Études de cas pratique

EGC

Détermination du Module d’Young

Détermination du Module d’Young

Comprendre le Module de Young (Module d'Élasticité Longitudinale)

Le module de Young, noté \(E\), est une propriété mécanique intrinsèque d'un matériau qui mesure sa rigidité ou sa résistance à la déformation élastique sous une contrainte axiale (traction ou compression). Il est défini comme le rapport entre la contrainte normale (\(\sigma\)) et la déformation relative (ou unitaire, \(\epsilon\)) dans le domaine élastique du matériau, conformément à la loi de Hooke : \(\sigma = E \epsilon\). Une valeur élevée de \(E\) indique un matériau rigide (difficile à déformer), tandis qu'une valeur faible caractérise un matériau plus souple. Le module de Young est généralement déterminé expérimentalement à partir d'un essai de traction.

Données de l'étude

Un essai de traction est réalisé sur une éprouvette cylindrique d'un alliage d'aluminium pour déterminer son module de Young.

Caractéristiques de l'éprouvette et de l'essai :

  • Longueur initiale entre repères de l'extensomètre (\(L_0\)) : \(50.0 \, \text{mm}\)
  • Diamètre initial de la section calibrée (\(d_0\)) : \(12.5 \, \text{mm}\)
  • Force de traction axiale appliquée (\(F\)) : \(15.0 \, \text{kN}\)
  • Allongement mesuré entre les repères sous cette force (\(\Delta L\)) : \(0.053 \, \text{mm}\)

On suppose que l'essai est réalisé entièrement dans le domaine élastique linéaire du matériau.

Schéma : Éprouvette de Traction et Dispositif d'Essai Simplifié
Éprouvette F F Repère 1 Repère 2 L0 d0 Allongement ΔL mesuré

Schéma d'une éprouvette cylindrique soumise à un essai de traction pour déterminer le module de Young.

Questions à traiter

  1. Calculer l'aire de la section transversale initiale (\(A_0\)) de la partie calibrée de l'éprouvette.
  2. Calculer la contrainte normale (\(\sigma\)) appliquée à l'éprouvette.
  3. Calculer la déformation axiale relative (ou unitaire) (\(\epsilon\)) de l'éprouvette.
  4. En utilisant la loi de Hooke, calculer le module de Young (\(E\)) de l'alliage d'aluminium. Exprimer le résultat en GPa.

Correction : Détermination du Module d’Young

Question 1 : Aire de la Section Transversale Initiale (\(A_0\))

Principe :

L'aire d'une section circulaire est donnée par la formule \(A = \pi d^2 / 4\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_0 = \frac{\pi d_0^2}{4} \]
Données spécifiques :
  • Diamètre initial (\(d_0\)) : \(12.5 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_0 &= \frac{\pi (12.5 \, \text{mm})^2}{4} \\ &= \frac{\pi \cdot 156.25}{4} \, \text{mm}^2 \\ &\approx \frac{490.87385}{4} \, \text{mm}^2 \\ &\approx 122.718 \, \text{mm}^2 \end{aligned} \]

Nous utiliserons \(A_0 \approx 122.72 \, \text{mm}^2\).

Résultat Question 1 : L'aire de la section transversale initiale est \(A_0 \approx 122.72 \, \text{mm}^2\).

Question 2 : Contrainte Normale (\(\sigma\))

Principe :

La contrainte normale (\(\sigma\)) est la force axiale appliquée (\(F\)) divisée par l'aire initiale de la section transversale (\(A_0\)) sur laquelle la force agit.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sigma = \frac{F}{A_0} \]
Données spécifiques (unités N, mm\(^2\) pour obtenir des MPa) :
  • Force de traction (\(F\)) : \(15.0 \, \text{kN} = 15000 \, \text{N}\)
  • Aire (\(A_0\)) : \(122.72 \, \text{mm}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \sigma &= \frac{15000 \, \text{N}}{122.72 \, \text{mm}^2} \\ &\approx 122.229 \, \text{N/mm}^2 \\ &\approx 122.23 \, \text{MPa} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La contrainte normale appliquée à l'éprouvette est \(\sigma \approx 122.23 \, \text{MPa}\).

Question 3 : Déformation Axiale Relative (\(\epsilon\))

Principe :

La déformation axiale relative (ou unitaire, \(\epsilon\)) est le rapport entre l'allongement mesuré (\(\Delta L\)) et la longueur initiale entre repères (\(L_0\)). C'est une grandeur sans dimension.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} \]
Données spécifiques :
  • Allongement (\(\Delta L\)) : \(0.053 \, \text{mm}\)
  • Longueur initiale (\(L_0\)) : \(50.0 \, \text{mm}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \epsilon &= \frac{0.053 \, \text{mm}}{50.0 \, \text{mm}} \\ &= 0.00106 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La déformation axiale relative est \(\epsilon = 0.00106\).

Question 4 : Calcul du Module de Young (\(E\))

Principe :

La loi de Hooke, \(\sigma = E \epsilon\), relie la contrainte, la déformation et le module de Young dans le domaine élastique. On peut réarranger cette loi pour calculer \(E\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ E = \frac{\sigma}{\epsilon} \]
Données spécifiques :
  • Contrainte (\(\sigma\)) : \(122.23 \, \text{MPa}\)
  • Déformation (\(\epsilon\)) : \(0.00106\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E &= \frac{122.23 \, \text{MPa}}{0.00106} \\ &\approx 115311.32 \, \text{MPa} \end{aligned} \]

Conversion en GigaPascals (GPa) : \(1 \, \text{GPa} = 1000 \, \text{MPa}\)

\[ E \approx \frac{115311.32}{1000} \, \text{GPa} \approx 115.31 \, \text{GPa} \]

Le module de Young typique pour les alliages d'aluminium se situe généralement entre 69 et 75 GPa. La valeur obtenue ici est plus élevée, ce qui pourrait indiquer un type d'alliage spécifique ou des imprécisions dans les mesures d'essai. Cependant, pour l'exercice, nous utilisons les valeurs données.

Résultat Question 4 : Le module de Young calculé pour cet alliage d'aluminium est \(E \approx 115.31 \, \text{GPa}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'allongement mesuré \(\Delta L\) avait été plus grand pour la même force \(F\), le module de Young calculé aurait été :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le module de Young est une propriété qui décrit :

2. Dans un essai de traction, si la force appliquée double (en restant dans le domaine élastique), la déformation relative :

Glossaire

Module de Young (\(E\))
Aussi appelé module d'élasticité longitudinale. C'est une mesure de la rigidité d'un matériau, définie comme le rapport de la contrainte normale à la déformation relative dans le domaine élastique.
Contrainte Normale (\(\sigma\))
Force interne par unité d'aire agissant perpendiculairement à la section d'un matériau. En traction ou compression simple, \(\sigma = F/A\).
Déformation Axiale Relative (ou Unitaire, \(\epsilon\))
Rapport de l'allongement (ou du raccourcissement, \(\Delta L\)) à la longueur initiale (\(L_0\)) de l'élément (\(\epsilon = \Delta L / L_0\)). C'est une grandeur sans dimension.
Loi de Hooke
Principe stipulant que, pour des déformations élastiques, la contrainte est directement proportionnelle à la déformation (\(\sigma = E \epsilon\)).
Domaine Élastique
Région du comportement d'un matériau où il reprend sa forme et ses dimensions initiales après la suppression de la charge appliquée. Les déformations sont réversibles et proportionnelles aux contraintes.
Essai de Traction
Test mécanique standardisé utilisé pour déterminer diverses propriétés des matériaux, telles que le module de Young, la limite d'élasticité, la résistance à la traction et la ductilité, en soumettant une éprouvette à une force de traction croissante.
Détermination du Module d’Young - Exercice d'Application

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2 Commentaires
  1. Frédéric
    Frédéric sur 7 août 2024 à 21h04

    Bonjour
    Merci pour ce site et pour votre travail
    Je comprends votre calcul de la déformation unitaire.
    Par contre, lors du calcul de la contrainte, vous divisez des MPa par ce nombre sans dimension pour obtenir des Pa (première incompréhension pour moi). Ensuite, vous convertissez ces Pa en GPa (mais je compte un rapport de 1E6 et non de 1E5).
    Pourriez-vous m’indiquer où je me trompe?
    Merci d’avance
    Frédéric

    Réponse
    • EGC - Génie Civil
      EGC - Génie Civil sur 7 août 2024 à 22h07

      Bonjour Frédéric,

      Merci pour votre commentaire. Vous avez raison, il y avait une erreur dans la conversion des unités pour le calcul du module d’Young. Après correction, le module d’Young est bien de 18.75 GPa, ce qui est effectivement beaucoup plus bas que la plage typique pour l’acier (200-210 GPa). Cette différence pourrait être due à des hypothèses de données ou des erreurs de mesure. Merci beaucoup de votre vigilance !

      Réponse
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