Détermination du Module d'Young

Contexte : Le dimensionnement des balcons et consoles.

Les poutres en porte-à-faux, ou poutres encastrées à une extrémité et libres à l'autre, sont omniprésentes en génie civil : balcons, auvents, ailes d'avion, potences... Leur comportement est fondamentalement différent de celui des poutres sur deux appuis. La rigidité, caractérisée par le Module d'YoungAussi appelé Module d'Élasticité (E), il mesure la rigidité d'un matériau. C'est le rapport entre la contrainte appliquée et la déformation élastique qui en résulte. Un E élevé signifie que le matériau est très rigide., y est encore plus critique, car toute la charge est reprise par un seul point : l'encastrement. Cet exercice a pour but de déterminer expérimentalement le module d'élasticité d'un profilé en acier utilisé comme console.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre le cas d'une poutre en console, un modèle de base essentiel en RdM. Nous allons ici calculer le moment quadratique d'une section en I, plus complexe que le rectangle, et utiliser les formules de flexion spécifiques à l'encastrement pour remonter au module E du matériau, validant ainsi ses propriétés pour une utilisation structurelle.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le moment quadratique d'une section en I (profilé IPE).
Déterminer le moment fléchissant maximal dans une poutre en porte-à-faux.
Appliquer la formule de la déformée spécifique au cas encastré pour trouver E.
Calculer la contrainte maximale à l'encastrement et la comparer à la limite élastique.
Comprendre l'importance de l'encastrementLiaison structurelle qui empêche toute translation et toute rotation. C'est l'appui le plus rigide, capable de reprendre des forces et des moments. dans la reprise des efforts.

Données de l'étude

Un essai est réalisé sur un profilé en acier IPE 100, encastré dans un mur en béton. Une charge ponctuelle F est appliquée à son extrémité libre. On mesure la flèche (le déplacement vertical) à l'endroit de la charge.

Schéma de l'essai sur poutre en porte-à-faux

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Portée de la console	\(L\)	1200	\(\text{mm}\)
Profilé	-	IPE 100	-
Force appliquée	\(F\)	500	\(\text{N}\)
Flèche mesurée en bout	\(f_{\text{mesurée}}\)	4.1	\(\text{mm}\)
Limite élastique de l'acier	\(\sigma_e\)	235	\(\text{MPa}\)

Questions à traiter

Calculer le moment quadratique \(I_{\text{Gz}}\) de la section IPE 100 (les dimensions sont fournies dans la correction).
Calculer le moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}\) dans la poutre.
Déterminer le module d'élasticité (Module de Young) \(E\) de l'acier en GPa.
Calculer la contrainte normale maximale \(\sigma_{\text{max}}\) et vérifier la sécurité de la poutre.

Les bases de la flexion en porte-à-faux

Le cas d'une poutre encastrée-libre est un pilier de la RdM. Voici les formules clés à connaître.

1. Moment quadratique d'un profilé en I :
Pour une section complexe comme un IPE, on le calcule en additionnant et soustrayant les moments quadratiques de rectangles. Une méthode plus simple est d'utiliser le théorème de HuygensThéorème qui permet de calculer le moment quadratique d'une section par rapport à un axe quelconque, en connaissant son moment quadratique par rapport à son propre axe centroïdal., mais pour ce niveau, nous utiliserons la méthode de soustraction : l'inertie d'un grand rectangle extérieur moins l'inertie des deux vides de part et d'autre de l'âme.

2. Le Moment Fléchissant Maximal :
Dans une poutre en porte-à-faux avec une charge F à son extrémité, le "bras de levier" est maximal à l'encastrement. C'est donc là que le moment fléchissant est maximal. Sa valeur est simplement : \[ M_{\text{max}} = F \cdot L \]

3. La Formule de la Déformée (Flèche) :
La rigidité de l'encastrement change radicalement la formule de la flèche par rapport aux appuis simples. Pour une charge F en bout de console, la flèche maximale est : \[ f_{\text{max}} = \frac{F \cdot L^3}{3 \cdot E \cdot I} \] Notez le "3" au dénominateur, à la place du "48" du cas précédent. Pour une même poutre, la flèche sera bien plus importante.

Correction : Détermination du Module d’Young sur Poutre Encastrée

Question 1 : Calculer le moment quadratique (I) du profilé IPE 100

Principe (le concept physique)

Le moment quadratique d'un profilé en I est conçu pour être très efficace. En plaçant la majorité de la matière dans les semelles (les parties horizontales), loin de l'axe neutre, on maximise la rigidité géométrique pour un poids de matériau donné. L'âme (la partie verticale) sert principalement à maintenir les semelles écartées et à reprendre l'effort de cisaillement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode de soustraction que nous utilisons est une application simple du principe de superposition. Pour des sections encore plus complexes, le théorème de Huygens (\(I_z = I_{\text{Gz}} + A \cdot d^2\)) est indispensable. Il permet de sommer les inerties de plusieurs formes simples (comme les deux semelles et l'âme) en translatant leurs inerties propres vers l'axe de la section globale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez la section en I comme un squelette : les semelles sont les os larges qui supportent la charge principale (la flexion), tandis que l'âme est la colonne vertébrale qui les relie. Retirer de la matière au centre (près de l'axe neutre où les contraintes sont faibles) pour la placer aux extrémités est la stratégie de conception la plus efficace pour résister à la flexion.

Normes (la référence réglementaire)

Les profilés en acier comme les IPE sont standardisés à l'échelle européenne par la norme EN 10025. Leurs caractéristiques géométriques et mécaniques sont précisément définies dans des catalogues (comme l'Eurocode 3, partie 1-1) pour garantir l'uniformité et la fiabilité des calculs de structure.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On calcule l'inertie en soustrayant l'inertie des "vides" de l'inertie du rectangle global :

\begin{aligned} I_{\text{Gz}} &= I_{\text{rect. global}} - 2 \cdot I_{\text{vide}} \\ &= \frac{B H^3}{12} - 2 \cdot \frac{b' h'^3}{12} \end{aligned}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est composée de rectangles parfaits. Les congés d'âme et de raccordement, qui ajoutent une légère rigidité, sont négligés dans ce calcul simplifié.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Dimensions normalisées d'un profilé IPE 100 :

Hauteur totale, \(H = 100 \, \text{mm}\)
Largeur des semelles, \(B = 55 \, \text{mm}\)
Épaisseur de l'âme, \(t_w = 4.1 \, \text{mm}\)
Épaisseur des semelles, \(t_f = 5.7 \, \text{mm}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Dans la pratique, aucun ingénieur ne recalcule cette valeur. Elle est donnée dans les catalogues de profilés. Pour un IPE 100, la valeur normalisée est \(I_{\text{Gz}} = 171 \times 10^4 \, \text{mm}^4\). Nous allons la recalculer ici à titre pédagogique pour comprendre d'où elle vient.

Schéma (Avant les calculs)

Décomposition de la Section IPE 100

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Dimensions des vides à soustraire :

\begin{aligned} b' &= \frac{B - t_w}{2} \\ &= \frac{55 - 4.1}{2} \\ &= 25.45 \, \text{mm} \end{aligned}

\begin{aligned} h' &= H - 2 \cdot t_f \\ &= 100 - 2 \cdot 5.7 \\ &= 88.6 \, \text{mm} \end{aligned}

2. Calcul des inerties :

I_{\text{Gz}} = \frac{55 \cdot 100^3}{12} - 2 \cdot \frac{25.45 \cdot 88.6^3}{12}

\begin{aligned} I_{\text{Gz}} &= 4583333 - 2 \cdot (1477744) \, \text{mm}^4 \\ &= 4583333 - 2955488 \, \text{mm}^4 \\ &\approx 1627845 \, \text{mm}^4 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Section IPE 100 avec Inertie

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Notre valeur calculée (\(1.63 \times 10^6 \, \text{mm}^4\)) est proche de la valeur tabulée (\(1.71 \times 10^6 \, \text{mm}^4\)). La petite différence est due aux "congés" (arrondis) entre l'âme et les semelles dans le profilé réel, que notre calcul simplifié avec des rectangles ignore. Pour la suite de l'exercice, nous utiliserons la valeur normalisée, plus précise.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à bien distinguer l'inertie selon l'axe fort (celle que nous avons calculée, \(I_{\text{Gz}}\) ou \(I_y\)) de l'inertie selon l'axe faible (\(I_{\text{Gy}}\) ou \(I_z\)). Une poutre IPE est beaucoup moins rigide si elle est fléchie autour de son axe faible. L'utilisation de la mauvaise valeur d'inertie est une erreur de conception grave.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le moment quadratique d'un IPE est élevé grâce à la matière concentrée dans les semelles.
Il peut être approché en soustrayant des rectangles ou calculé précisément avec Huygens.
En pratique, on utilise toujours les valeurs normalisées des catalogues de fabricants.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les premiers "I-beams" en fer puddlé ont été brevetés en 1849 par l'ingénieur français Ferdinand Zores. Cette invention a été une révolution dans la construction, permettant la réalisation de structures plus légères et plus hautes, et a été un élément clé de la construction des premiers gratte-ciels.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le moment quadratique normalisé pour un profilé IPE 100 est \(I_{\text{Gz}} = 1.71 \times 10^6 \, \text{mm}^4\).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Sachant que l'inertie de l'âme autour de son axe est \((t_w \cdot H^3)/12\) et celle d'une semelle est \((B \cdot t_f^3)/12\), essayez d'estimer quelle partie (âme ou semelles) contribue le plus à l'inertie totale.

Question 2 : Calculer le moment fléchissant maximal

Principe (le concept physique)

Pour une poutre en porte-à-faux, les efforts internes augmentent à mesure qu'on se rapproche du support. L'encastrement doit reprendre 100% de la charge verticale (effort tranchant) ET l'empêcher de basculer (moment fléchissant). Ce moment est maximal à l'encastrement car le bras de levier de la force F y est le plus grand (\(L\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le diagramme de l'effort tranchant \(V(x)\) pour cette poutre est constant et vaut \(F\) sur toute la longueur. Le diagramme du moment fléchissant \(M(x)\) est la primitive de \(V(x)\), soit \(M(x) = \int V(x) dx = Fx + C\). Avec la condition limite \(M(L)=0\) (moment nul à l'extrémité libre), on trouve \(C = -FL\), donc \(M(x) = F(x-L)\). Le moment est maximal en valeur absolue à l'encastrement (\(x=0\)), où \(|M(0)| = FL\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez tenir une canne à pêche horizontalement. Plus la canne est longue (grand L) ou plus le poisson au bout est lourd (grand F), plus vous devez forcer avec votre poignet (l'encastrement) pour la maintenir droite. Le moment fléchissant, c'est l'effort de votre poignet. Il est nul au bout de la ligne et maximal dans votre main.

Normes (la référence réglementaire)

Ce cas de charge est un des cas de base présentés dans tous les formulaires de RdM, y compris en annexe des normes de construction. Il sert de fondement au calcul de structures plus complexes, où les charges peuvent être multiples ou réparties.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une poutre en console de longueur L avec une charge F à son extrémité libre :

M_{\text{max}} = F \cdot L

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que l'encastrement est parfait (il ne subit aucune rotation). On néglige le poids propre de la poutre, qui ajouterait un moment supplémentaire (\(pL^2/2\)).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Force appliquée, \(F = 500 \, \text{N}\)
Portée de la console, \(L = 1200 \, \text{mm}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Pour ce calcul, il n'y a pas vraiment de raccourci, la formule est déjà la plus simple possible. La seule astuce est de bien vérifier ses unités : si F est en kN et L en mètres, le résultat sera en kN·m.

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme du Moment Fléchissant (Forme attendue)

Calcul(s) (l'application numérique)

En utilisant les unités N et mm, le résultat sera en N·mm.

\begin{aligned} M_{\text{max}} &= 500 \, \text{N} \cdot 1200 \, \text{mm} \\ &= 600000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme du Moment Fléchissant (Valeur calculée)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moment fléchissant maximal est de 600 000 N·mm, soit 600 N·m. C'est cet effort que l'encastrement doit être capable de supporter sans céder. C'est 3 fois plus que le moment de l'exercice précédent sur appuis simples, malgré une force deux fois plus faible, ce qui souligne la sévérité des sollicitations sur une console.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'appliquer la mauvaise formule, comme \(FL/4\) ou \(FL/8\), qui correspondent à d'autres types d'appuis. Pour une console, retenez que le moment maximal est à l'encastrement et vaut simplement "Force fois Levier".

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le moment fléchissant dans une console est maximal à l'encastrement.
Il est nul à l'extrémité libre.
Sa valeur est \(M_{\text{max}} = F \cdot L\) pour une charge ponctuelle en bout.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La maison sur la cascade (Fallingwater) de l'architecte Frank Lloyd Wright est une célèbre illustration du porte-à-faux. Ses grands balcons en béton armé, qui s'avancent audacieusement au-dessus de la rivière, sont de pures consoles. Leur conception a nécessité des calculs de flexion très poussés pour l'époque (1935).

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le moment fléchissant maximal à l'encastrement est de 600 000 N·mm.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la poutre supportait une charge uniformément répartie \(q = 0.5 \, \text{N/mm}\) (soit un total de 600 N), le moment maximal serait \(qL^2/2\). Calculez-le en N·mm.

Question 3 : Déterminer le Module d'Élasticité (E)

Principe (le concept physique)

Comme pour l'exercice précédent, nous utilisons la relation entre la cause (la charge F) et l'effet (la flèche f). En isolant E dans la formule de la déformée, on peut déduire la rigidité du matériau à partir de nos mesures. La formule est différente car le mode de déformation d'une console est différent, conduisant à une flèche beaucoup plus importante pour les mêmes conditions.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de la flèche vient de la double intégration de l'équation différentielle de la déformée, \(EI y'' = M(x) = F(x-L)\). Les conditions aux limites pour une console sont : à l'encastrement (\(x=0\)), la flèche est nulle (\(y(0)=0\)) et la pente est nulle (\(y'(0)=0\)). L'application de ces conditions permet de trouver les constantes d'intégration et mène à la formule finale.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Comparer les formules : \(FL^3/(48EI)\) pour la poutre sur appuis et \(FL^3/(3EI)\) pour la console. Le dénominateur est 16 fois plus petit ! Cela signifie qu'à caractéristiques identiques, une poutre en console est 16 fois plus déformable qu'une poutre sur deux appuis. C'est pourquoi les consoles sont structurellement très exigeantes.

Normes (la référence réglementaire)

Les essais de flexion sur des éprouvettes en console sont également décrits par des normes (comme ASTM D790 pour les plastiques) pour caractériser les matériaux. La méthode est choisie en fonction du type de matériau et des propriétés que l'on souhaite mesurer.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On part de la formule de la flèche maximale pour une console et on isole E :

f_{\text{max}} = \frac{F \cdot L^3}{3 \cdot E \cdot I} \quad \Rightarrow \quad E = \frac{F \cdot L^3}{3 \cdot f_{\text{max}} \cdot I}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le comportement du matériau est resté dans le domaine linéaire élastique. On suppose aussi que les déformations, bien que plus grandes que dans le cas précédent, restent "faibles" au sens de la théorie des poutres (la flèche reste petite par rapport à la longueur).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Force appliquée, \(F = 500 \, \text{N}\)
Portée, \(L = 1200 \, \text{mm}\)
Flèche mesurée, \(f_{\text{mesurée}} = 4.1 \, \text{mm}\)
Moment quadratique, \(I_{\text{Gz}} = 1.71 \times 10^6 \, \text{mm}^4\) (valeur normalisée)

Astuces(Pour aller plus vite)

Avant le calcul, un ordre de grandeur : on s'attend à trouver environ 210 000 MPa pour de l'acier. Si le résultat est très différent, les erreurs les plus probables sont une confusion de formule (le "3" au lieu de "48" ou "192"...), une erreur de saisie ou une erreur de conversion d'unités sur le \(L^3\).

Schéma (Avant les calculs)

Détermination de E par l'Expérience

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer le module d'élasticité en MPa (N/mm²) :

E = \frac{500 \, \text{N} \cdot (1200 \, \text{mm})^3}{3 \cdot (4.1 \, \text{mm}) \cdot (1.71 \times 10^6 \, \text{mm}^4)}

\begin{aligned} E &= \frac{8.64 \times 10^{11}}{2.1051 \times 10^7} \, \frac{\text{N}}{\text{mm}^2} \\ &\approx 41043 \, \text{MPa} \end{aligned}

2. Convertir en Gigapascals (GPa) :

\begin{aligned} E &= \frac{41043 \, \text{MPa}}{1000} \\ &\approx 41 \, \text{GPa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des Modules d'Élasticité

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le module calculé (41 GPa) est très loin des 210 GPa attendus pour l'acier. Il est même inférieur à celui de l'aluminium. Cela indique une forte probabilité d'erreur expérimentale. La cause la plus probable est un encastrement imparfait. Si le support a une légère rotation, il ajoute une flèche significative qui n'est pas prise en compte par la formule, faussant ainsi le calcul de E à la baisse. La conclusion de l'ingénieur serait : l'essai n'est pas valide car l'hypothèse d'encastrement parfait n'est pas respectée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La plus grande erreur serait de conclure que le matériau n'est pas de l'acier. L'écart est si grand qu'il faut d'abord remettre en cause le modèle et les hypothèses. En ingénierie, il est crucial de critiquer ses propres résultats. Un résultat inattendu est souvent le signe d'un modèle inadapté ou d'une erreur de mesure.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La formule de la flèche dépend CRITIQUEMENT des conditions d'appui.
Un encastrement parfait est difficile à réaliser en pratique et est une source d'erreur majeure.
Toujours comparer le résultat expérimental à une valeur théorique attendue pour le valider.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour mesurer la rotation à l'encastrement, les ingénieurs utilisent des instruments appelés inclinomètres. En mesurant cette rotation parasite, on peut corriger les formules de déformation pour obtenir une estimation bien plus précise du module d'élasticité, même avec un encastrement imparfait.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le Module d'Élasticité calculé est d'environ 41 GPa. Ce résultat, incohérent avec les valeurs de l'acier, indique une erreur expérimentale probable (encastrement imparfait).

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

En supposant que le matériau est bien de l'acier (E=210 GPa), quelle aurait dû être la flèche mesurée (en mm) ?

Question 4 : Calculer la contrainte maximale et vérifier la sécurité

Principe (le concept physique)

La contrainte maximale (\(\sigma_{\text{max}}\)) se produit là où le moment fléchissant est maximal, c'est-à-dire à l'encastrement. C'est le point le plus critique de la structure. Nous vérifions si cette contrainte dépasse la limite élastique \(\sigma_e\) de l'acier pour s'assurer que la poutre ne subira pas de déformation permanente.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule de la flexion \(\sigma = My/I\) est issue de deux hypothèses fondamentales : la conservation des sections planes (Navier-Bernoulli) et la loi de comportement élastique linéaire (loi de Hooke, \(\sigma = E \epsilon\)). Elle montre que pour un moment donné, la contrainte est maximale sur les fibres les plus éloignées de l'axe neutre (\(y = \pm H/2\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Même si notre mesure de flèche était probablement fausse, les calculs de contrainte, eux, ne dépendent que de la charge appliquée (F) et de la géométrie (L, I, H), qui sont des données fiables. Nous pouvons donc évaluer la sécurité de la poutre indépendamment de l'erreur sur la mesure de déformation. C'est une distinction importante : le calcul de rigidité (flèche) et le calcul de résistance (contrainte) sont deux choses différentes.

Normes (la référence réglementaire)

Le dimensionnement selon les Eurocodes se fait aux "états limites". On vérifie l'État Limite Ultime (ELU), qui correspond à la ruine de la structure (on s'assure que \(\sigma_{\text{max}}\) est inférieure à la résistance du matériau, avec des coefficients de sécurité), et l'État Limite de Service (ELS), qui correspond à la déformation (on s'assure que la flèche reste dans des limites admissibles pour le confort et la durabilité).

Formule(s) (l'outil mathématique)

La contrainte maximale est donnée par :

\sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}} \cdot v}{I_{\text{Gz}}} \quad \text{avec} \quad v = \frac{H}{2}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la contrainte est purement due à la flexion (effort normal). Les contraintes de cisaillement et les concentrations de contraintes à l'encastrement sont négligées.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Moment fléchissant max, \(M_{\text{max}} = 600000 \, \text{N} \cdot \text{mm}\) (calcul Q2)
Moment quadratique, \(I_{\text{Gz}} = 1.71 \times 10^6 \, \text{mm}^4\) (valeur normalisée)
Hauteur du profilé, \(H = 100 \, \text{mm}\)
Limite élastique, \(\sigma_e = 235 \, \text{MPa}\)

Astuces(Pour aller plus vite)

Utilisez le module de flexion élastique (\(W_{\text{el,y}}\)) du profilé, donné dans les catalogues : pour un IPE 100, \(W_{\text{el,y}} = 34.2 \, \text{cm}^3 = 34200 \, \text{mm}^3\). Le calcul devient alors direct : \(\sigma_{\text{max}} = M_{\text{max}} / W_{\text{el,y}} = 600000 / 34200 \approx 17.5 \, \text{MPa}\).

Schéma (Avant les calculs)

Distribution des Contraintes sur la Section IPE

Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer la distance v :

\begin{aligned} v &= \frac{H}{2} \\ &= \frac{100 \, \text{mm}}{2} \\ &= 50 \, \text{mm} \end{aligned}

2. Calculer la contrainte maximale :

\begin{aligned} \sigma_{\text{max}} &= \frac{600000 \, \text{N} \cdot \text{mm} \cdot 50 \, \text{mm}}{1.71 \times 10^6 \, \text{mm}^4} \\ &\approx 17.5 \, \text{MPa} \end{aligned}

3. Comparer à la limite élastique :

17.5 \, \text{MPa} < 235 \, \text{MPa}

Schéma (Après les calculs)

Vérification de la Résistance

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La contrainte maximale est de 17.5 MPa, ce qui est très largement inférieur à la limite élastique de 235 MPa. Le coefficient de sécurité est de \(235 / 17.5 \approx 13.4\). La poutre est très sécuritaire pour cette charge. Cela confirme que l'hypothèse de comportement élastique, utilisée pour calculer E, était valide. La poutre est donc surdimensionnée en termes de résistance pour cette charge, mais peut-être que son dimensionnement était dicté par des critères de déformation (rigidité).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de vérifier la contrainte à l'endroit le plus sollicité. Pour une console, c'est toujours l'encastrement. Pour d'autres cas (poutre sur deux appuis avec plusieurs charges), le point du moment maximal n'est pas toujours évident et nécessite de tracer le diagramme des moments fléchissants.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La contrainte maximale se calcule au point de moment maximal.
La formule \(\sigma = My/I\) est universelle pour la flexion élastique.
La sécurité est vérifiée en comparant la contrainte maximale de service à la résistance du matériau (\(\sigma_e\)).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La contrainte de cisaillement, que nous avons négligée, est aussi présente. Dans un profilé IPE, elle est principalement reprise par l'âme. Pour des poutres très courtes et hautes, ou près d'appuis subissant de fortes charges, la vérification au cisaillement peut devenir plus importante que la vérification à la flexion.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La contrainte maximale est de 17.5 MPa. Comme elle est bien inférieure à la limite élastique (235 MPa), la poutre est utilisée en toute sécurité.

A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle est la force maximale F (en N) que la poutre peut supporter avant que la contrainte n'atteigne la limite élastique de 235 MPa ?

Outil Interactif : Paramètres de la Console

Utilisez les curseurs pour voir comment la modification des paramètres affecte le comportement de la poutre en porte-à-faux. Le profilé est un IPE 100.

Paramètres d'Entrée

Force Appliquée (N) 500 N

Portée (L) (mm) 1200 mm

Résultats Clés (Acier, E=210 GPa)

Flèche Maximale (mm) -

Contrainte Maximale (MPa) -

Coefficient de Sécurité -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans une poutre en porte-à-faux avec une charge à son extrémité, où la contrainte de flexion est-elle maximale ?

Au milieu de la poutre (L/2)
À l'encastrement
À l'extrémité libre, sous la charge

2. Si on remplace une poutre en console par une autre avec un moment quadratique (I) deux fois plus grand, la flèche sera...

2 fois plus grande
La même
2 fois plus faible

Poutre en porte-à-faux (ou Console): Poutre supportée à une seule extrémité par un encastrement, l'autre extrémité étant libre.
Encastrement: Liaison structurelle qui empêche toute translation et toute rotation. C'est l'appui le plus rigide, capable de reprendre des forces et des moments.
Théorème de Huygens: Théorème qui permet de calculer le moment quadratique d'une section par rapport à un axe quelconque, en connaissant son moment quadratique par rapport à son propre axe centroïdal.

2 Commentaires

Frédéric sur 7 août 2024 à 21h04

Bonjour
Merci pour ce site et pour votre travail
Je comprends votre calcul de la déformation unitaire.
Par contre, lors du calcul de la contrainte, vous divisez des MPa par ce nombre sans dimension pour obtenir des Pa (première incompréhension pour moi). Ensuite, vous convertissez ces Pa en GPa (mais je compte un rapport de 1E6 et non de 1E5).
Pourriez-vous m’indiquer où je me trompe?
Merci d’avance
Frédéric
Réponse
- EGC - Génie Civil sur 7 août 2024 à 22h07
  
  Bonjour Frédéric,
  
  Merci pour votre commentaire. Vous avez raison, il y avait une erreur dans la conversion des unités pour le calcul du module d’Young. Après correction, le module d’Young est bien de 18.75 GPa, ce qui est effectivement beaucoup plus bas que la plage typique pour l’acier (200-210 GPa). Cette différence pourrait être due à des hypothèses de données ou des erreurs de mesure. Merci beaucoup de votre vigilance !
  Réponse