Calcul de la Masse d’un Réservoir Cylindrique
Comprendre le Calcul de la Masse d’un Réservoir Cylindrique
Un ingénieur doit concevoir un réservoir cylindrique pour stocker de l’huile. Le réservoir doit être fabriqué en acier et être capable de contenir jusqu’à 10000 litres d’huile.
L’ingénieur doit calculer la masse du réservoir vide pour évaluer les exigences de support et de transport.
Données:
- Volume d’huile à stocker: \( V = 10\,000 \) litres.
- Densité de l’acier utilisé pour le réservoir: \( \rho_{acier} = 7850 \) kg/m\(^3\).
- Épaisseur de l’acier du réservoir: 5 mm.
Question:
Calculer la masse du réservoir vide en considérant le matériau (acier) et les dimensions nécessaires pour contenir le volume spécifié d’huile.
Correction : Calcul de la Masse d’un Réservoir Cylindrique
1. Conversion du volume et détermination des dimensions du réservoir
Volume requis pour l’huile:
Volume donné, \( V = 10,000 \) litres, ce qui équivaut à \( 10 \) m\(^3\) (1 m\(^3\) = 1000 litres).
Choix des dimensions initiales (en supposant que la hauteur est deux fois le rayon):
Formule du volume d’un cylindre:
\[ V = \pi r^2 h \]
avec \(h = 2r\)
Résolution pour \( r \):
\[ V = \pi r^2 \cdot 2r \] \[ 10 = 2\pi r^3 \] \[ r^3 = \frac{10}{2\pi} \] \[ r = \sqrt[3]{\frac{10}{2\pi}} \] \[ r \approx 1.165 \text{ m} \]
- Calcul de \( h \):
\[ h = 2 \times 1.165 \] \[ h \approx 2.33 \text{ m} \]
2. Détermination du volume de l’acier
Calcul des dimensions extérieures avec une épaisseur de l’acier de 5 mm:
\[ r_{\text{ext}} = r + 0.005 \text{ m} \] \[ r_{\text{ext}} = 1.165 + 0.005 \] \[ r_{\text{ext}} = 1.17 \text{ m} \]
\[ h_{\text{ext}} = h + 0.005 \text{ m} \] \[ h_{\text{ext}} = 2.33 + 0.005 \] \[ h_{\text{ext}} = 2.335 \text{ m} \]
Volume extérieur du cylindre:
\[ V_{\text{ext}} = \pi r_{\text{ext}}^2 h_{\text{ext}} \] \[ V_{\text{ext}} = \pi (1.17)^2 \cdot 2.335 \] \[ V_{\text{ext}} \approx 10.058 \text{ m}^3 \]
- Volume de l’acier utilisé:
\[ V_{\text{acier}} = V_{\text{ext}} – V \] \[ V_{\text{acier}} = 10.058 – 10 \] \[ V_{\text{acier}} = 0.058 \text{ m}^3 \]
3. Calcul de la masse du réservoir
Masse du réservoir en acier:
- \(\rho_{\text{acier}} = 7850 \text{ kg/m}^3\)
\[ m = \rho_{\text{acier}} \times V_{\text{acier}} \] \[ m = 7850 \times 0.058 \] \[ m \approx 455.1 \text{ kg} \]
Résumé de la Correction
La masse du réservoir cylindrique en acier, conçu pour stocker \( 10 \text{ m}^3 \) d’huile et ayant une épaisseur de 5 mm pour les parois, est d’environ 455 kg.
Cette masse est calculée sur la base des dimensions extérieures ajustées pour prendre en compte l’épaisseur de l’acier, fournissant ainsi un cadre précis et fiable pour évaluer les exigences de support et de transport du réservoir.
Calcul de la Masse d’un Réservoir Cylindrique
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