Contraintes en Fibres Extrêmes et Intermédiaires
Contexte : L'optimisation des structures en acier.
En Génie Civil, les profilés en "I" (comme les IPE, IPN, HEA...) sont omniprésents dans les charpentes métalliques. Leur forme est optimisée pour résister efficacement à la flexion. Comprendre comment la contrainte normaleForce interne par unité de surface, agissant perpendiculairement à la section. En flexion, elle varie linéairement de la traction maximale à la compression maximale. se répartit sur la hauteur de la section est fondamental pour un dimensionnement sûr et économique. Cet exercice va au-delà du simple calcul de la contrainte maximale et explore la contrainte en un point intermédiaire, à la jonction cruciale entre l'âme et la semelle du profilé.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre pourquoi la matière est concentrée dans les semelles d'un profilé en I. Nous allons démontrer par le calcul que les semelles (fibres extrêmes) supportent la majorité de l'effort de flexion, tandis que l'âme travaille à un niveau de contrainte plus faible. C'est une application directe de la formule :
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le moment quadratique d'une section composée (profilé en I).
- Déterminer le moment fléchissant maximal pour une charge uniformément répartie.
- Appliquer la formule de la contrainte pour calculer la valeur à la fibre extrême.
- Calculer la contrainte à une fibre intermédiaire (jonction âme/semelle).
- Analyser et visualiser la distribution linéaire des contraintes sur la section.
Données de l'étude
Schéma du chargement et de la section
Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
---|---|---|---|
Portée entre appuis | \(L\) | 5 | \(\text{m}\) |
Charge répartie | \(q\) | 10 | \(\text{kN/m}\) |
Hauteur du profilé (IPE 200) | \(h\) | 200 | \(\text{mm}\) |
Largeur des semelles | \(b\) | 100 | \(\text{mm}\) |
Épaisseur de l'âme | \(t_{\text{w}}\) | 5.6 | \(\text{mm}\) |
Épaisseur des semelles | \(t_{\text{f}}\) | 8.5 | \(\text{mm}\) |
Questions à traiter
- Calculer le moment quadratique \(I_{\text{z}}\) de la section IPE 200.
- Calculer le moment fléchissant maximal \(M_{\text{max}}\) dans la poutre.
- Calculer la contrainte normale maximale \(\sigma_{\text{max}}\) aux fibres extrêmes.
- Calculer la contrainte normale \(\sigma_{\text{jonction}}\) à la jonction entre l'âme et la semelle.
Les bases de la flexion des poutres
Avant de commencer, rappelons les formules essentielles pour cet exercice.
1. Moment Quadratique d'une section en I :
On le calcule en soustrayant le moment quadratique des "vides" à celui du grand rectangle englobant :
Une autre méthode est de sommer les inerties des 3 rectangles (2 semelles, 1 âme) en utilisant le théorème de Huygens.
2. Moment Fléchissant (Charge Répartie) :
Pour une poutre sur deux appuis avec une charge uniformément répartie \(q\), le moment est maximal au milieu de la travée et vaut :
3. Formule de la Contrainte de Flexion :
La contrainte normale \(\sigma\) en un point situé à une distance \(y\) de l'axe neutre est donnée par :
La contrainte est maximale pour \(y_{\text{max}} = h/2\).
Correction : Contraintes en Fibres Extrêmes et Intermédiaires
Question 1 : Calculer le moment quadratique (\(I_{\text{z}}\))
Principe (le concept physique)
Le moment quadratique d'une section composée comme un IPE se calcule en décomposant la forme en rectangles simples. La méthode la plus intuitive est celle du "rectangle plein moins les vides". On imagine un grand rectangle de dimensions \(b \times h\) et on lui soustrait les deux rectangles "vides" situés de part et d'autre de l'âme. Comme tous ces rectangles sont centrés sur le même axe, on peut simplement soustraire leurs moments quadratiques respectifs.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le théorème de Huygens (ou des axes parallèles) est une autre méthode puissante. Il permet de calculer l'inertie d'une forme par rapport à un axe quelconque, en connaissant son inertie par rapport à son propre centre de gravité. Pour une semelle, on aurait :
où A est l'aire de la semelle et d la distance entre son centre et l'axe neutre global. L'inertie totale est la somme des inerties de l'âme et des deux semelles calculées avec Huygens.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La méthode de soustraction est souvent plus rapide pour les sections doublement symétriques comme les I ou les tubes rectangulaires. Cependant, maîtriser le théorème de Huygens est indispensable pour des sections plus complexes (comme un T ou un U) où les centres de gravité des formes simples ne coïncident pas avec le centre de gravité global.
Normes (la référence réglementaire)
Les caractéristiques géométriques de tous les profilés laminés à chaud (IPE, HEA, etc.) sont définies dans la norme NF EN 10365. Les bureaux d'études n'ont quasiment jamais à recalculer ces valeurs ; ils les extraient de catalogues de fabricants (par ex. ArcelorMittal) ou de logiciels de calcul qui intègrent ces bibliothèques.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Moment quadratique du rectangle extérieur :
Dimensions d'un rectangle "vide" :
Moment quadratique total :
Hypothèses (le cadre du calcul)
Pour ce calcul manuel, on néglige les congés de raccordement entre l'âme et les semelles. On modélise la section comme une composition de rectangles parfaits.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(h = 200 \, \text{mm}\)
- \(b = 100 \, \text{mm}\)
- \(t_{\text{w}} = 5.6 \, \text{mm}\)
- \(t_{\text{f}} = 8.5 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour éviter les erreurs de calcul, il est bon de calculer d'abord les dimensions des vides. \(b' = (100 - 5.6) / 2 = 47.2 \, \text{mm}\). \(h' = 200 - 2 \times 8.5 = 183 \, \text{mm}\). Cela simplifie grandement l'application de la formule finale. Les valeurs d'inertie des profilés normalisés sont toujours données dans les catalogues de fabricants, mais savoir les recalculer est un excellent exercice.
Schéma (Avant les calculs)
Décomposition de la Section IPE
Calcul(s) (l'application numérique)
On calcule d'abord les dimensions \(b'\) et \(h'\) :
On applique ensuite la formule du moment quadratique :
Schéma (Après les calculs)
Valeur du Moment Quadratique
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La valeur calculée est \(18.51 \times 10^6 \, \text{mm}^4\). La valeur normalisée pour un IPE 200 est de \(19.43 \times 10^6 \, \text{mm}^4\). La petite différence s'explique par les congés d'arrondi entre l'âme et les semelles, que notre calcul simplifié avec des rectangles parfaits ne prend pas en compte. Notre approximation est néanmoins très bonne (environ 5% d'erreur).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur principale dans ce calcul est de se tromper dans les dimensions des "vides" (\(b'\) et \(h'\)). Une double vérification de ces dimensions intermédiaires est cruciale. De plus, ne pas oublier de multiplier par 2 l'inertie des vides, car il y en a un de chaque côté de l'âme.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'inertie d'une section composée peut être calculée par addition (avec Huygens) ou soustraction.
- Pour les profilés en I, la méthode de soustraction est souvent la plus directe.
- Les valeurs normalisées existent et doivent être utilisées en pratique, mais le calcul manuel est essentiel pour la compréhension.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Pour de très grandes portées, on utilise parfois des "poutres cellulaires" ou "alvéolées". On part d'un profilé en I, on le découpe en zigzag dans l'âme, on décale les deux moitiés et on les ressoude. On obtient une poutre beaucoup plus haute (donc avec un \(I_{\text{z}}\) bien plus grand) pour le même poids de métal !
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle est l'inertie de l'âme seule, par rapport à l'axe z (en \(10^6 \, \text{mm}^4\)) ?
Question 2 : Calculer le moment fléchissant maximal
Principe (le concept physique)
Pour une poutre sur deux appuis subissant une charge uniforme, le moment de flexion est nul aux extrémités et atteint une valeur maximale parabolique au centre de la portée. C'est à cet endroit que la poutre est la plus "pliée" et que les contraintes seront les plus élevées.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La relation entre la charge \(q(x)\), l'effort tranchant \(T(x)\) et le moment fléchissant \(M(x)\) est fondamentale :
En intégrant deux fois la charge constante \(q\), on obtient un effort tranchant linéaire (qui s'annule en L/2) et un moment fléchissant parabolique. Le maximum du moment se trouve là où sa dérivée (l'effort tranchant) est nulle, soit au milieu.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez une étagère chargée de livres. Elle ploie le plus en son milieu. Le moment fléchissant est la mesure de cette "envie de plier". Plus la portée est grande, plus l'effet de levier est important, d'où la dépendance en \(L^2\). C'est pourquoi doubler la portée d'une étagère la rend 4 fois plus sensible au moment fléchissant pour une même charge !
Normes (la référence réglementaire)
Les Eurocodes (notamment l'Eurocode 1 pour les actions sur les structures) définissent les charges à appliquer (poids propre, charges d'exploitation, neige, vent...). Le calcul du moment fléchissant est ensuite une application directe de la statique, mais pour des structures complexes, on utilise des logiciels de calcul par éléments finis qui tracent automatiquement ces diagrammes.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour une charge uniformément répartie \(q\) sur une portée \(L\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la poutre est parfaitement rectiligne, les appuis sont parfaits (rotule/rouleau), et la charge est parfaitement uniforme. On analyse la poutre dans le cadre de la théorie des poutres (comportement 1D).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Charge répartie, \(q = 10 \, \text{kN/m} = 10 \, \text{N/mm}\)
- Portée, \(L = 5 \, \text{m} = 5000 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Faites toujours une analyse dimensionnelle rapide pour vérifier la formule. \(q\) est en [Force]/[Longueur]. \(L^2\) est en [Longueur]². Le produit est donc en [Force] x [Longueur], ce qui est bien l'unité d'un moment. Cela permet de déceler rapidement des erreurs comme un \(L^3\) ou un \(L\) simple.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme Attendu du Moment Fléchissant
Calcul(s) (l'application numérique)
On applique la formule avec les unités en N et mm :
Schéma (Après les calculs)
Diagramme du Moment Fléchissant (Valeur Calculée)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un moment de 31.25 kN·m est une sollicitation significative. C'est cette valeur qui va "stresser" la matière de la poutre. Toute l'analyse de résistance et de déformation qui suit découlera de cette valeur clé, qui représente le pic de la sollicitation interne de la poutre.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est la gestion des unités. La charge \(q\) est en kN/m et la portée \(L\) en m. Il est impératif de tout convertir dans un système cohérent (par exemple, N et mm) avant d'appliquer la formule. \(10 \, \text{kN/m} = 10 \, \text{N/mm}\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Une charge répartie sur une poutre simple génère un moment parabolique.
- Le moment maximal est au centre et vaut \(qL^2/8\).
- La cohérence des unités (ex: N et mm) est cruciale pour le calcul.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans une poutre continue (passant sur plusieurs appuis), le moment maximal n'est pas forcément en travée. Des moments négatifs (qui tendent la fibre supérieure) apparaissent au-dessus des appuis intermédiaires. Leur valeur peut même dépasser le moment en travée, et c'est là qu'il faut alors renforcer la structure.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si la charge était une force ponctuelle F = 50 kN au milieu (\(F=q \cdot L\)), quel serait le moment maximal en kN·m ? (Formule: FL/4)
Question 3 : Calculer la contrainte maximale \(\sigma_{\text{max}}\)
Principe (le concept physique)
La contrainte de flexion est maximale là où la distance à l'axe neutre (\(y\)) est la plus grande. Dans une section symétrique comme un IPE, cela se produit sur les fibres extrêmes supérieures (en compression) et inférieures (en traction). C'est cette valeur qui est utilisée pour vérifier la résistance de la poutre.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La formule peut aussi s'écrire :
où \(W_{\text{el,z}} = \frac{I_{\text{z}}}{v}\) est le module d'élasticité de la section. Ce module est une caractéristique géométrique qui représente la "performance" de la section en flexion élastique. Les catalogues de profilés donnent toujours cette valeur, ce qui simplifie les calculs de vérification pour les ingénieurs.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez la section comme un levier. Le moment fléchissant est la force que vous appliquez. L'axe neutre est le pivot. Les fibres les plus éloignées du pivot sont celles qui doivent "s'étirer" ou se "comprimer" le plus, c'est donc là que la contrainte (la tension interne de la matière) est la plus forte. C'est aussi simple que cela !
Normes (la référence réglementaire)
L'Eurocode 3 (Calcul des structures en acier) impose que la contrainte de calcul \(\sigma_{\text{Ed}}\) reste inférieure à la limite d'élasticité du matériau \(f_{\text{y}}\), divisée par un coefficient de sécurité \(\gamma_{\text{M0}}\). La vérification de base est donc :
Pour l'acier S235, \(f_{\text{y}} = 235 \, \text{MPa}\).
Formule(s) (l'outil mathématique)
La distance à la fibre extrême est :
La contrainte maximale est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On applique l'hypothèse de Navier-Bernoulli : les sections planes perpendiculaires à la ligne moyenne avant déformation restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne après déformation. Cette hypothèse fondamentale mène à la distribution linéaire des contraintes.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(M_{\text{max}} = 31.25 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
- \(I_{\text{z}} = 19.43 \times 10^6 \, \text{mm}^4\) (valeur normalisée)
- \(h = 200 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour un IPE 200, le module élastique \(W_{\text{el,z}}\) vaut \(194.3 \, \text{cm}^3 = 194300 \, \text{mm}^3\). Le calcul devient direct :
C'est la méthode utilisée en bureau d'études.
Schéma (Avant les calculs)
Distribution Linéaire des Contraintes
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer la distance v :
2. Calculer la contrainte maximale (le résultat sera en MPa) :
Schéma (Après les calculs)
Contrainte Maximale Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte maximale de 160.8 MPa est inférieure à la limite d'élasticité de l'acier le plus courant (S235, \(f_{\text{y}} = 235 \, \text{MPa}\)). La poutre est donc correctement dimensionnée du point de vue de la résistance. Le taux de travail est :
ce qui laisse une marge de sécurité raisonnable.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à ne pas confondre le moment quadratique \(I_{\text{z}}\) et le module de flexion \(W_{\text{z}}\). Si vous divisez le moment par l'inertie, vous obtenez une valeur en 1/mm², il faut encore multiplier par \(y\) pour obtenir une contrainte. L'utilisation du module \(W_{\text{z}}\) est plus directe mais il faut s'assurer de prendre la bonne valeur dans les tables.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La contrainte est proportionnelle au moment fléchissant et à la distance à l'axe neutre.
- Elle est inversement proportionnelle au moment quadratique.
- La vérification de résistance consiste à comparer \(\sigma_{\text{max}}\) à la limite d'élasticité du matériau.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Au-delà de la limite élastique, l'acier se "plastifie". La contrainte n'augmente plus mais la déformation continue. La distribution de contrainte n'est plus un triangle mais devient un rectangle. Le "module plastique" \(W_{\text{pl}}\), plus grand que \(W_{\text{el}}\), est utilisé pour calculer le moment ultime que la poutre peut supporter avant de former une "rotule plastique".
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle est la charge maximale \(q\) (en kN/m) que la poutre peut supporter avant d'atteindre la limite élastique de 235 MPa ?
Question 4 : Calculer la contrainte \(\sigma_{\text{jonction}}\)
Principe (le concept physique)
La formule de la contrainte est valide pour n'importe quel point de la section. Pour trouver la contrainte à la jonction entre l'âme et la semelle, il suffit d'utiliser la coordonnée \(y\) de ce point. Cela nous montrera comment la contrainte a diminué par rapport à sa valeur maximale à l'extrémité de la semelle.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La distribution linéaire des contraintes est une conséquence directe de l'hypothèse de Navier-Bernoulli. Comme les sections restent planes et pivotent autour de l'axe neutre, la déformation (\(\epsilon\)) est elle-même linéaire :
où R est le rayon de courbure. En appliquant la loi de Hooke (\(\sigma = E \cdot \epsilon\)), on en déduit que la contrainte est aussi linéaire :
En identifiant avec la formule de la flexion, on trouve la relation :
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Ce calcul est très parlant : il quantifie l'efficacité de la semelle. On voit que sur toute son épaisseur (8.5 mm), la contrainte ne chute que de 160.8 à 147.1 MPa. Toute la matière de la semelle travaille donc à plus de 91% de la contrainte maximale. C'est la preuve de l'efficacité de la forme en I.
Normes (la référence réglementaire)
Dans des cas complexes comme la fatigue ou la stabilité au voilement, la connaissance des contraintes en des points autres que les fibres extrêmes est nécessaire. Les normes comme l'Eurocode 3 fournissent des méthodes pour vérifier ces phénomènes, qui dépendent de la distribution complète des contraintes.
Formule(s) (l'outil mathématique)
La distance à la jonction est :
La contrainte à ce point est :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On reste dans le cadre de la théorie des poutres et de l'élasticité linéaire. On néglige les concentrations de contraintes qui existent réellement dans le congé de raccordement âme/semelle.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(M_{\text{max}} = 31.25 \times 10^6 \, \text{N} \cdot \text{mm}\)
- \(I_{\text{z}} = 19.43 \times 10^6 \, \text{mm}^4\)
- \(h = 200 \, \text{mm}\)
- \(t_{\text{f}} = 8.5 \, \text{mm}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Une fois que \(\sigma_{\text{max}}\) est calculée, on peut trouver n'importe quelle autre contrainte par une simple proportionnalité (un produit en croix) :
Ici :
C'est beaucoup plus rapide !
Schéma (Avant les calculs)
Localisation du Point de Calcul
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calculer la distance \(y_{\text{jonction}}\) :
2. Calculer la contrainte à la jonction :
Schéma (Après les calculs)
Distribution Linéaire des Contraintes sur la Section
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La contrainte à la jonction (147.1 MPa) est seulement 8.5% plus faible que la contrainte maximale (160.8 MPa). Cela montre que même si la contrainte diminue en se rapprochant du centre, la semelle travaille de manière très homogène et efficace. La chute de contrainte la plus importante se produit dans l'âme.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur serait de mal calculer la position \(y\). Il faut bien partir de l'axe neutre. La position de la jonction n'est pas \(t_{\text{f}}\), mais bien la distance entre le centre de la poutre et le début de l'âme, soit \(\frac{h}{2} - t_{\text{f}}\). Une attention particulière aux origines et aux distances est nécessaire.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La contrainte de flexion est linéaire sur toute la hauteur de la section.
- Pour trouver la contrainte en un point, il suffit de connaître sa distance \(y\) à l'axe neutre.
- Le calcul de \(\sigma_{\text{jonction}}\) confirme que la semelle est la partie la plus sollicitée et travaille de façon optimale.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Contrairement à la contrainte normale, la contrainte de cisaillement (due à l'effort tranchant) est maximale sur l'axe neutre et quasi nulle dans les semelles. C'est donc l'âme qui reprend la quasi-totalité de l'effort tranchant. Les deux parties du profilé ont des rôles bien distincts : les semelles pour le moment, l'âme pour le cisaillement.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle est la contrainte normale sur l'axe neutre (y=0) en MPa ?
Outil Interactif : Distribution des Contraintes
Visualisez comment la contrainte évolue en fonction de la position sur la hauteur de la poutre.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi utiliser un profilé en I et pas un simple rectangle ?
Pour une même hauteur et une même quantité d'acier (donc un même poids), le profilé en I a un moment quadratique beaucoup plus élevé qu'une section rectangulaire pleine. En concentrant la matière dans les semelles, loin de l'axe neutre, on obtient une bien meilleure rigidité pour un poids et un coût moindres. C'est le principe de l'optimisation structurelle.
La formule \(\sigma = \frac{My}{I}\) est-elle toujours valable ?
Elle est valable tant que le matériau reste dans son domaine élastique linéaire et pour une flexion "pure" ou "simple". Pour des poutres très courtes et hautes, les effets du cisaillement deviennent non négligeables. De plus, si la poutre se plastifie (dépassement de la limite élastique), la distribution des contraintes n'est plus linéaire et des calculs plus complexes sont nécessaires.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans une poutre en flexion, où la contrainte normale est-elle nulle ?
2. Si on double la charge répartie (q), la contrainte maximale...
D’autres exercices de Rdm:
0 commentaires