EGC

Déformation de Différentes Sections Transversales

Déformation de Différentes Sections Transversales

Déformation de Différentes Sections Transversales

Contexte : Optimiser pour la rigidité, la clé de l'efficacité en construction.

En Génie Civil, le choix de la forme d'un profilé est aussi important que le choix du matériau. Pour une même quantité de matière (et donc un poids et un coût similaires), certaines formes sont beaucoup plus efficaces que d'autres pour résister à la flexion. L'efficacité d'une section est mesurée par son moment quadratiqueAussi appelé moment d'inertie de section (I), il mesure la capacité géométrique d'une section à résister à la flexion. Plus I est grand, plus la poutre est rigide.. Cet exercice a pour but de comparer la rigidité et la résistance de trois poutres en acier de même longueur et de même aire de section, mais de formes différentes : un carré plein, un tube circulaire creux et un profilé en I (IPE). Nous allons quantifier à quel point le profilé I est plus performant et comprendre pourquoi il est omniprésent dans la construction métallique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre l'un des principes les plus fondamentaux de la RdM : pour résister à la flexion, il faut placer la matière le plus loin possible de l'axe neutreLigne au sein d'une section de poutre où la contrainte de flexion est nulle. La matière au-dessus est comprimée, celle en dessous est tendue (ou vice-versa).. Nous allons le démontrer par le calcul en comparant un profilé "massif" (le carré) à des profilés "évidés" ou "élancés" (le tube et l'IPE).

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer le moment quadratique pour des sections simples (carré) et composées (tube, IPE).
  • Appliquer le théorème de Huygens pour les sections composées.
  • Calculer et comparer la flèche maximale pour différentes géométries de poutre.
  • Calculer et comparer la contrainte maximale en flexion.
  • Comprendre et quantifier l'efficacité des profilés standards comme l'IPE.

Données de l'étude

On considère une poutre en acier sur deux appuis simples, de portée \(L = 5 \, \text{m}\), soumise à une charge ponctuelle en son milieu \(F = 10 \, \text{kN}\). On souhaite comparer trois sections transversales différentes, toutes ayant une aire nominale de \(A \approx 2000 \, \text{mm}^2\).

Schéma de la poutre et des sections
F L = 5 m Sections Transversales (A ≈ 2000 mm²) Carré Plein 45 x 45 mm Tube Circulaire Øext=90, ep=5 mm Profilé IPE IPE 200
Paramètre Général Symbole Valeur Unité
Portée de la poutre \(L\) 5 \(\text{m}\)
Force ponctuelle \(F\) 10 \(\text{kN}\)
Module de Young (Acier) \(E\) 210 \(\text{GPa}\)
Section Dimensions Aire (\(A\))
Carré Plein Côté \(c = 45 \, \text{mm}\) \(2025 \, \text{mm}^2\)
Tube Circulaire \(\emptyset_{\text{ext}} = 90 \, \text{mm}\), épaisseur \(e = 5 \, \text{mm}\) \(1335 \, \text{mm}^2\)
Profilé IPE 200 (Dimensions normalisées) \(2850 \, \text{mm}^2\)

Questions à traiter

  1. Calculer le moment quadratique \(I_{\text{Gz}}\) pour la section carrée pleine.
  2. Calculer le moment quadratique \(I_{\text{Gz}}\) pour la section tubulaire.
  3. Le moment quadratique d'un IPE 200 est de \(1943 \times 10^4 \, \text{mm}^4\). Calculer la flèche maximale \(f_{\text{max}}\) pour chacune des trois poutres.
  4. Calculer la contrainte normale maximale \(\sigma_{\text{max}}\) dans chacune des trois poutres.
  5. Comparer les résultats et conclure sur l'efficacité des différentes sections.

Les bases de la RdM pour la Flexion

Avant la correction, rappelons les concepts fondamentaux de la flexion des poutres.

1. Moment Quadratique (\(I\)) :
Le moment quadratique (ou d'inertie) est la propriété géométrique clé qui gouverne la rigidité en flexion.

  • Rectangle (base b, hauteur h): \(I = \frac{b \cdot h^3}{12}\)
  • Cercle (diamètre d): \(I = \frac{\pi \cdot d^4}{64}\)
  • Tube (diamètres D et d): \(I = \frac{\pi \cdot (D^4 - d^4)}{64}\)

2. Théorème de Huygens :
Pour une section composée, le moment quadratique total est la somme des moments quadratiques de chaque partie (\(I_i\)) plus le produit de l'aire de chaque partie (\(A_i\)) par le carré de la distance (\(d_i\)) de son centre de gravité à l'axe global : \[ I_{\text{total}} = \sum (I_i + A_i \cdot d_i^2) \]

3. Flèche et Contrainte :
Pour une poutre sur appuis simples avec charge F au milieu :

  • Moment fléchissant max : \(M_{\text{max}} = \frac{F \cdot L}{4}\)
  • Flèche max : \(f_{\text{max}} = \frac{F \cdot L^3}{48 \cdot E \cdot I}\)
  • Contrainte max : \(\sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}} \cdot v}{I}\) avec \(v = h/2\)

Correction : Déformation de Différentes Sections Transversales

Question 1 : Moment quadratique de la section carrée

Principe (le concept physique)

Le moment quadratique d'une section pleine comme un carré est calculé directement à partir de ses dimensions. Il représente sa capacité intrinsèque à résister à la flexion. La hauteur de la section (la dimension perpendiculaire à l'axe de flexion) a une influence prépondérante car elle est à la puissance 3.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le moment quadratique est mathématiquement défini par l'intégrale \(I_z = \int_A y^2 dA\), où \(y\) est la distance d'un point de la section à l'axe neutre. Cette intégrale montre que les points les plus éloignés de l'axe (\(y\) grand) contribuent de manière beaucoup plus importante (au carré) à la rigidité que les points proches du centre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous essayez de plier une règle. C'est facile de la plier "à plat" (petite hauteur), mais très difficile de la plier "sur la tranche" (grande hauteur). C'est l'illustration parfaite de l'impact du \(h^3\) dans la formule du moment quadratique.

Normes (la référence réglementaire)

Les caractéristiques géométriques des profilés, y compris le moment quadratique, sont standardisées. Pour les profilés laminés à chaud, les normes comme la NF EN 10025 définissent les dimensions et les tolérances, et les catalogues de produits fournissent directement les valeurs de \(I\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour une section rectangulaire (un carré est un cas particulier avec \(b=h=c\)) :

\[ I_{\text{Gz}} = \frac{b \cdot h^3}{12} = \frac{c^4}{12} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la section est parfaitement carrée et que l'axe de flexion est l'un de ses axes de symétrie principaux.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Côté du carré, \(c = 45 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour les calculs manuels, il peut être utile de décomposer le calcul : \(45^2 = 2025\), puis \(2025^2 = 4100625\). Diviser par 12 est équivalent à diviser par 3 puis par 4, ce qui peut simplifier les choses.

Schéma (Avant les calculs)
Section Carrée et Axe de Flexion
c = 45 mmGz
Calcul(s) (l'application numérique)
\[ \begin{aligned} I_{\text{carré}} &= \frac{(45 \, \text{mm})^4}{12} \\ &= \frac{4100625 \, \text{mm}^4}{12} \\ &\approx 341719 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Moment Quadratique de la Section Carrée
I ≈ 3.42 x 10⁵ mm⁴
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de \(3.42 \times 10^5 \, \text{mm}^4\) représente la rigidité géométrique de la section carrée. Elle nous servira de référence pour la comparer à celle des autres sections. Seule, elle n'a pas beaucoup de sens, mais sa comparaison avec les autres valeurs sera très instructive.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier la puissance 4. Le moment quadratique varie très rapidement avec la taille de la section. Une petite erreur sur la dimension \(c\) entraînera une erreur beaucoup plus grande sur \(I\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le moment quadratique mesure la rigidité géométrique en flexion.
  • Pour une section carrée, \(I = c^4 / 12\).
  • La taille de la section a une influence énorme (puissance 4).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les poutres en bois anciennes étaient souvent de section carrée ou quasi-carrée, simplement parce que c'était la forme la plus facile à obtenir en équarrissant une grume d'arbre. L'optimisation des formes est venue plus tard avec la maîtrise de l'acier.

FAQ (pour lever les doutes)
Et si on fait tourner le carré de 45 degrés (en losange) ?

Le moment quadratique change ! Il devient plus faible. Pour un carré de côté \(c\), le moment quadratique par rapport à une diagonale est de \(c^4/12\), la même valeur. C'est une propriété unique du carré. Cependant, la hauteur maximale \(v\) change, ce qui affecte la contrainte.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment quadratique de la section carrée est d'environ \(3.42 \times 10^5 \, \text{mm}^4\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le moment quadratique (en mm⁴) pour un carré de 50 mm de côté ?

Question 2 : Moment quadratique de la section tubulaire

Principe (le concept physique)

Le moment quadratique d'une section creuse se calcule en soustrayant le moment quadratique du "vide" intérieur de celui de la section pleine extérieure. Cela illustre comment la matière proche du centre contribue peu à la rigidité en flexion.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Cette méthode de soustraction est une application du principe de superposition. On peut considérer la section creuse comme une section pleine de diamètre extérieur à laquelle on superpose une section pleine de diamètre intérieur avec une "densité" négative. Le calcul des propriétés géométriques suit cette logique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le tube est une forme très efficace car il place toute sa matière le plus loin possible du centre, là où elle travaille le plus. C'est pourquoi les cadres de vélo, les mâts ou les échafaudages utilisent des tubes : ils offrent une grande rigidité pour un poids minimal.

Normes (la référence réglementaire)

Les tubes pour la construction sont également normalisés (par exemple, norme NF EN 10219 pour les profilés creux formés à froid). Les catalogues fournissent les valeurs de \(I\) pour toutes les combinaisons de diamètres et d'épaisseurs disponibles.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ I_{\text{tube}} = I_{\text{ext}} - I_{\text{int}} = \frac{\pi \cdot (D_{\text{ext}}^4 - D_{\text{int}}^4)}{64} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le tube est parfaitement cylindrique et que l'épaisseur est constante sur toute la circonférence.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Diamètre extérieur, \(D_{\text{ext}} = 90 \, \text{mm}\)
  • Épaisseur, \(e = 5 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention à bien calculer le diamètre intérieur (\(D_{\text{int}} = D_{\text{ext}} - 2e\)) et non pas en soustrayant une seule épaisseur. C'est une erreur fréquente. Ici, \(D_{\text{int}} = 90 - 10 = 80\) mm.

Schéma (Avant les calculs)
Section Tubulaire
DextDint
Calcul(s) (l'application numérique)

D'abord, on calcule le diamètre intérieur :

\[ D_{\text{int}} = D_{\text{ext}} - 2 \cdot e = 90 \, \text{mm} - 2 \cdot 5 \, \text{mm} = 80 \, \text{mm} \]

Ensuite, on calcule le moment quadratique :

\[ \begin{aligned} I_{\text{tube}} &= \frac{\pi \cdot ((90 \, \text{mm})^4 - (80 \, \text{mm})^4)}{64} \\ &= \frac{\pi \cdot (65610000 - 40960000)}{64} \, \text{mm}^4 \\ &= \frac{\pi \cdot 24650000}{64} \, \text{mm}^4 \\ &\approx 1211577 \, \text{mm}^4 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Moment Quadratique de la Section Tubulaire
I ≈ 12.1 x 10⁵ mm⁴
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Avec une aire pourtant plus faible que celle du carré, le tube a un moment quadratique environ 3.5 fois plus grand (\(12.12 \times 10^5\) vs \(3.42 \times 10^5\)). Cela démontre de manière spectaculaire l'efficacité de placer la matière loin de l'axe neutre.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas faire \( (D_{\text{ext}} - D_{\text{int}})^4 \). Il faut bien calculer la différence des puissances quatrièmes, \( D_{\text{ext}}^4 - D_{\text{int}}^4 \), ce qui est très différent. C'est une erreur d'algèbre classique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les sections creuses sont très efficaces en flexion.
  • Leur moment quadratique se calcule par soustraction.
  • Attention à la différence des puissances et au calcul du diamètre intérieur.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les sections tubulaires sont également exceptionnellement résistantes à la torsion. C'est pourquoi les arbres de transmission dans les voitures ou les hélicoptères sont toujours des tubes et non des barres pleines.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce qu'un tube carré est aussi efficace qu'un tube rond ?

Pour une même aire et une même hauteur, un tube carré est légèrement plus rigide en flexion qu'un tube rond. Cependant, le tube rond est plus efficace pour résister à la torsion et a moins de problèmes de concentration de contraintes dans les angles.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le moment quadratique de la section tubulaire est d'environ \(12.12 \times 10^5 \, \text{mm}^4\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le moment quadratique (en mm⁴, \(\times 10^5\)) d'un tube de Dext=100mm et Dint=90mm ?

Question 3 : Calcul de la flèche maximale

Principe (le concept physique)

La flèche est la déformation visible de la poutre. Elle est inversement proportionnelle à la rigidité de la poutre, qui est le produit du module du matériau (\(E\)) et du moment quadratique (\(I\)). Pour la même charge et le même matériau, la poutre avec le plus grand \(I\) aura la plus petite flèche.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'équation de la déformée, \(EI y'' = M(x)\), montre que la courbure (\(y''\)) est proportionnelle au moment fléchissant. Un grand produit \(EI\) (grande rigidité) signifie que pour un même moment, la poutre se courbera moins, et donc la flèche intégrée sera plus faible.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La flèche est souvent le critère qui dimensionne une poutre, avant même la résistance. Une poutre de plancher peut être assez solide pour ne pas casser, mais si elle fléchit trop, le carrelage se fissurera et les occupants auront une sensation d'inconfort. On limite donc la flèche à une fraction de la portée (ex: L/300).

Normes (la référence réglementaire)

Les Eurocodes définissent des limites de flèche admissibles pour différents types de structures (planchers, toitures, etc.) afin de garantir les États Limites de Service (ELS). Ces limites dépendent de l'usage du bâtiment.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ f_{\text{max}} = \frac{F \cdot L^3}{48 \cdot E \cdot I} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le matériau reste dans son domaine élastique et que les déformations sont faibles par rapport aux dimensions de la poutre, ce qui valide l'application de la théorie des poutres.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(F = 10 \, \text{kN} = 10000 \, \text{N}\)
  • \(L = 5 \, \text{m} = 5000 \, \text{mm}\)
  • \(E = 210 \, \text{GPa} = 210000 \, \text{MPa} = 210000 \, \text{N/mm}^2\)
  • \(I_{\text{carré}} \approx 3.42 \times 10^5 \, \text{mm}^4\)
  • \(I_{\text{tube}} \approx 12.12 \times 10^5 \, \text{mm}^4\)
  • \(I_{\text{IPE}} = 19.43 \times 10^5 \, \text{mm}^4\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La conversion des unités est la principale source d'erreur ici. Convertissez tout en un système cohérent (N, mm, MPa) avant de commencer. \(10 \, \text{kN} = 10000 \, \text{N}\), \(5 \, \text{m} = 5000 \, \text{mm}\), \(210 \, \text{GPa} = 210000 \, \text{MPa}\).

Schéma (Avant les calculs)
Poutre avant déformation
Ff = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On calcule le terme commun \( \frac{F \cdot L^3}{48 \cdot E} \) en premier :

\[ \begin{aligned} \frac{F \cdot L^3}{48 \cdot E} &= \frac{10000 \cdot (5000)^3}{48 \cdot 210000} \\ &\approx 1.24 \times 10^{11} \, \text{N} \cdot \text{mm}^3 \end{aligned} \]

1. Flèche de la poutre carrée :

\[ f_{\text{carré}} = \frac{1.24 \times 10^{11}}{3.42 \times 10^5} \approx 362.6 \, \text{mm} \]

2. Flèche de la poutre tubulaire :

\[ f_{\text{tube}} = \frac{1.24 \times 10^{11}}{12.12 \times 10^5} \approx 102.3 \, \text{mm} \]

3. Flèche de la poutre IPE :

\[ f_{\text{IPE}} = \frac{1.24 \times 10^{11}}{19.43 \times 10^5} \approx 63.8 \, \text{mm} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Flèches
Flèche Maximale0mmCarré: 363 mmTube: 102 mmIPE: 64 mm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La différence de rigidité est énorme. La flèche de la poutre carrée (36 cm) est totalement inacceptable. C'est plus une corde à sauter qu'une poutre ! Le tube est déjà bien meilleur, mais l'IPE est le plus performant, avec une flèche presque 6 fois plus faible que le carré. Cela montre que la forme est un levier d'optimisation extrêmement puissant.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à la puissance 3 sur la longueur \(L\). Une erreur sur la conversion des unités de longueur (m en mm) aura un impact colossal (un facteur \(1000^3 = 1\) milliard) sur le résultat final.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La flèche est inversement proportionnelle au moment quadratique \(I\).
  • Doubler \(I\) divise la flèche par deux.
  • La forme de la section est un paramètre de conception essentiel pour maîtriser les déformations.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les très grands ponts ou les ailes d'avion, les ingénieurs utilisent des poutres à âme pleine (comme les IPE) ou des poutres en treillis, qui sont une version encore plus optimisée où l' "âme" pleine est remplacée par un assemblage de barres travaillant en traction/compression. C'est l'optimisation ultime de l'utilisation de la matière.

FAQ (pour lever les doutes)
Quelle est la flèche maximale autorisée en général ?

Cela dépend de l'usage. Pour un plancher supportant des cloisons fragiles, on limite souvent la flèche à L/500. Pour une toiture, L/200 peut être acceptable. Pour notre poutre de 5000 mm, une limite à L/300 serait de 16.7 mm. Aucune des sections étudiées ne respecte ce critère avec cette charge !

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les flèches maximales sont : 362.6 mm (carré), 102.3 mm (tube), et 63.8 mm (IPE).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on voulait limiter la flèche de l'IPE à 25 mm, quelle force maximale (en kN) pourrait-on appliquer ?

Question 4 : Calcul de la contrainte maximale

Principe (le concept physique)

La contrainte maximale se produit sur les fibres les plus éloignées de l'axe neutre. Elle dépend du moment fléchissant (qui est le même pour toutes les poutres) et du "module d'inertie" \(W = I/v\), où \(v\) est la distance de la fibre la plus externe à l'axe neutre. Une section plus efficace aura un grand \(W\), et donc une contrainte plus faible.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La formule \(\sigma_{\text{max}} = M_{\text{max}}/W_{\text{el}}\) où \(W_{\text{el}} = I/v\) est au cœur du dimensionnement en résistance. Le module d'inertie élastique \(W_{\text{el}}\) représente la capacité d'une section à résister à la contrainte de flexion. Les catalogues de profilés donnent toujours cette valeur car elle permet de vérifier très rapidement la résistance : il suffit de s'assurer que \(M_{\text{max}} / W_{\text{el}} \le \sigma_{\text{e}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La contrainte est comme un levier. Plus le bras de levier (\(v\)) est grand, plus la force (contrainte) est grande à l'extrémité pour un même moment. Une poutre très haute (grand \(v\)) subira de fortes contraintes sur ses fibres externes, mais son grand moment quadratique \(I\) compense largement cet effet.

Normes (la référence réglementaire)

Le dimensionnement à l'État Limite Ultime (ELU) en flexion selon l'Eurocode 3 consiste à vérifier que le moment de calcul \(M_{Ed}\) est inférieur au moment résistant plastique de la section \(M_{pl,Rd}\). Pour les sections de classe 1 ou 2 comme les IPE, ce moment résistant est calculé avec le module plastique \(W_{pl}\), qui est plus grand que le module élastique \(W_{el}\).

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \sigma_{\text{max}} = \frac{M_{\text{max}} \cdot v}{I} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la loi de Navier-Bernoulli (les sections planes restent planes) s'applique, ce qui est vrai pour la flexion élastique des poutres élancées.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(M_{\text{max}} = \frac{F \cdot L}{4} = \frac{10000 \, \text{N} \cdot 5000 \, \text{mm}}{4} = 12.5 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
  • Pour le carré : \(v = 45/2 = 22.5 \, \text{mm}\)
  • Pour le tube : \(v = 90/2 = 45 \, \text{mm}\)
  • Pour l'IPE 200 : \(h=200 \, \text{mm}\), donc \(v = 200/2 = 100 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul du moment fléchissant maximal est une étape préliminaire cruciale. Assurez-vous que ses unités (\(\text{N} \cdot \text{mm}\)) sont cohérentes avec celles de \(I\) (\(\text{mm}^4\)) et \(v\) (\(\text{mm}\)) pour obtenir une contrainte en \(\text{N/mm}^2\) (MPa).

Schéma (Avant les calculs)
Distribution des Contraintes
-σ_max?+σ_max?Axe Neutre
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Contrainte dans la poutre carrée :

\[ \sigma_{\text{carré}} = \frac{12.5 \times 10^6 \cdot 22.5}{3.42 \times 10^5} \approx 822 \, \text{MPa} \]

2. Contrainte dans la poutre tubulaire :

\[ \sigma_{\text{tube}} = \frac{12.5 \times 10^6 \cdot 45}{12.12 \times 10^5} \approx 464 \, \text{MPa} \]

3. Contrainte dans la poutre IPE :

\[ \sigma_{\text{IPE}} = \frac{12.5 \times 10^6 \cdot 100}{19.43 \times 10^5} \approx 643 \, \text{MPa} \]
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des Contraintes
Contrainte Maximale0822 MPa464 MPa643 MPaCarréTubeIPE
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Toutes les contraintes sont extrêmement élevées et dépassent la limite de l'acier S235 (235 MPa), ce qui signifie que la charge de 10 kN est trop forte pour ces poutres. Cependant, la comparaison est intéressante : c'est le tube qui présente la contrainte la plus faible, ce qui en fait le plus "résistant" à aire égale. L'IPE, bien que plus rigide, est plus haut, donc son \(v\) est plus grand, ce qui augmente la contrainte maximale.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier de calculer la distance à la fibre extrême \(v\). Pour une section symétrique, c'est simplement la moitié de la hauteur totale. Pour une section non symétrique, il faut d'abord trouver la position du centre de gravité, puis la plus grande distance entre ce point et le bord supérieur ou inférieur.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La contrainte max dépend de \(I\) et de la hauteur \(v\).
  • \(\sigma_{\text{max}} = M_{\text{max}} \cdot v / I\).
  • Une section peut être très rigide (grand I) mais avoir une contrainte élevée si elle est très haute (grand v).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les poutres en béton précontraint, on tend des câbles d'acier à l'intérieur du béton. En se rétractant, ces câbles créent une compression permanente dans la partie inférieure de la poutre. Lorsque la poutre est chargée, la traction due à la flexion vient d'abord "annuler" cette pré-compression avant de réellement tendre le béton, ce qui augmente considérablement sa résistance.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi la contrainte de l'IPE est plus grande que celle du tube ?

Bien que l'IPE ait un plus grand moment quadratique \(I\), sa hauteur est beaucoup plus grande (200 mm contre 90 mm pour le tube). La distance à la fibre extrême \(v\) est donc de 100 mm pour l'IPE contre 45 mm pour le tube. L'augmentation de \(v\) dans la formule \(\sigma = Mv/I\) est proportionnellement plus grande que l'augmentation de \(I\), ce qui conduit à une contrainte plus élevée.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les contraintes maximales sont : 822 MPa (carré), 464 MPa (tube), et 643 MPa (IPE).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la contrainte maximale (en MPa) dans le tube si on appliquait une force de seulement 5 kN ?

Question 5 : Comparaison et conclusion

Principe (le concept physique)

Cette étape finale consiste à synthétiser les résultats pour en tirer des conclusions d'ingénierie. On met en balance les deux critères principaux, la rigidité (inverse de la flèche) et la résistance (inverse de la contrainte), pour évaluer l'efficacité globale de chaque forme géométrique.

Réflexions (l'interprétation du résultat)

En analysant les résultats, plusieurs conclusions s'imposent :

  • Rigidité (Flèche) : Le profilé IPE est de loin le plus rigide (flèche la plus faible : 63.8 mm), suivi du tube (102.3 mm). La section carrée pleine est extrêmement souple en comparaison (flèche de 362.6 mm), la rendant inutilisable en pratique pour cette portée et cette charge. L'IPE est presque 6 fois plus rigide que le carré.
  • Résistance (Contrainte) : Toutes les contraintes calculées (822, 464, 643 MPa) dépassent largement la limite d'élasticité de l'acier S235 (235 MPa). Cela signifie que toutes les poutres plastifieraient et rompraient sous cette charge. Cependant, la comparaison reste valide : le tube est la section qui subit la contrainte la plus faible (464 MPa), le rendant le plus "résistant" pour cette configuration.
  • Efficacité : Le profilé IPE offre le meilleur compromis. Il est le plus rigide et presque aussi résistant que le tube, tout en étant une forme standard facile à produire et à connecter. Le carré plein est la forme la moins efficace, gaspillant de la matière près de l'axe neutre où elle ne travaille pas efficacement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'efficacité d'une section en flexion dépend de sa capacité à maximiser le moment quadratique pour une aire donnée.
  • Les profilés en I sont un excellent compromis entre rigidité, résistance et facilité de mise en œuvre.
  • Les sections pleines sont très peu efficaces en flexion.
  • Le dimensionnement doit vérifier à la fois la résistance (contrainte < limite) et la déformation (flèche < limite).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les poutres alvéolaires sont des profilés en I que l'on découpe en zigzag dans l'âme et que l'on ressoude en décalé pour augmenter leur hauteur sans ajouter de matière. Cela augmente considérablement leur moment quadratique et leur rigidité, leur permettant de franchir de plus grandes portées pour un même poids.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le profilé IPE 200 est la section la plus efficace en termes de rigidité. Le tube est le plus efficace en termes de résistance pure. La section carrée pleine est la moins performante dans les deux catégories.

Outil Interactif : Comparaison de la Flèche

Modifiez la force appliquée pour voir comment la flèche de chaque section évolue. Observez l'efficacité du profilé IPE.

Paramètres d'Entrée
10 kN

Le Saviez-Vous ?

Le principe d'optimisation des formes est visible partout dans la nature. Un os de cuisse (fémur) n'est pas un cylindre plein. Il a une structure externe dense et un intérieur spongieux (os trabéculaire). Cette configuration place la matière résistante à l'extérieur, là où les contraintes de flexion et de torsion sont maximales, tout en allégeant la structure. C'est exactement le même principe qu'un profilé IPE ou un tube.

Foire Aux Questions (FAQ)

Si le tube est si résistant, pourquoi utilise-t-on majoritairement des IPE ?

Bien que les tubes (sections creuses circulaires ou carrées) soient très efficaces, surtout en torsion, les profilés en I sont souvent plus pratiques à fabriquer et, surtout, beaucoup plus faciles à assembler. Les surfaces planes des semelles simplifient grandement les connexions par boulonnage ou par soudure, ce qui réduit les coûts de main-d'œuvre sur le chantier.

Qu'est-ce que le "module d'inertie" ou "module de flexion" ?

Le module d'inertie (noté \(W\)) est une propriété géométrique qui combine le moment quadratique et la hauteur de la section : \(W = I / v\). Il permet de simplifier le calcul de la contrainte maximale en \(\sigma_{\text{max}} = M_{\text{max}} / W\). Un profilé avec un grand module d'inertie est très résistant à la flexion.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour une même quantité d'acier, quelle forme est généralement la plus rigide en flexion ?

2. Si on double la hauteur d'une poutre rectangulaire (en gardant la même base), son moment quadratique est...

Moment Quadratique (I)
Aussi appelé moment d'inertie de section. C'est une propriété purement géométrique qui mesure la capacité d'une section à résister à la flexion. Son unité est en \(\text{m}^4\) ou \(\text{mm}^4\).
Axe Neutre
La ligne à l'intérieur d'une section fléchie où la contrainte normale est nulle. La matière s'y allonge ni ne se raccourcit. Pour les sections symétriques, il passe par le centre de gravité.
Théorème de Huygens
Théorème des axes parallèles qui permet de calculer le moment quadratique d'une section par rapport à un axe qui ne passe pas par son centre de gravité. Il est essentiel pour les sections composées comme les profilés en I.
Flèche
Le déplacement vertical d'une poutre sous l'effet d'une charge. La flèche maximale est souvent le critère de dimensionnement le plus contraignant.
Déformation de Différentes Sections Transversales

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