Conservation de l’Élan lors d’une Collision

Correction : Conservation de l’Élan lors d’une Collision

1. Calcul de la vitesse finale \(v_f\)

Imaginons deux véhicules qui se heurtent et restent accrochés. Plutôt que de s’arrêter ou de repartir chacun de son côté, ils avancent ensemble après l’impact. Pourquoi ? Parce que la quantité totale de mouvement (ou « élan ») ne disparaît pas, elle se répartit entre les deux.

Étape 1 : Comprendre l’élan. L’élan d’un objet est sa masse multipliée par sa vitesse. Plus un objet est lourd ou rapide, plus son élan est grand.

Étape 2 : Avant la collision, chaque véhicule a son propre élan :

• Calcul de l’élan initial de la voiture : \(p_{1i} = m_1 \times v_{1i}\).
• Calcul de l’élan initial du camion : \(p_{2i} = m_2 \times v_{2i}\).

Étape 3 : Lors de la collision parfaitement inélastique, leurs élan se combine :

\[m_1\,v_{1i} + m_2\,v_{2i} = (m_1 + m_2)\,v_f\]

C’est cette formule qui relie la somme des élan initiaux à la vitesse finale commune \(v_f\).

Formule générale

\[v_f = \frac{m_1\,v_{1i} + m_2\,v_{2i}}{m_1 + m_2}\]

Données

• \(m_1 = 1500\;\mathrm{kg}\) (masse de la voiture).
• \(v_{1i} = 22\;\mathrm{m/s}\) (vitesse initiale de la voiture).
• \(m_2 = 4500\;\mathrm{kg}\) (masse du camion).
• \(v_{2i} = 15\;\mathrm{m/s}\) (vitesse initiale du camion).

Calcul de \(v_f\)

• Produit masse-vitesse de la voiture : \[1500 \times 22 = 33\,000\]
• Produit masse-vitesse du camion : \[4500 \times 15 = 67\,500\]
• Somme des quantités de mouvement : \[33\,000 + 67\,500 = 100\,500\]
• Somme des masses : \[m_1 + m_2 = 1500 + 4500 = 6000\]
• Division pour obtenir \(v_f\) : \[v_f = \frac{100\,500}{6000} = 16{,}75\;\text{m/s}\]

2. Quantité de mouvement totale avant et après collision

Qu’est-ce que la quantité de mouvement ? C’est une mesure de l’effort nécessaire pour arrêter un objet en mouvement. Plus un objet est lourd ou rapide, plus il faut de force pour le stopper.

Objectif : Vérifier que l’élan total avant la collision est égal à l’élan total après.

Formule générale

\[ \begin{aligned} p_{1i} &= m_1\,v_{1i},\\ p_{2i} &= m_2\,v_{2i},\\ p_{\rm total,i} &= p_{1i} + p_{2i},\\ p_{\rm total,f} &= (m_1 + m_2)\,v_f. \end{aligned} \]

Calculs

• Calcul de \(p_{1i}\) : \[1500 \times 22 = 33\,000\;\mathrm{kg\cdot m/s}\]
• Calcul de \(p_{2i}\) : \[4500 \times 15 = 67\,500\;\mathrm{kg\cdot m/s}\]
• Calcul de \(p_{\rm total,i}\) : \[33\,000 + 67\,500 = 100\,500\;\mathrm{kg\cdot m/s}\]
• Calcul de \(p_{\rm total,f}\) : \[= (1500 + 4500) \times 16{,}75 \] \[ = 100\,500\;\mathrm{kg\cdot m/s}\]

Conclusion : L’élan total est le même avant et après la collision, ce qui confirme la conservation de l’élan.

3. Variation de l’énergie cinétique due à la collision

Qu’est-ce que l’énergie cinétique ? C’est l’énergie d’un objet en mouvement. Plus il va vite ou est massif, plus son énergie cinétique est grande.

Lors d’une collision, une partie de cette énergie peut se transformer en chaleur, bruit, ou déformation des véhicules.

Formule générale

\[ \begin{aligned} E_{k,i} &= \frac12\,m_1\,v_{1i}^2 + \frac12\,m_2\,v_{2i}^2,\\ E_{k,f} &= \frac12\,(m_1 + m_2)\,v_f^2,\\ \Delta E_k &= E_{k,f} - E_{k,i}. \end{aligned} \]

Calculs

• Énergie cinétique initiale de la voiture : \[\tfrac12 \times 1500 \times 22^2 = 363\,000\;\mathrm{J}\]
• Énergie cinétique initiale du camion : \[\tfrac12 \times 4500 \times 15^2 = 506\,250\;\mathrm{J}\]
• Énergie cinétique totale initiale : \[363\,000 + 506\,250 = 869\,250\;\mathrm{J}\]
• Énergie cinétique finale : \[\tfrac12 \times 6000 \times 16{,}75^2 = 841\,687{,}5\;\mathrm{J}\]
• Variation d’énergie cinétique : \[\Delta E_k = 841\,687{,}5 - 869\,250 \] \[\Delta E_k = -27\,562{,}5\;\mathrm{J}\]

Interprétation : Les \(27\,562{,}5\;\mathrm{J}\) perdus correspondent à l’énergie dissipée sous forme de chaleur, son et déformations.

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