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Calcul de l’Effort Axial Normal sur un Poteau

Calcul de l’Effort Axial Normal sur un Poteau en Béton Armé

Calcul de l’Effort Axial Normal sur un Poteau

Contexte : La descente de charges, fondement du dimensionnement

Les poteaux sont les piliers d'un bâtiment ; leur rôle est de collecter toutes les charges des étages supérieurs (poids des planchers, des murs, des occupants, du mobilier...) et de les transmettre en toute sécurité jusqu'aux fondations. Le calcul de l'effort normal de compression dans un poteau est donc un exercice de descente de chargesMéthode de calcul qui consiste à évaluer et à cumuler les charges de chaque niveau d'un bâtiment, du toit jusqu'aux fondations, en passant par chaque élément porteur (poutres, poteaux).. Il s'agit de déterminer la "surface d'influence" de chaque poteau, c'est-à-dire la portion de plancher qu'il doit supporter, puis de sommer les charges de tous les niveaux qui pèsent sur lui.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer l'effort normal ultime (\(N_{\text{Ed}}\)) à la base d'un poteau central dans un bâtiment à plusieurs étages. Nous allons déterminer la surface d'influence, calculer la charge totale (permanente + exploitation) d'un étage, et enfin cumuler ces charges sur toute la hauteur du bâtiment pour trouver l'effort final.

Objectifs Pédagogiques

  • Déterminer la surface d'influence (ou surface tributaire) d'un poteau.
  • Calculer les charges permanentes (\(G_k\)) et d'exploitation (\(Q_k\)) pour un plancher.
  • Appliquer les coefficients de pondération pour obtenir la charge ultime (\(p_u\)) à l'ELU.
  • Calculer l'effort normal apporté par chaque niveau sur le poteau.
  • Sommer les efforts de tous les niveaux pour obtenir l'effort axial normal total (\(N_{\text{Ed}}\)) à la base du poteau.

Données de l'étude

On s'intéresse au poteau central P2 d'un bâtiment de bureaux de 4 niveaux (R+3) plus une toiture-terrasse. La structure est une ossature poteaux-poutres régulière. L'objectif est de calculer l'effort normal de compression à l'ELU (\(N_{\text{Ed}}\)) à la base de ce poteau au niveau du rez-de-chaussée.

Plan de coffrage et élévation
Poteau P2 Portée 6.0 m Portée 5.0 m Toiture Niv. 3 Niv. 2 Niv. 1

Caractéristiques géométriques et charges :

  • Distance entre poteaux : \(6.0 \, \text{m}\) dans une direction, \(5.0 \, \text{m}\) dans l'autre.
  • Nombre de niveaux : 4 (RDC + 3 étages) + Toiture-terrasse.
  • Hauteur d'étage : \(3.0 \, \text{m}\).
  • Section des poteaux : carrée, \(30 \times 30 \, \text{cm}\).
  • Charges permanentes des planchers courants (dalle + revêtements) : \(G_k = 6.0 \, \text{kN/m}^2\).
  • Charges permanentes de la toiture-terrasse (dalle + étanchéité) : \(G_{k,toit} = 7.0 \, \text{kN/m}^2\).
  • Charges d'exploitation des planchers de bureaux (Cat. B) : \(Q_k = 3.0 \, \text{kN/m}^2\).
  • Charges d'exploitation de la toiture-terrasse (inaccessible, entretien) : \(Q_{k,toit} = 1.0 \, \text{kN/m}^2\).
  • Poids volumique du béton armé : \(\gamma_{ba} = 25 \, \text{kN/m}^3\).

Questions à traiter

  1. Déterminer la surface d'influence (\(S\)) du poteau P2.
  2. Calculer la charge ultime (\(N_{u,etage}\)) apportée par un étage courant sur le poteau P2.
  3. Calculer l'effort normal de compression total (\(N_{Ed}\)) à la base du poteau P2 au niveau du RDC.

Correction : Calcul de l’Effort Axial Normal sur un Poteau

Question 1 : Déterminer la surface d'influence (\(S\))

Principe avec image animée (le concept physique)
Surface d'influence

La surface d'influence (ou surface tributaire) d'un poteau est la zone de plancher que ce poteau est censé supporter. Pour une structure régulière, on considère que chaque poteau reprend les charges situées à mi-distance de ses voisins. Pour un poteau central, sa surface d'influence est donc un rectangle dont les dimensions sont les portées entre poteaux.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La méthode des surfaces d'influence est une simplification très utilisée en bâtiment. Elle suppose que les planchers se déforment peu et que les charges se répartissent uniformément. Pour les poteaux de rive ou de coin, la surface d'influence est respectivement la moitié ou le quart de celle d'un poteau central. Cette méthode est la base de la "descente de charges".

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Visualiser le plan de coffrage est essentiel. La surface d'influence est simplement la surface du "rectangle" formé par les axes des poutres qui encadrent le poteau. Ses dimensions sont les portées complètes, pas les demi-portées.

Normes (la référence réglementaire)

Principes de la Statique et de la RDM : La notion de surface d'influence n'est pas directement une formule de l'Eurocode, mais une méthode d'ingénieur découlant des principes de l'équilibre statique pour répartir les charges surfaciques sur des appuis ponctuels.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la trame de poteaux est régulière et que les planchers sont des dalles pleines fonctionnant dans les deux directions, ce qui justifie une répartition des charges à mi-portée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Surface d'influence d'un poteau central :

\[ S = L_{\text{x}} \times L_{\text{y}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Portée dans la direction x : \(L_{\text{x}} = 6.0 \, \text{m}\)
  • Portée dans la direction y : \(L_{\text{y}} = 5.0 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la surface d'influence :

\[ \begin{aligned} S &= 6.0 \, \text{m} \times 5.0 \, \text{m} \\ &= 30.0 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le poteau P2 doit supporter les charges provenant d'une surface de 30 m² à chaque niveau. C'est cette surface qui servira de base pour calculer les charges de plancher qui descendent sur le poteau.

Points à retenir

La surface d'influence d'un poteau central dans une trame régulière est le produit des portées entre poteaux dans les deux directions.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

La détermination de la surface d'influence est la première étape obligatoire de la descente de charges. Elle permet de transformer des charges surfaciques (en kN/m²) en charges ponctuelles (en kN) appliquées au poteau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Utiliser les demi-portées : Une erreur fréquente est de multiplier les demi-portées (\(L_x/2 \times L_y/2\)). La surface d'influence est bien la surface totale du panneau de plancher centré sur le poteau.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour des géométries de plancher complexes ou irrégulières, la méthode des surfaces d'influence devient moins précise. Les ingénieurs utilisent alors des logiciels de calcul par éléments finis qui modélisent le comportement réel du plancher et calculent les réactions d'appui exactes sur chaque poteau.

FAQ (pour lever les doutes)
Et pour un poteau de rive ?

Pour un poteau de rive (situé sur une façade), la surface d'influence est la moitié de celle d'un poteau central. Dans notre cas, ce serait \( (6.0/2) \times 5.0 = 15 \, \text{m}^2 \).

Résultat Final : La surface d'influence du poteau P2 est \(S = 30.0 \, \text{m}^2\).

À vous de jouer : Quelle serait la surface d'influence pour un poteau de coin dans la même trame ?

Question 2 : Calculer la charge ultime par étage (\(N_{\text{u,etage}}\))

Principe

Maintenant que nous connaissons la surface supportée par le poteau, nous pouvons calculer la charge totale que cette surface génère. On somme les charges surfaciques permanentes (\(G_k\)) et d'exploitation (\(Q_k\)), on les pondère avec les coefficients de sécurité de l'ELU (1.35 et 1.5) pour obtenir la charge ultime surfacique (\(p_u\)), puis on la multiplie par la surface d'influence pour obtenir l'effort normal ultime apporté par un seul étage.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La combinaison d'actions à l'ELU la plus courante est \(1.35 G_k + 1.5 Q_k\). Le coefficient 1.35 sur les charges permanentes est plus faible car ces charges sont mieux connues (le poids des matériaux varie peu). Le coefficient 1.5 sur les charges d'exploitation est plus élevé pour tenir compte de leur plus grande incertitude (on ne sait pas exactement combien de personnes ou de mobilier il y aura).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : Il est important de bien distinguer les charges du plancher courant de celles de la toiture, car elles sont différentes. Nous calculerons ici la charge pour un étage de bureau type.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 0 (NF EN 1990), Équation (6.10) : Fournit la formule de la combinaison d'actions fondamentale à l'ELU : \(\sum \gamma_{G,j} G_{k,j} + \gamma_Q Q_{k,1} + \sum \gamma_Q \psi_{0,i} Q_{k,i}\). Pour un cas simple avec une seule charge d'exploitation, elle se réduit à \(1.35 G_k + 1.5 Q_k\).

Hypothèses (le cadre du calcul)

On applique la combinaison de base 1.35G + 1.5Q, en considérant qu'il n'y a qu'une seule charge d'exploitation variable sur le plancher.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge ultime surfacique :

\[ p_{\text{u}} = 1.35 G_{\text{k}} + 1.5 Q_{\text{k}} \]

Effort normal ultime par étage :

\[ N_{\text{u,etage}} = p_{\text{u}} \times S \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(G_{\text{k}} = 6.0 \, \text{kN/m}^2\)
  • \(Q_{\text{k}} = 3.0 \, \text{kN/m}^2\)
  • \(S = 30.0 \, \text{m}^2\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la charge ultime surfacique :

\[ \begin{aligned} p_{\text{u}} &= (1.35 \times 6.0 \, \text{kN/m}^2) + (1.5 \times 3.0 \, \text{kN/m}^2) \\ &= 8.1 + 4.5 \\ &= 12.6 \, \text{kN/m}^2 \end{aligned} \]

Calcul de l'effort normal par étage :

\[ \begin{aligned} N_{\text{u,etage}} &= 12.6 \, \text{kN/m}^2 \times 30.0 \, \text{m}^2 \\ &= 378 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Chaque étage de bureaux apporte une charge pondérée de 378 kN (environ 38 tonnes) sur le poteau P2. Cette valeur sera la brique de base pour le calcul de la charge totale cumulée.

Points à retenir

L'effort normal par étage est le produit de la charge ultime surfacique (\(p_{\text{u}} = 1.35G_{\text{k}} + 1.5Q_{\text{k}}\)) par la surface d'influence (\(S\)).

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette étape transforme les charges surfaciques en un effort ponctuel par niveau, ce qui permet de les sommer le long du poteau dans la dernière étape.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Oublier de pondérer les charges : Le calcul de l'effort normal à l'ELU (\(N_{\text{Ed}}\)) doit impérativement se faire avec les charges pondérées par 1.35 et 1.5. Utiliser les charges de service (\(G_{\text{k}}, Q_{\text{k}}\)) conduirait à sous-estimer l'effort.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les bâtiments de grande hauteur, l'Eurocode 1 permet d'appliquer un coefficient de minoration sur les charges d'exploitation des étages inférieurs, car la probabilité que tous les étages soient chargés à leur maximum simultanément est très faible. Cela permet d'optimiser le dimensionnement des poteaux en base.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne prend-on pas en compte le poids des poutres ?

Dans cet exercice, la valeur de \(G_k = 6.0 \, \text{kN/m}^2\) est une valeur forfaitaire qui inclut déjà le poids de la dalle et une estimation du poids des poutres et autres éléments permanents, ramené à une charge surfacique équivalente pour simplifier.

Résultat Final : La charge ultime apportée par un étage courant est \(N_{\text{u,etage}} = 378 \, \text{kN}\).

À vous de jouer : Calculez \(N_{\text{u,etage}}\) si la charge d'exploitation était de \(Q_k = 2.0 \, \text{kN/m}^2\).

Question 3 : Calculer l'effort normal total (\(N_{\text{Ed}}\)) à la base du poteau

Principe avec image animée (le concept physique)
N_toit N_niv3 N_niv2 N_niv1 Poids Poteau N_Ed = Somme de toutes les charges

L'effort final à la base du poteau est la somme de toutes les charges qu'il supporte sur toute sa hauteur. Cela inclut les charges des 3 étages de bureaux, la charge de la toiture-terrasse, et le poids propre du poteau lui-même sur les 4 niveaux.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La descente de charges est un processus cumulatif. L'effort dans un poteau augmente à chaque niveau en descendant. Le poteau du dernier étage ne supporte que la toiture. Celui de l'étage en dessous supporte la toiture ET le dernier plancher. L'effort est donc maximal à la base du poteau du rez-de-chaussée, juste avant les fondations.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Point Clé : N'oubliez pas le poids propre du poteau ! C'est une charge permanente qui s'ajoute aux charges des planchers. Pour un bâtiment de plusieurs étages, ce poids propre peut devenir significatif.

Normes (la référence réglementaire)

Eurocode 2 § 5.2 : Ce paragraphe sur l'analyse structurale stipule que l'équilibre doit être satisfait pour la structure et chacune de ses parties. La descente de charges est une application directe de ce principe d'équilibre, en isolant le poteau et en sommant toutes les forces qui s'exercent sur lui.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que tous les étages de bureaux sont identiques et que le poteau a une section constante sur toute sa hauteur.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Charge ultime de la toiture :

\[ N_{\text{u,toit}} = (1.35 G_{\text{k,toit}} + 1.5 Q_{\text{k,toit}}) \times S \]

Poids propre ultime du poteau :

\[ P_{\text{p,poteau}} = 1.35 \times (A_{\text{poteau}} \times H_{\text{totale}} \times \gamma_{\text{ba}}) \]

Effort normal total :

\[ N_{\text{Ed}} = N_{\text{u,toit}} + 3 \times N_{\text{u,etage}} + P_{\text{p,poteau}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(N_{\text{u,etage}} = 378 \, \text{kN}\)
  • \(G_{\text{k,toit}} = 7.0 \, \text{kN/m}^2\), \(Q_{\text{k,toit}} = 1.0 \, \text{kN/m}^2\)
  • Poteau : \(0.3 \times 0.3 \, \text{m}\), Hauteur totale = \(4 \times 3.0 = 12.0 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)

Charge ultime de la toiture :

\[ \begin{aligned} N_{\text{u,toit}} &= (1.35 \times 7.0 + 1.5 \times 1.0) \times 30.0 \\ &= (9.45 + 1.5) \times 30.0 \\ &= 10.95 \times 30.0 \\ &= 328.5 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Poids propre ultime du poteau :

\[ \begin{aligned} P_{\text{p,poteau}} &= 1.35 \times (0.30 \, \text{m} \times 0.30 \, \text{m} \times 12.0 \, \text{m} \times 25 \, \text{kN/m}^3) \\ &= 1.35 \times 27 \\ &= 36.45 \, \text{kN} \end{aligned} \]

Effort normal total à la base :

\[ \begin{aligned} N_{\text{Ed}} &= N_{\text{u,toit}} + 3 \times N_{\text{u,etage}} + P_{\text{p,poteau}} \\ &= 328.5 + 3 \times 378 + 36.45 \\ &= 328.5 + 1134 + 36.45 \\ &= 1498.95 \, \text{kN} \end{aligned} \]
Réflexions (l'interprétation du résultat)

L'effort normal ultime à la base du poteau est de 1499 kN (environ 150 tonnes). C'est cette valeur qui sera utilisée pour dimensionner la section du poteau et ses armatures en compression composée.

Points à retenir

L'effort axial total sur un poteau est la somme des charges ultimes de tous les niveaux qu'il supporte (y compris la toiture) et de son propre poids propre pondéré.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Ce calcul finalise la descente de charges et fournit la sollicitation de calcul (\(N_{\text{Ed}}\)) qui est la donnée d'entrée indispensable pour le dimensionnement du poteau lui-même.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Se tromper dans le nombre d'étages : Une erreur courante est de mal compter le nombre de planchers qui chargent le poteau. Un bâtiment R+3 a 3 étages et 1 RDC, donc le poteau de RDC supporte 3 planchers courants et la toiture.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La descente de charges est un processus itératif. On commence par pré-dimensionner les éléments (estimer leur taille), on calcule les charges, on dimensionne précisément les éléments, puis on vérifie si leur poids propre correspond à l'estimation initiale. Si ce n'est pas le cas, on recommence le cycle.

FAQ (pour lever les doutes)
Doit-on ajouter un moment fléchissant à cet effort normal ?

Oui, en réalité, un poteau n'est presque jamais parfaitement centré. Il y a toujours des moments fléchissants dus aux imperfections de construction ou à la continuité avec les poutres. L'effort \(N_{\text{Ed}}\) calculé ici sera utilisé dans un calcul de "flexion composée" pour dimensionner le poteau.

Résultat Final : L'effort normal ultime à la base du poteau est \(N_{\text{Ed}} = 1499 \, \text{kN}\).

À vous de jouer : Quel serait l'effort \(N_{\text{Ed}}\) si le bâtiment avait un étage de plus (R+4) ?

Outil Interactif : Calculateur de Descente de Charges

Modifiez les paramètres du bâtiment pour voir leur influence sur l'effort normal dans le poteau.

Paramètres du Bâtiment
Résultats
Charge par étage (kN) -
Charge totale des étages (kN) -
Effort Total N_Ed : -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. La surface d'influence d'un poteau de coin par rapport à un poteau central est :

2. La "descente de charges" consiste à :

Descente de charges
Méthode de calcul qui consiste à évaluer et à cumuler les charges de chaque niveau d'un bâtiment, du toit jusqu'aux fondations, en passant par chaque élément porteur (poutres, poteaux).
Surface d'influence
Aussi appelée surface tributaire. C'est la portion de plancher dont les charges sont reprises par un élément porteur donné (poteau, poutre, voile).
Effort Axial Normal (\(N\))
Force interne agissant perpendiculairement à la section d'un élément structurel. Il peut être de compression (écrasement) ou de traction (étirement).
État Limite Ultime (ELU)
État qui correspond à la ruine ou à un dommage majeur de la structure. Les calculs à l'ELU se font avec des charges majorées (pondérées) pour garantir la sécurité.
Application Pratique : Calcul de l’Effort Axial sur un Poteau

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