait le rayon moyen \(h_0\) d'un poteau carré de 400 mm de côté ?

Question 3 : Calcul du coefficient de fluage notionnel \(\phi_0\)

Principe

Le coefficient de fluage notionnel \(\phi_0\) est une valeur de base qui sert à déterminer le coefficient de fluage réel. Il intègre les principaux paramètres qui influencent le fluage : l'humidité ambiante (via \(\phi_{\text{RH}}\)), la qualité du béton (via \(\beta(f_{\text{cm}})\)) et sa maturité au moment du chargement (via \(\beta(t_0)\)).

Mini-Cours

Chaque terme de la formule de \(\phi_0\) a un sens physique : \(\phi_{\text{RH}}\) augmente quand l'air est sec (RH faible), car le séchage est plus intense. \(\beta(f_{\text{cm}})\) diminue quand la résistance du béton augmente, car un béton plus résistant a une structure interne plus dense qui flue moins. \(\beta(t_0)\) diminue quand l'âge de chargement \(t_0\) augmente, car un béton plus mature a déjà développé une grande partie de sa résistance et de sa rigidité.

Remarque Pédagogique

Cette étape est le cœur du calcul de fluage. Il s'agit d'assembler plusieurs briques élémentaires. Soyez méthodique et calculez chaque terme intermédiaire (\(\phi_{\text{RH}}\), \(\beta(f_{\text{cm}})\), \(\beta(t_0)\)) séparément avant de les multiplier.

Normes

Les calculs suivent l'Annexe B de l'Eurocode 2 (NF EN 1992-1-1), en particulier les équations (B.3) à (B.8).

Formule(s)

Formule du coefficient de fluage notionnel

\[ \phi_0 = \phi_{\text{RH}} \cdot \beta(f_{\text{cm}}) \cdot \beta(t_0) \]

Influence de l'humidité relative

\[ \phi_{\text{RH}} = \left[1 + \frac{1 - \text{RH}/100}{0.1 \cdot \sqrt[3]{h_0}} \cdot \alpha_1 \right] \cdot \alpha_2 \]

Influence de la résistance

\[ \beta(f_{\text{cm}}) = \frac{16.8}{\sqrt{f_{\text{cm}}}} \]

Influence de l'âge au chargement

\[ \beta(t_0) = \frac{1}{0.1 + t_0^{0.20}} \]
Hypothèses

On suppose que l'humidité relative de 50% est constante tout au long de la vie de l'ouvrage. Les formules de l'Eurocode sont empiriques, basées sur un grand nombre d'essais.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Humidité relative\(\text{RH}\)50%
Résistance moyenne\(f_{\text{cm}}\)38\(\text{MPa}\)
Rayon moyen\(h_0\)187.5\(\text{mm}\)
Âge au chargement\(t_0\)28\(\text{jours}\)
Astuces

Le calcul de \(\beta(t_0)\) est souvent source d'erreur. Pour \(t_0 = 28\) jours, une valeur très courante, le coefficient \(\beta(t_0)\) vaut environ 0.49. Mémoriser cet ordre de grandeur peut être utile.

Schéma (Avant les calculs)
Paramètres influençant le fluage notionnel
ϕ₀Humidité (RH)Géométrie (h₀)Résistance (fcm)Âge (t₀)
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul des coefficients \(\alpha_1\) et \(\alpha_2\) (car \(f_{\text{cm}} > 35 \text{ MPa}\))

\[ \alpha_1 = \left(\frac{35}{38}\right)^{0.7} = 0.944 \quad ; \quad \alpha_2 = \left(\frac{35}{38}\right)^{0.2} = 0.984 \]

Étape 2 : Calcul de l'influence de l'humidité \(\phi_{\text{RH}}\)

\[ \begin{aligned} \phi_{\text{RH}} &= \left[1 + \frac{1 - \text{RH}/100}{0.1 \cdot \sqrt[3]{h_0}} \cdot \alpha_1 \right] \cdot \alpha_2 \\ &= \left[1 + \frac{1 - 50/100}{0.1 \cdot \sqrt[3]{187.5}} \cdot 0.944 \right] \cdot 0.984 \\ &= \left[1 + \frac{0.5}{0.1 \cdot 5.72} \cdot 0.944 \right] \cdot 0.984 \\ &= 1.79 \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul de l'influence de la résistance \(\beta(f_{\text{cm}})\)

\[ \begin{aligned} \beta(f_{\text{cm}}) &= \frac{16.8}{\sqrt{f_{\text{cm}}}} \\ &= \frac{16.8}{\sqrt{38}} \\ &= 2.725 \end{aligned} \]

Étape 4 : Calcul de l'influence de l'âge de chargement \(\beta(t_0)\)

\[ \begin{aligned} \beta(t_0) &= \frac{1}{0.1 + t_0^{0.20}} \\ &= \frac{1}{0.1 + 28^{0.20}} \\ &= 0.488 \end{aligned} \]

Étape 5 : Calcul du coefficient de fluage notionnel \(\phi_0\)

\[ \begin{aligned} \phi_0 &= \phi_{\text{RH}} \times \beta(f_{\text{cm}}) \times \beta(t_0) \\ &= 1.79 \times 2.725 \times 0.488 \\ &= 2.37 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur du coefficient de fluage notionnel
ϕ₀ = 2.37
Réflexions

La valeur de 2.37 représente le potentiel de fluage de ce béton dans ces conditions spécifiques. C'est une valeur de base qui sera ensuite utilisée pour décrire l'évolution de la déformation dans le temps.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier d'utiliser les formules corrigées pour \(\phi_{\text{RH}}\) lorsque la résistance du béton \(f_{\text{cm}}\) dépasse 35 MPa. Vérifiez toujours cette condition avant de commencer le calcul.

Points à retenir
  • Le coefficient de fluage notionnel \(\phi_0\) est le produit de trois facteurs : humidité, résistance, et âge de chargement.
  • Un air sec, une faible résistance et un chargement précoce augmentent \(\phi_0\).
  • Attention aux formules spécifiques pour les bétons à haute résistance (\(f_{\text{cm}} > 35\) MPa).
Le saviez-vous ?

Dans des structures exceptionnelles comme les ponts à voussoirs successifs, l'âge de chargement \(t_0\) varie pour chaque voussoir. Le calcul du fluage devient alors très complexe et nécessite une intégration dans le temps, segment par segment.

FAQ
Que se passe-t-il si l'humidité relative est de 100% ?

Si RH = 100% (béton immergé), le terme \((1-\text{RH}/100)\) devient nul. Le terme \(\phi_{\text{RH}}\) vaut alors 1 (ou \(\alpha_2\) si \(f_{\text{cm}}>35\) MPa). Cela réduit considérablement le fluage, car il n'y a pas de séchage (le fluage de base ou "fluage propre" subsiste).

Résultat Final
Le coefficient de fluage notionnel est \(\phi_0 = 2.37\).
A vous de jouer

Recalculez \(\phi_0\) en supposant que la poutre est dans un environnement très humide (RH = 90%).

Question 4 : Détermination du coefficient de fluage final \(\phi(\infty, t_0)\)

Principe

Le coefficient de fluage final \(\phi(\infty, t_0)\) représente l'amplitude totale du fluage après une très longue période (théoriquement, l'infini). Il est calculé à partir du coefficient notionnel \(\phi_0\) et d'une fonction \(\beta_c(t, t_0)\) qui décrit l'évolution du fluage dans le temps.

Mini-Cours

Le fluage n'est pas instantané. Il se développe rapidement au début puis de plus en plus lentement, tendant asymptotiquement vers une valeur finale. La fonction \(\beta_c(t, t_0)\) modélise cette cinétique. Elle vaut 0 au moment du chargement (\(t=t_0\)) et tend vers 1 lorsque le temps \(t\) tend vers l'infini.

Remarque Pédagogique

Pour la plupart des calculs de dimensionnement et de vérification de flèche à long terme, on s'intéresse directement à l'état final. C'est pourquoi on utilise directement le coefficient de fluage final, ce qui simplifie grandement les calculs.

Normes

La formule est donnée par l'équation (B.2) de l'Eurocode 2.

Formule(s)

Formule du coefficient de fluage

\[ \phi(t, t_0) = \phi_0 \cdot \beta_c(t, t_0) \]

Pour une durée infinie (\(t \to \infty\)), le terme \(\beta_c(t, t_0)\) tend vers 1.

Hypothèses

On suppose qu'on attend un temps suffisamment long pour que le phénomène de fluage soit complet. En pratique, on considère que la majorité du fluage (plus de 95%) est atteinte au bout de 30 à 50 ans.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeur
Coefficient de fluage notionnel\(\phi_0\)2.37
Astuces

Dans 99% des cas pour les calculs de bâtiments courants, on vous demandera la déformation "à terme" ou "à l'infini". Dans ce cas, il suffit de prendre \(\phi(\infty, t_0) = \phi_0\). Pas de calcul supplémentaire !

Schéma (Avant les calculs)
Évolution conceptuelle du fluage dans le temps
Tempsφ(t, t₀)φ(∞,t₀)t₀ (chargement)
Calcul(s)

Calcul du coefficient de fluage final

\[ \begin{aligned} \phi(\infty, t_0) &= \phi_0 \cdot \beta_c(\infty, t_0) \\ &= 2.37 \times 1 \\ &= 2.37 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur finale du coefficient de fluage
Tempsφ(t, t₀)2.37t₀
Réflexions

Ce résultat signifie qu'à long terme, la déformation due au fluage sera 2.37 fois plus grande que la déformation élastique instantanée initiale. C'est une déformation considérable qui ne peut être négligée.

Points de vigilance

Ne pas utiliser \(\phi_0\) pour calculer une déformation à un temps fini (par exemple à 1 an), car cela surestimerait fortement la déformation. Dans ce cas, il faudrait calculer la valeur de \(\beta_c(t, t_0)\) à cet instant précis.

Points à retenir
  • Le coefficient de fluage final est la valeur maximale que le fluage peut atteindre.
  • Pour les calculs de déformations à l'état limite de service, on utilise presque toujours cette valeur finale \(\phi(\infty, t_0)\).
  • Dans ce cas, \(\phi(\infty, t_0) = \phi_0\).
Le saviez-vous ?

Le fluage ne s'arrête jamais vraiment. La distinction entre "temps fini" et "infini" est une simplification d'ingénieur. Cependant, la vitesse de fluage devient si faible après quelques décennies qu'on peut considérer qu'une valeur asymptotique est atteinte.

FAQ
Est-ce que le fluage peut faire s'effondrer une structure ?

En général, non. Le fluage augmente les déformations (flèches) et peut causer des problèmes de service (fissuration des cloisons, problèmes d'étanchéité). Cependant, il n'affecte pas directement la résistance ultime du béton. Les calculs à l'état limite ultime (rupture) ne tiennent pas compte du fluage.

Résultat Final
Le coefficient de fluage final est \(\phi(\infty, t_0) = 2.37\).
A vous de jouer

Si l'on sait que le coefficient de fluage à 5 ans est \(\phi(5 \text{ ans}, t_0) = 1.90\), quelle est la valeur de \(\beta_c\) à 5 ans ?

Question 5 : Calcul de la déformation totale et du module effectif

Principe

La déformation totale d'un élément en béton est la somme de sa réponse élastique instantanée et de sa déformation différée due au fluage. Le module d'élasticité effectif est un outil de calcul ingénieux qui permet de calculer cette déformation totale en une seule étape, en utilisant une loi de Hooke modifiée avec une rigidité réduite.

Mini-Cours

En introduisant \(E_{\text{c,eff}}\), on remplace un problème de comportement viscoélastique (dépendant du temps) par un problème élastique équivalent. La déformation totale s'écrit alors simplement \(\epsilon_{\text{c}}(\infty) = \sigma_c / E_{\text{c,eff}}\). Cela est extrêmement pratique dans les logiciels de calcul de structures, qui peuvent ainsi évaluer les effets à long terme sans faire une analyse temporelle complexe.

Remarque Pédagogique

Comprenez bien la décomposition : une partie de la déformation apparaît dès que l'on applique la charge, l'autre partie (le fluage) se développe sur des années. Le module effectif est simplement un artifice pour obtenir la somme des deux en un seul calcul.

Normes

Les définitions sont données au chapitre 3.1.4 et 7.4.3 de l'Eurocode 2.

Formule(s)

Formule de la déformation totale

\[ \epsilon_{\text{c}}(\infty, t_0) = \frac{\sigma_{\text{c}}}{E_{\text{cm}}} (1 + \phi(\infty, t_0)) \]

Formule du module d'élasticité effectif

\[ E_{\text{c,eff}} = \frac{E_{\text{cm}}}{1 + \phi(\infty, t_0)} \]
Hypothèses

On suppose que la contrainte de compression \(\sigma_{\text{c}}\) reste constante dans le temps. C'est une hypothèse valide pour les charges permanentes (poids propre, charges d'exploitation fixes).

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Contrainte appliquée\(\sigma_{\text{c}}\)12\(\text{MPa}\)
Module moyen\(E_{\text{cm}}\)33000\(\text{MPa}\)
Coefficient de fluage final\(\phi(\infty, t_0)\)2.37-
Astuces

Notez que la déformation totale est simplement la déformation instantanée multipliée par le facteur \((1+\phi)\). Ce facteur est donc un "amplificateur" de déformation dû au temps.

Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la déformation
TempsDéformation (ε)t₀εciεcc (fluage)εc(∞)
Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la déformation élastique instantanée \(\epsilon_{\text{ci}}(t_0)\)

\[ \begin{aligned} \epsilon_{\text{ci}}(t_0) &= \frac{\sigma_{\text{c}}}{E_{\text{cm}}} \\ &= \frac{12 \text{ MPa}}{33000 \text{ MPa}} \\ &= 0.000364 \\ &= 0.364 \, \text{‰} \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la déformation totale finale \(\epsilon_{\text{c}}(\infty)\)

\[ \begin{aligned} \epsilon_{\text{c}}(\infty) &= \epsilon_{\text{ci}}(t_0) \cdot (1 + \phi(\infty, t_0)) \\ &= 0.000364 \cdot (1 + 2.37) \\ &= 0.001226 \\ &= 1.226 \, \text{‰} \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul du module d'élasticité effectif \(E_{\text{c,eff}}\)

\[ \begin{aligned} E_{\text{c,eff}} &= \frac{E_{\text{cm}}}{1 + \phi(\infty, t_0)} \\ &= \frac{33000 \text{ MPa}}{1 + 2.37} \\ &\approx 9792 \text{ MPa} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des déformations
εci0.364‰εcc0.862‰εc(∞)1.226‰
Réflexions

La rigidité apparente du béton à long terme (\(E_{\text{c,eff}} \approx 9.8 \text{ GPa}\)) est plus de 3 fois plus faible que sa rigidité à court terme (\(E_{\text{cm}} = 33 \text{ GPa}\)). C'est cette perte de rigidité qui explique l'augmentation des flèches des poutres et dalles avec le temps.

Points de vigilance

Attention aux unités. Les déformations sont adimensionnelles mais souvent exprimées en "pour mille" (‰) pour la lisibilité. Assurez-vous que les contraintes et modules sont dans la même unité (MPa) avant le calcul.

Points à retenir
  • La déformation totale est la somme de la déformation instantanée et de la déformation de fluage : \(\epsilon_{\text{total}} = \epsilon_{\text{inst}} + \epsilon_{\text{fluage}}\).
  • \(\epsilon_{\text{fluage}} = \epsilon_{\text{inst}} \times \phi\).
  • \(E_{\text{c,eff}}\) est une rigidité réduite qui donne la déformation totale en un seul calcul.
Le saviez-vous ?

Dans les structures en béton précontraint, le fluage est à la fois un ennemi et un allié. Il est responsable des "pertes de précontrainte" (l'acier se détend car le béton se raccourcit), ce qui est négatif. Mais il permet aussi de relaxer les contraintes internes dues au retrait, limitant ainsi la fissuration.

FAQ
Peut-on récupérer la déformation de fluage ?

Une petite partie du fluage, appelée "fluage réversible", peut être récupérée si l'on décharge la structure. Cependant, la majeure partie de la déformation de fluage est irréversible et reste acquise.

Résultat Final
La déformation totale à long terme est \(\epsilon_c(\infty) = 1.226 \, \text{‰}\) et le module d'élasticité effectif est \(E_{\text{c,eff}} = 9792 \text{ MPa}\).
A vous de jouer

Avec les données de la question, quelle serait la déformation de fluage seule \(\epsilon_{\text{cc}}(\infty)\) en pour mille (‰) ?

Outil Interactif : Simulateur de Fluage

Utilisez les curseurs pour voir l'influence de l'humidité relative (RH) et de l'âge de mise en charge (\(t_0\)) sur le coefficient de fluage. Le graphique montre l'évolution du fluage dans le temps pour les paramètres choisis.

Paramètres d'Entrée
50 %
28 jours
Résultats Clés
Coeff. Fluage Notionnel (\(\phi_0\)) -
Coeff. Fluage Final (\(\phi(\infty, t_0)\)) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le fluage du béton est principalement causé par :

2. Lequel de ces facteurs tend à DIMINUER le fluage du béton ?

3. Le module d'élasticité effectif (\(E_{c,eff}\)) est utilisé pour :

4. Comment la taille d'un élément en béton (caractérisée par \(h_0\)) affecte-t-elle le fluage ?

5. Le coefficient de fluage \(\phi(t, t_0)\) est le rapport entre :

Glossaire

Fluage (Creep)
Déformation différée (lente, progressive) d'un matériau soumis à une contrainte constante et de longue durée. Ce phénomène est particulièrement important pour le béton.
Coefficient de fluage \(\phi(t, t_0)\)
Rapport adimensionnel entre la déformation de fluage à un instant \(t\) et la déformation élastique initiale qui a eu lieu à l'âge de chargement \(t_0\).
Module d'Élasticité Effectif (\(E_{\text{c,eff}}\))
Module de rigidité fictif qui permet de calculer la déformation totale à long terme (instantanée + fluage) en utilisant une loi de comportement de type élastique.
Retrait (Shrinkage)
Réduction de volume du béton au cours du temps due principalement au départ de l'eau. C'est une déformation différée qui se produit même en l'absence de charge.
Étude du Comportement en Fluage du Béton

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