Mouvement Curviligne sur Route Inclinée

I. Calcul de la force de frottement nécessaire

Pour qu’un véhicule de masse \(m\) négocie un virage de rayon \(R\) sur une route inclinée sans déraper, la force de frottement doit simultanément :

• fournir la force centripète \(F_{\mathrm{c}}\) nécessaire pour courber la trajectoire,
• s’opposer à la composante de la pesanteur \(F_{\mathrm{g,\parallel}}\) qui fait glisser le véhicule vers le bas de la pente.

Ces deux contributions sont orthogonales dans le plan de la route, d’où :

\[ F_{\mathrm{f,\;req}} = \sqrt{\bigl(F_{\mathrm{c}}\bigr)^2 + \bigl(F_{\mathrm{g,\parallel}}\bigr)^2} \]

Formules

\[ v = 60\;\mathrm{km/h} = \frac{60}{3.6} = 16{,}67\;\mathrm{m/s} \]

\[ F_{\mathrm{c}} = m \; \frac{v^2}{R} \]

\[ F_{\mathrm{g,\parallel}} = m \; g \; \sin\alpha \]

\[ F_{\mathrm{f,\;req}} = \sqrt{\Bigl(m \; \frac{v^2}{R}\Bigr)^2 + \bigl(m \; g \; \sin\alpha\bigr)^2} \]

Données

• Rayon de courbure : \(R = 50\,\mathrm{m}\)
• Inclinaison : \(\alpha = 5^\circ\)
• Coefficient de frottement : \(\mu = 0{,}7\)
• Vitesse : \(v = 60\,\mathrm{km/h} = 16{,}67\,\mathrm{m/s}\)
• Accélération de la pesanteur : \(g = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\)

Calculs

Force centripète par kg

\[ \frac{v^2}{R} = \frac{(16{,}67)^2}{50} = 5{,}556\;\mathrm{m/s^2} \]

\[ F_{\mathrm{c}} = m \times 5{,}556\;\mathrm{N/kg} \]

Composante du poids parallèle par kg

\[ g \; \sin5^\circ = 9{,}81 \; \times \; 0{,}08716 = 0{,}8556\;\mathrm{m/s^2} \]

\[ F_{\mathrm{g,\parallel}} = m \times 0{,}8556\;\mathrm{N/kg} \]

Module de la force de frottement requise par kg

\[ \frac{F_{\mathrm{f,req}}}{m} = \sqrt{(5{,}556)^2 + (0{,}8556)^2} \] \[ = \sqrt{30{,}86 + 0{,}732} = \sqrt{31{,}59} = 5{,}62\;\mathrm{N/kg} \]

Pour un véhicule de masse \(m = 1\,000\,\mathrm{kg}\) :

\[ F_{\mathrm{f,req}} = 5{,}62 \; \times \; 1\,000 = 5\,620\;\mathrm{N} \]

II. Vérification de la vitesse maximale autorisée

La force de frottement maximale disponible est \(F_{\mathrm{f,max}} = \mu \; N\), avec :

\[ N = m \; g \; \cos\alpha \]

Pour rester en adhérence :

\[ F_{\mathrm{f,req}} \le F_{\mathrm{f,max}} \]

Formules

\[ F_{\mathrm{f,max}} = \mu \; m \; g \; \cos\alpha \]

\[ \sqrt{\Bigl(m \; \frac{v^2}{R}\Bigr)^2 + \bigl(m \; g \; \sin\alpha\bigr)^2} \le \mu \; m \; g \; \cos\alpha \]

Données

Reprise des données de la partie I.

Calculs

Calcul de \(g \cos\alpha\)

\[ g \; \cos5^\circ = 9{,}81 \; \times \; 0{,}9962 = 9{,}77\;\mathrm{m/s^2} \]

Force de frottement maximale par kg

\[ \frac{F_{\mathrm{f,max}}}{m} = 0{,}7 \; \times \; 9{,}77 = 6{,}84\;\mathrm{N/kg} \]

Pour un véhicule de masse \(m = 1\,000\,\mathrm{kg}\) :

\[ F_{\mathrm{f,max}} = 6{,}84 \; \times \; 1\,000 = 6\,840\;\mathrm{N} \]

Comparaison

\[ 5\,620\;\mathrm{N} < 6\,840\;\mathrm{N} \] → Adhérence suffisante à \(60\,\mathrm{km/h}\).

Vitesse limite théorique

\[ \sqrt{(\mu \; g \; \cos5^\circ)^2 - (g \; \sin5^\circ)^2} \] \[ = \sqrt{(6{,}84)^2 - (0{,}856)^2} = 6{,}785\;\mathrm{m/s^2} \]

\[ v_{\max} = \sqrt{50 \; \times \; 6{,}785} \] \[ v_{\max} = 18{,}42\;\mathrm{m/s} = 66{,}3\;\mathrm{km/h} \]

III. Conclusion

• Force de frottement requise : \(5\,620\;\mathrm{N}\).
• Force de frottement disponible : \(6\,840\;\mathrm{N}\).
• Sécurité à 60\,km/h : OK, marge d’adhérence confortable.
• Vitesse limite théorique : \(v_{\max} \approx 66,3\,\mathrm{km/h}\).
• Ainsi, la vitesse maximale autorisée de \(60\,\mathrm{km/h}\) est adéquate pour ces conditions.