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Calcul du Nombre de Radiateurs pour une Maison

Exercice : Calcul du Nombre de Radiateurs

Calcul du Nombre de Radiateurs pour une Maison

Contexte : La Thermique du BâtimentLa science qui étudie les transferts de chaleur dans les bâtiments afin d'assurer le confort des occupants tout en minimisant la consommation d'énergie..

Le bon dimensionnement d'un système de chauffage est essentiel pour garantir un confort optimal et maîtriser sa consommation d'énergie. Des radiateurs sous-dimensionnés entraîneront une sensation de froid et une surconsommation, tandis que des radiateurs surdimensionnés représenteront un surcoût inutile à l'installation. Cet exercice vous guidera à travers les étapes de calcul des déperditions thermiquesQuantité de chaleur qui s'échappe d'un bâtiment vers l'extérieur en hiver. Elle se mesure en Watts (W). d'une pièce pour déterminer la puissance de chauffage nécessaire et, par conséquent, le nombre de radiateurs à installer.

Remarque Pédagogique : Cet exercice pratique vous apprendra à appliquer des formules de base de la thermique pour résoudre un problème concret d'ingénierie et de conception d'installations de chauffage.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer les déperditions thermiques d'une pièce à travers les parois (murs, fenêtres).
  • Calculer les déperditions thermiques dues au renouvellement de l'air.
  • Déterminer la puissance de chauffage totale requise pour une pièce.
  • Choisir le nombre de radiateurs approprié en fonction de leur puissance nominale.

Données de l'étude

On souhaite chauffer le séjour d'une maison individuelle située à Lille. Le confort thermique doit être assuré même lors des jours les plus froids.

Plan et Dimensions du Séjour
Plan simplifié du séjour
Mur Nord (Extérieur) Fenêtre (3m x 1.5m) 5.0 m 6.0 m SÉJOUR
Caractéristique Valeur
Localisation Lille (Zone H1)
Température extérieure de base -5 °C
Température intérieure de consigne 20 °C
Hauteur sous plafond 2.50 m
Caractéristiques Techniques
Paramètre Symbole / Formule Valeur Unité
Coefficient de transmission surfacique du mur \( U_{\text{mur}} \) 0.28 W/(m².K)
Coefficient de transmission surfacique de la fenêtre \( U_{\text{fen}} \) 1.4 W/(m².K)
Taux de renouvellement d'air \( n \) 0.5 vol/h
Capacité thermique volumique de l'air \( c_{\text{air}} \) 0.34 Wh/(m³.K)
Puissance d'un radiateur (modèle choisi) \( P_{\text{rad}} \) 1800 W

Questions à traiter

  1. Calculer les déperditions thermiques surfaciques (\( \Phi_{\text{surf}} \)) du séjour.
  2. Calculer les déperditions thermiques par renouvellement d'air (\( \Phi_{\text{vent}} \)).
  3. Déterminer les déperditions totales (\( \Phi_{\text{total}} \)) du séjour.
  4. Calculer la puissance de chauffage requise (\( P_{\text{req}} \)), en appliquant une majoration de 20% pour les reprises.
  5. Combien de radiateurs du modèle choisi faut-il installer dans le séjour ?

Les bases de la Thermique du Bâtiment

Pour maintenir une température constante dans un local, il faut lui apporter en permanence une quantité de chaleur égale à celle qu'il perd vers l'extérieur. Ces pertes de chaleur, appelées déperditions, se produisent principalement de deux manières : à travers les parois et par le renouvellement de l'air.

1. Déperditions surfaciques (\( \Phi_{\text{surf}} \))
Elles représentent la chaleur qui traverse les parois opaques (murs, toit, sol) et vitrées (fenêtres) du bâtiment. Elles dépendent de la surface de la paroi, de sa qualité d'isolation (coefficient U) et de la différence de température entre l'intérieur et l'extérieur. \[ \Phi_{\text{surf}} = U \times A \times \Delta T \] Où :
- \( U \) est le coefficient de transmission surfacique en W/(m².K). Plus U est faible, meilleure est l'isolation.
- \( A \) est l'aire de la paroi en m².
- \( \Delta T \) est l'écart de température entre l'intérieur et l'extérieur en Kelvin (K) ou en degrés Celsius (°C).

2. Déperditions par renouvellement d'air (\( \Phi_{\text{vent}} \))
Elles sont dues à l'air froid extérieur qui entre dans le bâtiment (volontairement par la VMC ou involontairement par les fuites) et qui doit être réchauffé. \[ \Phi_{\text{vent}} = 0.34 \times V \times n \times \Delta T \] Où :
- \( 0.34 \) est la capacité thermique volumique de l'air en Wh/(m³.K).
- \( V \) est le volume de la pièce en m³.
- \( n \) est le taux de renouvellement d'air en volume par heure (vol/h).

Correction : Calcul du Nombre de Radiateurs pour une Maison

Question 1 : Calculer les déperditions thermiques surfaciques (\( \Phi_{\text{surf}} \)) du séjour.

Principe

La chaleur s'échappe naturellement d'un corps chaud vers un corps froid. Ici, la chaleur de la maison (20°C) fuit vers l'extérieur (-5°C) à travers l'enveloppe du bâtiment (murs, fenêtres). Nous devons quantifier ce flux de chaleur, qui est permanent en hiver.

Mini-Cours

Ce transfert de chaleur se fait principalement par conduction à travers les matériaux solides et par convection et rayonnement au niveau des surfaces. Le coefficient U englobe ces trois modes de transfert. Il représente la "facilité" avec laquelle la chaleur traverse une paroi. Une bonne isolation (faible U) freine ce passage.

Remarque Pédagogique

Pour aborder ce type de problème, il faut toujours commencer par "décomposer" le bâtiment en ses différentes parois en contact avec l'extérieur. Chaque paroi est une "porte de sortie" pour la chaleur. On calcule les pertes pour chaque porte, puis on les additionne.

Normes

Le calcul des déperditions est encadré par des normes, comme la norme européenne EN 12831. Les réglementations thermiques (comme la RE 2020 en France) imposent des coefficients U maximaux pour les constructions neuves afin de limiter ces pertes d'énergie.

Formule(s)

La déperdition totale surfacique est la somme des déperditions de chaque paroi :

\[ \Phi_{\text{surf}} = \sum (U_i \times A_i \times \Delta T) = (\Phi_{\text{mur}} + \Phi_{\text{fen}}) \]
Hypothèses

Pour ce calcul simplifié, nous posons les hypothèses suivantes :

  • Le régime thermique est stationnaire (les températures sont constantes dans le temps).
  • Les températures de l'air sont uniformes à l'intérieur et à l'extérieur.
  • Nous négligeons les ponts thermiques (zones de faiblesse dans l'isolation, comme les jonctions mur/fenêtre).
Donnée(s)

Nous devons d'abord calculer les surfaces et le \( \Delta T \).

ParamètreSymboleCalculValeurUnité
Surface de la fenêtre\( A_{\text{fen}} \)3.0 m × 1.5 m4.5m²
Surface brute du mur\( A_{\text{mur, brut}} \)6.0 m × 2.5 m15m²
Surface nette du mur\( A_{\text{mur}} \)\( 15 - 4.5 \)10.5m²
Différence de température\( \Delta T \)\( 20 - (-5) \)25K ou °C
Astuces

L'écart de température \( \Delta T \) peut être exprimé en Kelvin ou en degrés Celsius, le résultat est le même car un intervalle de 1 K est égal à un intervalle de 1 °C.

Schéma (Avant les calculs)
Flux de chaleur à travers les parois
Intérieur (20°C)Extérieur (-5°C)ΦmurΦfen
Calcul(s)

Étape 1 : Déperditions du mur

\[ \begin{aligned} \Phi_{\text{mur}} &= U_{\text{mur}} \times A_{\text{mur}} \times \Delta T \\ &= 0.28 \times 10.5 \times 25 \\ &= 73.5 \text{ W} \end{aligned} \]

Étape 2 : Déperditions de la fenêtre

\[ \begin{aligned} \Phi_{\text{fen}} &= U_{\text{fen}} \times A_{\text{fen}} \times \Delta T \\ &= 1.4 \times 4.5 \times 25 \\ &= 157.5 \text{ W} \end{aligned} \]

Étape 3 : Somme

\[ \begin{aligned} \Phi_{\text{surf}} &= \Phi_{\text{mur}} + \Phi_{\text{fen}} \\ &= 73.5 + 157.5 \\ &= 231 \text{ W} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Répartition des déperditions surfaciques
Mur73.5 WFenêtre157.5 WDéperditions (W)
Réflexions

On remarque que la fenêtre, bien que 2.3 fois plus petite que le mur en surface (4.5 m² vs 10.5 m²), est responsable de plus du double des déperditions (157.5 W vs 73.5 W). Cela illustre l'importance capitale de la qualité des menuiseries dans la performance thermique d'un bâtiment.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de soustraire la surface de la fenêtre de celle du mur. Il faut toujours calculer les déperditions sur la surface nette de chaque paroi.

Points à retenir

Pour calculer les déperditions surfaciques, il faut :
1. Identifier toutes les parois en contact avec l'extérieur.
2. Calculer la surface nette de chacune.
3. Appliquer la formule \( \Phi = U \times A \times \Delta T \) pour chaque paroi.
4. Additionner tous les résultats.

Le saviez-vous ?

Les "ponts thermiques" (jonctions, angles) n'ont pas été comptés ici mais peuvent représenter 5 à 15% des déperditions totales d'une maison. Leur traitement est un enjeu majeur de la construction moderne.

FAQ
Pourquoi le \( \Delta T \) est-il le même en °C et en Kelvin ?

La formule de conversion est K = °C + 273.15. Si on calcule un écart, le terme 273.15 s'annule : \( \Delta T_K = (T_2+273.15) - (T_1+273.15) = T_2 - T_1 = \Delta T_{°C} \). Un écart de 25°C est donc bien égal à un écart de 25 K.

Résultat Final
Les déperditions thermiques surfaciques du séjour sont de 231 W.
A vous de jouer

Si l'on remplaçait la fenêtre par un triple vitrage avec un \( U_{\text{fen}} \) de 0.8 W/(m².K), quelles seraient les nouvelles déperditions surfaciques ?

Question 2 : Calculer les déperditions par renouvellement d'air (\( \Phi_{\text{vent}} \)).

Principe

Pour maintenir une bonne qualité d'air, on doit constamment remplacer l'air intérieur (vicié) par de l'air extérieur (neuf). En hiver, cet air neuf est froid et doit être réchauffé jusqu'à la température de consigne. Cette étape calcule l'énergie nécessaire pour ce réchauffement continu.

Mini-Cours

La chaleur nécessaire pour élever la température d'un volume d'air dépend de sa capacité thermique volumique (ici, 0.34 Wh/m³.K), qui est le produit de sa masse volumique (ρ ≈ 1.2 kg/m³) et de sa chaleur massique (c ≈ 1000 J/kg.K). La formule condense ces notions physiques en un calcul direct.

Remarque Pédagogique

Ne sous-estimez jamais les pertes par ventilation ! Dans les bâtiments très bien isolés (type passif), elles peuvent devenir le premier poste de déperditions, dépassant les pertes par les parois.

Normes

La réglementation française impose des débits de ventilation minimaux dans les logements pour garantir l'hygiène et évacuer l'humidité et les polluants. Le taux de 0.5 vol/h est une valeur couramment utilisée pour les calculs simplifiés dans le résidentiel.

Formule(s)
\[ \Phi_{\text{vent}} = c_{\text{air}} \times V \times n \times \Delta T \]
Hypothèses

On suppose que l'air entrant se mélange parfaitement et instantanément avec l'air ambiant pour atteindre la température de consigne de manière homogène dans toute la pièce.

Donnée(s)

Il nous faut d'abord calculer le volume du séjour.

ParamètreSymboleCalculValeurUnité
Volume du séjour\( V \)6.0 m × 5.0 m × 2.5 m75m³
Astuces

Pour estimer rapidement le volume d'une pièce standard, multipliez sa surface au sol par 2.5 (la hauteur sous plafond la plus courante).

Schéma (Avant les calculs)
Renouvellement d'air
Pièce (20°C)Air neuf (-5°C)Air vicié (20°C)
Calcul(s)

Appliquons la formule avec les données connues.

\[ \begin{aligned} \Phi_{\text{vent}} &= 0.34 \times V \times n \times \Delta T \\ &= 0.34 \times 75 \times 0.5 \times 25 \\ &= 318.75 \text{ W} \end{aligned} \]
Réflexions

Avec près de 319 W, les déperditions par ventilation sont significativement plus élevées que celles par les parois (231 W). Cela confirme que même dans un bâtiment bien isolé, le renouvellement d'air représente un poste de consommation énergétique majeur.

Points de vigilance

Attention aux unités ! Le coefficient 0.34 est en Wh/(m³.K). Comme le résultat est directement en Watts, il n'y a pas de conversion à faire, mais il faut être conscient de cette homogénéité. Si on utilisait les constantes physiques en Joules, il faudrait diviser par 3600 pour passer des Joules/seconde (W) aux Joules/heure.

Points à retenir

Les déperditions par ventilation dépendent du volume de la pièce, du taux de renouvellement d'air et de l'écart de température. C'est un poste de déperdition incontournable pour assurer une bonne qualité d'air intérieur.

Le saviez-vous ?

Pour réduire ces pertes sans sacrifier la qualité de l'air, on utilise des VMC (Ventilation Mécanique Contrôlée) double flux. Elles utilisent la chaleur de l'air vicié sortant pour préchauffer l'air neuf entrant, permettant de récupérer jusqu'à 90% de l'énergie.

FAQ
D'où vient la valeur 0.34 ?

C'est une constante pratique qui vient de (masse volumique de l'air × chaleur massique de l'air) / 3600. Soit (1.2 kg/m³ × 1005 J/kg.K) / 3600 s/h ≈ 0.335 Wh/m³.K, arrondi à 0.34.

Résultat Final
Les déperditions par renouvellement d'air sont de 318.75 W.
A vous de jouer

Si la maison était moins étanche et que le taux de renouvellement d'air montait à 0.8 vol/h, quelles seraient les nouvelles déperditions par ventilation ?

Question 3 : Déterminer les déperditions totales (\( \Phi_{\text{total}} \)).

Principe

Le principe de conservation de l'énergie stipule que pour maintenir une température constante, l'énergie apportée (chauffage) doit être égale à l'énergie perdue. Les déperditions totales représentent la somme de toutes les voies de perte de chaleur vers l'extérieur.

Mini-Cours

En thermique, on applique le principe de superposition. Les flux de chaleur à travers différentes parois ou par différents modes (ventilation) sont considérés comme indépendants et peuvent être simplement additionnés pour obtenir le flux total. C'est la base de tout bilan thermique.

Remarque Pédagogique

Cette étape est un simple bilan. C'est le moment de rassembler les pièces du puzzle calculées précédemment pour avoir une vision globale des besoins de la pièce.

Normes

Les normes de calcul comme la EN 12831 précisent l'ensemble des déperditions à prendre en compte : surfaciques, par renouvellement d'air, mais aussi vers les locaux non chauffés, vers le sol, etc. Notre calcul est une version simplifiée de ce bilan complet.

Formule(s)
\[ \Phi_{\text{total}} = \Phi_{\text{surf}} + \Phi_{\text{vent}} \]
Donnée(s)

On reprend les résultats des questions précédentes.

  • \( \Phi_{\text{surf}} = 231 \text{ W} \) (depuis Q1)
  • \( \Phi_{\text{vent}} = 318.75 \text{ W} \) (depuis Q2)
Calcul(s)

On additionne les deux composantes.

\[ \begin{aligned} \Phi_{\text{total}} &= \Phi_{\text{surf}} + \Phi_{\text{vent}} \\ &= 231 + 318.75 \\ &= 549.75 \text{ W} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan des déperditions totales
PièceΦtotal = 550 WΦsurf = 231 WΦvent = 319 W
Réflexions

Le résultat de 550 W représente la puissance que le système de chauffage doit fournir en continu, 24h/24, pour maintenir 20°C à l'intérieur quand il fait -5°C dehors. C'est la puissance "en régime de croisière" du chauffage.

Points à retenir

Les déperditions totales d'un local sont la somme de toutes les pertes de chaleur vers des environnements plus froids. C'est la valeur de base pour dimensionner un système de chauffage.

Le saviez-vous ?

Dans un bilan thermique complet, on comptabilise aussi les "apports gratuits" de chaleur (soleil, occupants, appareils électriques). Cependant, pour dimensionner le chauffage, on se place toujours dans le cas le plus défavorable (nuit, sans apports) pour garantir le confort en toute situation.

Résultat Final
Les déperditions thermiques totales du séjour sont de 549.75 W.
A vous de jouer

En utilisant les résultats de vos calculs des deux "A vous de jouer" précédents (fenêtre triple vitrage ET ventilation à 0.8 vol/h), quelles seraient les nouvelles déperditions totales ?

Question 4 : Calculer la puissance requise (\( P_{\text{req}} \)), en appliquant une majoration de 20%.

Principe

Le calcul des déperditions nous donne la puissance nécessaire pour maintenir la température (régime stationnaire). Cependant, un système de chauffage doit aussi être capable de faire monter la température (régime transitoire). Cette "puissance de relance" est plus élevée. La majoration sert à dimensionner le système pour cette phase.

Remarque Pédagogique

Cette majoration est une marge de sécurité. Elle permet de s'assurer que le confort sera atteint rapidement et de faire face à des conditions climatiques exceptionnellement plus froides que la température de base.

Normes

La norme EN 12831 fournit des méthodes détaillées pour calculer ces puissances de relance, qui dépendent de l'intermittence du chauffage et de l'inertie du bâtiment. Le pourcentage de 20% est une règle de l'art courante pour une approche simplifiée.

Formule(s)
\[ P_{\text{req}} = \Phi_{\text{total}} \times (1 + \text{Majoration}) \]
Donnée(s)

On reprend le résultat de la question précédente.

  • \( \Phi_{\text{total}} = 549.75 \text{ W} \) (depuis Q3)
  • Majoration = 20% = 0.20
Astuces

Pour ajouter un pourcentage (p%), il suffit de multiplier par (1 + p/100). Pour ajouter 20%, on multiplie donc par 1.20.

Calcul(s)
\[ \begin{aligned} P_{\text{req}} &= \Phi_{\text{total}} \times (1 + 0.20) \\ &= 549.75 \times 1.2 \\ &= 659.7 \text{ W} \end{aligned} \]
Réflexions

C'est cette valeur finale de 660 W, et non les déperditions de base, qui doit être utilisée pour choisir les émetteurs de chaleur. Ignorer cette majoration pourrait conduire à un système qui peine à chauffer la pièce le matin.

Points de vigilance

Une erreur fréquente est de multiplier par 0.20 au lieu de 1.20. Majorer de 20% signifie prendre 100% de la valeur de base PLUS 20% supplémentaires.

Résultat Final
La puissance de chauffage requise pour le séjour est de 659.7 W.
A vous de jouer

Avec les déperditions totales de 673.5 W que vous avez calculées dans le "A vous de jouer" précédent, quelle serait la nouvelle puissance requise (toujours avec 20% de majoration) ?

Question 5 : Combien de radiateurs du modèle choisi faut-il installer ?

Principe

Il s'agit de couvrir le besoin de puissance calculé (\(P_{\text{req}}\)) avec des équipements dont la puissance est standardisée (\(P_{\text{rad}}\)). On cherche le nombre entier d'équipements dont la puissance cumulée est immédiatement supérieure ou égale au besoin.

Remarque Pédagogique

La règle d'or en dimensionnement est de toujours arrondir au supérieur. Il vaut mieux avoir une puissance légèrement excédentaire, gérée par le thermostat, qu'une puissance insuffisante qui ne permettra jamais d'atteindre le confort souhaité.

Normes

Les fabricants doivent tester et certifier la puissance de leurs radiateurs selon des normes précises comme la norme européenne EN 442. Cela garantit que la puissance affichée est fiable.

Formule(s)
\[ N_{\text{rad}} = \text{Arrondi.Supérieur} \left( \frac{P_{\text{req}}}{P_{\text{rad}}} \right) \]
Donnée(s)
  • \( P_{\text{req}} = 659.7 \text{ W} \) (depuis Q4)
  • \( P_{\text{rad}} = 1800 \text{ W} \) (donnée de l'énoncé)
Calcul(s)
\[ \begin{aligned} N_{\text{rad}} &= \frac{659.7}{1800} \\ &= 0.3665 \end{aligned} \]

On arrondit toujours au nombre entier supérieur.

\[ N_{\text{rad}} \Rightarrow 1 \]
Réflexions

Un seul radiateur de 1800 W est très surdimensionné par rapport au besoin de 660 W. Bien que techniquement correct, un bon concepteur proposerait un modèle de radiateur moins puissant (par exemple 750 W ou 1000 W) pour un meilleur ajustement, un coût moindre et un encombrement réduit.

Points de vigilance

Ne jamais arrondir à l'entier le plus proche (ce qui donnerait 0 ici !), mais bien à l'entier supérieur. Même un besoin de 1.01 radiateur nécessite l'installation de 2 radiateurs.

Points à retenir

Pour déterminer le nombre d'équipements :
1. Diviser le besoin total par la puissance unitaire de l'équipement.
2. Toujours arrondir le résultat au nombre entier supérieur.

Le saviez-vous ?

La puissance d'un radiateur à eau chaude (1800 W par exemple) est donnée pour un régime de température précis (ex: eau à 75°C, retour à 65°C). Si on l'alimente avec une eau moins chaude (chaudière à condensation, pompe à chaleur), sa puissance réelle diminue ! Il faut alors corriger cette puissance via des facteurs de conversion.

Résultat Final
Il faut installer 1 radiateur de 1800 W.
A vous de jouer

Si votre besoin de puissance était de 2000 W, combien de radiateurs de 1800 W faudrait-il installer ?

Outil Interactif : Simulateur de Déperditions

Utilisez cet outil pour voir comment la qualité de l'isolation du mur et la taille de la pièce influencent la puissance de chauffage requise. Les autres paramètres (fenêtre, températures, ventilation) sont fixes.

Paramètres d'Entrée
0.28 W/m².K
6 m
Résultats Clés
Déperditions totales (W) -
Puissance requise (avec majoration 20%) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que représente le coefficient de transmission surfacique U ?

2. Si on améliore l'isolation d'un mur, son coefficient U...

3. Dans cet exercice, quelle est la principale source de déperditions ?

4. Pourquoi applique-t-on une majoration à la puissance calculée ?

5. Si le calcul donne un besoin de 1.1 radiateurs, combien faut-il en installer ?

Glossaire

Déperditions thermiques
Quantité de chaleur qui s'échappe d'un bâtiment vers l'extérieur en hiver. Elle s'exprime en Watts (W) et représente la puissance que le système de chauffage doit fournir en continu pour maintenir la température intérieure.
Coefficient U (ou U-value)
Le coefficient de transmission thermique surfacique, exprimé en W/(m².K). Il mesure la capacité d'une paroi à laisser passer la chaleur. Plus le coefficient U est faible, plus la paroi est isolante.
Renouvellement d'air
Le processus de remplacement de l'air intérieur vicié par de l'air extérieur neuf, essentiel pour la qualité de l'air. Ce processus engendre des déperditions car l'air froid entrant doit être réchauffé.
Exercice de Thermique du Bâtiment

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