Contraintes Thermiques en Aérospatiale

Correction : Contraintes Thermiques en Aérospatiale

1. Calcul de la contrainte thermique

Quand un matériau est chauffé, ses atomes vibrent plus fort et ont tendance à s’écarter, ce qui provoque une dilatation (allongement ou gonflement). Si ce matériau est libre de se dilater, il ne subit aucune contrainte. En revanche, si la dilatation est empêchée (par un montage rigide ou des liaisons fixes), une force interne apparaît pour tenter d’empêcher ce mouvement. Cette force par unité de surface est appelée contrainte thermique. Plus le matériau est rigide (grand module d’élasticité) et plus son coefficient de dilatation est élevé, plus la contrainte générée est importante.

Formule

\[ \sigma_{\text{th}} = E\,\alpha\,\Delta T \]

• \(\sigma_{\text{th}}\) : contrainte thermique en pascals (Pa), c’est-à-dire newtons par mètre carré (N/m²).
• \(E\) : module d’élasticité en pascals (Pa), caractérise la rigidité du matériau.
• \(\alpha\) : coefficient de dilatation thermique en kelvin inverse (K⁻¹), indique combien le matériau change de longueur par degré.
• \(\Delta T\) : augmentation de température en kelvins (K), différence entre température finale et initiale.

Données

• Module d’élasticité : \(E = 70\ \text{GPa} = 70\times10^9\ \text{Pa}\) (1 GPa = 10⁹ Pa).
• Coefficient de dilatation : \(\alpha = 9\times10^{-6}\ \text{K}^{-1}\) (soit 0,000009 par degré).
• Température initiale : \(T_i = 20\ ^\circ\text{C}\) (température ambiante).
• Température finale : \(T_f = 1200\ ^\circ\text{C}\).
• Variation : \(\Delta T = T_f - T_i = 1200 - 20 = 1180\ \text{K}\).

Calcul

Nous remplaçons directement dans la formule : \[ \sigma_{\text{th}} = 70\times10^9\ \text{Pa} \times 9\times10^{-6}\ \text{K}^{-1} \times 1180\ \text{K} \] \[ \sigma_{\text{th}} = 743\ 400\ 000\ \text{Pa} \]

Conversion en mégapascals : 1 MPa = 10⁶ Pa, donc
\[743\ 400\ 000\ \text{Pa} = 743{,}4\ \text{MPa}\].

Résultat : \(\sigma_{\text{th}} = 743{,}4\ \text{MPa}\).

Interprétation : Cette valeur est bien supérieure à la contrainte maximale admissible de 180 MPa. Cela signifie que si le composant est complètement empêché de se dilater, il subira des fissures ou cassera, car il n’a pas assez de marge de résistance.

2. Vérification sous charge externe axiale

Une charge axiale est une force appliquée le long de l’axe du cylindre (dans la même direction que sa longueur). Cette force se répartit sur la section transversale interne du tube (section annulaire) et crée une contrainte calculée comme la force divisée par l’aire sur laquelle elle agit. On compare ensuite cette contrainte à la limite admissible pour vérifier la sécurité.

Formule

\[ \sigma_{\text{ax}} = \frac{F}{A} \]

• \(\sigma_{\text{ax}}\) : contrainte axiale (Pa).
• \(F\) : force appliquée en newtons (N).
• \(A\) : aire de la section annulaire en mètres carrés (m²).

Données

• Force appliquée : \(F = 10\ \text{kN} = 10\ 000\ \text{N}\).
• Diamètre externe : \(D_{\rm ext} = 50\ \text{mm}\) → rayon externe \(R_{\rm ext} = 25\ \text{mm} = 0{,}025\ \text{m}\).
• Diamètre interne : \(D_{\rm int} = 20\ \text{mm}\) → rayon interne \(R_{\rm int} = 10\ \text{mm} = 0{,}010\ \text{m}\).
• Aire annulaire : \[ A = \pi \bigl(R_{\rm ext}^2 - R_{\rm int}^2\bigr) = \pi \bigl(0{,}025^2 - 0{,}010^2\bigr)\ \text{m}^2 \]

Calcul de chaque terme :

1. \(R_{\rm ext}^2 = 0{,}025^2 = 0{,}000625\ \text{m}^2\).
2. \(R_{\rm int}^2 = 0{,}010^2 = 0{,}000100\ \text{m}^2\).
3. Différence = \(0{,}000625 - 0{,}000100 = 0{,}000525\ \text{m}^2\)
4. Multiplication par \(\pi \approx 3{,}1416\) :
\[A = 3{,}1416\times0{,}000525 \] \[A = 0{,}001649\ \text{m}^2\]

Calcul de \(\sigma_{ax}\)

On remplace dans la formule : \[ \sigma_{\text{ax}} = \frac{10\ 000\ \text{N}}{0{,}001649\ \text{m}^2} \] \[ \sigma_{\text{ax}} = 6\ 063\ 675\ \text{Pa} \] \[ \sigma_{\text{ax}} \approx 6{,}06\ \text{MPa}. \]

Résultat : \(\sigma_{\text{ax}} = 6{,}06\ \text{MPa}\).

Interprétation : Cette contrainte est très faible comparée à la limite de 180 MPa. Le composant peut donc supporter sans risque la charge de 10 kN.

3. Conclusion générale

• Contrainte thermique : \(\sigma_{\text{th}} = 743{,}4\ \text{MPa} > 180\ \text{MPa}\) → échec à cause de la dilatation contrainte.
• Contrainte mécanique axiale : \(\sigma_{\text{ax}} = 6{,}06\ \text{MPa} < 180\ \text{MPa}\) → réussite, la charge est bien supportée.

Remarque pédagogique : Dans la réalité, on utilise souvent des appuis glissants ou des joints spéciaux pour laisser place à la dilatation et éviter ces contraintes thermiques trop élevées.

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