Calcul des coordonnées d’un point en Topographie
Comprendre le Calcul des coordonnées d’un point en Topographie
Vous êtes un topographe travaillant sur le site de construction d’un nouveau parc urbain. Votre tâche consiste à déterminer les coordonnées exactes d’un point clé du site, désigné comme le point A, qui servira de référence pour les futures installations. Ce point A doit être localisé précisément pour coordonner les travaux des différents corps de métier impliqués dans le projet.
Pour comprendre le Calcul d’Azimuts et Distances, cliquez sur le lien.
Données fournies:
- Point de référence \(B\): Coordonnées \(x_B = 305.25\) m, \(y_B = 512.75\) m.
- Azimut du point B vers le point A : \(150^\circ\).
- Distance entre le point B et le point A : \(120.50\) m.
Questions:
1. Convertir l’azimut en radians pour une utilisation dans les fonctions trigonométriques.
2. Calculer les coordonnées du point A en utilisant les formules suivantes :
- \( x_A = x_B + d \times \sin(\theta) \)
- \( y_A = y_B + d \times \cos(\theta) \)
où \(d\) est la distance entre les points A et B, et \( \theta \) est l’azimut converti en radians.
Correction : Calcul des coordonnées d’un point en Topographie
1. Conversion de l’azimut en radians
Dans la vie courante, nous utilisons les degrés (°) pour mesurer un angle. Cependant, en mathématiques et en programmation, les fonctions trigonométriques (comme \(\sin\) et \(\cos\)) travaillent avec des angles en radians. Un radian correspond à l’angle formé lorsque l’on fait rouler un cercle de rayon 1 d’une longueur égale à son rayon le long de sa circonférence.
Pour convertir un angle exprimé en degrés (α degrés) en radians (θ radians), on utilise la proportion suivante :
Formule
\[ θ = α \times \frac{π}{180} \]
Données
- \(α = 150°\)
Calcul
Appliquons la formule :
\[ θ = 150 \times \frac{π}{180} \]
\[ θ = \frac{150}{180}π = \frac{5}{6}π \]
\[ θ ≃ 2.6180\ \text{rad} \]
Interprétation : L’angle de 150° correspond donc à environ 2,618 radians. C’est cette valeur que l’on utilisera dans les fonctions \(\sin\) et \(\cos\).
2. Calcul des coordonnées du point A
En topographie, pour trouver les coordonnées (positions x et y) d’un point A à partir d’un point de référence B, on utilise la distance d entre les deux points et l’azimut θ (orientation de la ligne B→A par rapport au nord).
- Le sinus de l’azimut donne la proportion de la distance qui va dans la direction est/ouest (axe x).
- Le cosinus de l’azimut donne la proportion de la distance qui va dans la direction nord/sud (axe y).
Formules
\[ x_A = x_B + d \times \sin θ \]
\[ y_A = y_B + d \times \cos θ \]
Données
- \(x_{B} = 305.25\ \text{m}\)
- \(y_{B} = 512.75\ \text{m}\)
- \(d = 120.50\ \text{m}\)
- \(θ = 2.6180\ \text{rad}\)
Calculs
- Calculer \(\sin θ\) et \(\cos θ\) :
\[ \sin(2.6180) ≃ 0.5000 \]
\[ \cos(2.6180) ≃ -0.8660 \]Interprétation : Un sinus positif indique une composante vers l’est, un cosinus négatif indique une composante vers le sud.
- Calcul de xA :
\[ x_A = 305.25 + 120.50 \times 0.5000 \]
\[ x_A = 305.25 + 60.25 \]
\[ x_A = 365.50\ \text{m} \]Explication : On ajoute à l’abscisse de B la portion de distance allant vers l’est.
- Calcul de yA :
\[ y_A = 512.75 + 120.50 \times (-0.8660) \]
\[ y_A = 512.75 - 104.36 \]
\[ y_A = 408.39\ \text{m} \]Explication : On ajoute à l’ordonnée de B la portion de distance vers le nord (ici négative, donc vers le sud).
Résultat final
Les coordonnées du point A sont :
\[ A(x_A, y_A) = (365.50\ \text{m};\ 408.39\ \text{m}) \]
Calcul des coordonnées d’un point en Topographie
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