Calcul des coordonnées d'un point en Topographie

Contexte : Le rayonnementMéthode topographique permettant de déterminer les coordonnées d'un point (P) à partir d'une station connue (A) en mesurant un angle et une distance..

En topographie, le rayonnement est une méthode fondamentale pour déterminer la position de points sur le terrain. Depuis une station d'observation dont les coordonnées sont connues, un opérateur mesure l'angle horizontal et la distance jusqu'à un point à déterminer. Cet exercice vous guidera à travers les calculs nécessaires pour trouver les coordonnées (X, Y) d'un point B à partir d'une station A.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à maîtriser les formules trigonométriques de base pour transformer des mesures polaires (angle, distance) en coordonnées rectangulaires (X, Y), une compétence essentielle pour tout technicien géomètre.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le gisementAngle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (axe Y) jusqu'à une direction donnée. d'une direction à partir d'une référence.
Appliquer les formules de calcul des coordonnées rectangulaires.
Comprendre l'importance de la précision des mesures angulaires et de distance.

Données de l'étude

Un topographe se situe à la station A et vise une référence R ainsi que deux points inconnus B et C. Il utilise un tachéomètre qui lui fournit les lectures angulaires et les distances.

Schéma de la situation

Paramètre	Description	Valeur	Unité
Coordonnées de A	Point de station	Xₐ = 500.00 \| Yₐ = 200.00	mètres
Gisement A vers R	Direction de référence	G_AR = 75.000	grades
Lecture angulaire sur B	Angle mesuré depuis R vers B	L_AB = 240.000	grades
Distance A vers B	Distance horizontale mesurée	D_AB = 150.00	mètres
Lecture angulaire sur C	Angle mesuré depuis R vers C	L_AC = 310.000	grades
Distance A vers C	Distance horizontale mesurée	D_AC = 125.50	mètres

Questions à traiter

Calculer le gisement de la direction AB (G_AB).
Calculer les coordonnées du point B (X_B, Y_B).
À titre de vérification, calculez le gisement retour G_BA.
Calculez les coordonnées du point C (X_C, Y_C).

Les bases de la Topographie

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser deux concepts clés : le gisement et les formules de rayonnement.

1. Le Gisement
Le gisement d'une direction (par exemple, AB) est l'angle horizontal mesuré dans le sens des aiguilles d'une montre, à partir de la direction du Nord (l'axe des Y positifs) jusqu'à cette direction. Il est généralement exprimé en grades (gon). Un cercle complet fait 400 grades.

2. Formules de Rayonnement
Pour calculer les coordonnées d'un point B (X_B, Y_B) à partir d'un point A (X_A, Y_A) connu, on utilise les formules suivantes : \[ \Delta X = D_{AB} \cdot \sin(G_{AB}) \] \[ \Delta Y = D_{AB} \cdot \cos(G_{AB}) \] Ce qui nous donne : \[ X_B = X_A + \Delta X \] \[ Y_B = Y_A + \Delta Y \]

Correction : Calcul des coordonnées d’un point en Topographie

Question 1 : Calculer le gisement de la direction AB (G_AB)

Principe (le concept physique)

Pour orienter nos mesures, nous utilisons une direction de référence connue (A vers R), dont le gisement G_AR est connu. La lecture angulaire L_AB est l'angle mesuré dans le sens horaire entre cette référence et notre point B. Le gisement de la nouvelle direction (A vers B) est donc la somme du gisement de référence et de l'angle mesuré.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En topographie, toutes les directions sont rapportées à une origine unique, le Nord (axe Y). Le gisement est ce qui permet de définir n'importe quelle direction par rapport à ce Nord. La somme des angles internes d'un polygone est directement liée à la somme des gisements. Cette notion est donc à la base de tous les calculs de polygonation (cheminements).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez que vous êtes au centre d'une horloge. Le Nord est à 12h. Le gisement de référence G_AR vous indique une première direction (par exemple, 2h). Vous tournez ensuite de l'angle L_AB pour viser le point B. Votre nouvelle direction est simplement la somme de ces deux rotations.

Normes (la référence réglementaire)

Les calculs topographiques en France sont rattachés au système de projection national, le RGF93-CC (Référentiel Géodésique Français 1993 - Conique Conforme). Bien que cet exercice soit simplifié, les gisements calculés sur le terrain sont toujours rattachés à ce système pour être juridiquement valables.

Formule(s) (l'outil mathématique)

G_{AB} = G_{AR} + L_{AB}

Si le résultat est supérieur à 400 gr, on soustrait 400 gr pour le ramener sur un seul tour de cercle.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les coordonnées du point A sont considérées comme exactes.
L'instrument est parfaitement centré et calé sur la station A.
Les mesures d'angle et de distance sont exemptes d'erreur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Gisement de la référence	G_AR	75.000	grades
Lecture angulaire sur B	L_AB	240.000	grades

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour visualiser rapidement, un gisement entre 0 et 100 gr est dans le quadrant Nord-Est, 100-200 Sud-Est, 200-300 Sud-Ouest, et 300-400 Nord-Ouest. Ici, 75+240 = 315, on s'attend donc à ce que le point B soit au Nord-Ouest de A.

Schéma (Avant les calculs)

Orientation des angles

Calcul(s) (l'application numérique)

\begin{aligned} G_{AB} &= 75.000 + 240.000 \\ &= 315.000 \text{ gr} \end{aligned}

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le gisement de 315.000 grades est une direction claire et non ambiguë. Il se situe bien dans le quadrant Nord-Ouest, comme prévu par l'astuce. Cette valeur sera la base pour le calcul des coordonnées du point B.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'additionner ou de soustraire les angles dans le mauvais sens. Toujours se rappeler que les lectures d'angle se font dans le sens horaire. Une autre erreur est d'oublier de soustraire 400 gr si la somme dépasse cette valeur.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le calcul d'un nouveau gisement se fait par addition de la lecture angulaire au gisement de référence.
Le cercle topographique est divisé en 400 grades.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le grade (ou gon) a été introduit en France après la Révolution, en même temps que le système métrique, pour "décimaliser" le cercle. Un angle droit mesure 100 grades, ce qui simplifie certains calculs mentaux par rapport aux 90 degrés du système sexagésimal.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le gisement de la direction AB est de 315.000 grades.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Si la lecture sur un point D avait été de 350.000 gr, quel aurait été le gisement G_AD ?

Question 2 : Calculer les coordonnées du point B (X_B, Y_B)

Principe (le concept physique)

Les coordonnées d'un point sont sa position sur un plan défini par deux axes (X et Y). Connaissant la position de départ (A), la direction (gisement G_AB) et la distance (D_AB), on peut calculer le déplacement sur l'axe X (\(\Delta X\)) et sur l'axe Y (\(\Delta Y\)) grâce à la trigonométrie. L'addition de ces déplacements aux coordonnées de départ nous donne la position finale (B).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ce calcul est la transformation de coordonnées polaires (Gisement, Distance) en coordonnées rectangulaires (\(\Delta X\), \(\Delta Y\)). Le sinus du gisement est projeté sur l'axe des X (Est) et le cosinus sur l'axe des Y (Nord). C'est une application directe du cercle trigonométrique en topographie.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez un triangle rectangle dont l'hypoténuse est la distance D_AB. Le gisement G_AB est l'angle par rapport au Nord. Le côté adjacent à cet angle est \(\Delta Y\) (cosinus) et le côté opposé est \(\Delta X\) (sinus). Faites toujours un petit schéma pour vérifier les signes de \(\Delta X\) et \(\Delta Y\) en fonction du quadrant.

Normes (la référence réglementaire)

Les tolérances de calcul et de mesure pour les levés topographiques sont définies par des arrêtés, notamment l'arrêté de 2003 sur les classes de précision. Pour un levé de détail, les précisions attendues sont de l'ordre de quelques centimètres.

Formule(s) (l'outil mathématique)

X_B = X_A + D_{AB} \cdot \sin(G_{AB})

Y_B = Y_A + D_{AB} \cdot \cos(G_{AB})

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le terrain est considéré comme parfaitement horizontal entre A et B (on utilise la distance horizontale).
Le système de coordonnées est un plan euclidien (on ignore la courbure de la Terre, ce qui est acceptable pour de courtes distances).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coordonnées de A	X_A, Y_A	500.00, 200.00	mètres
Distance AB	D_AB	150.00	mètres
Gisement AB	G_AB	315.000	grades

Astuces (Pour aller plus vite)

Puisque G_AB = 315 gr (quadrant N-O), on sait que le sinus sera négatif (\(\Delta X < 0\)) et le cosinus sera positif (\(\Delta Y > 0\)). Cela permet de vérifier rapidement le signe de vos résultats avant même le calcul final.

Schéma (Avant les calculs)

Décomposition en Delta X et Delta Y

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de \(\Delta X\)

\begin{aligned} \Delta X &= 150.00 \cdot \sin(315.000 \text{ gr}) \\ &= 150.00 \cdot (-0.7071) \\ &= -106.07 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de \(\Delta Y\)

\begin{aligned} \Delta Y &= 150.00 \cdot \cos(315.000 \text{ gr}) \\ &= 150.00 \cdot (0.7071) \\ &= +106.07 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de \(X_B\)

\begin{aligned} X_B &= 500.00\text{ m} + (-106.07\text{ m}) \\ &= 393.93 \text{ m} \end{aligned}

Calcul de \(Y_B\)

\begin{aligned} Y_B &= 200.00\text{ m} + 106.07\text{ m} \\ &= 306.07 \text{ m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du calcul des coordonnées de B

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les coordonnées (X=393.93, Y=306.07) positionnent le point B de manière unique sur le plan. Comme prévu, la coordonnée X a diminué (déplacement vers l'Ouest) et la coordonnée Y a augmenté (déplacement vers le Nord), ce qui est cohérent avec un gisement de 315 grades.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale erreur est d'inverser sinus et cosinus. Retenez : "Sinus-X" (le S de sinus ressemble au X). Une autre erreur est de se tromper dans le signe des additions aux coordonnées de départ.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

\(\Delta X\) est toujours calculé avec le sinus du gisement.
\(\Delta Y\) est toujours calculé avec le cosinus du gisement.
Les nouvelles coordonnées sont la somme des anciennes et des variations.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les premiers calculs de rayonnement étaient faits à la main avec des tables trigonométriques (comme les tables de Bouvart et Ratinet) et des machines à calculer mécaniques. L'arrivée des calculatrices programmables puis des ordinateurs a révolutionné la productivité des topographes.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les coordonnées du point B sont : X_B = 393.93 m et Y_B = 306.07 m.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Avec le même G_AB de 315 gr, si la distance D_AB avait été de 200 m, quelle aurait été la coordonnée X_B ?

Question 3 : À titre de vérification, calculez le gisement retour G_BA

Principe (le concept physique)

Le gisement de A vers B et le gisement de B vers A sont sur la même ligne mais de sens opposé. Leur différence angulaire est donc d'un demi-cercle, soit 200 grades. Ce calcul est une vérification fondamentale en topographie pour s'assurer de la cohérence des mesures lors d'un cheminement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La relation \(G_{BA} = G_{AB} \pm 200\) gr est une propriété de base de la géométrie euclidienne. Elle permet de "transporter" un gisement d'un point à un autre. Si on connaît le gisement d'un côté d'un polygone, on peut en déduire le gisement du côté suivant en mesurant l'angle interne entre les deux côtés.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est très simple : si vous regardez vers le Nord (0 gr), le Sud est à 200 gr. Si vous regardez vers l'Est (100 gr), l'Ouest est à 300 gr. La différence est toujours de 200 gr. La seule chose à décider est s'il faut ajouter ou soustraire pour que le résultat reste entre 0 et 400.

Normes (la référence réglementaire)

Dans les cahiers des charges pour les travaux topographiques, il est souvent exigé de réaliser des mesures redondantes, comme des "doubles retours", pour vérifier la fermeture angulaire des polygones. Le calcul du gisement retour est l'une de ces vérifications de base.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Si \(G_{AB} < 200\) gr, alors \(G_{BA} = G_{AB} + 200\) gr.
Si \(G_{AB} > 200\) gr, alors \(G_{BA} = G_{AB} - 200\) gr.

Hypothèses (le cadre du calcul)

Ce calcul suppose que le gisement aller (G_AB) a été calculé correctement et est exempt d'erreur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Gisement Aller	G_AB	315.000	grades

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour savoir s'il faut ajouter ou soustraire 200, regardez le gisement de départ. S'il est grand (plus de 200), il faut le diminuer, donc on soustrait. S'il est petit (moins de 200), il faut l'augmenter, donc on ajoute.

Schéma (Avant les calculs)

Gisement Aller et Gisement Retour

Calcul(s) (l'application numérique)

Comme \(G_{AB} = 315.000\) est supérieur à 200, nous soustrayons 200.

\begin{aligned} G_{BA} &= 315.000\text{ gr} - 200.000\text{ gr} \\ &= 115.000 \text{ gr} \end{aligned}

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un gisement de 115 gr (quadrant Sud-Est) est bien la direction opposée à 315 gr (quadrant Nord-Ouest). Le calcul est cohérent. Si on se trouvait en B et qu'on visait A, on mesurerait bien un angle de 115 gr par rapport au Nord.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur est d'ajouter 200 quand il faut soustraire, et vice-versa. Une vérification rapide sur un schéma mental permet d'éviter cela. Si G_AB est dans le quadrant 4, G_BA doit être dans le quadrant 2.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le gisement retour s'obtient en ajoutant ou soustrayant 200 grades au gisement aller.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de gisement retour est aussi fondamental en navigation maritime et aérienne. Le "cap retour" ou "relèvement inverse" est crucial pour pouvoir revenir à son point de départ ou pour que deux observateurs puissent trianguler une même position.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le gisement retour de la direction BA est de 115.000 grades.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Si un gisement G_XY est de 80.000 gr, que vaut le gisement retour G_YX ?

Question 4 : Calculez les coordonnées du point C (X_C, Y_C)

Principe (le concept physique)

La procédure est rigoureusement la même que pour le point B. On utilise la même station A et la même référence R. Seules la lecture angulaire et la distance changent. On calcule d'abord le nouveau gisement G_AC, puis on l'utilise avec la distance D_AC pour déterminer les coordonnées de C.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode du rayonnement est particulièrement efficace car elle permet de déterminer les coordonnées d'un grand nombre de points de détail à partir d'une seule station. Tant que les points sont visibles et à portée de l'instrument, le processus de calcul reste identique, ce qui le rend facilement automatisable par des logiciels.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Considérez chaque point comme un calcul indépendant. Ne vous laissez pas perturber par les calculs précédents. La méthode est systématique : 1. Calcul du gisement. 2. Calcul des variations \(\Delta X, \Delta Y\). 3. Calcul des coordonnées finales. Répétez ce processus pour chaque point.

Normes (la référence réglementaire)

Pour les levés cadastraux (définition des limites de propriété), la précision requise est encore plus élevée. Les calculs doivent être documentés et archivés dans un carnet de terrain numérique ou papier, qui peut être vérifié par l'Ordre des Géomètres-Experts.

Formule(s) (l'outil mathématique)

G_{AC} = G_{AR} + L_{AC}

X_C = X_A + D_{AC} \cdot \sin(G_{AC})

Y_C = Y_A + D_{AC} \cdot \cos(G_{AC})

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que pour le calcul du point B.
On suppose que la référence R n'a pas bougé entre la visée de B et celle de C.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coordonnées de A	X_A, Y_A	500.00, 200.00	mètres
Distance AC	D_AC	125.50	mètres
Lecture angulaire sur C	L_AC	310.000	grades
Gisement de référence	G_AR	75.000	grades

Astuces (Pour aller plus vite)

Le gisement G_AC sera de 75 + 310 = 385 gr. C'est un angle très proche de 400 (le Nord). On s'attend donc à un \(\Delta Y\) grand et positif, et un \(\Delta X\) petit et négatif.

Schéma (Avant les calculs)

Calcul pour le point C

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul du gisement G_AC

\begin{aligned} G_{AC} &= 75.000\text{ gr} + 310.000\text{ gr} \\ &= 385.000 \text{ gr} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de \(\Delta X_{AC}\) et \(\Delta Y_{AC}\)

\begin{aligned} \Delta X_{AC} &= 125.50\text{ m} \cdot \sin(385.000 \text{ gr}) \\ &= 125.50 \cdot (-0.2393) \\ &= -30.03 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} \Delta Y_{AC} &= 125.50\text{ m} \cdot \cos(385.000 \text{ gr}) \\ &= 125.50 \cdot (0.9709) \\ &= +121.85 \text{ m} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul des coordonnées de C

\begin{aligned} X_C &= 500.00\text{ m} + (-30.03\text{ m}) \\ &= 469.97 \text{ m} \end{aligned}

\begin{aligned} Y_C &= 200.00\text{ m} + 121.85\text{ m} \\ &= 321.85 \text{ m} \end{aligned}

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le point C se trouve également dans le quadrant Nord-Ouest par rapport à A, ce qui est cohérent avec un gisement de 385 gr. Il est moins loin en X mais plus loin en Y que le point B, ce qui correspond bien à un angle plus proche de 400 gr (le Nord).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous d'utiliser la bonne distance (D_AC) et la bonne lecture angulaire (L_AC) pour ce nouveau point. Il est facile de se mélanger les pinceaux et de réutiliser une donnée du point précédent.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La méthode de rayonnement est répétable pour autant de points que l'on souhaite lever depuis une même station. La procédure reste toujours la même : calcul du gisement, puis calcul des coordonnées.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les scanners laser 3D modernes sont l'évolution ultime du rayonnement. Ils mesurent non pas un point, mais des millions de points par seconde, chacun par un calcul d'angle et de distance, pour créer un "nuage de points" 3D détaillé d'un objet ou d'un site.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les coordonnées du point C sont : X_C = 469.97 m et Y_C = 321.85 m.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Si depuis la station A, on mesure sur un point E : L_AE = 100 gr et D_AE = 200 m. Quelle est la coordonnée Y_E ?

Outil Interactif : Simulateur de Rayonnement

Utilisez les curseurs pour modifier la lecture angulaire et la distance, et observez en temps réel l'impact sur les coordonnées du point B.

Paramètres d'Entrée

Lecture Angulaire L_AB (grades) 240 gr

Distance D_AB (mètres) 150 m

Résultats Clés

Gisement G_AB (gr) -

Coordonnée X_B (m) -

Coordonnée Y_B (m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que le gisement en topographie ?

L'angle vertical par rapport à l'horizon.
La distance entre deux points.
L'angle horizontal mesuré depuis le Nord dans le sens horaire.

2. Si G_AR = 50 gr et L_AB = 380 gr, que vaut G_AB ?

430 gr
30 gr
330 gr

3. Quelle formule est utilisée pour calculer la variation en X (\(\Delta X\)) ?

D * sin(G)
D * cos(G)
D * tan(G)

Gisement: Angle horizontal mesuré dans le sens horaire à partir de la direction du Nord (axe Y) jusqu'à une direction donnée. Exprimé en grades (gon).
Rayonnement: Méthode topographique permettant de déterminer les coordonnées d'un point (P) à partir d'une station connue (A) en mesurant un angle horizontal et une distance horizontale.
Tachéomètre: Instrument de topographie (station totale) qui mesure les angles horizontaux, les angles verticaux et les distances.